2020考研数学一真题参考2002答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)

⎰

∞+e

x

x dx

2ln =

.

(2)已知函数

()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=

. (3)微分方程02

='+''y y y 满足初始条件00

1

1,'

2

x x y

y ====

的特解是

.

(4)已知实二次型3231212

32

22

1321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =

.

(5)设随机变量X 服从正态分布2

(,)(0)N μσσ>,且二次方程042

=++X y y 无实根的概率为

1

2

,则μ＝ .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;

④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．

若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有

(A) ②⇒③⇒①. (B) ③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①.

(D) ③⇒①⇒④.

(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=,且lim

1n n

n

u →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞

+=+-+∑ (A) 发散. (B) 绝对收敛.

(C) 条件收敛.

(D) 收敛性根据所给条件不能判定.

(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A) 当0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(B) 当)(lim x f x '+∞

→存在时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(C) 当0

lim ()0x f x +→=时,必有0

lim ()0x f x +

→'=. (D) 当0

lim ()x f x +→'存在时,必有0

lim ()0x f x +

→'=.

(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,

分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则

(A)

1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度.

(B) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在

0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若

()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰

-=x t dt e y arctan 0

2

在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极

限)2(lim n

nf n ∞

→.

五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e D

y x ⎰⎰}

,max{22

,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分)

设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记

2221[1()][()1],L x

I y f xy dx y f xy dy y y

=++-⎰

(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数333

369()1()3!6!9!(3)!

n x x y x x n =+

+++++-∞<<+∞满足微分方程

x e y y y =+'+'';

(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!

n

n x n ∞

=∑的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2

{(,)|D x y x =

275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.

(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?