附录l 张量记法
合集下载
附录l 张量记法
3．求导数的简记方法 微分算符简记为
∂Φ ∂Φ ∂Φ = Φ '1 ; = Φ '2 ; = Φ '3 ∂x ∂y ∂z
Kronecker符号 4. Kronecker符号
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = σ1 j ' j ∂x ∂y ∂z
矢量的点积： 矢量的点积 ： 一个矢量和另一个矢量的点积可以决 定一个标量， 定一个标量，也可以用指标符号标记 记基矢的点积为 δ11 δ12 δ13 1 0 0 e i ·e j = δij δij = δ21 δ22 δ23 = 0 1 0 其中
∂( ) = ( ) ,i ∂xi
梯度可记为
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∇ ϕ = e1 + e2 + e3 = ϕ ,i e i ∂ x1 ∂x 2 ∂ x3
则散度可记为
∂v1 ∂v2 ∂v3 ∇•v = + + = vi ,i ∂x1 ∂x2 ∂x3
张量的定义： 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分 量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换 有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。 设新坐标系的新坐标轴 的基矢 e1‘ 、 e2’ 、e3‘对原 基矢e1、e2和e3的变换矩阵 为[lij]= l，矢量为一阶张量， 矢量分量的坐标变换公式为 [vi’] = l [vi] 用指标符号记为
∑a bc
i =1
i i i
≠ ai bi ci
(2)哑标的有效范围仅限于本项。 (2)哑标的有效范围仅限于本项。 哑标的有效范围仅限于本项 (3)多重求和可采用不同的哑标表示 多重求和可采用不同的哑标表示。 (3)多重求和可采用不同的哑标表示。 a ij xi x j (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把 哑标可以局部地成对替换 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字， 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会 影响它的含义。 影响它的含义。
力学中的数学方法-张量-2
2. Kronecker 符号一、Kronecker 符号定义为：⎩⎨⎧≠==ji ,0j i ,1j i δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001333231232221131211δδδδδδδδδ其中i ，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：j i δδij δ 的性质二、若ji j i δ=⋅e e 321,,e e e 是相互垂直的单位矢量，则3332211i i =⋅+⋅+⋅=⋅e e e e e e e e 3332211i i =++=δδδδii i i δ=⋅e e 例题1：三、例题注意：3i i =δi i δ是一个数值，即例题2：ki A A →kk k k i i k A A A ==δδ思路：把要被替换的指标i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k 表示i j ii δδ与不同ji δ的作用：1）换指标；2）选择求和。
例题3：ji j k T T →特别地，j i j k k i δδδ=mi m j j k k i ,δδδδ=ji j i i i j k k i T T T ==δδ四、符号的应用ijδ3. 置换符号(Permutatisn Symbol)1312231123===e e e 1132213321−===e e e 0232121111==== e e e 13⎪⎩⎪⎨⎧−=,0,1,1kj i e i, j, k, 为1，2，3的偶置换（123，231，312）i, j, k, 为1，2，3的奇置换（213，132，321）i, j, k, 的任意两个指标相同13易知：ij k j k i k i j j i k i k j k j i e e e e e e −=−=−===二、k j i e 符号的应用1）.三阶行列式321,,e e e 若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量k ?e 2）、右手卡氏直角坐标系的单位基矢量叉乘3）i jk ke =e i j ×=ee例题： 证明a × b = ε ijk ai b j e ke1 a × b = a1 b1e2 a2 b2e3 a3 b3= a2b3e1 − a3b2 e1 + a3b1e2 − a1b3e2 + a1b2 e3 − a2b1e3= ε 231a2b3e1 + ε 321a3b2 e1 + ε 312 a3b1e2 + ε132 a1b3e2 +ε123 a1b2 e3 + ε 213 a2b1e3= ε ijk ai b j ek11三、 常见的恒等式δi l ei j k el m n = δ j l δk lδi1 δi 2 δi 3 δ j3 δk 3δi m δ jm δk mδi n δ jn δk n1) 证明ei j k = ( ei × e j )iek = δ j1 δ j 2 δk 1 δk 2el mn = ( el × em )ien = δm1 δm 2 δn1 δn 2 δl1 δl 2δl 3δl1δm1 δm 2 δm3δn1 δn 2 δn 312δm3 = δl 2 δl 3 δn 32) 证明ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lδil δi m δjm δk m δi k δjk δkkei j k el mk = δ jl δk l= δk l = δi mδi m δjm δil δ jlδi k δjk −− δk m δilδil δ jl +3δi k δ jk δil δ jl+3δil δ jl =δim δ jm δil δ jl δim δ jm13δim δ jmδim δ jmδjmδ jl由ei j k el m k = δi l δ j m − δi m δ j lei j k el j k = 2δil3)4)ei j k ei j k =6144. 