【清华】定积分和广义积分习题

又 F(0) = 0 ， 所以 F(u) = 0, u ∈ [0, a] ，
∫ ∫ 故 a f (x)dx + f (a) f −1( y)dy = af (a) 。
0
0
法二 因为
∫0f
(a)
f
−1 (
y)dy
y= f (x)
= ∫0a xf
′(x)dx
=
xf
( x)
a 0
−
∫0a
π
= ∫04 ln
2dx
+
π
∫04
ln(cos(
x
−
π 4
)dx
−
π
∫04
ln(cos
x)dx
= π ln 2 。
8
（６）求定积分 ∫0π ln( 1+ cos x)dx 。
解 （广义积分，换元积分法）
因为
∫0π
ln( 1+
cos
x)dx
x=π −t
=
∫0π
ln(1 −
cos t )dt
=
2
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π
且 ∫02 ln(cos t)dt
π
= ∫02 ln(sin
t =π −u π
t)dt = ∫π2 ln(sin
u)( − du)
= ∫ππ ln(sin
u)du ，
xdx
=
∫0π
sin(
n
−1) x cos sin x
xdx
=
1 2
∫0π
sin nxdx sin x
+
1 2
∫0π
sin( n − 2) xdx sin x
=
1 2
In
+
1 2
I n−2，
所以 I n = I n−2 ，故 I 2n = I 0 = 0, I 2n+1 = I1 = π 。
π
1
x 2 = 0 ，
x→0 sin x − ax b 1+ t 2
x→0 cos x − a 1 + x 2 1 − a
所以 a = 1 ．
∫ ∫ ６．已知 A =
1 et dt ，求 01+ t
1 0
et (1+ t
)2
dt
．
解 （定积分的分部积分公式） 因为
所以
∫ A = 1 et dt ，
x
ln(
t
+
1 + t 2 )dt 都存在，且
0
f (−x) = ∫0−x ln( t + 1 + t 2 )dt
= ∫0xln( −u + 1+ (−u)2 )(−du)
= −∫0xln u+
1 du 1+u2
= ∫0xln( u + 1 + u 2 )du = f (x)，
∫
所以 f (x) =
nx x
dx
解 因为 I n
=
∫0π
sin sin
nx x
dx
t=π −
=
x
∫0π
(−1) n+1 sin sin t
nt dt
= (−1)n+1 I n ，
所以 I 2n = 0 ，
I 2n+1
=
∫0π
sin( 2n sin
+1) xdx x
=
∫0π
sin
2nx sin
cos x
xdx
01+ t
∫ ∫ 1 et
dt 0 (1 + t) 2
= − et 1+ t
1 0
+
1 et dt = 1 − e + A 。
01+ t
2
∫ ７．已知 f (x) + sin 4 x =
π
π
4 0
f
(2x)dx ，求 ∫02
f ( x)dx ．
解 （定积分的概念，定积分的换元积分公式）
π
∫ 因为 f (x) + sin 4 x = 4 f (2x)dx ，所以 0
4
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∫ ∫ ∫ ∫ π
2 f ( x)dx +
π 2
sin
4
xdx
=
π
π 4
f
(2x)dx
=
π
π
2 f (u)du ，
0
0
20
40
∫ 由于
π 2
n
− 1) x sin x
cos
x dx
=
∫0π
sin(
n
− 2) x cos 2 sin x
xdx
+
∫0π
cos(n
−
2)x sin sin x
x cos xdx
= I n−2 + ∫0π cos(n −1) xdx
= I n−2 ，
所以 I 2n = I 0 = 0, I 2n+1 = I1 = π 。
0
0
证明 （函数等式的证明，变限定积分函数的导数，定积分的换元积分公式，定积分的几何
意义）
∫ ∫ 法一 令 F(u) = u f ( x)dx + f (u) f −1( y)dy − uf (u) ， u ∈ [0, a] ，
0
0
则 F ′(u) = f (u) + f ′(u) f −1( f (u)) − f (u) − uf ′(u) = 0, u ∈[0, a] ，
2
所以 ∫0π ln(sin
x)dx
π
= π ln 2 + 2∫02 [ln(sin
t ) + ln(cos t )dt]dt
= π ln 2 + 2∫0π ln(sin
t)dt ，
故 ∫0π ln(sin x)dx = −π ln 2 。
dx x2
+ lim
h →0 +
f
(ξ
2
)∫−
h h
h
2
h +
x2 dx +
lim
h→0+
f (ξ3)∫1 h
h2
h dx + x2
=
lim
h→0+
f
(ξ1) arctan
x h
−h −1
+ lim
h→0+
f
(ξ
2
)
arctan
x h
h −h
+ lim
h →0+
f
(ξ3
)
arctan
x h
1 h
= 0 + πf (0) + 0 = πf (0) 。
（２） 因为任给 x > 0 ，存在 n ≥ 0 ，使得 nπ ≤ x ≤ (n + 1)π ，所以
∫0nπ sin t dt ≤ ∫0x sin t dt ≤ ∫0(n+1)π sin t dt ，
(n +1)π
x
nπ
即 2n ≤ ∫0x sin t dt ≤ 2(n + 1) ，
