人教新版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》学案(含答案)
最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案4
最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案42.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3.（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ?=32||b a ?.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=<-≥.0,,0,a a a a五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
13．(15分)设 的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋ xy＋ 的值．
解：因为 ＝ ＝ ＝2＋ ，
所以x＝2，y＝ .
原式＝22＋ ·2· ＋ ＝4＋7－ ＋ ＋1＝12.
＝2－4× ＋10(2＋ )－10
＝21.
(3)(7＋4 ) －81 ＋32 －2× ＋ × －1
＝[(2＋ )2] －(34) ＋(25) －2×(2－3) ＋2 ×(22)
＝2＋ － ＋8－8＋2
＝4.
11．(13分)已知x ＋x ＝3，计算：
(1)x－x－1；
(2) .
解：(1)将x ＋x ＝3两边平方，得x＋x－1＋2＝32，即x＋x－1＝7，
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义．
2．有理指数幂的性质．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．把根式 改写成分数指数幂的形式为()
A．(a－b) B．(a－b)
C．a －b D．a －b
答案：A
解析：原式＝[(a－b)－2] ＝(a－b) .故选A.
∵ ＝(x3＋y3) ≠(x＋y) ，∴C错；
∵ ＝ ＝3 ，∴D正确，故选D.
4．式子 (a>0)经过计算可得()
A．aB．－
C. D.
答案：D
解析：原式＝ ＝a ＝a ＝ .
5．设x，y，z∈R，xyz≠0，且4x＝6y＝144z，则()
A. ＝ ＋ B. ＝ ＋
C. ＝ ＋ D. ＝ ＋
答案：D
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案
2．1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.n 次方根(1)n 次方根的定义：一般地，如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *. (2)n 次方根的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可合并写成±na (a ＞0)．③0的任何次方根都是0，记作n0＝0. ④负数没有偶次方根. 2．根式(1)式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)式子na n对任意a ∈R 都有意义，当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.3．分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：nma ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝nm a1 (a ＞0，m ，n ∈N *,且n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 5．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值． (1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3－23＝－2.(2)4－32＝432＝ 3.(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式． (1)5－25；(2)4－104；(3)4a －b4.解 (1)5－25＝－2.(2)4－104＝|－10|＝10.(3)4a －b4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a ≥b ，b －a a ＜b .要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式． (1)3a ·4a ； (2) a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a . (2)原式＝21a ·41a ·81a ＝87a . (3)原式＝32a ·23a ＝613a .(4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝67a 23b .规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nm a ＝na m和nm a-＝nm a1＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2) 3ab2ab3(a ，b ＞0)；(3)32432⎪⎪⎭⎫⎝⎛b (b ＜0)；(4)13x5x 22(x ≠0)．解 (1)原式＝31a ·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0)． (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝(25a ·27b )31＝65a 67b (a ，b ＞0)． (3)原式＝324132⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0)．(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝53-x(x ≠0)．要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06431-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简： 3329-a a÷33137--⋅a a (a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[2931⨯a ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2331a]÷[⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯3721a ·31321⨯a]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3323-a a·()1321-215-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-a a . 解 (1)原式＝(－1)32-⎝ ⎛⎭⎪⎫33832-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·23-a )31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(25a ·213-a)21＝(a －4)21＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a 答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.a －b2＋5a －b5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 答案 C解析 当a －b ≥0时， 原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.3．计算[(－2)2]12的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1,221-，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1B ．221- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1221- D ．2－1 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－2,221-＝12＝22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-＝2，2－1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-最大．5．221-＋－402＋12－1－1－5·832＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简 3a a 的结果是( ) A ．a B.a C ．a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·21a )31＝(23a )31＝21a ＝a .2．若(1－2x )43-有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ∈R 且x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝141－2x3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．若a <12，则化简42a －12的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 答案 C解析 ∵a <12，∴2a －1<0，∴2a －12＝1－2a ， ∴42a －12＝1－2a .4．化简3421413223abb a ab b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(a ，b ＞0)的结果是( )A.b a B ．ab C.a bD ．a 2b 答案 C解析 原式＝[a 3b 2(ab 2)31]21÷(a 1b 2b 31a 31-)＝21313⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a21322⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b÷(32a 37b )＝3235-a×3734-b＝a b.5．计算(2a －3b32-)·(－3a －1b )÷(4a －4b35-)得( )A ．－32b 2 B.32b 2C ．