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（2）S1=S2，相同的两2个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和.
解：原式＝（a2+1）（a+1）（a-1）.
原式＝3x（2x+1）（2x-1）.
-2x（x+1）（x-1）
（3b+2a）（3b-2a）
3（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
； .
6. （例 2）分解因式：
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
（3b+2a）（3b-2a）
.
15. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（D ）
A. 2a2-b2
B. y2+9
C. -x2-y2
D. x2-1
（2）2m（2m-3）+6m-1. （2b+a）（2b-a）
原式＝y（3x+1）（3x-1）.
2y（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
（2）S1=S2，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等（x+1）（x-1）
解：原式＝（4x2+1）（4x2-1）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
解：原式＝（a2+1）（a+1）（a-1）.
原式＝3x（2x+1）（2x-1）.
-2x（x+1）（x-1）
（3b+2a）（3b-2a）
3（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
； .
6. （例 2）分解因式：
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
（3b+2a）（3b-2a）
.
15. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（D ）
A. 2a2-b2
B. y2+9
C. -x2-y2
D. x2-1
（2）2m（2m-3）+6m-1. （2b+a）（2b-a）
原式＝y（3x+1）（3x-1）.
2y（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
（2）S1=S2，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等（x+1）（x-1）
解：原式＝（4x2+1）（4x2-1）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
人教教材《因式分解》全文课件
知识点 2 十字相乘法 【例 2】 阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq， 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2 ＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
问题解决：分解因式：
(1)x2＋5x＋4＝
(x＋1)(x＋4)
(2)x2－6x＋8＝
(x－2)(x－4)
(3)x2＋2x－3＝
(x＋3)()(x＋3)
； ； ； ．
拓展训练：分解因式：
(1)2x2＋3x＋1＝
(2x＋1)(x＋1)
；
(2)3x2－5x＋2＝
03 分层检测
A组
1．多项式 x2－4 与 x2－4x＋4 的公因式为( D )
A．x＋4
B．x－4
C．x＋2
D．x－2
2．对于 a2－2ab＋b2－c2 的分组中，分组正确的是( B ) A．(a2－c2)＋(－2ab＋b2) B．(a2－2ab＋b2)－c2 C．a2＋(－2ab＋b2－c2) D．(a2＋b2)＋(－2ab－c2)
(3)2x2＋5x－3； 解：原式＝(x＋3)(2x－1)． (4)x2－5xy＋6y2；
解：原式＝(x－2y)(x－3y)．
(5)－3x2＋3xy＋6y2； 解：原式＝－3(x2－xy－2y2) ＝－3(x＋y)(x－2y)． (6)25－4x2＋4xy－y2. 解：原式＝25－(4x2－4xy＋y2) ＝52－(2x－y)2 ＝(5＋2x－y)(5－2x＋y)．
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第16课时 运用特殊方法因式分解
01 课前预习
人教版教材《因式分解》ppt1
pq
人教版八年级上册数学14.3因式分解 十字相乘法分解因式 课件
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十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
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练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
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练一练： 将下列各式分解因式
1x2 5x 6 3x2 7x 12
2x2 x 6 4x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
px q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
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你能对下列式子进行分解因式吗？
x y2 8x y 48
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十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7 7
或
x 1 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验，
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
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练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x-6)(x-1) 2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2) 3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y) 4、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
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练一练： 将下列各式分解因式
1x2 5x 6 3x2 7x 12
2x2 x 6 4x2 3x 10
x2
小结：用十字相乘法把形如
px q 二次三项式分解因式
q ab, p a b
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
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你能对下列式子进行分解因式吗？
x y2 8x y 48
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这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
七楼A座办公家园
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
只需找到多项式中的公因式，然 后用原多项式除以公因式，把所得 的商与公因式相乘即可。往往与其 他方法结合起来用。
提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y)
七楼A座办公家园
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将 符合其形式的公式套进去即可完 成因式分解，有时需和别的方法 结合或多种公式结合。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘七。楼A座办公家园
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公约数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的。
七楼A座办公家园
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
人教版数学九年级上册《 因式分解法》课件
分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0 m ，即
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
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分析：该式左右两边含公因式，分析：方程一边以平方形
所以用因式分解法解答较快. 式出现，另一边是常数，
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 可用直接开平方法.
即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解：开平方，得
解得
5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
(4) 2x2 − 7x + 3 = 0.
2x 1
x
3
6x x 7x
解：分解因式，得
(2x − 1)(x − 3) = 0，
解得 x1 =
1 2
，x2
=
3.
二 灵活选用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
x·
×
1
x 5x 4x
解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1．
(3) (x + 3)(x − 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x − 8 = 0，
x4
x 2
2x 4x 2x
分解因式，得 (x + 4)(x − 2) = 0， 解得 x1 = −4，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) x2 = x.
