多元函数极值与最值课件
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多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
第六章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，
多元函数的极值与最值
令
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
2
2
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 24 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 , x 8 (cm) 解得: 3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
第六节
多元函数的极值与最值
第六节 多元函数的极值与最值
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
一 多元函数的极值
二 多元函数的最值 三 条件极值
-1-
第六节
多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值
第 八 章
定义: 若函数
的某邻域内有
多 则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 元 函 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 数 例如 : 微 分 在点 (0,0) 有极小值; 法 及 在点 (0,0) 有极大值; 其 应 用 在点 (0,0) 无极值.
正
负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
当 x y 0 时, z ( x y ) z ( 0,0 ) 0
2 2
2
2 2
因此
-7-
为极小值.
第六节
多元函数的极值与最值
二 多元函数的最值
依据
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
( D : 0 x 12 , 0 2)
x
x
8.6多元函数的极值与最值ppt课件
将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)
学习_课件98多元函数的极值及其求法
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
高等数学(微积分)课件86多元函数极值与最值
在，即二重积分必存在.
(3)在直角f 坐x,y标d系中,若f用x,y平d行xd于;y面 坐标积 轴的元 直d线素 网d划xd
二分重,则积分D 的几何意义D
y
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体D积．
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般,D上的二重积分等于部分区域o上的柱体体积 x 的代数和。
面的“曲顶柱体”体积。
z
应用计算“平行截
zf(x,y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y
A( x)
垂直x轴作平行截面。
A(x)
2(x)
y2(x)
f(x,y)dy
1(x)
b
ax
D f(x,y)dx dayA(x)dx
bx
y1(x)
14 得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y
fi,ii
fx,y 叫做被积函数,
fx,yd叫做被积表达式,
d叫做面积元素,
7
D 叫做积分区域，
x与 y 叫做积分变量， n
f i,i 叫i 做积分和。
i1
关于二重积分定义的说明
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意 的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存
X-型积分区域D： axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
y2(x)
D
y1(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
其中函数1(x) 、2(x) 在区间[a,b] 上连续.
13
X-型积分区域上计算二重积
分
将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲
12多元函数的极值与最值
A 1 (24 2x 2x cos 24 2x) x sin
2
24x sin 2x2 sin x2 cos sin ( D : 0 x 12, 0 π )
2
x x
24 2x
2019年12月22日星期日
8
高等数学（下）主讲杨益民
拉格朗日乘数法推导（略）
2019年12月22日星期日
14
高等数学（下）主讲杨益民
例9 将正数12分成三个正数 x, y, z 之和,使得 U=x3 y2 z 最大。
解: 令：F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12)
Fx 3 x2 y2z 0
解: 1. 利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)； 2. 带入原方程求得相应的z=-2, z=6；
3. 隐方程组再求偏导得A,B,C； 4. 判断并求出极值。
注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：z x2 y2 , (0,0)
2019年12月22日星期日
5
高等数学（下）主讲杨益民
4
高等数学（下）主讲杨益民
例4 求函数
的极值。
解: 1. 求驻点(1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) ； 2. 求相应的A,B,C； 3. 判断并求出极值。
例5 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的 函数z=f (x, y)的极值。
过 P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为：
x0 a2
(x
x0
)
y0 b2
(
y
y0
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极 值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零 。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值 ，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存 在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极 小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用 无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无 约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐 一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值 点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值 点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函 数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数 学中的一个重要主题，主要研 究多元函数在某个区域内的最 大值和最小值问题。
最新2019-8-8多元函数极值和最值-PPT课件
dx
所以, 最值在端点处.
(3)比较 z(0,0), z(1,0), z(0,1) 及z( 1 ,0)
2
z( 1 ,0) 3 为最小值; 24
z(0,0) 1
z(0,1) 3 z(1,0) 1
z( 1 ,0) 3 24
z(0,1)3 为最大值.
求 f ( x, y) x2 4 y2 9在D : x2 y2 4上
解
①解方程组
fx fy
3ay3x2 0 3ax3y2 0
驻点(0,0), (a, a).
②求 A、B、C
A fxx 6x, B fxy 3a, C fyy6y.
③定出 AC B2 的符号
在点(0,0)处, A C B 2(3x 6 y9a2) 9a2 0 (0,0)
f(0,0) 不是极值;
已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,
且lx im 0 f((xx2,y)y2)x2 y1, 则 y0
(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.
(B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.
(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.
2 y 2 z z y 2 4 z y 0
2 （ 2zx ） 2 2 zzx x4 zx x0
2 zxzy2 zzx y4 zx y0 22 (zy)22 zzy y 4 zy y 0
z1 z2
2, 6
在驻点 P(1,1)处, zx 0, zy 0 代入方程组，得
Azxx|P21z, Bzxy|P0,
z2 6
zf(1 , 1 )6为极大值.
所以, 最值在端点处.