－32b 37D.32b 37答案 A解析 原式＝354-314-46--ba b a ＝－32b 2.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝________.答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384371n －3＝3[(128)71]n －3＝3×2n －3. 7．(1)求279＋ 3338－30.064的值； (2)化简21212121nm n m +-＋21212121nm n m -+.解 (1)原式＝259＋3278－30.43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫323－30.43＝53＋32－0.4＝8330. (2)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212212122121n m n m n m n m ＝2m ＋n m －n . 二、能力提升8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝a m 1，5＝b m 1，∵2×5＝a m 1·b m 1＝ba m 11+∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 答案 A解析 原式＝ 23－610－42＋1＝ 23－622－42＋22＝ 23－62－2＝ 9＋62＋2 ＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14251解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.11．计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝ ⎛⎭⎪⎫61421＋25643＋(22)32－3－1＋π0；(2)733－3324－6319＋4333；(3)(a 58·b56-)21-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52221＋(44)43＋(223)32－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.(2)原式＝7×331－3323×3－63⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋43133⨯ ＝7×331－6×331－6×332-＋331＝2×331－2×3×332-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2158a ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2156-b·54a ÷53b＝54-a ·53b ·54a ÷53b＝5454+-a5353-b＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知2x＋2－x＝a (常数)，求8x ＋8－x的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求21212121yx y x +-的值．解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x＋4－x－1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)21212121y x y x +-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212121y x y x y x 2＝()()y x xy -y x -+212.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－63.③ 将②③代入①，得21212121y x yx +-＝36921221-⨯-＝－33. 13．若a ＝2，b >0， 求b b 21212a a a +＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3121b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--323121b b a a 的值． 解 原式＝23a ＋b －1＋⎝⎛⎭⎫a 213－⎝⎛⎭⎫b 31-3 ＝23a ＋b －1＋23a －b －1＝223a ＝2×232＝4 2.。
人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第2课时)》教学设计
2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2．运用有理数指数幂运算性质进行计算． （三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质． 2．运用有理数指数幂的性质进行计算． （四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(-详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式．①=⋅2222 ，=⋅212122 ； ②=22)2( ，=221)2( ； ③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？ 结论： ． 详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+；②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯；③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测（1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（ ） A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba-=)(D ．s r s r ab b a +=)(【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】C ．（2）下列各式正确的是（ ） A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断． 【答案】C ．（3）将33611xx x ⋅(0>x )化简，结果正确的是（ ）A ．xB ．611x C ．6xD ．1【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】103123611312361133611===⋅=⋅--x xxx xxx x【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系以及有理数指数幂的运算性质进行化简． 【答案】D ． （4）计算2231224-+⋅的结果是（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】322224522322222312===⋅-++-+．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质，同底数的幂相乘底数不变指数相加． 【答案】B ． (二)课堂设计 1．知识回顾正整数指数幂的运算性质：*0,,r s r sa a a a r s +=>∈N （） *0,,r s rs a a a r s =>∈N （）（） *0,0,r r r ab a b a b r =>>∈N （）（）2．问题探究探究一 有理数指数幂的含义及其运算性质★ ●活动① 有理数指数幂的含义前面我们学习了正数的正指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 也规定了正数的负指数幂的意义：1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 【设计意图】通过回顾已学知识归纳总结，加深学生对有理数指数幂的理解． ●活动② 有理数指数幂的运算性质回顾整数指数幂的运算性质，在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否仍然适用呢？（学生讨论给出结论）答案是肯定的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：0,,Q r s r sa a a a r s +=>∈（） 0,,Q r s rs a a a r s =>∈（）（） 0,0,Q r r r ab a b a b r =>>∈（）（）【设计意图】通过学生自己思考得出整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用的结论，为后面运用有理数指数幂的运算性质进行化简计算做铺垫． ●活动③ 有理数指数幂的化简求值阅读教材51页至52页，从书中的例子中，我们可以总结得出有理数指数幂的化简求值的一般步骤有：第一步找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏；第二步合并同类项，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除则底数不变指数相减；第三步同底数幂相加减，能合并的就合并，不能合并就按照升幂或降幂排列．【设计意图】强调学生在进行有理数指数幂的化简求值时要注意正确步骤，更容易得出正确结果．探究二 运用有理数指数幂运算性质进行计算★▲ ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 如果a >0，b >0，m ，n 都是有理数，下列各式错误的是（ ） A ．mn n m a a =)（ B ．n m n m a a a --=C ．n n n b a ba-⋅=)( D ．n m n m a a a +=+【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．同类训练 对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）． A ．a a =2132)( B ．313221)(a a = C ．513153)(a a =-- D ．515331)(a a =【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】A 选项中312132)(a a =．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】A ．例2 若210x ＝25，则10x -等于（ ）A ．－51B ．51C ．501 D ．6251 【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】221025(10)25105x x x =∴=∴=Q ，，或510-=x （舍去），5110110==∴-x x ． