(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(34)第五章数列第二讲等差数列及其前n项和(含解析)

[练案34]第二讲 等差数列及其前n 项和

A 组基础巩固

一、单选题

1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16

D ．18

[解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－2

3－2＝2.

所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D.

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 2 018＝1，则S 2 020＝( C ) A ．2

2 020

B ．2 021

C ．1 010

D ．2

1 010

[解析] 因为{a n }为等差数列，a 3＋a 2 018＝1，所以a 1＋a 2 020＝a 3＋a 2 018＝1，所以S 2 020＝

a 1＋a 2 020×2 020

2

＝1 010，故选C.

3．已知数列{a n }为等差数列，a 2＋a 3＝1，以a 10＋a 11＝9，则a 5＋a 6＝( A ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 3＝1，a 10＋a 11＝9，所以2a 1＋3d ＝1,2a 1

＋19d ＝9，解得a 1＝－14，d ＝12，所以a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝－2×14＋9×1

2

＝4.

另解：a 10＋a 11－(a 2＋a 3)＝16d ＝8⇒d ＝1

2，所以a 5＋a 6＝a 2＋a 3＋6d ＝1＋3＝4.故选A.

4．(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( B )

A ．1升

B ．67

66升 C ．47

44

升 D ．3733

升 [解析] 设该等差数列为{a n }，公差为d ，

由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，

a 7＋a 8＋a 9＝4，

即⎩⎪⎨⎪⎧

4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝1322，d ＝7

66.

∴a 5＝1322＋4×766＝67

66

.故选B.

5．一个等差数列的首项为1

25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取

值范围是( D )

A ．d >8

75

B ．d <325

C.

875

25

D ．875

[解析] 由题意可得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 10>1，

a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧

1

25＋9d >1，125＋8d ≤1，

解得875

25

.故选D.

6．(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{a n }的公差为d ，且a 8＋a 9＋a 20＝24，则a 1d 的最大值为( C )

A ．12

B ．14

C ．2

D ．4

[解析] 解法一：因为a 8＋a 9＋a 10＝24，所以a 1＋7d ＋(a 1＋8d )＋(a 1＋9d )＝24，所以a 1

＝8－8d ，所以a 1d ＝(8－8d )d ＝8(d －d 2

)＝－8(d －12)2＋2，所以当d ＝12时，a 1d 取得最大值，

最大值为2.故选C.

解法二：因为a 8＋a 9＋a 10＝24，所以3a 9＝24，所以a 1＋8d ＝8，所以a 1＝8(1－d )，所以

a 1d ＝8(1－d )d ＝8(d －d 2)＝－8(d －1

2)2＋2，所以当d ＝12

时，a 1d 取得最大值，最大值为2.故

选C.

二、多选题

7．等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是( AD ) A ．d >0 B ．a 1>0

C ．当n ＝5时S n 最小

D ．S n >0时，n 最小值为8

[解析] ∵a 7＝3a 5，∴a 1＋6d ＝3a 1＋12d ， ∴a 1＝－3d ，由已知得d >0， ∴a 1<0，故A 正确，B 不正确．

S n ＝d 2

n 2＋(a 1－d 2

)n ＝d 2

n 2－72

dn ＝d

2

(n 2－7n )，

当n ＝3或4时，S n 最小，故C 不正确．

S n >0解得n >7或n <0，因此S n >0时n 最小

为8，故D 正确，选A 、D.

8．(2020·皖中名校联考改编)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3

＝S 6，给出以下结论正确的是( ACD )

A ．a 10＝0

B ．S 10最小

C ．S 7＝S 12

D ．S 19＝0

[解析] ∵2a 1＋3a 3＝S 6，∴2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ， ∴a 1＝－9d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ， ∴a 10＝0，故A 正确； ∵S n ＝na 1＋

n n －1d

2

＝－9nd ＋

n n －1d 2

＝d

2

(n 2

－19n )， ∴S 9＝S 10，S 7＝S 12，S 19＝0，故B 错误，C 、D 正确，选A 、C 、D. 三、填空题

9．已知数列{a n }中，a 1＝1且1

a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *

)，则a 10＝ 14 . [解析] 由已知得

1

a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝1

4

. 10．中位数为1 011的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为__3__. [解析] 设首项为a 1，则a 1＋2 019＝2×1 011，解得a 1＝3.故填3. 11．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝__3__. [解析] 因为S 17＝

a 1＋a 17

2

×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7

＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.

12．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *

)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9

＝27，则S 8的值是__16__.

[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 2

1

＋4d 2

＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.