11.振动 大学物理习题答案

2 2 ， ， x 0.12 cos( t ) 3 T 2 3 dx dv （ 2） v 0.12 sin( t ) ， a 0.12 2 cos( t ) dt 3 dt 3
t 0.5 s ， x 0.1039 m ， v 0.1885 m/s ， a 1.03 m/s 2
11-8 有两个同方向同频率的简谐运动，其合成振动的振幅为 0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差 为π/6，第一个振动的振幅为 0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
2 解： A2 A12 A 2 2 A1 A cos
0.173 2 0.2 2 2 0.173 0.2 cos 30 0.01 ， A2 0.1 m 6
1
大学物理练习册—振动
mg sin mat mR
d2 d2 g ， ， 0 sin dt2 dt2 R
t 0 ， 0 ，且向右运动
O
R
设运动方程为 m cos( t ) ，
2 0 (v / R ) 2 v 2 。 m 0 2 0 0 0 2 g/R gR
2 A 2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
cos( 2 1 )
2 A 2 ( A12 A2 ) 0.2 2 (0.173 2 0.12 ) 0 ， 2 1 。 2 2 A1 A2 2 0.173 0.1
（ 3） t
/ 3 / 2 5 / 6 5 s 6
11-3 如图 11-3 所示，水平轻质弹簧一端固定，另一端所系轻绳绕过一滑轮垂挂一质量为 m 的物体。若弹 簧劲度系数为 k，滑轮半径为 R，转动量为 J。 （1）证明物体作简谐振动； （2）求振动周期； （3）设 t ＝0 时弹簧无伸缩，物体由静止下落，写出物体的运动方程。 解： （1）取系统的静平衡位置为坐标原点，向下为正。 弹簧的初始变形量 x 0
A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
大学物理练习册—振动
0.05 2 0.06 2 2 0.05 0.06 cos(
0.05 sin
3 ) 0.078 m 4 4
3 0.06 sin A sin 1 A2 sin 2 4 4 11.00 ， 84.8 1.48 rad tan 1 3 A1 cos 1 A2 cos 2 0.05 cos 0.06 cos 4 4 3 （2） 3 1 2k ， 3 2k ， k 0,1,2 ； 4 5 3 2 (2k 1) ， 3 2k ， k 0,1,2 。 4
11-9 图 11-9 表示两个同方向、同频率的简谐振动曲线，其频率为 ，分别求出（a）和（b）情形时： （1） 合振动振幅； （2）合振动的振动方程。 x x A2 A2 x2(t) A1 x1(t) A1 O x2(t) （ a） 图 11-9 解：(a) 2 1 ， A | A2 A1 | ， x | A2 A1 | cos( t (b) 2 1 O t x1(t) （ b） t
A 0.2 1 2 1 1 1 0.14 m kx E kA 2 ， x 2 A 2 ， x 2 2 4 2 2 2
k m 2.0 2 1/ s 。 t 0.5
（ 2）
1
3 5 7 ，t1 0.39 s ； 2 ，t 2 1.18 s ； 3 ，t 3 1.96 s ； 4 ，t 4 2.75 s ； 4 4 4 4
由上述方程可解得：
（ 2）
k 2 m J / R2 ， T 2 k m J / R2 mg k mg ， 。 x cos( t ) k k m J / R2
（ 3） t 0 ， v 0 0 ， A x 0
11-4 一质量为 m 的小球在一个光滑的半径为 R 的球形碗底作微小振动， 如图 11-4 所示。 设 t＝0 时， ＝0， 小球的速度为 v0，并向右运动。求在振幅很小的情况下，小球的运动方程。 解：在切向应用牛顿定律
（2）在平衡位置 E E k 11-7 两个同方向的简谐振动，其运动方程分别为
3 1 x1 0.05 cos(10t ) ， x 2 0.06 cos(10t ) 4 4
（1）求它们合成振动的振幅和初相位； （ 2） 若另有一振动 x3 0.07 cos(10t 3 ) ， 则3 为多少时， x1+x3 的振幅最大？又3 为多少时， x2+x3 的振幅最小？ 解： （ 1） A
) ( A2 A1 ) 2
A A 2 2 2 ， A A1 A2 ， tan 1 1 ， x A12 A2 cos( t tan 1 1 ) A2 A2 2
11-10 质量为 0.4kg 的质点同时参与相互垂直的两个谐振动：
x1 0.08 cos( t ) ， x 2 0.06 cos( t ) 3 6 3 3
mg 。 k
m 图 11-3
分别取重物、滑轮和弹簧为研究对象，则有
mg T1 m
d2 x d2 x / dt 2 ， ( T T ) R J , ， T2 k ( x x 0 ) 1 2 R dt2 d2 x k x 0 所以物体作简谐振动。 2 dt m J / R2
－ －
11-6 质量为 0.01kg 的物体，以振幅 1.010 2m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m·s 2。求： （1）振动的周 期； （2）物体通过平衡位置时的总能量和动能； （3）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能和势能 各占总能量的多少？ 解： （1） a m A ，
图 11-4

v0 gR
coHale Waihona Puke Baidu(
g t ) R 2
11-5 一弹簧振子作简谐振动， 振幅 A＝0.20m， 如果弹簧的劲度系数 k＝2.0N/m， 所系的物体质量 m＝0.50kg， 求： （1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（2）设 t＝0 时，物体在正最大位移处，则在一 个周期内达到动能和势能相等处所需的时间是多少？ 解： （ 1） E P
将 A1 0.08 ， A2 0.06 ， 1
， 2 代入上式，则 6 3
x2 y2 1 正椭圆 0.08 2 0.06 2
（2） Fx ma x mA1 2 cos( t
) m 2 x ， F y m 2 y 6
2 F Fx i Fy j m 2 ( xi yj ) m 2 r 0.4 2 r 0.44r 3
4
2
am 4.0 2 2 20 1 /s ， T 0.314 s 2 A 20 1 10
1 1 1 2 mv m m( A ) 2 0.01 (1.0 10 2 20) 2 2.0 10 4 J 2 2 2 1 2 1 A 2 1 1 2 1 3 （3） E P kx k ( ) kA E ， E k E 2 2 2 4 2 4 4
求： （1）质点的轨迹方程； （2）质点在任一位置所受的力。 解： （1）设 x A1 cos( t 1 ) ， y A2 cos( t 2 ) ，消去 t 得
3
大学物理练习册—振动
x2 y2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A A A1 A2 1 2
大学物理练习册—振动
11-1 一物体作简谐运动的曲线如图 11-1 所示，试求其运动方程。 解：设振动方程为 x A cos( t ) ， A 4 10 由旋转矢量法知 ，
2
x /cm 4 O
2 2
m
3 4
/4 ， 0.5 2
0.5
t /s
3 x 4 10 2 cos( t ) 2 4
图 11-1
11-2 一质量为 0.02kg 的弹簧振子沿 x 轴作谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s。当 t＝0 时，振子位于 0.06m 处，并向 x 轴正方向运动，试求： （1）试用旋转矢量法确定初位相并写出运动方程； （2）t＝0.5s 时的位置， 速度和加速度； （3）从 x＝－0.06m 处向 x 轴负方向运动再回到平衡位置所需时间。 解： （1）由旋转矢量法知