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．同类训练 已知31=+aa ，则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】52122121=++=+-aa a a ）（． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．●活动② 强化提升、灵活应用例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a >0）： （1）a a ⋅3（2）322a a ⋅ （3）3a a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）272133a a a a a =⋅=⋅（2）38322322a a a a a =⋅=⋅（3）3221313a a a a a =⋅=⋅）（ 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）27a ，（2）38a ，（3）32a ． 同类训练 用分数指数幂表示下列各式．（1）)0(4>a a a ； （2）)0()(542≥++⋅+n m n m n m ）（；（3）3x x )0(≥x ． 【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272144a a a aa =⋅=- （2）32542542)()()(）（）（n m n m n m n m n m +=+⋅+=+⋅+（3）2131213)(x x x x x =⋅=【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）3）（n m +，（3）21x ． 例4 求值25.04245.0081)2()4(5.7])43[(+-+⨯--【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式5316151)3(2)4(21514144241=++-=+-+⨯-=）（【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值． 【答案】5．同类训练 计算：5.02120)01.0()416(2)532(-⋅+--【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】111020.52222311251(2)2(6)(0.01)1()()5424100---+⋅-=+⋅-1211111145101010=+⋅-=+-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】1．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． ●活动③ 强化提升、灵活应用 例5 化简：)00()65)(41(561312112132>>-----y x y x y x yx ，．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式61313221326121311213224242455y yx y x yx y x ===---+--【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算． 【答案】6124y ． 同类训练 化简：)00()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a ，【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式b aab ba ba ab b a b a ===⋅⋅=---++-+-13123113116123313122132213123)()(【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】ba．例6 先化简，再求值1111111111()(244) 2.11x x x x x x x ---------+---=+-，其中【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)1)(1()442(4)442()1)(1()1()1(11111111111112121-+---=---++--=---------------x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x +-=+-=-+-=-+++-=---------1111)1)(1()1()1)(1(121111211121，当2=x 时，原式31-=． 【思路点拨】通过有理数指数幂的运算性质以及平方差公式和完全平方公式将原式化简，再求值即可．【答案】31-．同类训练 已知8=x ，求111113131313132--++++++-x xx x x x x x 的值．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】∵8=x ，∴231=x ，原式101228121812418=--++++++-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接带值进行计算． 【答案】10．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）分数指数幂是一个数的指数为分数,正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 重难点归纳（1）运用有理数幂运算性质进行化简，求值，要掌握解题技巧，注意同底数的幂的运算法则．（2）在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．（3）对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． （三）课后作业 基础型 自主突破1．=⋅2255）（）（（ ）． A ．5 B ．5 C ．25 D ．25 【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】222222255555=⋅=⋅）（）（．【思路点拨】直接根据有理数指数幂的运算性质计算． 【答案】C ．2．⋅3a 6a -等于（ ）A ．－a －B ．－aC ．a －D ．a【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】⋅3a 6a -＝－⋅31)(a －61)(a －＝－21)(a －＝－a －．【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ．3．以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a b a ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141D ．ac cb a cb a 532515433121433121-=---【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】【解题过程】由有理数指数幂的运算性质可知，A ，B ，C 均正确． 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．4．已知2-x ＋2x ＝22且x ＞1，则2x －2-x 的值为（ ） A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2x －2-x ＝（x ＋1-x ）（x －1-x ）＝21)(－＋x x 21)(－－x x ＝⋅222－＋＋x x =222－＋－x x ⋅222＋222－＝2． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．5．若210=m，310=n，则2310nm -＝___________．【知识点】幂的运算性质，有理数指数幂的化简． 【数学思想】【解题过程】2310n m -＝n m n m －＝10·101033-＝36231·2101·)10(33＝＝n m ．【思路点拨】运用幂的运算性质． 【答案】362． 6．计算下列各式 （1）4325)12525(÷- （2）)0(322>⋅a aa a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质与化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）555555525)12525(66121233243-=-=⨯-=÷--）（．（2）6532212322a aa a aa a =⋅=⋅【思路点拨】运用根式的化简法则和有理数指数幂的运算性质． 【答案】（1）556-，（2）65a ． 能力型 师生共研7．已知23--+=b a x , 求46322--+-a x a x 的值． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】4234632)(2----=+-a x a x a x ,因为23--+=b a x ，所以bb a x 1)(1423==---．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】b 1．8． 化简：=⋅÷--3353225a a a a____________．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】 【解题过程】673221313531653353225a aa a aaa a aaa=÷=⋅÷⋅=⋅÷-----．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】67a 探究型 多维突破 9．化简：)21)(21)(21)(21(214181161----++++【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式1612141818116121418116116121)21)(21)(21)(21(21)21)(21)(21)(21)(21(------------+++-=-++++-=11611612121161214141)21(2121)21)(21(21)21)(21)(21(----------=-+-=-++-=【思路点拨】分子分母同时乘以16121--．【答案】1161)21(21---．10．已知)00)((21>>+=b a a b b a x ，，求11222---x x x b ．