数学物理方法题目

数学物理方法习题

一、复变函数部分习题

第一章习题

1、证明函数()Re f z z =在z 平面上处处不可导。

2、试证()2

f z z =仅在原点有导数。

3、设333322()

z 0()z=0

0x y i x y f z x y +++≠ =+

，

证明()z f 在原点满足C－R 条件，但不可微。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析，并满足下列条件之一，证明其在区域D 上必为常数。

（1）()z f 在区域D 上为实函数； （2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。

5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数得实部。

6、若z x iy =+，试证：

（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =−； （3）2

22sin sin sinh z x y +＝； （4）222cos cos sinh z

x y =+。 7、试证若函数()f z 和()z ϕ在0z 解析。()()000f z z ϕ==，()00z ϕ′≠，

则()()()

()

000lim z z z f z f z z ϕϕ→′=

′。（复变函数的洛必达法则） 8、求证：0sin lim

1z z

z

→=。 第二章习题

9、利用积分估值，证明

a．()22i

i x iy dz π−+≤∫，积分路径是联结i −到i 的右半圆周。 b．证明2+2

1

2i

i

dz z ≤∫积分路径是直线段。 10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，

半径为1的单位圆周。

a．cos c dz

z ∫ ； b．256z c e dz z z ++∫ 。 11、计算a. ()221:21c z z dz

c z z −+=−∫ ； b. ()

()22

21

:21c

z z dz

c z z −+=−∫

。

12、求积分():1z c e dz c z z =∫ ，从而证明()cos 0cos sin e d πθθθπ=∫。 13、由积分2

c dz z +∫之值，证明012cos 054cos

d πθθ+=+∫，c 为圆心在原点，半

径为1的单位圆周。 14、设()26

4

z F z z +=

−，证明积分()c F z dz ∫ a.当c 是圆周221x y +=时，等于0； b.当c 是圆周()2

221x y −+=时，等于4i π； c.当c 是圆周()2221x y ++=时，等于2i π−。 第三章习题

15、求下列级数的收敛半径，并对c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情

况。

a.11n n n z n ∞

=∑；b.1n n

n n z ∞=∑； c.0

k n n n z ∞

=∑（0k >为常数）；

16、试求下列级数的收敛半径。

a.!

0n n z ∞

=∑； b.0

!n

n n n z n ∞

=∑；c. ()00,0n n n n z a b a ib ∞

=>>+∑。 17、将下列函数按z 的幂展开，并指明收敛范围。

a. 0z

z e dz ∫； b. 2cos z 。

18、将下列函数按1z −的幂展开，并指出收敛范围。

a. cos z ；

b.

2z z +； c. 225

z

z z −+。 19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。

a.21

(1)z z z +−,01,1z z <<<<∞；b.()()

22

25,1221z z z z z −+<<−+。 20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范

围。 a.

()

2

21

,1z i z =+；

【()

n

n

n a z i ∞

=−∞

−∑】 b.()1

2

11,1z

z e

z −−=。

【()1n

n n a z ∞

=−∞

−∑】 21、把()1

1f z z

=

−展成下列级数。 （1）在1z <上展成z 的泰勒级数； （2）在1z >上展成z 的罗朗级数； （3）在12z +<上展成(1)z +的泰勒级数； （4）在12z +>上展成()1z +的罗朗级数。 第四章习题

22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于

极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论： （1）

()

2

211z z z −+； （2）1

cos z i +； （3）1sin cos z z

+。 23、求()11z

z

e f z e −=

+在孤立奇点处的留数。

24、求下列函数在指定点处的留数。

（1）()()

2

11z

z z −+在1,z =±∞； （2）241z

e z −在0,z =∞。 25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（m 是自然数）

（1）1

sin m

z z （m 是自然数）； （2）()

2

1z e z −； （3）31sin z e z −。 26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。

（1）12z z e

α

−

； （2）

()()

()1

m

z z αβαβ≠−−。

27、计算下列积分

（1）1sin z dz

z z

=∫ ； （2）()()

1

,1,1,,n n

z dz

a b a b n z a z b =<<≠−−∫ 为自然数；

（3）

2221

21z

z e dz z π

=+∫ 。

28、求下列各积分值

（1）220

1cos d π

θθ

+∫ ； （2）()2

200sin d a a π

θθ>+∫。

29、求下列各积分的值

（1）()()

222014x dx x x ∞

++∫ ； （2）()22cos (1)9x

dx x x ∞−∞

++∫； （3）()44

sin 0,0x mx

dx m a x a

∞>>+∫。

30、从c

∫ 出发，其中c 为如图所示之围线，