北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三数学测试
北京西第四中学2020年高三数学理测试题含解析
北京西第四中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是纯虚数，则（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 函数是A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数参考答案：D略3. ()A. 8B.－8C.D.参考答案：C【分析】利用诱导公式将化为，通分后可利用二倍角公式和辅助角公式将所求式子化为，由可约分得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用.4. 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式，若在两边同乘以，并令，则左边.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则（）A．-2 B．1 C. -1 D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.5. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )参考答案：B三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选6.已知等差数列，则n的值为（） A．18 B．17 C．16 D．15参考答案：答案:D7. 下列命题中是假命题的是A.，使是幂函数B. ，函数都不是偶函数C.，使D. ，函数有零点参考答案：B8.如上右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为（）A． B． C． D．2参考答案：答案：C9. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥，n∥，则m⊥n；②若∥，∥，m⊥，则m⊥；③若m∥，n∥，则m∥n；④若⊥，⊥，则∥。
其中正确命题的序号是A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A略10. 已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，若a∥b，则λ等于（）A、 B、－2 C、－ D、－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则．参考答案：答案：12. 如图，已知，，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是．参考答案：13. 给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）参考答案：21，43.14. 数列{14－2n}的前n项和为S n，数列{︱14－2n︱}的前n项和为S n′，若S n的最大值为S m，则n≥m时，S n′＝参考答案：15. （理）如图是一个算法框图，则输出的的值是_______．参考答案：略16. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .参考答案：17. 在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则= ．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
北京四中 2019-2020 学年度第二学期高三年级统练数学学科PDF无答案
高三数学2020.4.21试卷满分150分 考试时间120分钟一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．tan 570= （A）3（B）3-（C（D）22．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）843．下列选项中，说法正确的是（A ）“2000,0x x x ∃∈-R ”的否定是“2,0x x x ∃∈->R ”（B ）若向量,a b 满足0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角 （C ）若22am bm ，则a b（D ）“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件4．已知0a >，0b >，1a b +=，若1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（A ）8 （B ）83（C ）4（D ）436．函数ππtan()42y x =-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=（A ）6 （B ）5（C ）4 （D ）37．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（A ）15（B ）625（C ）825（D ）258．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB p = （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）39．ABC ∆中，三边的长为,,a b c ，若函数32221()(+)13f x x bx a c ac x =++-+有极值点，则B∠的取值范围是（A ）π(0,)3（B ）π(0,]3（C ）π[,π]3（D ）π(,π)310单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（*N i ∈）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （A ）1 （B （C （D ）0二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均 数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为 ．12．在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 ．（用数值作答）13．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 ．14．已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．15．函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（π0,0,02A ωϕ>><<）的最大值为3，若()f x 的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(2015)f f f +++= ．三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）已知如图1，在Rt ABC∆中，30ACB∠=︒，90ABC∠=︒，D为AC中点，AE BD⊥于E，延长AE交BC于F，将ABD∆沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A DC B--的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B AEF-与四棱锥A FEDC-的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．图1 图217．（本小题满分14分）已知函数π()sin()(0,)2f x xωϕωϕ=+><恰好满足下列三个条件中的两个条件：①函数()f x的最小正周期为π；②π6x=是函数()f x的对称轴；③π()04f=且在区间ππ(,)62上单调，（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数()f x的解析式；（Ⅱ）若π[0,]3x∈，求函数()f x的值域．某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b 最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）19．（本小题满分14分）已知点()1,2P 到抛物线C ：()220y px p =>准线的距离为2． （Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，求MF NF ⋅的值．设函数2()ln f x ax a x =--，1e()ex g x x =-，其中a ∈R ，e 2.718=为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立．21．（本小题满分14分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练1数学学科
数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =I （A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{2,1,0}-- （D ）{2,1,0,1}--2. 直线10x y +-=与圆2222ππcos cos 36x y +=+的公共点的个数 （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）不能确定3. 若复数z 满足23i z z +=-（z 是z 的共轭复数），则||z =（A ）2（B（C（D ）34. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P <<（D ）R P Q <<5. 给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. “sin 0α=”是“sin20α=”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 （A ）新加坡（570万） （B ）希腊（1100万） （C ）津巴布韦（1500万） （D ）澳大利亚（2500万）8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（A ）83 （B ）23（C ）43（D ）29. 已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩≤≤则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(1,1]-内的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）310.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，那么下列命题正确的是 （A ）若{}n a M >，则数列{}n a 各项均不小于M （B ）若{}n a M >，{}n b M >，则{}2n n a b M +>（C ）若{}n a M >，则22{}na M > （D ）若{}n a M >，则{21}21n a M ++>二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题Word版含解析
由函数 y f x 的周期性和奇函数的性质可得出
C. 1 f 2019 f 1
D. 2 f 1 ，代入解析
式可得出 f 2019 的值 .
【 详解】 由于函 数 y f x 定义在 R 上 周期 为 4 的奇 函数，且 当 x 0,2 时， f x x2 ln x ，
f 2019 f 4 505 1 f 1
A. 14
B. 21
C. 28
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质得到 a4 4 ，再计算 a1 a2
a7 7a4 得到答案 .
D. 35
【详解】数列 { an} 是等差数列，则 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 ；
a1 a2
a7 7a4 28
故选： C
【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用
1 时计算得到答案 .