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】因为)00)((21>>+=b a abb a x ，，所以222)(411)(411a b b a a b b a x -=-+=-，①当0>≥b a 时，)(2112abb a x -=- b a x x =-+12，b a x x x b x x x b -=-+-=---∴)1(121122222；②当b a <<0时，)(2112b a a b x -=-，a b x x =-+12，)1(121122222-+-=---x x x b x x x b aab b -=2 【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】当0>≥b a 时，b a x x x b -=---∴11222；当b a <<0时，11222---x x x b a ab b -=2． 自助餐1．化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．-5【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】()55552143324332===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-）（．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化以及有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】B ．2．若522=+-x x ，则=+-x x 44（ ） A ．29B ．27C ．25D ．23【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2344,25244222=+∴=++=+---x x x x x x ）（．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】D ．3．已知0>a ，则=a aa2121__________．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】 【解题过程】a a a a a a a aa=⋅=⋅⋅=212121212121212121)()(．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．．4．已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_______________．【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】9212)(02212121212121--=--=-<-∴<y x y x y x y x ，， 6-=，同理239212)(02212121212121=+=+=+>+y x y x y x ，，故3321212121-=+-yx y x ． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】33-． 5．已知0>x ．（1）化简⨯53xx ⨯35xx 35xx ； （2）若4=x ，求342x x ⋅的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】（1）⨯53xx ⨯35xx =⨯⨯=⨯⨯10151101301151101301===⋅⋅=-+---x xxx x．（2）4331493493412342)(xx xxxx x===⋅=⋅，当4=x 时，22644444343===【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化进行化简运算． 【答案】（1）1；（2）．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）mn n m ⋅-88341)(【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）a b a b a b a b a b a 4)3(12)3()6)(2(65616567656131212132=-÷-=-÷-）（ （2）252521213288341)(---=⋅=⋅n m n m n m mn n m 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算法则． 【答案】（1）4a ；（2）2525-n m ．。
人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算 （1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式： （1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】 （1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。
新人教A版必修1高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算导学案 新人教A 版必修1学习目标：理解根式、分数指数幂、无理数指数幂、实数指数幂的定义 学习重点：会应用运算性质进行根式、指数幂的运算计算学习过程：一、 根式1、观察发现：422=中2叫做4的平方根，记作___； 4)2(2=-中2-叫做4的平方根，记作____823=中2叫做8的立方根，记作___；8)2(3-=-中2-叫做8-的立方根，记作___16)2(4=±中2±叫做16的4次方根，记作_________32)2(5-=-中2-叫做______________，记作_______64)2(6=±中2±叫做________________，记作________2、归纳总结：若a x n =，则x 叫做a 的_______ (其中*∈>N n n ,1)当n 是正奇数时，若0>a ，则x>0，x=________，若0<a ，则x____，x=_____当n 是正偶数时，若0>a ，则x=___________，若0<a ，则x_____________ 其中式子n a 叫做_______，这里n (*∈>N n n ,1)叫做_________，a 叫做_______注：______0=n ()=nn a ___________ n 是正奇数时，=n n a __________；n 是正偶数时，=n n a __________3、练习体验： _______)8(33=- ______)10(2=- 44)3(π-=________ _______)(66=-y x (x>y ）_____)4(2=-π _____)(2=-b a二、 分数指数幂1、 观察与归纳：（1）_______________224===；_______________248===_______________510===a ______________412===a()0____32>=a a ；()0_____>=b b ；()0_____45>=c c 正数的正分数指数幂)10______(>∈>=*，n N ，m、n a a m n（2）______21=- )0_______(1≠=-x x______534—= _____32—=a正数的负分数指数幂)10______(—>∈>=*，n N ，m、n a a m n（3）0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_指数与指数幂的运算_提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案指数与指数幂的运算编稿： 审稿：【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1；（2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。
2019人教A版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》学案
版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》学案 1. 掌握次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备4853复习1：什么叫做根式? 运算性质？的式子就叫做 ，具有性质： n = ；= ；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？① m n a = ；m n a-= . 其中*0,,,1a m n N n >∈>②r s a a =； ()r s a = ；()s ab = .复习3：填空. ① n 为时，(0)||...........(0)x x x ≥⎧==⎨<⎩. ② 求下列各式的值：= ；= ；= ；= ；= ； = ；= .二、新课导学※ 典型例题例1 已知1122a a -+=3，求下列各式的值：（1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）33221122a aa a ----． 补充：立方和差公式3322()()a b a b a ab b ±=±+.小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质=（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. ≠.变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a-+；（2）3322a a--.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论；② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+； （2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>.三、总结提升※ 学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.※ 知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++.2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：）.C. 3D. 7292. 54a a (a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15aD. 1710a3. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()n n m m = B ．=C 34()x y =+ D ．=4. 化简3225()4-= . 5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .1. 已知32x a b --=+, .2. 2n a =时, 实数a 和整数n 所应。
【人教版】高中数学必修一导学案 2.1.1指数与指数幂的运算(1)
