高中数学 第一章 三角函数 1-1-1任意角课件 新人教A版必修4

(2)∵－1020°＝－360°×3＋60°，∴和－1020°终边相同的 所有角为 k·360°＋60°，k∈Z.
根据题意有：－720°≤k·360°＋60°<720°， 解之得－163≤k<161，∴k＝－2，－1,0,1. 从而所求的角为： － 2×360°＋ 60°＝ － 660°， － 1×360°＋ 60°＝ － 300°， 0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.
2．象限角 为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与 原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边 在________，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角 (或称为象限界角)．
3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表 示成角α与________的和.
自 1.正角 负角 零角 我 2.第几象限 校
3.α＋k·360°，k∈Z 整数个周角 对
思考探究1 根据角的新定义，角的范围有什么变化？ 提示 角的概念推广后，角的范围不再限于0°～360°，它 应包括任意大小的正角、负角和零角． 思考探究2 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同 吗？ 提示 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同.
终边落在 y 轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在 x 轴上
Байду номын сангаас
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本概念
典例剖析
【例1】 下列各命题正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 【分析】 本题可用排除法予以解答，也可利用角的定义
B．{α|α 小于 90°}
C．{α|α 是第一象限的角} D．以上都不对
解析 ∵－330°∈A∩B，但－330°不是锐角，∴A 错误．∵ －90°∉A∩B，∴B 错误．∵390°∉A∩B，∴C 错误．
答案 D
二 终边相同的角
【例 2】 (1)如图所示，如按逆时针旋转，终边落在 OA 位置时的角的集合是________；终边落在 OB 位置时角的集合 是________．
k∈Z}
(2)终边在坐标轴上的角的集合
角的终边的位置
集合表示
终边落在 x 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在 x 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在 y 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
(2)写出在－720°～720°范围内与－1020°终边相同的角． 【分析】 (2)先写出与－1020°终边相同的所有角，然后取 k 值求满足条件的角．
【解析】 (1)根据终边相同的角的表示，故终边落在 OA 位置时的角的集合是{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边落在 OB 位置时的角的集合是{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}．
3．象限角与坐标轴上的角 (1)象限角的集合
象限角
集合表示
第一象限的角 {α|k·360°<α<k·360＋90°，k∈Z}
{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k 第二象限的角
∈Z}
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， 第三象限的角
k∈Z}
{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°， 第四象限的角
名师点拨 1.角的概念与分类 角的概念是通过角的终边的旋转来推广的．根据角的终边 的旋转“方向”，得到正角、负角和零角． (1)
(2)
(3)射线没有作任何旋转，终边位置与始边位置重合，称 这样的角为零角．
2．终边相同的角 对终边相同的角的概念的理解 (1)角α为任意角； (2)k·360°与α之间用“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋ (－α)； (3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相 同； (4)k∈Z，即k为整数这个条件不可少； (5)终边相同的角表示不唯一．
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．理解并掌握终边相同的角的概念，会表示终边相同的 角所组成的集合． 3．理解并掌握象限角、轴线角的概念.
课前热身 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角 叫做________；按顺时针方向旋转形成的角叫做________；不 作任何旋转形成的角叫做________．
【答案】 (1){α|α＝60°＋k·360°，k∈Z} {β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} (2)－660°，－300°，60°，420°
规律技巧 (1)写出与－1020°终边相同的角的集合时，尽可 能地用一个简单的角，即先把任意角化为 α＋k·360°(k∈Z，且 0°≤α<360°)的形式，关键是确定 k，用观察法或用除法；
直接判断．
【解析】 解法1：对于A，－60°和300°是终边相同的 角，它们并不相等，则排除A；对于B,390°是第一象限的角， 但它不是锐角，则排除B；对于D，－60°是小于90°的角，但 它不是锐角，则排除D.综上知，应选C.
解法2：因为锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限的角的 集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，当k＝0时，两集合相 等，所以锐角是第一象限的角．
【答案】 C
规律技巧 要想否定一个命题，只需举出一个反例即可， 解法1就是恰当地举出一个反例，将A、B、D三个选项予以排 除，从而确定选项C；要想肯定一个命题，则需严格推证.
变式训练 1 已知集合 A＝{α|α 小于 90°}，B＝{α|α 为第一
象限的角}，则 A∩B＝( )
A．{α|α 为锐角}