纳布拉算子∂ ei = ( ▽= ∂xi),i ei = ∂ ,i ()ei15§1.3 张量的代数运算 数乘 加法 点积 缩并 叉积 点叉积 张量积 转置 求逆 对称与反对称161. 张量的记法 绝对记法（一个字母）：T、A 分量记法： 矩阵表示：T = Tijkl ......eie je k ...⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ T = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⎢ ⎣T31 T32 T33 ⎥ ⎦172. 张量的特征定义在坐标变换时，满足如下变换关系的量为张量T = α T ⎧ ' ' ' ' ' α ' α ' ijkl ii j j k k ⎪ i jkl ⎨ Tijkl = α ii ' α jj ' α kk ' α ll ' Ti ' j 'k 'l ' ⎪ ⎩例：由第一节 应力张量e i′ = Li′je jT = Ti' j ' ei' e j ' = Ti' j ' Li' j e j L j 'k e k = T jk e j e kT jk = Li' j L j 'k Ti' j '因此， T 为二阶张量。
张量运算
例三
【形式变换】 (f × ∇ ) × g , (f × ∇ ) · g , (f × ∇ ) ϕ × ∇) × g = ∇ (fc · g ) − fc (∇ × g ) (f × ∇ ) · g = f · (∇ × g ) (f × ∇ ) ϕ = f × ∇ ϕ
第四例应该是第一例
★多个矢量的运算：可按三个矢量的运算法则展开
§ 1.2
三矢量的混合积
平行六面体的体积； 行列式性质：交换一次变 符号
a · (b × c) =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
= b · (c × a) = c · (a × b)
= −a · (c × b) = −b · (a × c) = −c · (b × a) ⇐⇒ 【推论】a, b, c共面 a · (a × c) = 0 ⇐⇒ a · (b × c) = 0 a, a, c一定共面
例一
【求解】 ∇ (f · g ) 【解】 ∇ (f · g ) = ∇ (f · gc ) + ∇ (fc · g ) → (gc · ∇) f + (f × ∇) × gc + (∇ · fc ) g + (g × ∇) × fc = (gc · ∇) f + gc × (∇ × f ) + (fc · ∇) g + fc × (∇ × g ) = ( g · ∇ ) f + ( f · ∇ ) g + g × ( ∇ × f ) + f × (∇ × g ) ∇ × (f × g ) = ∇ × (f × gc ) + ∇ × (fc × g ) → (∇ · gc ) f − (∇ · f ) gc + (∇ · g ) fc − (∇ · fc ) g = (gc · ∇) f − gc (∇ · f ) + fc (∇ · g ) − (fc · ∇) g = ( g · ∇ ) f − ( f · ∇ ) g + f (∇ · g ) − g ( ∇ · f ) , ∇ × (f × g ) , ∇ · (f × g )
fluid1-11张量-qjn
下标写法
a j b k div (a b) ( ijka jb k ) ijk b k ijka j x i x i x i a j b k ijk b k jik a j b ( a ) a ( b) x i x i
张量表示法
a ijpi q j
i 1
3
j1
3
a ijpi q j 二重求和
哑标：在同一项中出现两次，并包含着求和约定 含义的字母下标。 哑标可以同时换字母。
x1 ' 11x1 12 x 2 13x 3 1m x m
x i ' i1x1 i 2 x 2 i3x 3 imx m
7) 一些基本运算式的下标写法
grad x i
a i a1 a 2 a 3 a diva x i x1 x 2 x 3
a k rota a ijk x j
bi (a ) b a j x j
a k rota a ijk ei x j
张量初步
a k rota a ijk x j (A B) C ijkA jBk Ci
-恒等式
5) -恒等式
ijk ist js kt jt ks
矢量-张量
引进坐标系来描述矢量后，在不同的坐标系中， 矢量的三个分量显然不一样，但在任一坐标系中， 计算出来的矢量的长度和方向是一样的，因此， 不同坐标系下矢量的分量（组）之间有确定的变 换规律。 也即已知矢量在一个坐标系中的三个分量，根据 矢量的不变性，可以求出该矢量在其它坐标系中 的分量值。 由此可以用矢量分量在不同坐标系间的确定的转换 规律来给出矢量的另一种定义
第二章-张量基础
5
例 2. 张量。
ai 和 bi 是两个任意矢量， ij ai b j 是标量。证明 ij 是一个二阶
证：由于 是一个标量，即坐标变换时的不变量，故
ij ai b j ij (ii ai )( jj b j ) ii jjij aib j ij aib j
为一个二阶张量。事实上
(2.21)
Cij Aij Bij ii jj Aij ii jj Bij
ii jj ( Aij Bij ) ii jj Cij
式(2.21)也可以写成 C Cij ei e j A B ( Aij Bij )ei e j 。 张量的线性组合满足加法交换律 A B B A 、结合律
