【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-1-5(专题一 集合与常用逻辑用

(3)将函数 y＝f(x)在[a，b]上的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．定积分的求法及几何性质(理) (1)定积分的求法 ①定义法：分割—近似代替—作和—取极限； ②利用微积分基本定理： 先求被积函数 f(x)的原函数 F(x)，即 F′(x)＝f(x)，再计算 F(b) －F(a)，即为所求．
则 a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 因为 y′＝a－x＋1 1，所以在点(0,0)处切线的斜率为 a－ 1＝2，解得 a＝3，故选 D.
答案 D
3．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋bx (a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x ＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是________．
综上可得：
当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当
－
1 2
<a<0
时
，
f(x)
在
0，－a＋1＋a
2a＋1
，
－a＋1－
a
2a＋1，＋∞上单调递减，
ห้องสมุดไป่ตู้
在－a＋1＋a
2a＋1，－a＋1－a
2a＋1上单调递增．
[方法规律] 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数 f′(x)． (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x)的定义域 内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可；②若已知 f(x)的单 调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立 问题求解.
________.
课堂笔记 (1)由题意，知 f′(x)＝－x＋2f′(2 014)＋2 0x14， 所以 f′(2 014)＝－2 014＋2f′(2 014)＋22 001144，即 f′(2 014)＝2 014 －1＝2 013.
故 f′(x)＝－x＋4 026＋2 0x14， f′(1)＝－1＋4 026＋2 014＝6 039. 故选 B.
解析 y＝ax2＋bx的导数为 y′＝2ax－xb2， 直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－72. 由题意得44aa＋ －b2b4＝＝－－572，， 解得ab＝＝－－12，， 则 a＋b＝－3.
答案 －3
考点二 利用导数研究函数的单调性 【例 2】 (2014·山东卷)设函数 f(x)＝alnx＋xx－＋11，其中 a 为常 数． (1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性．
() A．2e
B．e
C．2
D．1
解析 y′＝ex－1＋x·ex－1，∴y′|x＝1＝e0＋1×e0＝2. 答案 C
2.(2013·浙江卷)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一， 且其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析 由 y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区 间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越 慢．
对点训练 1.(理)已知 f(x)＝x＋1x22＋＋1sin3x，f′(x)是 f(x)的导函数，则 f(2
014)＋f′(2 014)＋f(－2 014)－f′(－2 014)＝( )
A．8 056
B．4 028
C．1
D．2
解析 因为 f(x)＝x＋1x22＋＋1sin3x＝1＋2xx＋2＋sin13x， 令 g(x)＝2xx＋2＋sin13x，则 g(x)为奇函数，可得 g′(x)为偶函数． 又 f′(x)＝g′(x)，所以 f′(x)是偶函数． 故 f(2 014)＋f(－2 014)＝1＋g(2 014)＋1＋g(－2 014)＝2， f′(2 014)－f′(－2 014)＝g′(2 014)－g′(－2 014)＝0， 所以 f(2 014)＋f(－2 014)＋f′(2 014)－f′(－2 014)＝2.故选 D.
课堂笔记 (1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx－ ＋11，x∈(0，＋∞)． 此时 f′(x)＝x＋2 12.可得 f′(1)＝12，又 f(1)＝0， 所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0. (2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝xa＋x＋2 12＝ax2＋x2xa＋＋122x＋a.
从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交 汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等 结合在一起考查．
从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有 时三种题型会同时出现.
真题感悟 1.(2014·全国大纲卷)曲线 y＝xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于
答案 D
4．(2014·湖南卷)若 0<x1<x2<1，则( )
解析 设 f(x)＝ex－lnx，则 f′(x)＝x·exx－1.当 x>0 且 x 趋近于 0 时，x·ex－1<0；当 x＝1 时，x·ex－1>0，因此在(0,1)上必然存在 x1≠x2， 使得 f(x1)＝f(x2)，因此 A、B 不正确；设 g(x)＝exx，当 0<x<1 时，g′(x) ＝x－x21ex<0，所以 g(x)在(0,1)上为减函数．所以 g(x1)>g(x2)，即exx11 >exx22，所以 x2ex1>x1ex2.故选 C.
a
成的曲边梯形的面积.