2.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计） 内容：根式 教学目标 1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 的得出及运用教学过程一、创设情境，新课引入：问题1（课本P48问题1）：从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍，那么)20*,(073.1≤∈=x N x y x．问题2（课本P58问题2）：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． 根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(t P =． 当生物死亡了5730，2⨯5730，3⨯5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…． 当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若a x =2，则x 叫a 的 .如：2±是4的平方根一个正数的平方根有 个，它们互为 数；负数没有平方根；零的平方根是 .（2）若a x =3，则x 叫a 的 .如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。
2021年高中数学《.1指数与指数幂的运算》学案 新人教A版必修1
2021年高中数学《2.1指数与指数幂的运算》学案新人教A版必修1第一部分：三维目标第二部分：自主性学习1.旧知识铺垫（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的，记作 .2.新知识学习1．ｎ次方根的定义：如果＝ａ，那么x叫做．（其中ｎ＞１且）2．根式：形如式子叫根式．这里ｎ叫做，叫做被开方数3．根式的性质：（１）＝ ；（２） ＝ ； （３）当ｎ是奇数时＝ ；当是偶数时＝ ．3.我的疑难问题：第三部分：重难点解析例1、求下列各式的值 （1） ； ； ; （4） （a>b ）例２：计算：（１），（２）)52(()52(311333-++（３）()()()33443232238---+-例３：求使等式＝成立的实数的取值范围．第四部分：知识整理与框架梳理…… ……第五部分：习题设计1.基础巩固性习题１．以下说法正确的是（ ）Ａ．正数的ｎ次方根是正数 Ｂ．负数的ｎ次方根是负数 Ｃ．０的ｎ次方根是０ Ｄ．ａ的ｎ次方根是 ２．有意义，则的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ． 且Ｃ． Ｄ．３．若________,022=++<xx x x x 则 ４．若＝－，则 ．５．若，则ｎ的取值范围是 ．2.能力提升性习题1、当１＜ｘ＜３时，化简的结果是（ ） Ａ．４－２Ｘ Ｂ．２ Ｃ．２Ｘ－４ Ｄ．４2、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、若有意义，则ｘ的取值范围是（ ）Ａ．ｘ２Ｂ．ｘ－２Ｃ．ｘ－２或ｘ２Ｄ．ｘＲ4．某企业生产总值的月平均增长率为，则年平均增长率为。
5．若＝３ａ－１，则ａ的取值范围是．6．若ｘ＜２，则的值是．7．化简（１）＋（２）。
4.1 指数与指数幂的运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§4.1 指数与指数幂的运算导学目标:通过对有理数指数幂mna （0a >且1a ≠;,m n 为整数,且0n >）、实数指数幂xa （0a >且1a ≠;x R ∈）含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质、（预习教材P 104~ P 110,回答下列问题）复习:在初中,我们学习了正整数指数幂的意义:一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积,即n n a a a a =⋅⋅个、且我们知道,正整数指数幂的运算法则有以下五条: （1）mn m n aa a +=（2）mnm na a a -÷=（3）()nm mn aa =（4）()nn nab a b =（5）nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭问题:在学习幂函数的过程中,我们把正方形场地的边长c 关于面积S 的函数c S =,记作12c S =,这样的以分数为指数的幂,其意义是什么呢?为了回答上述问题,我们需要引入一个新的概念——n 次方根、 我们知道:第四章 指数函数与对数函数- 2 -如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2±就是4的平方根、 如果3x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2就是8的立方根、【知识点一】一般地,如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且n N *∈. （1）当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,可表示为n a ; （2）当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.可表示为n a ±（0a >） （3）负数没有偶次方根、（4）0的任何次方根都是0,记作:00n =、即:()()n nnx a n x a x a n ⎧=⎪=⇒⎨=±⎪⎩为奇数为偶数,其中n a 中个部分的名称如下:自我检测1:32的5次方根为 ;32-的5次方根为 ; 16的4次方根为 、思考:以下两个等式()nna a =和n n a a =一定成立吗?请验证?【知识点二】根式的性质 （1）()nna a =;（2）()()()()00n na n a a a a n a a ⎧⎪⎪=>⎧⎨⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎩⎩为奇数为偶数、自我检测2:求下列各式的值 （1）()338-= ;（2）()210-= ;（3）()443π-= 、观察下列等式间的互化规律:第四章指数函数与对数函数同样的,无理数指数幂a α( a >0,α是无理数)是一个确定的实数、有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用、题型一 利用根式的性质化简求值 【例1-1】下列各式正确的是（ ）A 88a a =B 、01a =C 44(4)4-=-D 55()ππ-=-【例1-2】化简2(4)ππ-＋＝（ ）A 、4B 、2 4π－C 、2 4π－或4D 、4 2π－题型二 根式与分数指数幂的互化【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.（113·a a ( a >0);（2())25230x xx >;第四章 指数函数与对数函数- 6 -（3）23-⎝⎭( b >0).【例2-2】正确的是（ ）A 、43a B 、34aC 、112a D 、14a -题型三 分数指数幂的运算与化简【例3-1】()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A 、232b -B 、232b C 、23bD 、23b -【例3-2】计算下列各式的值:（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（2）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭;（3）2132723224a a a b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、1、已知0a >,1132a a a） A 、712aB 、512a第四章 指数函数与对数函数- 8 -C 、56a D 、13a2、化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果（ ） A 、6a B 、a -C 、9a -D 、29a3、计算211511336622(4)(3)(6)a b a b a b -÷-=（ ）A 、2aB 、2abC 、2a -D 、2ab -)34154mmmm m= ;5、计算下列各式的值:（1）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）已知14a a-=,求值:①1a a -+;②1122a a -+.§4.1 指数与指数幂的运算（第一课时）答案导学目标:通过对有理数指数幂mna （0a >且1a ≠;,m n 为整数,且0n >）、实数指数幂xa （0a >且1a ≠;x R ∈）含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质、（预习教材P 104~ P 110,回答下列问题）复习:在初中,我们学习了正整数指数幂的意义:一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积,即n n a a a a =⋅⋅个、且我们知道,正整数指数幂的运算法则有以下五条: （1）mn m n aa a +=（2）mnm na a a -÷=（3）()nm mn a a =（4）()nn nab a b =第四章 指数函数与对数函数- 10 -（5）nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭问题:在学习幂函数的过程中,我们把正方形场地的边长c 关于面积S 的函数c S =,记作12c S =,这样的以分数为指数的幂,其意义是什么呢?为了回答上述问题,我们需要引入一个新的概念——n 次方根、 我们知道:如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2±就是4的平方根、 如果3x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2就是8的立方根、 【知识点一】一般地,如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且n N *∈. （1）当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,可表示为n a ; （2）当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.可表示为n a ±（0a >） （3）负数没有偶次方根、（4）0的任何次方根都是0,记作:00n =、即:()()n nnx a n x a x a n ⎧=⎪=⇒⎨=±⎪⎩为奇数为偶数,其中n a 中个部分的名称如下:自我检测1:32的5次方根为 ;32-的5次方根为 ; 16的4次方根为 、思考:以下两个等式()nna a =和n n a a =一定成立吗?请验证?