【详解】 f x
）
2
A. x﹣ 2y＝ 0
B. x﹣ y﹣ 1＝ 0
C. x﹣ 2y﹣ 1＝0
﹣3＝ 0
【答案】 C
【解析】
【分析】
D. 2x﹣ 2y
求导得到 y '
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
1 ,y'
2
1
，计算得到切线方程 .
2
【详解】 y
1 ln（ x 1） y ' 2
1 2 x 1 ，当 x
2 时， y
，得
sin2
sin 2 k
sin 1
4
2
成立；反之，若
sin2 1，则
2 2k 2
k 4
，
得
sin cos ，故 ?sin cos ?是 “sin2 1?的充分必要条件 .
2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B ⋃=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}2,1,0-- C ．{}2,1-- D ．{}1-【答案】B【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A ，再根据并集的定义求解A B . 【详解】由()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，得{}1,0A =-， 结合{}2,1B =--，可知{}2,1,0A B =--. 故选：B.2．已知i 为虚数单位，则复数12i13iz +=-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的除法法则化简复数z ，即可得到对应的坐标. 【详解】()()()()12i 13i 12i 55i 11i 13i 13i 13i 1022z +++-+====-+--+ 则复数z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限．故选：B ．3．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．4．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，.AB BC ⊥则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）A ．1AA 和BCB ．1AB 和1BC C ．1A B 和BCD ．AB 和1B C【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥； 对于B ，1AB 与1BC 不一定垂直； 对于C ，因为1AA BC ⊥，AB BC ⊥，且1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ,所以BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ,所以1AB BC ⊥；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，11//CC AA ，所以1CC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ,所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，且1BC CC C =，1,BC CC ⊂平面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B ⊥C . 故选：B ．5．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且1=2AE AB ，2=3BF BC ，如果=+EF mAB nAC （m n ，为实数），那么m n +的值为 A ．12-B ．0C ．12D ．1【答案】C【详解】 由题意得，如图所示1123EF EA AC CF AB AC BC =++=-+-1112()2363AB AC BA AC AB AC =-+-+=-+, 所以12,63m n =-=，所以12m n +=，故选C.6．已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2【答案】C【解析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 22101211-+=+故选：C.【点睛】点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B+++.7．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为4π，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于直线3x π=对称C ．函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增 【答案】C【详解】分析：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，求出ω，可得()f x 的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，24ππω∴=，12ω∴=， ()1n 26si f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由对称中心横坐标方程：1,26+=∈x k k Z ππ，可得23x k ππ=-，∴A 不正确；由对称轴方程：1,262x k k Z πππ+=+∈，可得22,3x k k Z ππ=+∈， ∴B 不正确；函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位，可得：1sin sin 2236x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称， ∴C 正确；令122,2262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 可得：4244,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数f （x ）在区间（0，π）上不是单调递增， ∴D 不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．8．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．若直线AF 的斜率为PF =A ．B ．6C ．8D ．16【答案】C【分析】写出直线AF 的方程，求得A 点坐标，即可求得P 点坐标，利用抛物线定义即可求得答案.【详解】∵抛物线方程为28y x = ， ∴焦点F (2,0)，准线l 方程为2x =- ，∵直线AF 的斜率为直线AF 的方程为2)y x =- ，由)22x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,可得A 点坐标为(2,A -， ∵P A ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为代入抛物线方程28y x =,得P 点坐标为(6,P ， ∴()628PF PA ==--= ，故选:C9．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,4 C ．()()0,11,+∞ D ．()()0,11,4⋃【答案】D【分析】()f x 在40x -≤<关于y 轴对称记为()g x ，转化为()g x 与()f x 只有一个交点，即可求解.【详解】[4,0)x ∈-时，()f x 关于y 轴对称记为()|3|,(0,4]g x x x =-+∈， 依题意()g x 与()f x 只有一个交点，当01a <<，()g x 与()f x 只有一交点，满足题意。
2020年4月北京市第四中学高三下学期月考数学试卷(解析)
与
则“
”是
”的否定是“
，
，即
”，∴ 选 ，
，但
不一定成立，错误；
如下图，阴影部分是 所在区域，
的必要条件，正确．
故选 D .