T21e2 e1 T22e 2 e 2 T23e2 e3
T31e3 e1 T32e3 e 2 T33e3 e3
二阶的基张量有 9 个。需要指出的是，若 i j ，则 ei
e j e j ei 。
3
张量的第二种定义 在某一坐标系中，某一个量 T 可表示成 T Ti1i2 in ei1 ei2 ein 的形式， 则就称 T 是一个 n 阶张量。 可以证明，该定义和（2.19）式的定义是等价的：
(c)
Cij ii jj Cij ii jj Aijkl Bkl ii jj k k l l Aijkl Bk l
(b)-(c)得: ( Aijk l ii jj k k l l Aijkl ) Bk l 0 由于 Bk l 是任意的，从上式可得: Aij k l 上式表明， Aijkl 为一个四阶张量。
T Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in i1i1 ei1 i2 i2 ei2 in in ein i1i1 i2 i2 in in Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in ei1 ei2 ein
张量定义
或
L Lkek e
L
张量的转置记为
L LT Lkl Lml ek em
LT Lmnen em
Lkl ek el
第一式两边乘以 第二式两边乘以 于是 即
Llk el ek
el
ek Lkl el
ek ,有
el Lkl ek
坐标变换
2 2 2 i j 2 0
2 2 2 2 0
0 0 1
x1 , x2 , x3 x1 x2 x3
x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3
xi ij x j
e3
e3
e2
x2
ei iiei
（对 i 求和，为自由指标） i
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
ij 张量的性质:
1) ij 张量不是对称张量
因为 kl
ek el ，而k el ek ，所以 kl lk
ij
张量是正交张量
在坐标变换时其值保持不变，即满足
( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
矢量（Vector）
满足以下变换 关系的三个量 {ai } 定义一个矢量
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
22
32
23
e3
31
33
图解（二维）：
在解析式中记：
e1 1'1e1 1'2e2 1' je j ,
张量表达式
张量表达式张量（Tensor）是现代数学与物理学中一个重要的概念，它通常被定义为多个向量或矩阵在多个方向上的组合。
张量在数学和物理学中的应用非常广泛，例如刻画物质的物理性质、分析空间的几何性质、描述光学成像过程等。
在计算机科学领域，机器学习和深度学习等技术也广泛使用张量来处理和表示数据。
张量的概念最初由意大利数学家沃西卡·沃拉斯斯科提出，他的工作对物理学和数学的发展产生了重大影响。
在物理上，张量可以用来描述电磁场的性质、物体的形变等，而在数学上，它被广泛应用在微积分、拓扑学、代数学、组合数学等领域。
张量的概念也是现代几何形式化的基础之一，通过将向量空间的各种几何性质抽象成为张量，我们可以更好地理解许多看起来复杂难懂的问题。
张量的实现通常依赖于描述基础物理系统的方程式。
例如，世界上最著名的方程之一就是爱因斯坦场方程式，它描述了引力如何影响时空的弯曲和扭曲。
由于张量是用来描述矩阵或向量的数学对象，因此这些张量在计算机的实现中常常被表示成矩阵。
张量的表示方式有很多种，最常见的是使用坐标表示法。
在这种方式中，张量的每一个分量被标记为一个坐标，一个指标或者一个下标。
这种表示法非常直观，因为我们可以将张量看作一个多维数组，然后使用类似于数组访问的方法来访问张量的各个元素。
例如，一个二阶张量可以表示为一个矩阵，其中每个元素由两个下标表示。
在计算机的实现中，我们通常会将张量表示为一个多维数组，并使用类似于numpy等数学库的方法来进行计算和操作。
张量的应用范围非常广泛，包括但不限于物理、计算机科学、工程学、生物学等领域。
在机器学习中，张量被广泛用来表示数据和模型参数，例如神经网络的权重和偏置就被表示为一个高维张量。
随着深度学习技术的发展，张量的应用也越来越广泛。
同时也有越来越多的研究人员致力于深入研究张量的理论和应用，以推动科学技术的发展。
总之，张量是一种非常有用的数学工具，它在数学、物理学、计算机科学、生物学等众多领域都有广泛的应用。
张量代数
1 2
eijk
B
jk
,
证
明Bpq
e pqibi
1 bie pqi 2 eijk B jk e pqi
1 2 B jk e pqie jki
1 2
B jk
pj qk
pk qj
1 2
Bpk qk
B jp qj
1
2
Bpq Bqp
Bpq
课堂练习题
2. 请证明张量收缩一次后,仍为一个张量，且降了两阶。
同理
a11 aij 1i 1 j
a22 aij 2i 2 j
a33 aij 3i 3 j
再 取x1 0, x2 0，x3 0
得 a11 aij 1i1 j
x12
a22 aij 2i 2 j
x
2 2
a12 aij 1i 2 j x1 x2 a21 aij 2i 1 j x2 x1 0
也可以用商法则证明：
x1 , x2 , x3 aij xi x j 1 x1 , x2 , x3 aij xi x j 1
课堂练习题
1.如Bij 反对称，bi
1 2
eijk
B
jk
,
证
明Bpq
e pqibi
以后有用。反对称二阶张量，可 转换为用一个矢量来表达。
课堂练习题
1.如Bij 反对称，bi
请问：
? Tij ei ej
Tji ejei
? Tij
T ji
§2-5 商法则（张量识别定理） m阶张量Bˆ，与C~作如下操作所得之Aˆ 为一个n阶张量，
且此形式在任意标架下成立，则Cˆ为m n阶张量。
证明：
A C B i1i2 in
