最少拍及无波纹最少拍系统设计原则+实例

一、在最少拍设计时，()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则：

1）()e z Φ的分子中必须包含1(1)m z --因式（保证系统稳态误差为零）。 注意：1()(()1)m e Φz z F z -=-，式中：()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1z -的有限项多项式。一般取12()1...F z az bz --=+++为有限项多项式。

2）以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少（保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统）。

3）()c G z 应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数（即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差）。一般已知的()G z 这条都满足。

4）()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）。

5）()z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的零点（保证控制器稳定）。

6）()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节（保证控制器是物理可实现的）。 注意：前3条一定需要，后三条不一定需要。

二．最少拍系统设计实例

情况1：假定()G z 无延迟，且不含不稳定零点和不稳定极点（即不含单位圆上和单位圆外的零极点（1,1i i p z ==除外）），且()G z 的分母多项式最多比分子多项式高一次。

在上述条件下构造()Φz 和时，只需考虑设计原则中的前三条即可，故取1()(1)()m e Φz z F z -=-，()1F z =。

下面就再这样的假设条件下，讨论最少拍系统在不同典型输入作用下，数字控制器脉冲传递函数()c G z 的确定方法。比如：单位阶跃输入：

————————————最少拍设计开始--------——————————— 当()1()r t t =时，有[]11()1()1R z Z t z

-==-，则取()1F z = 11

1

()(1)()1()1()m e e z z F z z z z z

---Φ=-=-Φ=-Φ= 所以，数字控制器脉冲传递函数为：

1

1()()()()(1)()

c e z z G z G z z z G z --Φ==Φ- ————————————最少拍设计到此结束————————— 注意：几拍？看误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z 变换。

即：

()()()1e E z z R z =Φ=

123()()()C z z R z z z z ---=Φ=+++

根据Z 变换的定义式00

()(),()()n n n n E z e nT z C z c nT z ∞∞--====∑∑知：

(0)1,()(2)0e e T e T ===

= (0)0,()(2)1c c T c T ====

最少拍系统的单位阶跃响应曲线如图P524图9.42所示。可见，最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入()1()r t t =，这样的离散系统称为一拍系统，其调节时间s t T =。

P524图9.42 最少拍系统的单位阶跃响应序列

注：若输入为单位斜坡或单位加速度输入时方法一样，只是输入和()e z Φ不同。 情况2：若G (z )有延迟或含单位圆上和单位圆外的零极点。

例:设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器传递函数分别为

10r (t )c (t )-e*(t )e (t )

(1)

s s +1e sT

s --()c G z

其中采样周期1T s =。若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试求数字控制器脉冲传递函数()c G z 。

解：1）系统开环脉冲传递函数为：

111

2112110(1) 3.68(10.717)()(1)10(1)(1)(1)(1)()((10.368)1)T T Tz e z z G z z Z z s s z z z z e z z --------⎡⎤⎡⎤-+=-⋅=--=⎢⎥⎢⎥+---⎣--⎣⎦⎦注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。

2）【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消

()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消

因为()r t t =，1

12()[](1)

Tz R z Z t z --==-，则 试探取()1F z =（如果()1F z =不满足后面的所有要求，则取12()1...F z az bz --=+++有限项多项式）。

则12()(1)e z z Φ-=-（1）

注：()e z Φ既满足稳态误差为0，且其零点正好补偿()G z 在单位圆上的极点

则1211()1()2(2)e z z z z z z ΦΦ----=-=-=-（2）

注：()z Φ已包含()G z 的纯滞后环节1z -。

1111()0.543(10.368)(10.5)()()()(1)(10.717)

c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==-+ 例 9.23 ※已知系统结构图如图。其中开环脉冲传递函数为：

1111110.5(10.05)()()()(10.112)(10.02511)

.z G z z z z z z ---------++=

试设计Gc (z )在单位阶跃输入时实现最少拍控制。

解：注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。

【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消

()G z 中在单位圆外有不稳定零点1(1 1.2)z -+？---用()z Φ的零点来对消

()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消

R (z ) C (z )