4. C 【解析】 由题意知：
，
又∵
，
，
，由
，
得 ∴ 当 故选 ．
时，
，当且仅当
时，等号成立，
，
有最小值，最小值是 ．
5. D
【解析】 由三视图可知：几何体是对角线长为 的正方形， 侧棱垂直于底面的四棱锥， 侧棱长为 ，则该几何体的体积是 ．
则由
是函数 的对称轴，
知，
，
即
，所以
，
由 在区间
上单调知
，
即
，
两者矛盾，则假设不成立，
假设这 个条件是①③，
则由 的周期为 ，
得
，即
，
又
，
所以
，
，
得
，
，
因为
，
所以不存在满足条件的 值，则假设不成立，
所以
满足的条件是①②，
由函数 的周期为 ，
得
，即
，
由
是函数 的对称轴，
得：
，
，
即
，
，又
，所以
，
所以 的解析式为
．
所以
．
由 的任意性知， 的取值集合为
．
6. A
【解析】 由
的图象知
，
令，∴，， Nhomakorabea即
，
∴
，
令
，
∴
，
，
即
，
∴
，
【精编精校卷】2022届北京四中高三开学考试数学试题(解析版)
2022届北京四中高三开学考试数学试题一、单选题1．设集合{}A x x a =>，集合{}0,1B =，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a <C ．0a <D ．0a ≤【答案】B【分析】直接由A B ⋂≠∅求解即可【详解】因为集合{}A x x a =>，集合{}0,1B =， A B ⋂≠∅， 所以1a <， 故选：B2．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B【详解】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B.【解析】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .3．已知直线()1:210l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．2或-1 C ．0或-3 D ．-3【答案】C【解析】由12l l ⊥，结合两直线一般式有12120A A B B +=列方程求解即可. 【详解】由12l l ⊥知：(2)0a a a ++=,解得：0a =或3a =- 故选：C .4．数列{}n a 满足12n n a a +=（0n a ≠，n *∈N ），且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2nB ．21n -C ．12n -D ．121n --【答案】B【分析】由递推公式得到等比数列，公比为2，进而求出首项，求出前n 项和. 【详解】12n n a a +=（0n a ≠，n *∈N ），则{}n a 为等比数列，公比为2，又32411122?1010a a a a a +=+==，解得：11a =，所以12122112nn n a a a -++⋅⋅⋅+==--. 故选：B5．已知直线m ，n 和平面α，若n α⊥，则“m α⊂”是“n m ⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面垂直的性质得到充分性成立，由反例得到必要性不满足，求出答案. 【详解】若n α⊥，m α⊂，则n m ⊥，故充分性成立，若n m ⊥，n α⊥，则m α⊂或m ∥α，故必要性不满足，“m α⊂”是“n m ⊥”的充分不必要条件. 故选：A6．若直线10x y -+=与圆222x a y 有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]3,1--B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．][1(),3,-∞-⋃-+∞【答案】C【分析】由圆心到直线距离小于等于半径列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】222x a y 圆心为(),0a ，≤解得：[]3,1a ∈-. 故选：C7．已知向量()cos ,sin OA ββ=，将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB （090θ︒<<︒），则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．OA OB OA OB +>- B ．2AB <C ．OA OB OA OB +=- D ．()()OA OB OA OB +⊥-【答案】C【分析】由题意得到四边形OACB 为菱形，且π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由两边之和大于第三边判断A 选项，利用余弦定理求出B 选项，利用模的平方求出模的范围，判断C 选项，利用数量积为0判断D 选项.【详解】由题意得：1OA OB ==，四边形OACB 为菱形，且π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由两边之和大于第三边，可得：OA OB OA OB BA +>-=，A 正确； 因为090θ︒<<︒，所以cos 0θ>，故2222cos 112cos 2AB OA OB OA OB θθ=+-=+-<，所以2AB <，B 正确； 2222cos 22cos 2OA OB OA OA OB OB θθ+=+⋅+=+>，则2OA OB +>，()2222cos 22cos 0,2OA OB OA OA OB OB θθ-=-⋅+=-∈，则()0,2OA OB +∈，故OA OB OA OB +>-，C 错误；()()220OA OB OA OB OA OB +⋅-=-=，故()()OA OB OA OB +⊥-，D 正确.故选：C8．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.9．如图，在边长为m 的正方形组成的网格中，有椭圆123,,C C C ，它们的离心率分别为123,,e e e ，则A ．123e e e =<B ．231e e e =<C ．123e e e =>D ．231e e e =>【答案】D【详解】试题分析：由图可知23,C C 表示的离心率相等为32,观察知1C 的比23,C C 要圆,根据离心率的几何意义知, 1C 的离心率要比23,C C 的离心率小.故本题答案应选D. 【解析】椭圆的离心率．10．如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（ ）A ．有极小值点，没有极大值点B ．有极大值点，没有极小值点C ．至少有两个极小值点和一个极大值点D ．至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C【分析】由题设()()F x k f x ''=-，令y kx =与()y f x =切点横坐标为12,x x 且12x x <，由图存在012(,)x x x ∈使()00F x '=，则()F x '有三个不同零点102x x x <<，结合图象判断()F x '的符号，进而确定()F x 单调性，即可确定答案.【详解】由题设，()()F x kx m f x =+-，则()()F x k f x ''=-， 又直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点且横坐标为12,x x 且12x x <， 所以()0F x '=的两个零点为12,x x ，由图知：存在012(,)x x x ∈使()00F x '=， 综上，()F x '有三个不同零点102x x x <<，由图：1(0,)x 上()0F x '<，10(,)x x 上()0F x '>，02(,)x x 上()0F x '<，2(,)x +∞上()0F x '>，所以()F x 在1(0,)x 上递减，10(,)x x 上递增，02(,)x x 上递减，2(,)x +∞上递增. 故()F x 至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 二、填空题11．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为______． 【答案】-20【分析】由二项式定理，展开式的通项公式求出指定项的系数. 【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式()()()6212316611rrrrr rr r T C x x C x ---+=-=-，令1233r -=，解得：3r =，则()333346120T C x x =-=-，所以3x 的系数为-20.故答案为：-2012．双曲线222:13x y C a -=0y +=，则C 的焦距为__________【答案】4【分析】0y +=求出a ，即可求出答案.【详解】双曲线222:13x y C a -=的渐近线为y =，0y y +=⇒=，1a =±. 2221342c a b c =+=+=⇒=.C 的焦距为24c =.故答案为：4.13．在ABC 中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =_______．【答案】4【详解】由题意，222212cos 4(7)22(7)4b a c ac B b b ⎛⎫=+-=+--⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭，整理可得：1560b =，解得4b =．14．已知抛物线()2:20C y px p =>，点A 为第一象限内C 上一点．抛物线C 的焦点F关于原点的对称点为K ．过A 作抛物线C 准线的垂线，垂足为B ．若直线FA四边形ABKF 的面积为p =______．【答案】2【分析】设出A 点坐标，利用四边形ABKF 的面积及直线F A 的斜率列出方程，求出p . 【详解】,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则FK p =，设(),2A m pm ，则2p AB m =+，由题意得：22632p p m pm ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭=①，且232pm p m =-②，解得：32m p =或6p m =， 由②得：02pm ->，故6p m =不成立，舍去， 把32m p =代入①得：2p = 故答案为：215．