高频考点·聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系
考点一
导数的运算及几何意义
【例 1】 (1)已知函数 f(x)＝－12x2＋2xf′(2 014)＋2 014lnx，
则 f′(1)＝( )
A．2 014
B．6 039
C．2 013
D．6 072
(2)直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数 b＝
(2)设切点坐标为(x0，y0)， 则 f′(x0)＝x10＝12， 所以 x0＝2，y0＝ln2，又切点也在直线 y＝12x＋b 上，则 b＝ln2 －1.
答案 (1)B (2)ln2－1
[方法规律] 求曲线 y＝f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求切线方程： 求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率 k，求切线方程： 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写 出方程； (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公 式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方 程.
答案 C
5．(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝aexlnx＋bexx－1，曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝e(x－1)＋2.
(1)求 a，b； (2)证明：f(x)>1.
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝aexlnx＋axex－xb2ex－1＋bxex－1. 由题意可得 f(1)＝2，f′(1)＝e.故 a＝1，b＝2. (2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1， 从而 f(x)>1 等价于 xlnx>xe－x－2e. 设函数 g(x)＝xlnx，则 g′(x)＝1＋lnx.
第一部分 高考专题串串讲
第一版块 专题知识突破
专题一 集合与常用逻辑用语、
函数与导数、不等式
第五讲 导数及其应用
考情分析 真题体验
知识方法 考点串联
高频考点 聚焦突破
多维探究 师生共研
考情分析·真题体验
明确备考方向 实战高考真题
考情剖析 从近几年高考来看，该部分高考命题有以下特点： 从内容上看，考查导数主要有三个层次：①导数的概念、求导 公式与法则、导数的几何意义；②导数的简单应用，包括求函数极 值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等；③导数的综合考查， 包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．
答案 D
1．(文)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)
＋lnx，则 f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析 f′(x)＝2f′(1)＋1x，令 x＝1，得 f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1.
答案 B
2．设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，
当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x)在(0， ＋∞)上单调递减． ②当 a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞) 上单调递减．
所以当 x∈0，1e时，g′(x)<0； 当 x∈1e，＋∞时，g′(x)>0. 故 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而 g(x) 在(0，＋∞)上的最小值为 g1e＝－1e. 设函数 h(x)＝xe－x－2e，则 h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当 x∈(0,1)时，h′(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而 h(x) 在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x>0 时，g(x)>h(x)，即 f(x)>1.
2．牢记四个易误导数公式 (1)(sinx)′＝cosx. (2)(cosx)′＝－sinx. (3)(ax)′＝axlna(a>0)． (4)(logax)′＝xl1na(a>0，且 a≠1)．
3．把握三个概念 (1)在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这 个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内 单调递减． (2)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的点 x， 都有 f(x)<f(x0)，那么 f(x0)是函数的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)； 如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0)，那么 f(x0)是函数的一个极 小值，记作 y 极小值＝f(x0)，极大值与极小值统称为极值．
知识方法·考点串联
连点串线成面 构建知识体系
1．导数的几何意义 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f′(x0)． (2)曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．
(2)求定积分的一些技巧 ①对被积函数要先化简，再求定积分； ②求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段 求定积分，再求和； ③对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定 积分．
(3)定积分的几何性质 如果在区间[a，b]上的函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积 分bf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围
答案 B
3．(2014·课标全国卷Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－lnx 在区间(1，＋∞)
上单调递增，则 k 的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析 由 f′(x)＝k－1x，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 则 f′(x)≥0 在 x∈(1，＋∞)上恒成立， 即 k≥1x在 x∈(1，＋∞)上恒成立． 又当 x∈(1，＋∞)时，0<1x<1，故 k≥1.故选 D.
③当－12<a<0 时，Δ>0.
设 x1，x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点，
则 x1＝－a＋1＋a
2a＋1，x2＝－a＋1－a
2a＋1 .
由 x1＝a＋1－－a2a＋1＝
a2＋2a＋1－ －a
2a＋1>0，
所以 x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减．