张量定义及算法
1
可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2
克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N
j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h
张量第二章
上述变换都是通过正变换系数 和逆变换系数 来实现的。若确定了变换系数，则可确定物理量在坐标变换中的变换规律。
【例】求直角坐标系和柱坐标的变换系数
直角坐标 与柱坐标 间的关系为
z=z
z=z
置 , , 及 , , 。则：
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
二、基矢量的变换
设旧坐标系中协变基矢和逆变基矢为 和 。
对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A点安上协变基矢量构成的活动标架 ， 是相互正交的单位矢量。
过A点的某线元矢量 为
， ， 是 的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量 的逆变分量。前边的系数作为协变基矢量，即：
则：
四、任意坐标系
对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：
反变换存在的条件式变换函数在 取值范围内单值连续，存在一阶导数，而且Jacobian行列式
1、坐标微分的变换
由变换式和互变换式，有：
记
并称为变换系数， 称为逆变换系数， 为正变换系数。
2、梯度分量的变换
的分量是 ， ， 。现对任一坐标 ， ， 定义三个分量 ， ， ，考察其变换关系：
设
类似地，反变换为：
笛卡儿直角坐标系中， 和 是重合的，无须区分。
二、笛卡儿斜角坐标系
设三个不共面的单位向量 ， ， 构成斜角坐标系的协变基矢量。
pi为矢量 的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为 ，则功：
以二维为例，两轴夹角为
现在引入一个新的基矢量 ， , 逆变矢量
可知：
1、
2、逆变基矢量 不是单位向量。
取 ，
【例】求直角坐标系和柱坐标的变换系数
直角坐标 与柱坐标 间的关系为
z=z
z=z
置 , , 及 , , 。则：
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
二、基矢量的变换
设旧坐标系中协变基矢和逆变基矢为 和 。
对直线坐标系，两者没有区别。对曲线坐标系，采用活动标架会带来极大方便。考查柱坐标，在A点安上协变基矢量构成的活动标架 ， 是相互正交的单位矢量。
过A点的某线元矢量 为
， ， 是 的逆变分量。若稍作变化，取坐标的微分为矢量 的逆变分量。前边的系数作为协变基矢量，即：
则：
四、任意坐标系
对任意坐标系，可把线元矢量表示成下述形式：
反变换存在的条件式变换函数在 取值范围内单值连续，存在一阶导数，而且Jacobian行列式
1、坐标微分的变换
由变换式和互变换式，有：
记
并称为变换系数， 称为逆变换系数， 为正变换系数。
2、梯度分量的变换
的分量是 ， ， 。现对任一坐标 ， ， 定义三个分量 ， ， ，考察其变换关系：
设
类似地，反变换为：
笛卡儿直角坐标系中， 和 是重合的，无须区分。
二、笛卡儿斜角坐标系
设三个不共面的单位向量 ， ， 构成斜角坐标系的协变基矢量。
pi为矢量 的逆变分量。此时，矢量的逆变分量并不等于矢量在坐标轴上的投影。若位移为 ，则功：
以二维为例，两轴夹角为
现在引入一个新的基矢量 ， , 逆变矢量
可知：
1、
2、逆变基矢量 不是单位向量。
取 ，
张量初步
s12 s 22 s 23
s 31 s 23 s 33
二阶对称张量的主要性质如下： （1）S的对称性不因坐标转换而改变。 （ 2 ）二阶对称张量的三个主值都是实数，而且一定存 在三个互相垂直的主轴。 （ 3 ）二阶对称张量在主轴坐标系中具有最简单的标准 形式
1 S 0 0
ail a jm plm pij
x 2 x3 的九个量则此九个 转换为另一直角坐标系中 O x1 ，定义为一新的量P，称为二阶笛卡儿张量，简称 量 p ij 二阶张量。通常用下面表示：
P p ij
p11 p ij p 21 p 31
p12 p 22 p 32
a i 表示一个矢量，i是自由指标； （ 1） （ 2 ）约定求和法则：为了书写简便，约定在同一项中 如有两个自由指标相同时，就表示要对这个指标从1到3 求和，如： ai bi a1b1 a 2 b2 a3b3。 （3）符号定义为 0， 当i j时 ij ， 当i j时 1
P Q pik q kj 是二阶张量P和二阶张量Q的内积，它仍
是二阶张量。 P : Q pij q ji 是二阶张量P和二阶张量Q二次收缩得来， 以表示。 4．张量识别定理 定理1 若 pi1i2 im j1 j2 jn 和任意n阶张量 q j1 j2 jn 的内积
pi1i2 im j1 j2 jn q j1 j2 jn t i1i2 im
0 A a ij a12 a 31
a12 0 a 23
a 31 0 a 23 3 0 2
3
0 1
2 1 0
其中 1 a 23， 2 a31， 3 a12。于是 aij ijk k
张量
s = ∑ ∑ a ij x i x j = a ij x i x j
i =1 j =1 3 3
i ——哑指标 哑指标
s = a i bi x i
Ai = a i bi
s = { x }T [a ]{ x }
s = a11 x1 x1 + a12 x1 x 2 + a13 x1 x 3 + a 21 x 2 x1 + a 22 x 2 x 2 + a 23 x 2 x 3 + a 31 x 3 x1 + a 32 x 3 x 2 + a 33 x 3 x 3
Tij = a ik b jk
i —— 自由指标 [δ ]{ X } + {∆ } = 0
i , j , k = 1,2,3
[T ] = [a ][b]