正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，对角线1AC 上一点P （异于A ，1C 两点）作正方体的截面α，且满足1AC α⊥，有下列命题：①截面多边形只可能是三角形或六边形；②截面多边形只可能是正多边形；③截面多边形的周长L 为定值；④设AP x =，截面多边形的面积为S ，则函数()()12S g x x =≤≤是常数函数．其中所有正确命题的序号是______． 【答案】①【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定可得1AC ⊥面1BDA 、1AC ⊥面11B D C ，以截面α为面1BDA 、面11B D C 为临界截面，讨论P 的位置判断截面图形的性质，即可判断①②③，再由(1,3]AP x =∈时截面α为正三角形且边长为3x 即可判断④. 【详解】连接111111,,,,,A B BD DA B D B C CD ，由1AC 在1111,ABB A ADD A 上的射影分别为11,AB AD ，又1111,AB A B AD A D ⊥⊥，即1111,AC A B AC A D ⊥⊥，111A B A D A =，所以1AC ⊥面1BDA ，同理1AC ⊥面11B D C ，即截面α可能为面1BDA 、面11B D C ，此时截面为正三角形；而当P 在1AC 与面1BDA 、面11B D C 的交点之间运动时，根据正方体的性质知：截面α为六边形，但不一定是正六边形，即截面交相关棱于中点时才是正六边形(如上图示)， 而当P 在1AC 与面1BDA 交点左下方、面11B D C 交点右上方运动时，截面α为正三角形， 所以①正确，②错误；显然P 在1AC 与面1BDA 交点左下方，截面周长小于截面1BDA 的周长，故③错误； 由题设，当(1,3]AP x =∈时截面α为正三角形且边长为3x ，所以2334S x =，故()()12S g x x =≤≤不是常数函数，④错误.故答案为：①.【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线面垂直的判定找到P 在移动过程中截面形状发生变化的临界截面，进而判断临界截面两侧截面多边形的性质. 三、解答题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D ，E ，F 分别为棱11A C ，11B C ，1BB 的中点.(1)求证：1//AC 平面DEF ；(2)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为30°？如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，1AP =【分析】（1）如图所示，连接1A B ，交1AB 于点O ，连接OD ，OE ，OF ，利用三角形中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理可得：四边形OFED 是平行四边形．即OE ⊂平面DEF ；又1//OE AC ，利用线面平行的判定定理即可证明结论1//AC 平面DEF ．（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设(2P ，0，)t ，[0,2]t ∈，设平面1ACB 的法向量为(n x =，y ，)z ，则10n CA n CB ==，可得n ．利用sin30cos ,n PD ︒=，向量夹角公式即可得出．【详解】(1)证明：如图所示，连接1A B ，交1AB 于点O ，连接OD ，OE ，OF ， 则O 为1AB 的中点，因为点D ，E ，F 分别为棱11A C ，11B C ，1BB 的中点， 所以1//OE AC ，12OF AB =且OF AB ∕∕，1112DE A B =且11DE A B ∕∕，又11AB A B =且11AB A B ∕∕，所以OF DE =且OF DE ∕∕， 所以四边形OFED 是平行四边形．OE ∴⊂平面DEF ； 又1//OE AC ，1AC ⊄平面DEF ；OE ⊂平面DEF ． 1//AC ∴平面DEF ；(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系．则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，1(0B ，2，2)，(1D ，0，2)， 设(2P ，0，)t ，[0t ∈，2]，则(1PD =-，0，2)t -，(2CA =，0，0)，1(0CB =，2，2)， 设平面1ACB 的法向量为(n x =，y ，)z ，则10n CA n CB ==， 20x ∴=，220y z +=，可取(0n =，1，1)-，sin30∴︒=|2|cos ,21(2t n PD t -=+-，化为：2430t t -+=．[0t ∈，2]．解得1t =．(2P ∴，0，1)， 所以||1AP =．在线段1AA 上存在一点P ，为线段1AA 的中点，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为30，1AP =．17．已知函数()()2πsin cos cos 04f x x x x ωωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+>，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知． (1)求()f x 的单增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC 面积最大值．①()f x 在区间(),m n 上单调递减，n m -的最大值为π2；②()f x 离y 轴最近的对称轴为4πx =±； ③()f x 的最小正周期为π．【答案】(1)选①②③答案一样，均有单增递增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(2)选①②③答案一样，均有ABC 23+【分析】（1）选①②③均有最小正周期πT =，进而根据化简后的函数解析式求出1ω=，利用整体法求解单调递增区间；（2）先由第一问求出π6A =，利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值.【详解】(1)选①()f x 在区间(),m n 上单调递减，n m -的最大值为π2；则最小正周期πT =，()21sin π1πsin cos cos 1cos 242222f x x x x x x ωωωωω⎡⎤=-+-++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎢⎣⎭⎥⎦111sin 2sin 2sin 222122x x x ωωω-==+-，因为0>ω，所以2ππ2ω=，解得：1ω=， 所以()1sin 22f x x =-，令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，k Z ∈，解得：ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，令π3π2π22π22k x k +≤≤+，k Z ∈，解得：π3πππ,44k x k k Z +≤≤+∈，则求()f x 的单增递增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，选②()f x 离y 轴最近的对称轴为4πx =±； ()21sin π1πsin cos cos 1cos 242222f x x x x x x ωωωωω⎡⎤=-+-++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎢⎣⎭⎥⎦111sin 2sin 2sin 222122x x x ωωω-==+-，由题意得：最小正周期为πT =，因为0>ω，所以2ππ2ω=，解得：1ω=， 所以()1sin 22f x x =-，令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，k Z ∈，解得：ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，令π3π2π22π22k x k +≤≤+，k Z ∈，解得：π3πππ,44k x k k Z +≤≤+∈，则求()f x 的单增递增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，选③()f x 的最小正周期为π；()21sin π1πsin cos cos 1cos 242222f x x x x x x ωωωωω⎡⎤=-+-++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎢⎣⎭⎥⎦111sin 2sin 2sin 222122x x x ωωω-==+-，因为0>ω，所以2ππ2ω=，解得：1ω=， 所以()1sin 22f x x =-，令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，k Z ∈，解得：ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，令π3π2π22π22k x k +≤≤+，k Z ∈，解得：π3πππ,44k x k k Z +≤≤+∈，则求()f x 的单增递增区间为πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，(2)由（1）可知，选①②③答案一致，以下为解题过程：1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6A =，又1a =，所以221cos 2b c A bc +-==，即221b c ++，由基本不等式得：222b c bc +≥，当且仅当b c =12bc +≥，解得：2bc ≤，则11sin 22ABCSbc A =≤=，即ABC 18．暑假里大学二年级的H 同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H 同学记录了打工期间A 水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．