极限计算方法
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(3)成立.
推论1 如果 lim y存在, 而c为常数, 则lim cy c lim y. 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果 lim y存在, 而n是正整数, 则 lim y [lim y ] .
n n
二、求极限方法及举例
1、 lim f ( x), 若f ( x)在x0有意义
x3 1 . 例： 求 lim 2 x2 x 3 x 5
解
x)3 lim1 lim( x 3 1) (lim x 2 x 2
x2
Baidu Nhomakorabea
8 1 7
lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim3x lim5
x 2
x 2 x 2 x 2
2 lim ( x 2 x 3) 0, 解 x 1
c 2、 型，c 0 0
先求倒数的极限
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
n 1
a n f ( x0 ). 例：求 lim( x 2 x) lim x 2 lim x
x 2 x2
(lim x) 2 lim x
x 2 x 2
42 6
f ( x ) x 2 x， 可见 lim f ( x ) f ( 2).
x2
lim x A, lim y B.
x A , y B . 其中lim 0,lim 0.
由无穷小量运算法则,得
lim[( x y) ( A B)] lim( )
0. (1)成立.
lim[ x y A B] lim[( A )( B ) AB] ( 2)成立. lim[( A B ) ]
x4 ( x 4)( 5 x 3) lim 解：lim x 4 5 x 3 x 4 x 4
lim ( 5 x 3)
x 4
6
(分母有理化法)
4、 型 ，x 分子分母同除最高次幂 3 2 2x 3x 5 例： 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
(lim x) 2 3lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
x3 1 x 2 lim 2 2 x 2 x 3 x 5 3 lim( x 3x 5)
x 2
22 3 2 5 3 lim( x3 1) 23 1
7 . 3
0.
x A B A A A lim[ ] lim[ ] lim y B B B B( B )
1 lim( B A ) B( B ) lim( B A ) lim B lim A 0 0 0
(*)
又
lim 0, B 0,
( x 1)( x n1 1) xn 1 有 lim m lim x 1 ( x 1)( x m 1 1) x 1 x 1
x n1 1 n lim m1 x1 x 1 m
x4 例：求 lim . x 4 5 x 3
更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数.
且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
比如:
lim x 2 1 1 1 2
x 1
lim( x ln x) e ln e e 1
x e
4x 1 . 例： 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
0, 某一时刻，在此时刻之后，||
|B| 取 , 某一时刻，在此时刻之后，恒有： 2 1 1 B B B B B 2 2 1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
（*）式=0
x 1
x 2x 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(因式分解，消去零因子法)
例.
xn 1 求 lim m , 其中m, n为自然数. x1 x 1
解: 将x=1代入分母, 分母为0
想办法约去使分子分母都为零的因子x–1.
注意到公式x n 1 ( x 1)( x n1 x n2 1).
0 3、 型 对式子进行变形 0 2 x 1 例： 求 lim 2 .
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
1.2.4极限的运算法则
一、极限运算法则
引理： lim y A lim( y A) 0.
定理 设 在同一变化过程中lim x A, lim y B, 则 (1) lim （x y） lim x lim y A B; (2) lim （x y） lim x lim y A B; x lim x A (3) lim , 其中B 0. y lim y B 证
x x0
可直接用运算法则
（1）设 f ( x) a0 xn a1xn1
x x0 x x0
n
an , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
x 2
推论1 如果 lim y存在, 而c为常数, 则lim cy c lim y. 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果 lim y存在, 而n是正整数, 则 lim y [lim y ] .
n n
二、求极限方法及举例
1、 lim f ( x), 若f ( x)在x0有意义
x3 1 . 例： 求 lim 2 x2 x 3 x 5
解
x)3 lim1 lim( x 3 1) (lim x 2 x 2
x2
Baidu Nhomakorabea
8 1 7
lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim3x lim5
x 2
x 2 x 2 x 2
2 lim ( x 2 x 3) 0, 解 x 1
c 2、 型，c 0 0
先求倒数的极限
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
n 1
a n f ( x0 ). 例：求 lim( x 2 x) lim x 2 lim x
x 2 x2
(lim x) 2 lim x
x 2 x 2
42 6
f ( x ) x 2 x， 可见 lim f ( x ) f ( 2).
x2
lim x A, lim y B.
x A , y B . 其中lim 0,lim 0.
由无穷小量运算法则,得
lim[( x y) ( A B)] lim( )
0. (1)成立.
lim[ x y A B] lim[( A )( B ) AB] ( 2)成立. lim[( A B ) ]
x4 ( x 4)( 5 x 3) lim 解：lim x 4 5 x 3 x 4 x 4
lim ( 5 x 3)
x 4
6
(分母有理化法)
4、 型 ，x 分子分母同除最高次幂 3 2 2x 3x 5 例： 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
(lim x) 2 3lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
x3 1 x 2 lim 2 2 x 2 x 3 x 5 3 lim( x 3x 5)
x 2
22 3 2 5 3 lim( x3 1) 23 1
7 . 3
0.
x A B A A A lim[ ] lim[ ] lim y B B B B( B )
1 lim( B A ) B( B ) lim( B A ) lim B lim A 0 0 0
(*)
又
lim 0, B 0,
( x 1)( x n1 1) xn 1 有 lim m lim x 1 ( x 1)( x m 1 1) x 1 x 1
x n1 1 n lim m1 x1 x 1 m
x4 例：求 lim . x 4 5 x 3
更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数.
且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
比如:
lim x 2 1 1 1 2
x 1
lim( x ln x) e ln e e 1
x e
4x 1 . 例： 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
0, 某一时刻，在此时刻之后，||
|B| 取 , 某一时刻，在此时刻之后，恒有： 2 1 1 B B B B B 2 2 1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
（*）式=0
x 1
x 2x 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(因式分解，消去零因子法)
例.
xn 1 求 lim m , 其中m, n为自然数. x1 x 1
解: 将x=1代入分母, 分母为0
想办法约去使分子分母都为零的因子x–1.
注意到公式x n 1 ( x 1)( x n1 x n2 1).
0 3、 型 对式子进行变形 0 2 x 1 例： 求 lim 2 .
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
1.2.4极限的运算法则
一、极限运算法则
引理： lim y A lim( y A) 0.
定理 设 在同一变化过程中lim x A, lim y B, 则 (1) lim （x y） lim x lim y A B; (2) lim （x y） lim x lim y A B; x lim x A (3) lim , 其中B 0. y lim y B 证
x x0
可直接用运算法则
（1）设 f ( x) a0 xn a1xn1
x x0 x x0
n
an , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
x 2