T
T11 = a11b11 + a12 b12 + a13 b13 T12 = a11b21 + a12 b22 + a13 b23 T13 = a11b31 + a12 b32 + a13 b33 ……………………………
——直角坐标系 直角坐标系
∂Tkl ∂T ik ⊗ il ⊗ im ⊗ in = ∂H ∂H mn
力学方程的张量表示
1）几何方程 ）
ε xx ε yy
∂u = , ∂x ∂v = , ∂y
ε xy
1 ∂u ∂v = + , 2 ∂y ∂x
1 ∂v ∂w ε yz = + , 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂u ε zx = + , 2 ∂x ∂z
φ =T :S
φ = Tkl S kl φ = Tkl S lk
i =1 j =1 3 3
i ——哑指标 哑指标
s = a i bi x i
Ai = a i bi
s = { x }T [a ]{ x }
s = a11 x1 x1 + a12 x1 x 2 + a13 x1 x 3 + a 21 x 2 x1 + a 22 x 2 x 2 + a 23 x 2 x 3 + a 31 x 3 x1 + a 32 x 3 x 2 + a 33 x 3 x 3
Tij = a ik b jk
i —— 自由指标 [δ ]{ X } + {∆ } = 0
i , j , k = 1,2,3
[T ] = [a ][b]
T
T11 = a11b11 + a12 b12 + a13 b13 T12 = a11b21 + a12 b22 + a13 b23 T13 = a11b31 + a12 b32 + a13 b33 ……………………………
——直角坐标系 直角坐标系
∂Tkl ∂T ik ⊗ il ⊗ im ⊗ in = ∂H ∂H mn
力学方程的张量表示
1）几何方程 ）
ε xx ε yy
∂u = , ∂x ∂v = , ∂y
ε xy
1 ∂u ∂v = + , 2 ∂y ∂x
1 ∂v ∂w ε yz = + , 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂u ε zx = + , 2 ∂x ∂z
φ =T :S
φ = Tkl S kl φ = Tkl S lk
张量1-1
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程： 其普通记法
U i 0 xi
或
U1 U 2 U 3 0 x1 x2 x3
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
ei jk
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1
逆序：前面的数大于后面 的数
e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejk i ek i j eji k ei k j ek ji
ei jk
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而
ii 11 22 33 3
ei ei i i
，故
注意：
ii
是一个数值，即
ii 3
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j ij 0, i j
ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
11 12 21 22 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 1 (1 ) 12 xy xy 12 12 2 2G 2G E 11 22 33 ii
U i 0 xi
或
U1 U 2 U 3 0 x1 x2 x3
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
ei jk
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1
逆序：前面的数大于后面 的数
e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejk i ek i j eji k ei k j ek ji
ei jk
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而
ii 11 22 33 3
ei ei i i
，故
注意：
ii
是一个数值，即
ii 3
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j ij 0, i j
ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
11 12 21 22 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 1 (1 ) 12 xy xy 12 12 2 2G 2G E 11 22 33 ii
附录 弹性力学参量的张量记法
应力分量：
可表示为：
缩写为
其中，如
同理，应变分量可缩写为：
向量
表示为
三阶线性方程组 可表示为 缩写为
二. 爱因斯坦求和约定
在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，重复指标 称为哑指标（简称哑标）；
非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历 列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。 例：