(1)若超市明天购进A 水果150千克，求超市明天获得利润X （单位：元）的分布列及期望；(2)若超市明天可以购进A 水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为743元 (2)两种都选超市应购进160千克，理由见解析【分析】（1）求出X 的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望； （2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，求出Y 的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，同理求得分布列和期望即可求解. 【详解】(1)若A 水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=，且()56800.150P X ===， 若A 水果日需求量不少于150千克，则()1501510750X =⨯-=，且()75010.10.9P X ==-=，故X 的分布列为：()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元(2)设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，则Y 的可能取值为1405202⨯-⨯，1505102⨯-⨯，1605⨯，即660,730,800且()56600.150P Y ===，()107300.250P Y ===，()358000.750P Y ===，则()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=， 因为772743>，所以超市应购进160千克.若剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，同理，可得,X Y 的分布列()6700.17500.9742E X =⨯+⨯=元()6400.17200.28000.7768E Y =⨯+⨯+⨯=元因为768742>，所以超市应购进160千克. 19．己知函数()ln 1x f x ax x-=-． (1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程； (2)若12a <<，求证：()1f x <-． 【答案】(1)30y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在()()1,f x 处的切线方程即可. （2）将问题转化为证明ln 1()10x g x ax x-=-+<在(0,)+∞上恒成立，求导得222ln ()x ax g x x --'=，构造中间函数求判定()g x '的单调性和零点0x 的区间，进而得到0()()g x g x ≤，再利用导数研究0()g x 在0x 所在区间的符号，即可证结论.【详解】(1)由题设，ln 1()2x f x x x -=-，则22ln ()2x f x x -'=-， 所以()01f '=，而(1)3f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程为30y +=. (2)由()1f x <-，即ln 110x ax x --+<，令ln 1()1x g x ax x-=-+且定义域为(0,)+∞， 所以2222ln 2ln ()x x ax g x a x x ---'=-=，若2()2ln h x x ax =--，可得1()20h x ax x'=--<，又12a <<，所以()g x '在(0,)+∞上递减，(1)20g a '=->，2(e )0g a '=-<，则存在20(1,e )x ∈使00()g x '=，所以0(0,)x 上()0g x '>，0(,)x +∞上()0g x '<，即()g x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x +∞上递减.所以0000ln 1()()1x g x g x ax x -≤=-+，又200ln 2x ax =-，故2000012()x ax g x x +-=， 令2()12x x ax ϕ=+-，则()14x ax ϕ'=-且2(1,e )x ∈，故()0x ϕ'<， 所以()ϕx 在2(1,e )上递减，则()(1)2(1)0x a ϕϕ≤=-<，即0()0g x 在2(1,e )上恒成立，综上，0()()0g x g x ≤<，即()1f x <-，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为ln 1()10x g x ax x-=-+<在(0,)+∞上恒成立，再利用中间函数及导数证明恒成立.20．已知圆()22:18C x y ++=，定点1,0A ，M 为圆上一动点，点P 为AM 中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N ． (1)求点N 运动轨迹E 的方程；(2)若过()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G ，H （G 在FH 之间），且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)2212x y +=(2)1[,1)3【分析】（1）利用线段的垂直平分线定理推得2NC NA NC NM CA +=+=>=，再利用椭圆的定义得到点N 的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程； （2）不妨设FH 斜率为k ，且将原点移至F ，则直线FH 方程为y kx =，椭圆的方程变为22(2)12x y +-=，联立方程组，结合题设条件，即可求解λ的取值范围. 【详解】(1)解：因为M 为圆上一动点，点P 为AM 中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N ，可得AP PM =且NP MA ⊥， 所以NP 为线段AM 的垂直平分线，所以NA NM =，2NC NA NC NM CA +=+=>=，所以动点N 的轨迹是以(1,0),(1,0)C A -为焦点的椭圆，且长轴长为222A =，焦距22c =，所以2,1a c ==，所以2221b a c =-=， 曲线E 的方程为2212x y +=.(2)解：当斜率不存在时，直线与曲线E 有2个交点，此时参数的值为13λ=，不妨设FH 斜率为k ，且将原点移至F ， 则直线FH 方程为y kx =，椭圆的方程变为22(2)12x y +-=， 将直线方程代入椭圆的方程22(2)12x y +-=，整理得22(12)860k x kx +-+=，直线与曲线E 有两个不同的交点，故222(8)46(12)16240k k k ∆=--⋅+=->，解得232k >， 因为左右对称，可以研究单侧，当0k >时，221222321816242381624212x k k k x k k kλ-----===+-+-， 令231(0,1)2t k =-∈，则2,(0,1)2t t t λ-=∈+， 由于412t λ=-+，故函数在(0,1)t ∈上是减函数，故113λ<<， 综上可得，实数λ的取值范围是1[,1)3.21．若实数数列{}n a 满足()21n n n a a a n N *++=-∈，则称数列{}n a 为“Q 数列”．(1)若数列{}n a 是Q 数列，且10a =，42a =，求3a ，5a 的值； (2)若数列{}n a 是Q 数列：①试判断：{}n a 的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；②若数列{}n a 中不含值为零的项，记{}n a 前2016项中值为负数的项的个数为m ，求m 所有可能的取值． 【答案】(1)351a a ==(2)①数列{}n a 不可能全是正数，也不可能全是负数，理由见解析；②{}672【分析】（1）代入求值即可；（2）①用反证法证明；②结合①中结论得到{}n a 中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，又得到{}n a 的周期为9，且9,k k a a +，这9项中，4,k k a a +为负数，58,k k a a ++这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，对前5项的正负分情况得到负数的个数，求出最后结果.【详解】(1)因为{}n a 是Q 数列，且10a =，所以3212a a a a =-=，43222a a a a a =-=-，所以222a a -=，解得：21a =-，所以321a a ==，543211a a a =--==； (2)①数列{}n a 不可能全是正数，也不可能全是负数，理由如下：假设“Q 数列”{}n a 的项全是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，这与假设矛盾，故“Q 数列”{}n a 的项不可能全是正数；假设“Q 数列”{}n a 的项全是负数，则0n a <，而210n n n a a a ++->=，与假设矛盾，故数列{}n a 不可能全是正数，也不可能全是负数，②由①可知，{}n a 中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，因此存在最小的正整数k 满足0k a <，()105k a k +>≤，设k a a =-，()1,0k a b a b +=>，则2k a b a +=+，3k a a +=，4k a b +=-，5k a b a +=-，6k a b a b +=-+，7k a b a a +=-+，8k a a b +=-，9k a a +=-，10k a b +=，……，故9k k a a +=，所以{}n a 的周期为9，所以9,k k a a +，这9项中，4,k k a a +为负数，58,k k a a ++这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，因为20169224=⨯，所以当1k =时，m =3×224=672； 当25k ≤≤时，121,,k a a a -这（k -1）项至多一个为负，而且负数项只能是1k a -，记12016,,k k a a a +这()2017k -项中负数项个数为t ，当2,3,4k =时，若10k a -<，则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数，此时t =671，m =671+1=672；若10k a ->，则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +是负数，此时t =672，m =672； 当5k =时，1k a -必须为负数，671,672t m ==， 综上：m 的取值集合为{}672.【点睛】定义新数列，要结合题目信息，运用所学的不等式，周期等知识进行求解，分类讨论是处理定义新数列最常用的方法.。