f
( xt)dt
=
x2 f (u) 1 du ，
0
0
x
所以 F ′( x)
=
−
1 x2
∫0x2
f
(u)du +
2
f
( x2 ) 。
∫ ３．研究函数 f (x) =
x
ln(
t
+
1 + t 2 )dt 的奇偶性．
0
解 （函数奇偶性，定积分的换元积分公式）
∫
因为对任意的 x ∈ (−∞,+∞) ， f (x) =
f
( x)dx
=
af
(a)
−
∫0a
f
( x)dx，
∫ ∫ 所以 a f (x)dx + f (a) f −1( y)dy = af (a) 。
0
0
法三
f(a) D2
D y=f(x)
D1 a
如图，根据定积分的几何意义，D1的面积为 ∫0a f (x)dx ，D2 的面积为 ∫0f (a) f −1( y)dy ， 矩形 D 的面积为 af (a) ，所以
1
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又解
In
=
∫0π
sin nxdx sin x
=
∫0π
sin[(
n −1) + 1]xdx sin x
=
∫0π
sin(
n −1) x cos xdx + sin x
∫0π
cos(n −1)x sin sin x
′′(ξ
)
=
(b
24 − a)3
∫ab
∫0π
ln(1
−
cos
x)dx
，所以
∫0π ln( 1+ cos x)dx =
1 2
[∫0π
ln(1
+
cos
x
)dx
+
∫0π
ln(1
−
cos
x
)dx]
=
∫0π
ln(sin
x)dx 。
又
∫0π ln(sin
x=2t π
x)dx = 2∫02 [ln 2 + ln(sin
t) + ln(cos t)dt ]dt ，
+
∫0π
cos
2nx sin sin x
xdx
=
∫0π
sin
2nx cos sin x
xdx
，
I 2n−1
=
∫0π
sin( 2n sin
− 1) x dx x
=
∫0π
sin
2nx sin
cos x
xdx
−
∫0π
cos
2nx sin sin x
xdx
=
∫0π
sin
2nx cos sin x
xdx
h
h2
h +
x2
f
(x)dx
+
lim
h→0+
∫−
h h
h2
h +
x2
f
( x)dx
+
lim
h→0+
∫1 h
h2
h +
x2
f
(x)dx
3
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=
lim
h→0+
f (ξ1)∫−−1
h
h2
h +
（４） ∫π3 ( x sin
x2dx x + cos
x)2
6
解
π
∫π3 ( x sin
x 2dx x + cos
x) 2
=
π
∫π3
x sec xd( x sin
−1 ) x + cos x
6
6
=
− x sec x x sin x + cos x
π 3 π
+
π
∫π3
sec
2
x( x sin x sin x
x
ln(
t
+
1 + t 2 )dt 是偶函数。
0
４．求极限 （１ *）
lim
h →0 +
∫1−1
h2
h +
x2
f
( x)dx
，其中
f
(x) ∈ C[−1,1] ；（２）
lim
x→+∞
∫0x sin x
t
dt
．
解
（１ *）
lim
h→0+
∫−11
h2
h +
x2
f
( x)dx
=
lim
h→0+
∫−−1
x +
+ cos cos x
x)dx
；
66
= 4π − 4π + 2 3 。 3π + 18 6 3π + 3 3
π
（５） ∫04 ln( 1+ tan x)dx
解
π
∫04
ln( 1+
tan
x)dx
=
π
∫04
ln(
cos x + cos
sin x
x )dx
π
π
= ∫04 ln(cos x + sin x)dx − ∫04 ln(cos x)dx
∫ 因为 lim (sin x − ax) = 0 ， lim 1
x t 2 dt = −2
x→0
x→0 sin x − ax b 1+ t 2
所以
lim
x→0
∫bx
t2 1+t
2
dt
=
∫b0
t 2 dt = 0 ，因此 b = 0 。 1+ t2
∫ 又 − 2 = lim 1
x t 2 dt = lim
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１．求下列定积分：
定积分广义积分习题
（１） ∫0π sin x − sin 3 xdx
解
∫0π sin x − sin 3 xdx = ∫0π cos x sin xdx
sin
4
xdx
=
3
1
π
= 3π
，
0
4 2 2 16
∫
π
故 2 f ( x)dx =
3π
。
0
4(π − 4)
８．设函数 f (x) 在[0, a] 上可导、单增， f (0) = 0 ，证明
∫ ∫ a f (x)dx + f (a) f −1( y)dy = af (a) ．
因此 ∫0π ln( 1+ cos x)dx = ∫0π ln(sin x)dx = −π ln 2 。
∫ ２．求函数 F( x) =
x
f ( xt)dt
的导数，其中
f
连续．
0
解 （定积分的换元积分公式，变限定积分函数求导）
∫ ∫
因为 F( x) =
x
，
故 I 2n+1 = I 2n−1 = L = I1 = π 。
另解
In
=
∫0π
sin nxdx sin x
=
∫0π
sin[(
n − 1) sin x