(4) x1 = 0，x2 = 1.
课件《因式分解》PPT_完美课件_人教版2
所学的解题过程，我们应用了如下关系：
x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
（1）8a3b2+12ab3c (6) m2－4=(m+2)(m－2)
14.3.1 提公因式法因式分解
理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
新的多项式中若 有小括号，要化
简
即是提公因式后剩下的另一个因式.
练一练
下面的因式分解正确吗？
➢ 3x2y−9xy2=3x(xy−3y2) 3xy (x−3y) ➢ 4x2y−6xy2+2xy=2xy(2x−3y) 2xy (2x−3y+1) ➢ x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y) (a−b)3(x−y)
分解因式
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式.
因式分解与整式乘法有何关系?
提公因式并确定另一个因式：要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
所以，公因式是3x2 .
所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 .
第十四章 整式的乘法
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
定系数，再确定字母，最后确定公因式字母 【名师点拨】别忘记最后核实括号内的多项式是否还有公因式。
2）(x+2)(x-2)= 这种分解因式方法叫提公因式法。
6）a2+2ab+b2= 是pa+pb+pc除以p的商
2xy (2x−3y+1)
的指数；
人教版九年级数学课件《因式分解法》
公式法
10x 4.9x2 0
解： 4.9x2 10x 0
a = 4.9，b =－10，c = 0.
b2－4ac= (－10)2－0=100
x b
b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1
100 ， 49
x2 0.
探究新知
10x 4.9x2 0
因式分解
如果a · b = 0，那么 a = 0
思路点拨：四种方法的选 择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)
＝0；
2
2
探究新知
(1) 3 1−x 2 = 27; (2)x2－6x－19＝0；
解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1＝± 3. ∴x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3. (2)移项，得x2－6x＝19. 配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2
XXX学校
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
班级：X年级X班
人教版 数学 九年级 上册
导入新知 1. 解一元二次方程的方法有哪些？
直接开平方法： x2=a (a≥0)
配方法：
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= b b2 4ac
4ac≥0）2a
2. 什么叫因式分解?
（b2-
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
∴x2＝14，即 x＝±
1 4.
∴x1＝12，x2＝－12.
巩固练习
(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．
解：原方程可变形为 5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0， ∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
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人教版《因式分解》上课实用课件（P PT优秀 课件）
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
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2 3
,x2
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
人教版八年级数学上册14.因式分解(完全平方公式)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍 中间放.
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
下用完列全平各方公式式分是解因不式的是关键完是：全在判平断一方个多式项式
是不是一个完全平方式。
1 a2 b2 2ab是
22xy x2 y是2 3a2 6abb2否
4x2 x1 是
4 (5)m2n2 4 4mn 是
例) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
．分解因式：
(1)(a2 b2 )2 4a2b2 (2)a4 8b2 (a2 2b2 ) (3)a n1 2a n a n1 (4)(x 2)(x 3) 1
4
课堂检测：分解因式：
(1)x2 20x 100 (2)4 x2 4 x 1 (3)9 x2 24xy 16y2 (4) x4 y2 x2 y 0.25 (5)(a 2 b2 )2 4a 2b2 (6)2x3 8x2 8x (7)(x2 9 y2 )2 36x2 y2 (8)(x 1)(x 3) 1
(a-b)2=a2-2ab+b2.
a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方。
a2 2abb2 a2 2abb2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
下用完列全平各方公式式分是解因不式的是关键完是：全在判平断一方个多式项式
是不是一个完全平方式。
1 a2 b2 2ab是
22xy x2 y是2 3a2 6abb2否
4x2 x1 是
4 (5)m2n2 4 4mn 是
例) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
．分解因式：
(1)(a2 b2 )2 4a2b2 (2)a4 8b2 (a2 2b2 ) (3)a n1 2a n a n1 (4)(x 2)(x 3) 1
4
课堂检测：分解因式：
(1)x2 20x 100 (2)4 x2 4 x 1 (3)9 x2 24xy 16y2 (4) x4 y2 x2 y 0.25 (5)(a 2 b2 )2 4a 2b2 (6)2x3 8x2 8x (7)(x2 9 y2 )2 36x2 y2 (8)(x 1)(x 3) 1
(a-b)2=a2-2ab+b2.
a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方。
a2 2abb2 a2 2abb2
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（3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑 用因式分解法.