(3)比较 z(0,0), z(1,0), z(0,1) 及z( 1 ,0)
2
z( 1 ,0) 3 为最小值; 24
z(0,0) 1
z(0,1) 3 z(1,0) 1
z( 1 ,0) 3 24
z(0,1)3 为最大值.
求 f ( x, y) x2 4 y2 9在D : x2 y2 4上
解
①解方程组
fx fy
3ay3x2 0 3ax3y2 0
驻点(0,0), (a, a).
②求 A、B、C
A fxx 6x, B fxy 3a, C fyy6y.
③定出 AC B2 的符号
在点(0,0)处, A C B 2(3x 6 y9a2) 9a2 0 (0,0)
f(0,0) 不是极值;
已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,
且lx im 0 f((xx2,y)y2)x2 y1, 则 y0
(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点.
(B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点.
(C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.
2 y 2 z z y 2 4 z y 0
2 （ 2zx ） 2 2 zzx x4 zx x0
2 zxzy2 zzx y4 zx y0 22 (zy)22 zzy y 4 zy y 0
z1 z2
2, 6
在驻点 P(1,1)处, zx 0, zy 0 代入方程组，得
Azxx|P21z, Bzxy|P0,
z2 6
zf(1 , 1 )6为极大值.
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x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
f
( x,
二 . 判定 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 是否极值点, 极大还是极小? 1. 按定义 .
2. 定理 2
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 驻点 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
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例 4. 设二元函数 z x2 y (4 x y) ,
闭区域 D由直线 x y 6 , X 轴和 Y 轴所围成 ,
求函数 z 在 D 上的最大值与最小值 .
y
解 . 先求函数在 D内的驻点
x y6
由
z x z y
2xy(4 x y) x2 y 0 x2(4 x y) x2 y 0
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0,A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
B
C
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例2.讨论函数
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
z z
在点 (0,0) 有极大值; x
y)
x2 y2 , ( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
点 (0, 0) 是极值点但不是驻点
求二元函数 z f ( x , y ) 极值的方法 :
( 与一元函数相类似)
一. 找出可能的极值点: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
1. 偏导数不存在的点 , 2. 驻点
多元函数极值与最值
回顾:
1. 连续函数的极值
定义 . 当 x U ( x0 ) 时 , 均有 f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值 ,(极小值 ) x0 是极值点 .
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2
x
y
2 x
2 y
令
Ax
2(
y
)2
x2
0
得驻点 ( 3
2,3
2)
Ay
2( x
)2
y2
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时, 水箱所用材料最省.
得 D内唯一驻点P 的坐标
x 2
y
1
在 X 轴与Y 轴上 , z 0
D
o
x
z(P) z( 2,1) 4
在直线 x y 6 上 , y 6 x z x2 y(4 x y)
z x2 y (4 x y) x2(6 x) (2) 2 ( x3 6x2 )
d z 2(3x2 12x ) 6x ( x 4) 令 0 dx
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
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例3.某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
及
是否取得极值.
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0
当 x2 y2 0 时, z ( x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
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z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
f
( x,
二 . 判定 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 是否极值点, 极大还是极小? 1. 按定义 .
2. 定理 2
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 驻点 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
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例 4. 设二元函数 z x2 y (4 x y) ,
闭区域 D由直线 x y 6 , X 轴和 Y 轴所围成 ,
求函数 z 在 D 上的最大值与最小值 .
y
解 . 先求函数在 D内的驻点
x y6
由
z x z y
2xy(4 x y) x2 y 0 x2(4 x y) x2 y 0
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0,A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
B
C
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例2.讨论函数
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
例如 :
z
在点 (0,0) 有极小值;
z z
在点 (0,0) 有极大值; x
y)
x2 y2 , ( x, y) (0,0)
0 , ( x, y) (0,0)
点 (0, 0) 是极值点但不是驻点
求二元函数 z f ( x , y ) 极值的方法 :
( 与一元函数相类似)
一. 找出可能的极值点: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
1. 偏导数不存在的点 , 2. 驻点
多元函数极值与最值
回顾:
1. 连续函数的极值
定义 . 当 x U ( x0 ) 时 , 均有 f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
则称 f ( x0 ) 是 f ( x) 的一个极大值 ,(极小值 ) x0 是极值点 .
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2
x
y
2 x
2 y
令
Ax
2(
y
)2
x2
0
得驻点 ( 3
2,3
2)
Ay
2( x
)2
y2
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时, 水箱所用材料最省.
得 D内唯一驻点P 的坐标
x 2
y
1
在 X 轴与Y 轴上 , z 0
D
o
x
z(P) z( 2,1) 4
在直线 x y 6 上 , y 6 x z x2 y(4 x y)
z x2 y (4 x y) x2(6 x) (2) 2 ( x3 6x2 )
d z 2(3x2 12x ) 6x ( x 4) 令 0 dx
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
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例3.某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
及
是否取得极值.
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0
当 x2 y2 0 时, z ( x2 y2 )2 z (0,0) 0
因此
为极小值.
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