【知识点二】根式的性质 （1）()nnaa =;（2）()()()()00n na n a a a a n a a ⎧⎪⎪=>⎧⎨⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎩⎩为奇数为偶数、自我检测2:求下列各式的值 （1）()338-= ;（2）()210-= ;（3）()443π-= 、观察下列等式间的互化规律:第四章指数函数与对数函数- 12 -自我检测3:用分数指数幂表示:（1）3a a ⋅= ;（2）3a a ⋅= ;【答案】117333222;a a a a a a +⋅=⋅==14211333322()().a a a a a a =⋅==同样的,无理数指数幂a α( a >0,α是无理数)是一个确定的实数、有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用、题型一 利用根式的性质化简求值 【例1-1】下列各式正确的是（ ）A 88a a =B 、01a =C 44(4)4-=-D 55()ππ-=-【答案】D【例1-2】化简2(4)ππ-＋＝（ ）A 、4B 、2 4π－C 、2 4π－或4D 、4 2π－ 【答案】A第四章 指数函数与对数函数- 14 -题型二 根式与分数指数幂的互化【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.（1( a >0);（2)0x >;（3）23-⎝⎭( b >0). 【答案】（1）原式1552612(0)a a a ⎛⎫===> ⎪⎝⎭; （2）原式3513935511(0)x x xx -=====>⎛⎫ ⎪⎝⎭;（3）原式＝21321221434339(0)b bb b -⎛⎫-⨯⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==> ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【例2-2】正确的是（ ）A 、43aB 、34aC 、112a D 、14a -【答案】B题型三 分数指数幂的运算与化简【例3-1】()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A 、232b -B 、232b C 、23b D 、23b -【答案】D【例3-2】计算下列各式的值:（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（2）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭;（3）2132723224a a a b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、第四章 指数函数与对数函数- 16 -【答案】（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132329221433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222232211=2332⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦;（2）原式()3243243223164111244282122---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎦+⎥-⎝⎭⎢⎣;（3）原式()436461373713473437444444b b b b b b a b a b a a a a a a -⎛⎫=⨯-⨯=⨯-⨯=-=- ⎪⎝⎭.1、已知0a >,1132aaa）A 、712a B 、512aC 、56a D 、13a【答案】B2、化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果（ ）A 、6aB 、a -C 、9a -D 、29a【答案】C3、计算211511336622(4)(3)(6)a b a b a b -÷-=（ ）A 、2aB 、2abC 、2a -D 、2ab -【答案】A)34154mmmm m= ;【答案】11111151432402346415154641m mm m m mm mm++--+⋅⋅⋅====⋅;5、计算下列各式的值:第四章 指数函数与对数函数- 18 -（1）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（24=,求值:①1a a -+;②1122a a -+. 【答案】（1）原式237231434π=⨯+-⨯+-10817399ππ=+-+-=+; （24=,所以1216a a +-=,即118a a +=,所以1a a -+=118a a+=, ②由①知118a a+=,因为0a >,所以11220a a -+>, 所以1122a a -+====.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1学案：2.1.1.1 指数与指数幂的运算 Word版含答案
第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(第一课时)学习目标①理解n次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值;③了解分类讨论思想在解题中的应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题: 当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?由以上的实例来推断生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式应该是什么?考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14含量P的值.那么这些数(,(,(的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.二、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.三、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是;(2)27的立方根是;(3)-32的5次方根是;(4)16的4次方根是;(5)a6的立方根是;(6)0的7次方根是.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号表示.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成(a>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作=0;③当a≥0时,≥0,所以类似=±2的写法是错误的.另外,我们规定:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.问题9:利用上面所学n次方根的知识,能否求出下列各式的值?(1)()2;(2);(3);(4)(a>0).问题10:上面的计算涉及了哪几类问题?组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论:(1)()n=a.例如,()3=27,()5=-32.(2)当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=例如,=-2,=2;=3,=|-3|=3.四、运用规律,解决问题【例1】求下列各式的值:(1)()3;(2);(3);(4)(a>b).【例2】化简下列各式:(1);(2);(3);(4);(5).五、变式演练,深化提高1.若x∈R,y∈R,下列各式中正确的是()A.=x+yB.=x-yC.=2xD.=02.成立的条件是()A.≥0B.x≠1C.x<1D.x≥23.在①;②;③;④(各式中n∈N,a∈R)中,有意义的是()A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8<x<10时,=.六、反思小结,观点提炼1.若x n=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根.当n是奇数时,实数a的n次方根用符号表示;当n是偶数时,正数a的n次方根用符号表示,负数的偶次方根无意义.式子叫做,其中n叫做,a叫做被.2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个;负数的奇次方根是一个.正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0的任何次方根都是0.3.(1)()n=.(2)当n为奇数时,=;当n为偶数时,=|a|=七、作业精选,巩固提高1.复习课本P48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P59习题2.1A组第1题.参考答案一、设计问题,创设情境,()2,()3,….(,(,(.P=(.二、学生探索,尝试解决问题1:若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.三、信息交流,揭示规律(1)±5;(2)3;(3)-2;(4)±2;(5)a2;(6)0.问题5:1.以上各数的对应方根都是整数;2.第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;3.第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:(1);(2),-,±.问题9:(1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:主要涉及了()n与的问题.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)()3=-8;(2)=|-10|=10;(3)=|3-π|=π-3;(4)=|a-b|=a-b.【例2】解:(1);(2);(3)=-=-;(4)=x2;(5).五、变式演练,深化提高1.D2.D3.B4.2x-18六、反思小结,观点提炼1.±根式根指数被开方数2.正数负数3.(1)a(2)a a-a。
【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)
《指数与指数幂的运算》从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。
进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
【知识与能力目标】1、掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2、了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3、理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质。
【过程与方法目标】具体习题，灵活运用根式运算。
由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性质。