1.用因式分解法解下列方程：
(1) (x－5)(x+2)=18 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
数学人教版《因式分解》完美版1
(4) x2+7x+12=0 (5) t(t+3)=28 (6) (4x－3)2=(x+3)2
（2）1﹣x=x2．
解：∵x2﹣6x=﹣6， ∴x2﹣6x+9=﹣6+9， 即（x﹣3）2=3， 则 x-3=±
∴x1=3+ ,x2=3-
解：方程整理得：x2+x﹣1=0， 这里a=1，b=1，c=﹣1， ∵△=1+4=5，
∴ x=
∴ x1=
, x2=
二、新课引入
1、因式分解 （1）x2－5x= x(x-5) ；
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 因式分解法
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解法
有哪些？
直接开平方法
配方法 公式法
2、请用已学过的方法解方程 x2 =4 (任选一种)
3.分别用配方法和公式法解下列方程：
（1） x2﹣6x+6=0． （2）1﹣x=x2．
用配方法解方程
用公式法解方程
（1）x2﹣6x+6=0．
3．解方程：3（x﹣2）2=2﹣x． 解：方程整理得：3（x﹣2）2﹣2+x=0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6+1）=0， 可得x﹣2=0或3x﹣5=0，
∴x1=2 ，x2=
数学人教版《因式分解》完美版1
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4.用因式分解法解方程 （1）x(2- x)= x-2 解：移项得 x(2- x)+(2- x)=0 (x-1)(2- x)=0 x-1=0 或2- x=0 ∴x1=1 ，x2=
数学人教版《因式分解》完美版1
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四、归纳小结
1．定义：先因式分解使方程化为两个 一__次__式__的__乘__积__等于0的形式，再使这两个 一次式分别等于0,从而实现_降__次__，这种 解法叫做因__式__分__解__法_ . 2、若ab=0,则a__=_0或b__=__0
广东省怀集县马宁镇初级中学
徐志才
数学人教版《因式分解》完美版1
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课外练习
1.方程x2=3x的解为（ D ）
A．x=3
B．x=0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．x1=0，x2=﹣3
D．x1=0，x2=3
2.方程2x2=3x的解为（ D ）
A．0
B． C．-
D．0，
数学人教版《因式分解》完美版1
数学人教版《因式分解》完美版1
（2）2x(x－3)－5(x-3)
= (x-3)(2x-5)
.
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徐志才
2.分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法: x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
（2）5x2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：（1）因式分解，
得： (x-2)(x+1)
=0
于是，得 x-2=0 或 x+1=0
x1= 2 ，x2=__-_1__.
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徐志才
（2）移项、合并同类项，得 ：
4x2-1=0
因式分解，得（ 2x+1 ）（2x-1）=0
于是，得 2x+1=0 或 2x-1=0
（1）2（x-1）2-18 ＝ 0 ；
分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法. 解：整理，得（x-1）2＝ 9. 开平方，得x-1 ＝ ±3， 即x-1 ＝ 3 或x-1 ＝ -3， ∴ x1＝4，x2＝-2.
（2）x2+4x-1 ＝ 0 ；
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑 用配方法.
(x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
（2）、(3x+1)2－5=0
解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5)=0
3x+1+ 5 =0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
★ 选择适当的方法解一元二次方程
例2 用适当的方法解下列方程：
数学人教版《因式分解》完美版1
数学人教版《因式分解》完美版1
（2）x2-2mx-4n2+m2=0 解： x2-2mx+m2-4n2=0 (x-m)2-(2n)2=0 (x-m+2n) (x-m-2n)=0 x-m+2n=0或 x-m-2n=0 ∴x1= m-2n， x2= m+2n
1 p 1 q
ax²+bx+c
= a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 a
(a1x c1)(a2x c2 )
a1 a2
c1 c c2
二次项系数、常数项因式分解竖直写交叉相乘验中项
横向写出两因式
知识讲解
★ 因式分解法解一元二次方程
方程 x2 7x 0 小亮是这么解的：
22
x7 7, 22
x1 0, x2 7.
公式法解方程x2-7x=0.
解 x2-7x=0. ： ∵ a=1,b=-7,c=0.
∴ b2－4ac
= (－7)2－4×1×0
=49.
x b b2 4ac 7 7 .
2a
2
x1 0, x2 7.
因式分解法
x2 -7x =0 ①
因式分解
x(x-7) =0 ②
小亮把方程两边同除以x，而x有可能 等于零 ， 所以小亮的解法不对 .
把方程两边同除以x ，得
x 7 0，
所以x 7.
怎么少了一个根？ 小亮的解法对吗？ 为什么？
配方法解方程x2-7x=0.
解： x2 7x 0，
x2 7x+( 7 )2 0 ( 7 )2,
2
2
(x 7 )2 ( 7 )2,
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x =0 或 x-7=0 降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 7
（解两个一次方程，得出原方程的根） 这种解法是不是很简单？
灵活用因式分解法解一元二次方程
例1．解方程(1) x(x 2) x 2 0
x1=
，x2= _____
温馨提示：用因式分解法解一元二次 方程的一般步骤是：一移二分三化
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徐志才
练习，解下列方程
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)(3x 1)2 5 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0