运筹学对偶问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 对偶问题
对偶问题的一般形式 对偶问题的经济意义 对偶性质 对偶单纯形法 对偶单纯形法的解题原理
一、对偶问题的一般形式
若设一线性规划问题如下 ：
（A）
max F c1x1 c2 x2 cn xn s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
x2
x3
b
y1
1
4
2
≤
48
y2
1
2
4
≤
60
≥
≥
≥
c
6
14
13
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
am1
am2
…
amn
≤
bm
≥≥…≥
c
c1
c2
…
cn
例
写出下列线性规划问题的对偶问题
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
解：
可以将原问题的有关参数列成下表
max
min
x1
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1 0, y2 0, ym 0
称为原问题（A）的对偶线性规划问题，
或称A、B互为对偶问题。
如果采用向量、矩阵来表示
max F CX
s.t. （A） AX B
X 0
minW YB s.t. （B） YA C T Y 0
其中： C c1 c2 cn
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12 y1 a22 y2 am2 ym c2
Y y1 y2 ym
b1
B
b2 bm
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 am2
a2n
amn
x1
X
x2
xn
可以将以上关系列成以下对偶表：
max min
x1
x2
…
xn
b
y1
a11
a12
…
a1n
≤
b1
y2
a21
a22
…
≤
b2
…
………………
ymБайду номын сангаас
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
（A‘）
3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
则（A’）的对偶问题如下：
（A‘）
（B‘）
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
min W 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
（B‘）
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
4x1 3x2 10
xx11
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
则，原问题变为
（A）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t.
调整
对照问题B‘目标函数系数的符号与原问题A中 约束条件右端常数项的符号，可做以下调整：
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’ 则得到以下对偶问题
（B‘）
（B）
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
以上我们介绍的对偶问题是严格定义的对偶问题，也 成为对称对偶问题 。
它满足两个条件：
两个条件：
1、所有变量非负：即X>0，Y>0 2、约束条件均为同向不等式。若原问题约束条件均 为“≤”，则它的对偶问题的约束条件都是“≥”。
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
对偶问题的一般形式 对偶问题的经济意义 对偶性质 对偶单纯形法 对偶单纯形法的解题原理
一、对偶问题的一般形式
若设一线性规划问题如下 ：
（A）
max F c1x1 c2 x2 cn xn s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
x2
x3
b
y1
1
4
2
≤
48
y2
1
2
4
≤
60
≥
≥
≥
c
6
14
13
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
am1
am2
…
amn
≤
bm
≥≥…≥
c
c1
c2
…
cn
例
写出下列线性规划问题的对偶问题
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
解：
可以将原问题的有关参数列成下表
max
min
x1
a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1 0, y2 0, ym 0
称为原问题（A）的对偶线性规划问题，
或称A、B互为对偶问题。
如果采用向量、矩阵来表示
max F CX
s.t. （A） AX B
X 0
minW YB s.t. （B） YA C T Y 0
其中： C c1 c2 cn
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12 y1 a22 y2 am2 ym c2
Y y1 y2 ym
b1
B
b2 bm
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 am2
a2n
amn
x1
X
x2
xn
可以将以上关系列成以下对偶表：
max min
x1
x2
…
xn
b
y1
a11
a12
…
a1n
≤
b1
y2
a21
a22
…
≤
b2
…
………………
ymБайду номын сангаас
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
（A‘）
3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
则（A’）的对偶问题如下：
（A‘）
（B‘）
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
min W 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
（B‘）
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
4x1 3x2 10
xx11
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
则，原问题变为
（A）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t.
调整
对照问题B‘目标函数系数的符号与原问题A中 约束条件右端常数项的符号，可做以下调整：
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’ 则得到以下对偶问题
（B‘）
（B）
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
以上我们介绍的对偶问题是严格定义的对偶问题，也 成为对称对偶问题 。
它满足两个条件：
两个条件：
1、所有变量非负：即X>0，Y>0 2、约束条件均为同向不等式。若原问题约束条件均 为“≤”，则它的对偶问题的约束条件都是“≥”。
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0