【情感态度价值观目标】1、通过学习n次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。
2、通过分数指数幂的学习，让学生体会严谨的求学态度。
【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化。
【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算。
通过本节导学案的使用，引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。
(一)创设情景，揭示课题1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。
2、由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。
那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3、初中根式的概念思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义。
人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教案
2．1指数函数（新课辅导教案）2.1.1 指数与指数幂的运算第一课时 根式一、问题提出1．据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?2．对10073.1的意义如何？怎样运算？思考1:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考2:如果4x ＝a ，5x ＝a ，6x ＝a ，参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？ 定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且N n ∈. 二、根式的概念思考1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程 3x =a ，5x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程 4x =a ，6x =a 分别有解吗？有几个解？ 思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？ 思考6:我们把式子)1,(>∈n N n a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n次方根用根式怎么分类表示？当n 是奇数时，a 的n 次方根为n a .当n 是偶数时,若0>a ，则a 的n 次方根为n a ±；若0=a ，则a 的n 次方根为0； 若0<a ，则a 的n 次方根不存在. 三、根式的性质思考1: 445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2: 44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地n n a 等于什么？思考3: 对任意实数a ，b ，等式nn n ab b a =⋅成立吗 ？四、理论迁移例1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .例2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-第二课时 分数指数幂和无理数指数幂一、问题提出1.整数指数幂有哪些运算性质？2.325,25有意义吗？二、分数指数幂的意义 思考1:我们规定：nm n ma a =)1,,0(>∈>n N n m a 且，那么328表示一个什么数？522143、分别表示什么根式？思考2:你认为如何规定nm a-)1,,0(>∈>n N n m a 且的含义？思考3:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考4:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当0<a 时，)1,(*>∈n N n m a nm 、何时无意义？三、有理数指数幂的运算性质四、无理数指数幂的意义思考5:有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？ 五、理论迁移例1 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.例2 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a六、小结:1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.2.1.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数的概念与图象一、问题提出1.对任意实数x ，x 3的值存在吗？x)3(-的值存在吗？x 1的值存在吗？ 2. )(3R x y x∈=是函数吗？若是，这是什么类型的函数？二、指数函数的概念思考1:我们把形如xa y =的函数叫做指数函数，其中x 是自变量.为了便于研究，底数a 的取值范围应如何规定为宜？ 答：1,0≠>a a三、指数函数的图象思考2:一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何?四、理论迁移例1 判断下列函数是否为指数函数？(1) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .例2 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .第二课时 指数函数的性质（接上）思考3:若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？例4 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.例6 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.例7 设nma 8.09.0⋅=,mnb 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.第三课时 指数函数及其性质的应用（接上）例8 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.例9 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.例10 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.例11 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.例12 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.结论:设)(u f y =,)(x g u =，则（1）当)(u f 和)(x g 的单调性相同时，)]([x g f 为增函数；（2）当)(u f 和)(x g 的单调性相反时，)]([x g f 为减函数；综合应用例1 已知函数aaaxfxx+=)( (1>a为常数).(1)确定)(xf的单调性；(2)求)109()103()102()101(ffff++++ 的值.例 2 已知函数axfx+-=121)(，试推断是否存在常数a，使)(xf为奇函数? 若存在，求a的值；若不存在，说明理由.例3 已知函数8234)(1+⋅-=+xxxf，求满足0)(<xf的x的取值范围.例4 已知当1>x时，不等式12>-xxa,)1,0(≠>aa恒成立，求a的取值范围.2．1 指数函数（复习辅导教案）指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质知识框架知识点1、定义1：一般地，如果ax n=，那么x叫a的n次方根，其中1>n且Nn∈.定义2：我们把式子)1,(>∈nNnan叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.当n是奇数时，a的n次方根为n a.当n是偶数时,若0>a，则a的n次方根为n a±；若0=a，则a的n次方根为0；若0<a，则a的n次方根不存在.2、我们规定：nmn m aa=)1,,0(>∈>nNnma且.如何规定nma-)1,,0(>∈>nNnma且的含义？答: .怎样理解零的分数指数幂的意义？答: .当0<a时，)1,(*>∈nNnma nm、何时无意义？答:3、有理数指数幂的运算性质4、无理数指数幂的意义5、定义：我们把形如xay=的函数叫做指数函数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的取值范围应如何规定为宜？答：1,0≠>aa且6、指数函数的图象和性质7、设)(ufy=,)(xgu=，则（1）当)(uf和)(xg的单调性相同时，)]([xgf为增函数；（2）当)(uf和)(xg的单调性相反时，)]([xgf为减函数；指数函数指数与指数幂的运算根式分数指数幂无理指数幂指数幂的运算法则概念图象性质1 求下列各式的值(1)364-；(2)4)2(-；(3)33)8(-；(4)2)10(-；(5) 44)3(π-；(6)88)1(-a .2 化简下列各式(1)49625--; (2) 3322)1()1()1(a a a -+-+-3 求下列各式的值:(1)3227;(2) 2125-;(3)5)21(-;(4)43)8116(-.4 化简下列各式的值(1))0,()3()6)(2(656131212132>-÷-b a b a b a b a (2))0,()(88341>-n m n m(3)4325)12525(÷- (4))0(322>⋅a aa a5 判断下列函数是否为指数函数？(2) 3x y =;(2) x a y )1(2+=;(3) 12+=x y ;(4) xy -=5;(5) 23x y =;(6)14+=xy .6 已知函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象过点)3(π，，求)3(),1(),0(-f f f 的值.7 求下列函数的定义域: (1) 15-=x y ; (2)412-=x y .8 若10<<<a b ，则函数xa y =与xb y =的图象的相对位置关系如何？9 比较下列各题中两个值的大小 (1)5.27.1与37.1； (2) 1.08.0-与2.08.0-； (3) 3.07.1与1.39.0.10 若指数函数xa y )12(-=是减函数，求实数a 的取值范围.11 确定函数xx f -=2)(的单调区间和值域.12 设n m a 8.09.0⋅=,mn b 8.09.0⋅=,其中n m ,为实数，试比较a 与b 的大小.13 求函数x x f 21)(-=的定义域和值域.14 已知函数x x x f 22)(2-=+的值域是)12(∞+，，求)(x f 的定义域.15 已知关于x 的方程12=--m x 有实根，求实数m 的取值范围.16 已知函数1212)(+-=x x x f(1)确定)(x f 的奇偶性； (2)判断)(x f 的单调性； (3)求)(x f 的值域.17 求函数xx y -=2)31(的单调区间，并指出其单调性.18 已知函数aa a x f xx +=)( (1>a 为常数).(2) 确定)(x f 的单调性；(2)求)109()103()102()101(f f f f ++++ 的值.19 已知函数a x f x+-=121)(，试推断是否存在常数a ，使)(x f 为奇函数? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.20 已知函数8234)(1+⋅-=+x xx f ，求满足0)(<x f 的x 的取值范围.21 已知当1>x 时，不等式12>-x x a ,)1,0(≠>a a 恒成立，求a 的取值范围.。
