《基本不等式及其变形》导学案讲解

已知 a>0,b>0,c>0,求证:1+1+1≥ 1 + 1 + 1 .
a b c ab bc ca
【解析】∵1+1≥ 2 ,1+1≥ 2 ,1+1≥ 2 , a b ab b c bc c a ca
∴2(1+1+1)≥ 2 + 2 + 2 ,
abc
ab bc ca
即1+1+1≥ 1 + 1 + 1 .
4 已知 a,b,c 为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
【解析】∵a,b,c 为两两不相等的实数, ∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.
导.学. .固 思
【解析】因为 a,b∈(0,1),a≠b,所以 a+b>2 ab,a2+b2>2ab, 所以最大的只能是 a2+b2 与 a+b 之一.
而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0<a<1,0<b<1,所以 a1<0,b-1<0,因此,a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.
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22
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2 已知 a>1,b>1,且 lg a+lg b=6,则 lg a·lg b 的最 大值为( B ).
A.6
B.9
C.12
D.18
【解析】∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,
又 lg a+lg b=6,∴lg a·lg b≤(lga +lgb )2=(6)2=9,故选 B.
2
2
已知 a,b 为正实数,如果 ab=36,那么 a+b 的最小值
为 12
;如果 a+b=18,那么 ab 的最大值
为
81
.
【解析】根据基本不等式 a+b≥2 ab=2 36=12,得 a+b 的 最小值为 12.根据 ab≤a+b=9,即 ab≤81,得 ab 的最大值为 81.
2
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a b c ab bc ca
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下列说法:
①对任意 x>0,lg x+ 1 ≥2;
lgx
②对任意 x∈R,ax+a1x≥2;
③对任意 x∈(0,π),tan x+ 1 ≥2;
2
tanx
④对任意 x∈R,sin x+ 1 ≥2.
sinx
其中正确的是( C ).
A.①③ B.③④ C.②③ D.①②③④
b
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利用基本不等式求最值
已知正数 x,y 满足 x2+y2=1,求 x 1 + y2 的最大值.
2
【解析】∵x2+y2=1,∴2x2+y2=2,
2
∴x 1 + y2= 2x 1 + y2· 2
2
≤ 2·( 2x)2+( 1+y2 )2
2
2
=2x2+1+y2· 2=3 2,
2
24
当且仅当
第6课时 基本不等式及其变形
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1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题. 2了解基本不等式的推广,并会应用.
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上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念 以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等
四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,
利用基本不等式判断不等关系 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 ①③⑤ (写出所有正确命题的编号). ①ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤1+1≥2.
ab
【解析】令 a=b=1,排除命题②④; 由 2=a+b≥2 ab⇒ab≤1,命题①正确; a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确; 1+1=a+b= 2 ≥2,命题⑤正确.
是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综 合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等
式及其变形的应用.
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问题1 上述情境中,正方形的面积为 a2+b2 ,4个直
角三角形的面积的和 2ab ,由于4个直角三角
形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到
一个不等式: a2+b2≥2ab
2x = 2x2 + y2
1 + y2 =2
,⇒
x= y=
3, 2 时等号成立,
2
2
∴x 1 + y2的最大值是3 2.
4
Байду номын сангаас
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已知正数 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( D ).
A.a2+b2
B.2 ab C.2ab
D.a+b
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【解析】任意 x>0,无法确定 lg x>0,①错;
任意 x∈R,ax>0,根据基本不等式 ax+a1x ≥2,②正确; 对任意 x∈(0,π),有 tan x>0,根据基本不等式
,我们称之为重要不等
式,即对于任意实数a,b,都有 a2+b2≥2ab 当且
仅当 a=b 时,等号成立.
我们也可以通过作差法来证明: a2+b2-2ab=(a-b)2≥.0,
所以 a2+b2≥2ab ,当且仅当a=b时取等号.
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问题2
≥ a=b
对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
的高
等比中项 等差中项
中线不小于 等差中项
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几何平均数 几何平均数
算术平均数 算术平均数
问题4 由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有
最 小值
,当且仅当x=y时,取“=”.
(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有
最大 值
,当且仅当x=y时,取“=”.
即“积为常数, 和有最小值 ;和为常数, 积有最大值 ”.
概括为:一正二定三相等四最值.
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1 四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( A ).
A.a+d> bc
2
C.a+d= bc
2
B.a+d< bc
2
D.a+d≤ bc
2
【解析】∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d 均是正数,且不相等, ∴a+d=b+c> bc.
a b ab ab
故填①③⑤.
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基本不等式在证明题中的应用 已知 a,b,c 都是正数,求证:a2+b2+c2≥a+b+c.
bca
【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴a2+b≥2
b
同理:b2+c≥2b,c2+a≥2c,
c
a
三式相加得:a2+b2+c2≥a+b+c.
bca
a2 ·b=2a.