在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可 用一带下标的字母表示。如 位移分量 u、v 、w可表示为 u1 、u2、u3，缩写为 ui（i =1, 2, 3） 坐标 x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为 xi（i =1, 2, 3） 单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）
附录： 弹性力学参量的张量记法
前面给出的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位 移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法） 开始出现在力学文献及教科书中。
张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
一. 指标符号
求和指标
j求和
j-求和指标 i-自由指标
i历列
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例:
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例:
（4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混 淆，应声明对该指标不求和。例:
三. 求导数的简记方法
微分算符简记法 例:
历列
历列共27项 求和
附录：张量分析
3
ui ei (2)分解式记法： u＝u1e1+u2e2+u3e3= i 1
分量和基矢量
(3)分量记法：
ui(i＝1，2，3)的集合
张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定
指标符号
指标符号： 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——
◈
a的n个分量
∑：通过哑指标可把多个项缩写成一项，通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ，称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】 求和约定: 多项简写 自由标: 多个方程简写 符号δij 符号erst
哑标
⇒
自由标
⇒
换标符δij
⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
❷ 同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横， 表示该指标不计指标数。如：
❹ 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。 或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33 , 但
§A.1
矢量和张量的记法，求和约定
ui ei (2)分解式记法： u＝u1e1+u2e2+u3e3= i 1
分量和基矢量
(3)分量记法：
ui(i＝1，2，3)的集合
张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定
指标符号
指标符号： 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——
◈
a的n个分量
∑：通过哑指标可把多个项缩写成一项，通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ，称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】 求和约定: 多项简写 自由标: 多个方程简写 符号δij 符号erst
哑标
⇒
自由标
⇒
换标符δij
⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
❷ 同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横， 表示该指标不计指标数。如：
❹ 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。 或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33 , 但
§A.1
矢量和张量的记法，求和约定
张量分析及场论
示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
附录I：张量概念及其基本运算
Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称 为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式 的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算 前优先求和。例：
附录：张量解析
【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用， 右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。 用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标 二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号） 即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证： ＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析
张量函数及其微积分
Appendix A
引言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum
Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.