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算自主学习1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性．2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果______________________，那么x 叫做a 的n 次方根．2．式子n a 叫做________，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．3．(1)n ∈N *时，(n a )n ＝________.(2)n 为正奇数时，n a n ＝________；n 为正偶数时，n a n ＝________.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝__________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝______(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________．5．有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )；(2)(a r )s ＝________(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝________(a >0，b >0，r ∈Q )．对点讲练根式与分数指数幂的互化【例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0)的化简结果：(1)a 3·3a 2； (2)a a ； (3)3a 32·a －3·(a －5)－12(a －12)13.规律方法 此类问题应熟练应用a m n＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 变式迁移1 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)13x (5x 2)2； (2)(4b －23)－23 (b >0)．利用幂的运算性质化简、求值【例2】 计算(或化简)下列各式： (1)42＋1·23－22·8－23； (2)(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (3)a －b a 12＋b 12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b 12(a >0，b >0)．规律方法 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a ＝(a 12)2 (a >0)，a ＝(a 13)3以及a b －a －b ＝(a b 2＋a －b 2)·(a b 2－a －b 2)等变形． 变式迁移2 求值：1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫－2323.灵活应用——整体代入法【例3】 已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值．规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x 、y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．变式迁移3 已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x ＋x －1＋3的值．1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键．2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0.(想一想，为什么？)课时作业一、选择题1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x ≠0)B ．x －13＝－3x (x ≠0) C ．(x y )－34＝ 4(y x )3(xy >0) D.6y 2＝y 13(y <0) 2．计算(2n ＋1)2×(12)2n ＋14n ×8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．(12)2n －7 3．(34a 6)2·(43a 6)2等于( )A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 44．把根式－25(a －b )－2改写成分数指数幂的形式为( )A ．－2(a －b )－25B ．－2(a －b )－52C ．－2(a －25－b －25)D ．－2(a －52－b －52) 5．化简(a 43b 12)÷⎝⎛⎭⎫－13a 16b 142的结果是( ) A ．6a B ．－aC ．－9aD ．9a二、填空题6．计算：64－23的值是________． 7．化简－x 3x 的结果是________．8．设5x ＝4,5y ＝2，则52x －y ＝________.三、解答题9．化简求值： (1)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3； (2)3a72a －3÷3a －83a 15÷3a －3a －1； (3)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋25634－3－1＋(2－1)0.10．(1)若2x ＋2－x ＝3，求8x ＋8－x 的值； (2)已知a ＝－827，b ＝1771，求a 23＋33ab ＋9b 23a 43－27a 13b ÷a 133a －33b 的值．第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算答案自学导引1．x n ＝a (n >1，且n ∈N *)2．根式3．(1)a (2)a |a |4．(1)n a m (2)1a m n(3)0 没有意义 5．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r对点讲练【例1】 解 (1)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113. (2)a a ＝(a ·a 12)12＝(a 32)12＝a 34. (3)原式＝(a 32·a －32)13·[(a －5)－12·(a －12)13]12 ＝(a 0)13·(a 52·a －132)12＝(a －4)12＝a －2. 变式迁移1 解 (1)原式＝13x ·(x 25)2＝13x ·x 45＝13x 95 ＝1(x 95)13＝1x 35＝x －35. (2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×⎝⎛⎭⎫－23＝b 19. 【例2】 解 (1)原式＝(22)2＋1·23－22·(23)－23＝222＋2·23－22·2－2＝222＋2＋3－22－2＝23＝8.(2)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (3)原式＝(a 12＋b 12)(a 12－b 12)a 12＋b 12－(a 12－b 12)2a 12－b 12＝a 12－b 12－(a 12－b 12)＝0. 变式迁移2 解 原式＝1⎝⎛⎭⎫3213×1＋234×214＋22×33－⎝⎛⎭⎫2323×12 ＝⎝⎛⎭⎫2313＋2＋108－⎝⎛⎭⎫2313＝110. 【例3】 解 x 12－y 12x 12＋y 12＝(x 12－y 12)2(x 12＋y 12)(x 12－y 12) ＝(x ＋y )－2(xy )12x －y. ① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9， ②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy＝122－4×9＝108.∵x <y ，∴x －y ＝－6 3. ③将②、③式代入式①得x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33. 变式迁移3 解 ∵x 12＋x －12＝3， ∴(x 12＋x －12)2＝9，即x ＋x －1＋2＝9， ∴x ＋x －1＝7，x ＋x －1＋3＝10.∵x 32＋x －32＝(x 12)3＋(x －12)3＝(x 12＋x －12)(x －x 12·x －12＋x －1) ＝3×(7－1)＝18，∴x 32＋x －32＋2＝20， ∴x 32＋x －32＋2x ＋x －1＋3＝2010＝2. 课时作业1．C 2.D 3.B 4.A 5.D6.116解析 64－23＝(26)－23＝2－4＝116. 7．－－x解析 由题意知x <0， ∴－x 3x ＝－－x 3x 2＝－－x . 8．8解析 52x －y ＝(5x )2·(5y )－1＝42·2－1＝8.9．解 (1)由题意知，a >1，∴原式＝a －1＋(a －1)＋1－a ＝a －1.(2)原式＝3a 72a －32÷a －83a 153÷3a －32a －12 ＝3a 2÷a 73÷3a －2 ＝a 23÷(a 73)12÷(a －2)13＝a 23÷a 76÷a －23＝a 23－76－(－23)＝a 16. (3)原式＝(0.33)－13－(－7－1)－2＋(44)34－13＋1 ＝103－49＋64－13＋1＝19. 10．解 (1)∵8x ＋8－x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝3[(2x ＋2－x )2－3·2x ·2－x ]＝3×(32－3)＝18.(2)∵a ≠0，a －27b ≠0∴原式＝a 23＋3a 13b 13＋(3b 13)2a 13(a －27b )×a 13－3b 13a 13＝(a 13)3－(3b 13)3a 23(a －27b )＝a －23 ＝(－827)－23＝(－23)－2＝(－32)2＝94.。