北京四中2019-2020学年度第二学期高三统练2数学学科 含答案
（A）21
（B）42
（C）63
3．下列选项中，说法正确的是 （A）“ x0 R, x02 − x0 0 ”的否定是“ x R, x2 − x 0 ” （B）若向量 a,b 满足 a b 0 ，则 a 与 b 的夹角为钝角 （C）若 am2 bm2 ，则 a b （D）“ x (A B) ”是“ x (A B) ”的必要条件
的取值范围是
（A） (0, ) 3
（B） (0, ] 3
（C）[ , ] 3
（D） ( , ) 3
10． ABCD − A1B1C1D1 单位正方体，黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱 称 为 “ 走 完 一 段 ” ． 白 蚂 蚁 爬 地 的 路 线 是 AA1 → A1D1 → ， 黑 蚂 蚁 爬 行 的 路 线 是 AB → BB1 → ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i + 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直 线（ i N* ）．设白，黑蚂蚁都走完 2020 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白 两蚂蚁的距离是
某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如下表：
日期
1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
元件 A 个数 9
15 12 18 12 18
9
9
24 12
日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日
2
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D）0
二．填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组 5 名同学成绩的平均
北京市第四中学2019届高三数学调研卷(二)文(含解析)
北京市第四中学2019届高三数学调研卷（二）文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。
已知全集,，，那么等于（）A。
B.C. D。
【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】由题得或，,。
故选：C【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得:z=2−i，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：z=1+2ii =i+2i2i2=i−2−1=2−i，则复数z对应的点为(2,−1)，位于第四象限。
本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则,各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知曲线C1:y=sinx，C2:y=sin(2x−2π3)，则下面结论正确的是( ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2C。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2D。
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】对于选项A, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x−π3)=sin(12x−π6),所以选项A是错误的；对于选项B, 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin12(x+π3)=sin(12x+π6),所以选项B是错误的；对于选项C，曲线C1:y=sinx,把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,得到y=sin2x，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2:y=sin(2x−2π3),所以选项C是正确的；对于选项D, 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线y=sin2(x+π3)=sin(2x+2π3)，所以选项D是错误的。
2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题(解析版)
北京四中2020届高三第二学期统练数学试卷一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.tan570°=（ ）A.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan 570°=tan （360°+210°）=tan 210°=tan （180°+30°）=tan 30° 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A.21 B. 42C.63 D. 84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.3.下列选项中，说法正确的是（ ）A. “20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，” B. 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角 C. 若22am bm ≤，则a b ≤ D. “()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件【答案】D【解析】 【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角；对于C 当m =0时，满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m =0时,满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立，因此不正确； 选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确.故选：D .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.4.已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a >0，b >0，a +b =1，∴211111152a b a bab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.5.某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. 8B. 83C. 4D.43【答案】D【解析】【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为P A=2，∴四棱锥的体积为21242323 V=⋅⋅=.故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.6.函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈k =0时解得x =2， 令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=u u u r u u u r u u u r.故选：A .【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.7.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A.15B.625C.825D.25【答案】A 【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）． A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，3b a =3y x =，求出交点3(,)22p A -，3(,)22p B --，132AOB S ∆=⨯224p p ==2p =；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.10.单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A. 1B.C.D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ， 即过6段后又回到起点， 可以看作以6为周期， 由202063364÷=L，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，所以它们此时的距离为2.故选B .【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】根据茎叶图中的数据，得： 甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815x ⨯+++++=，解得0x =；又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；033x y -=-=-.故答案为：3-.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.12.在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答） 【答案】-40 【解析】 【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项()51031521rr rr r T C x --+=-，再令10-3r =1，得r =3即可得出x 项的系数【详解】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()()5251031551221rrr rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭， r =0，1，2，3，4，5， 令1031,3r r -==，所以5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为()3325=4210C ⋅--.