高等数学第六版课后全部答案

课
BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3),
2π
a 2 (1 cos t)2 [a(t sin t)′]2 +[a(cos t)′]2 dt
∫L
( x2 + y 2 )ds = ∫ [a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 ]atdt
0
后
2π
aw
i = n1 +1
曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为
案
∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi ,
n
n1
λ →0
.c o
i = n1 +1
为小弧段 ds 上任一点.
网
m
(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π);
0 0 0 1 3 3
∫Γ x2 yzds = ∫AB x2 yzds + ∫BC x2 yzds + ∫CD x2 yzds
(7) ∫ y 2ds , 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0≤t≤2π);
L
解
∫L y 2ds = ∫0
2π
= 2a3 ∫ (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15
ww
w. kh d
L L
0
课
= ∫ a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 πa 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) . 0 3 (2) M = ∫ ρ (x, y, z)ds =∫ (x2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt
2
(2) ∫ xydx , 其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第
L
一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L=L1+L2, 其中 L1: x=a+acos t, y=asin t , t从 0 变到π, L2: x=x, y=0, x从 0 变到 2a,
因此
∫L xydx = ∫L xydx +∫L xydx
π π
L
(3) ∫ ydx + xdy , 其中 L 为圆周 x=Rcost, y=Rsint 上对应 t 从 0 到
π 的一段弧;
2
aw
2a
案
3. 计算下列对坐标的曲线积分:
网
∫L P(x, y)dx = ∫a P(x, 0)(x)′dx = ∫a P(x, 0)dx .
.c o
m
P(a, t)( da )dt =∫ P(a, t)0dt =0 . b1 dt 1 2. 设 L 为 xOy 面内 x 轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线,
令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限
λ →0 λ →0
lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim
i =1 i =1
即得
∫L f (x, y)ds =∫L
1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .
L2
3. 计算下列对弧长的曲线积分:
1 2
= ∫ a(1+ cos t)a sin t(a + a cos t)′dt + ∫ 0dx
0 0
π
课
后
的一段弧;
答
(1) ∫ (x2 y 2 )dx , 其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4)
= a3(∫ sin 2 tdt + ∫ sin 2 td sin t) = π a3 . 0 0 2
高等数学第六版课后全部答案
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为
μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:
(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解 在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为
ds + ∫ e
L2
= ∫ e 1 + 0 dx + ∫
x 2 2
π
4 ea 0
(a sin t) + (a cos t) dt + ∫
2 2
aw
x2 + y2
答
解 L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) .
案
(3) ∫ xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;
解 圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t 从 0 变到 2π, 所以
∫L
Γ
后
应 θ 从 0 到 π 的一段弧;
ww
w. kh d
= ∫ (k 3θ 2 a 2)dθ = 1 π 3k 3 πa 2 . 0 3
∫L P(x, y)dx = 0 .
证明 ∫ P( x, y)Leabharlann Baidux = ∫ P( x, 0)dx .
L a
b
证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以
b b
L
解 L: y=x2, x从 0 变到 2, 所以
ww
w. kh d
56 ∫L (x2 y2)dx = ∫0 (x2 x4)dx = 15 .
ds ,
0
2a 2 e 2x
12 +12 dx
m
= ∫ a 2n+1dt = 2πa 2n+1 .
(5) ∫
Γ
1 ds , 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从 0 变到 2 2 x + y +z
2
2 的这段弧; dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,
L
解
∫L (x2 + y2)n ds = ∫0
2π 0 2π
2π
(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt
= ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt
0
L
解 L 的方程为 y=1x (0≤x≤1);
L
网
∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x)
1
1+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 .
0
ds + ∫ e
L3
= ea (2 + π a) 2 . 4
.c o
1 x2 + y2
(2) ∫ (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;
L
(8) ∫ ( x2 + y 2 )ds , 其中 L 为曲线 x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0≤t≤2π). dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt
, 0)
a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt
.c o
所以圆弧的重心为 (
a sin
m
x=
Mx a sin = 1 ∫ xds = 1 ∫ a cosθ adθ = , M 2a L 2a
ww
课 后 答 案 网
w. kh d aw .c o m
习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: 证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是
的扇形的整个边界;
解 L=L1+L2+L3, 其中
L1: x=x, y=0(0≤x≤a),
L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2 a) , 2
因而
∫L e
a 0
x2 + y2
ds = ∫ e
L1
x2 + y 2
= 2 π a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) , 3
2π
x= 1 M
∫L x(x2 + y 2 + z 2)ds = M ∫0
6πak 2 , 3a 2 + 4π 2k 2 1 2π y = 1 ∫ y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6πak2 2 , 3a 2 + 4π k 1 2π z = 1 ∫ z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3πk (a + 2π k ) , = 3a 2 + 4π 2k 2 3πk (a 2 + 2π 2k 2 ) 6 2 6 2 故重心坐标为 ( 2 πak 2 2 , 2 πak 2 2 , ). 3a + 4π k 3a + 4π k 3a 2 + 4π 2k 2 =
0
2π
4. 求半径为 a, 中心角为 2的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示, 由对称性可知 y = 0 , 又
L
答
(1) I z = ∫ ( x2 + y 2 )ρ (x, y, z)ds = ∫ ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )ds
L
2π
I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds .
L L
ww
w. kh d
∫L ∫L
和L2, 则
2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1
∫L f (x, y)ds =∫L
n
课
x=
M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds
aw
1
2π
后
案
解 ds = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt = a 2 + k 2 dt .
网
5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中 0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心.
答
(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);
aw
案
(6) ∫ x2 yzds , 其中Γ为折线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)、
Γ
网
=∫
2
0
3 et dt = [ 3 et ]2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2
.c o
m
= ∫ a3(1+ t 2 )tdt = 2π 2a3(1+ 2π 2 ) .
∫L P(x, y)dx = ∫b
b2
b2
解
∫L
ydx + xdy = ∫ 2 [R sin t(R sin t) + R cos tR cos t]dt
0
π
= R 2 ∫ 2 cos 2tdt = 0 .
0
π
(4) ∫
L
( x + y)dx (x y)dy , 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); x2 + y 2
后
曲线 L 的重心坐标为
1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .
L2
证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则
∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +
i =1 i =1 n n1
n1
答
dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds .
1
ww
w. kh d
1 1
0
课
= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx
0
1
后
∫L xdx = ∫L xdx + ∫L
xdx
1
2
= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12
x2 + y2 L
(4) ∫ e
ds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成
2 1 1 ds = ∫ 2t ∫Γ x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt
解 Γ=AB+BC+CD, 其中
AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1), CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3),
ww
w. kh d
故 = ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 2t 02 +12 + 02 dt = 9 .