a13 x3 a23 x3
a1 j x j a2 j x j
x3
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a3 j x j
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
ji, j fi 0
ji, j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
x1 x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
v lij v j
' i
应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为 ' l l T
用指标符号记为
i ' j ' li 'i ij l j ' j
以平面应力状态为例， 设新坐标系由原坐标系逆 时针转动θ而成，新坐标轴 的基矢e 1' 、e2' 对原基矢 e1 、e2 的过渡矩阵为式
2. 指标符号 把 x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可 简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为e1,e2,e3,可简 记为ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简 记为vi, 应力分量记为可简记为σij. 3. Einstein 求和约定 力 f在位移s上做功 3 w f s f1s1 f 2 s2 f 3 s3 f i si 最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标i。 约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一 指标全程求和，求和符号略去不写：
具有如下性质： (1)ii 3; (2) ij Ai Aj ;
31 32 33 0 0 1
(3) aik kj aij
ij ni ij ij n j ( ij ij )n j
1 5.置换符号 eijk 3 (i j )( j k )( k i ) a aij eijk a1i a2 j a3k
当i, j, k为偶置换
当i, j, k为奇置换
（1）行列式
（1）矢量的叉积 a ai ei ; b b j e j
c a b a1 b1 e1 e2 a2 b2 e3
当i，j，k有两个或三个相同
a3 eijk a j ak ek b3
'1 ; '2 ; '3 x y z
x xy xz 1 j ' j x y z
4. Kronecker符号 矢量的点积：一个矢量和另一个矢量的点积可以决 定一个标量，也可以用指标符号标记 记基矢的点积为 11 12 13 1 0 0 ei· e j = δij ij 21 22 23 0 1 0 其中
sin x xy cos sin cos y xy
sin cos
应力分量根据切应力互等定理，为对称张量。
当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐 标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零， 仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时 坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主 应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方 向。 可参看Mathcad. 平面应力状态的主应力和主方向可按照材料 力学的方法求得，空间应力状态可按照线性代 数的方法。
a bc
i 1
i i i
ai bi ci
(2)哑标的有效范围仅限于本项。 (3)多重求和可采用不同的哑标表示。
aij xi x j
(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把 表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会 影响它的含义。
3．求导数的简记方法 微分算符简记为
[lij]=l，
cos l sin sin cos
则坐标变换公式
[σi'j']=l[σij]lT
cos l sin
sin cos
其展开形式为
x ' x ' y ' cos x ' y ' y ' sin
张量的定义： 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分 量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换 有关，满足坐标变换公式的物理量称为张量。
设新坐标系的新坐标轴 的基矢 e1‘ 、 e2’ 、e3‘对原 基矢e1、e2和e3的变换矩阵 为[lij]= l，矢量为一阶张量， 矢量分量的坐标变换公式为 [vi’] = l [vi] 用指标符号记为
用置换符号两基矢量的混合积记为(ei×ej）· ek= eijk
将求导符号简记为
( ) ( ) ,i xi
梯度可记为
e1 e2 e3 ,i e i x1 x2 x3
则散度可记为
v1 v2 v3 v vi ,i x1 x2 x3
i 1
w f i si f i si
i 1Leabharlann 3求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指 标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为 哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。 一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称 为自由标。
应特别强调以下几点： (1)对于不只重复一次的指标，求和约定无效，如要表示求和， 仍需借助求和符。当自由指标恰好在同一项中重复出现一次时， 为避免混淆，应声明对该指标不求和。 3