故答案为：-40.【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题. 13.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14.已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 【答案】（-4，2） 【解析】试题分析：因为21442(2)()4+428y x y x x y x y x y x y x y+=++=+≥+⨯=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<<考点：基本不等式求最值 15.已知函数()()2cos10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><<⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=【答案】【解析】，由题意，得,解得，则的周期为4，且，所以.考点：三角函数的图像与性质.三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示。
北京市第四中学2019届高三高考热身练习数学(理)试题(PDF版)
绝密★启封前★机密2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）（本试卷共150分，考试时长120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z 的实部与虚部之和为（A ）2- （B ） 2 （C ） 1 （D ） 03．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）14. 设 a ∈R ，b > 0，则“3a b >”是“ 3log a b >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若变量,x y 满足约束条件1236x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，2z x y =+的最小值为（A ）185 （B ） 103（C ）3 （D ） 16. 在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AD AB ⋅的值为（A ）48 （B ） 24 （C ）12 （D ）6i =1，S =0开始i =i +1输出S 结束否是7. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则直线l 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）1-8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时， 函数()y f x =的值域为（A ）[26,66] （B ）[26,18] （C ）[36,18] （D ）[36,66]二、填空题共6道小题，每小题5分，共30分9．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则2019a =______．10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．11．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______． （用数字作答）12. 已知双曲线2213x y -=，则该双曲线离心率e=_______，渐近线方程为______．13. 在ABC ∆中，3a =，26b =，2B A ∠=∠．cos A 的值为 ； c 的值为______．14. 已知函数21,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())f f x m =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的取值范围为________.侧(左)视图2 A BA 1B 1D C D 1 C 1P三、解答题共6道小题，共80分 15. （本小题13分）已知向量(3cos ,0)a x =，(0,sin )b x =，记函数2()()3sin 2f x a b x =++．求： (Ⅰ) 函数f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合； (Ⅱ) 函数f (x )的单调递增区间．16. （本小题14分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，45ABC ∠=，2AB AC ==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =.（Ⅰ）求证：直线//PB 平面MNC ； （Ⅱ）求证：平面MNC ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.17.（本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :分钟/天DB(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记为选出的两人中甲大学的人数，求的分布列和数学期望；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18．(本小题13分)已知椭圆2222:1x y M a b +=（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为（2，0），y =x +m 交椭圆于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）设点C （1，1），当△ABC 的面积为1时，求实数m 的值．19.（本小题满分14分） 已知函数()ln 2f x x x =+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >. 证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.20.（本小题13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．ξξ()E ξ答题纸班级_________ 姓名_________ 成绩__________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡上二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题：本大题共6小题，共80分参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分三、解答题15. （本小题满分13分） 解：（1）2()()3sin 2f x a b x =++212cos 2cos 222x x x x =++=+2sin(2)26x π=++当且仅当32262x k πππ+=+，即2()3x k k Z ππ=+∈时，f (x )min =0此时x 的集合是2|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数f (x )的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =，所以12OD OB =，又因为2PN ND =，即12ND PN =，所以//ON PB ，又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线//PB 平面MNC .（Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD 所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45ABC ∠=，2AB AC ==，所以AB AC ⊥如图，以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,2,0)B C ，(2,2,0),(1,1,0)D M -- 因为PM ⊥平面ABCD 设(1,1,)P t -(0)t >，则(1,1,)AP t =-，(1,1,0)CM =--，(2,2,0)AD =- 所以2200CM AD ⋅=-+=，1100CM AP ⋅=-+= 所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为APAD A =所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC 所以平面MNC ⊥平面PAD .（Ⅲ）解：因为(2,0,0)AB =，(1,1,)AP t =- 设(,,)x y z =m 为平面ABP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-++=⎩不妨设(0,,1)t =-m因为(2,0,0)DC =，(1,1,)DP t =- 设(,,)x y z =n 为平面DCP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-+=⎩不妨设(0,,1)t =n因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以⊥m n ，所以210t ⋅=-=m n 以为0t > 所以1t =所以(3,1,1)BP =-，(0,1,1)=n ， 所以22sin cos ,112BP θ=<>==n 所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为2211. x yzOCBDAM N17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为. ………3分(Ⅱ)甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有人，所以，随机变量的取值为.所以，，，.所以的分布列为的数学期望为. ……………10分(Ⅲ)X<甲X乙;2s>2s.……………13分18.（本小题满分13分）解：（1）由题意得，a=2，∵2ce ca===∴2221b a c=-=．所以椭圆M的方程为：2214xy+=（2）解：设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程22141x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2258440x mx m++-=，21212844,55m mx x x x-+=-⋅=，0.65400.005102⨯⨯=400.015106⨯⨯=ξ0,1,2=ξ(0)==Pξ022628C C1528C=(1)==Pξ112628C C123287C==(2)==Pξ202628C C128C=ξξ()012287282=⨯+⨯+⨯=Eξ∵2226445(44)16800m m m ∆=-⨯-=-+>，∴25m <，即m <<线段AB 的长度||AB ==，点C 到直线AB 的距离d =，11||122ABCSAB d =⋅⋅==得m =，满足m <<综上所述，m =．19（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()ln 1f x x '=+， ………………………… 1分又因为(1)2f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设函数()()ln 2F x f x ax x x ax =+=++，求导，得()ln 1F x x a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上单调递增，所以()ln 10F x x a '=++≥在区间(e,)+∞上恒成立， ………………………… 4分 即ln 1a x --≥恒成立. ………………………… 5分 又因为函数()ln 1h x x =--在区间(e,)+∞上单调递减， 所以()(e)2h x h <=-，所以2a -≥. ………………………… 8分 （Ⅲ）证明：设2()()()ln 2h x f x g x x x x x=-=+-+，0x >. …………………… 9分 求导，得22()ln h x x x '=-．设22()()ln m x h x x x '==-，则314()0m x x x '=+>（其中0x >）.所以当(0,)x ∈+∞时，()m x （即()h x '）为增函数. ………………………… 10分 又因为(1)20h '=-<，22(e)10e h '=->，所以，存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=． ………………… 11分 且()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()()h x h x ≥． ………………………… 12分又因为0(1,e)x ∈，00202()ln 0h x x x '=-=， 所以000002()ln 2h x x x x x =+-+0042x x =-+42e 0e>-+>，所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方. ………………………… 14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，所以 5{2,4,5}E =． （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i ik k S S +>，且1i k +是使得ik k S S >成立的最小的k ，所以 11i ikk S S +-≤.又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k kk S S a +++-=+ 1.i k S <+所以 11i ik k S S +-<．（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-， 同理 101k S S -<，且 mn k S S ≤．所以 12110()()()()mmm n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．。
2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题
绝密★启用前2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．tan570°=（ ） A ．3B ．-3C D ．22．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．843．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件4．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）……外……………………装……………………○………………○……※请※※不※※要※※在※※装※※答※※题※※……内……………………装……………………○………………○……A ．8B ．83C ．4D ．436．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．258．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．39．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一……○…………______班级：________……○…………条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1 BC D ．0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．11．在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答）12．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．13．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______. 三、解答题14．已知如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析
北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.tan 690的值为（ ）A.B.C. 3-D. 【答案】C 【解析】试题分析：因-故应选C. 考点：诱导公式及运用.2.设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（ ） A. 14 B. 21C. 28D. 35【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到44a =，再计算12747a a a a ++⋯+=得到答案. 【详解】数列{a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；1247728a a a a =⋯+=++故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】sin cos αα=，得4k παπ=+，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+，得sin cos .αα=，即可判断 【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k πααπ==+ ，得s i nα=si n 2s i n 142k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭成立；反之，若sin21，则α=2224k k ππαπαπ=+∴=+，得s i n c o s s in c o s ?“s i n 21?.ααααα===，故是的充分必要条件 故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sin cos αα=”推出“sin21α=”. 4.定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i=+-，则z 等于（ ）A. 1+iB. 1﹣iC. 3+iD. 3﹣i【答案】B 【解析】 【分析】根据定义得到1z zi i i i=+-，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知：11121z izi i i z i i ii+=+=+∴==-- 故选：B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则MP 等于（ ）A. {}03,x x x Z <≤∈ B. {}03,x x x Z ≤≤∈ C. {}10,x x x Z -≤≤∈ D. {}10,x x x Z -≤<∈【答案】B【解析】 【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得M P ．【详解】集合{}12,M x x x R =-≤∈解绝对值不等式12x -≤,可得{}13M x x =-≤≤ 集合51,1P xx Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭解分式不等式51,1x Z x ≥∈+,可得{}14,P x x x Z =-<≤∈ 则{}{}{}1314,03,M P x x x x x Z x x x Z ⋂=-≤≤⋂-<≤∈=≤≤∈ 故选:B【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题． 6.在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于（ ） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D. 直线y=x 对称 【答案】C 【解析】 因为1()2()xg x f x -==-，所以两个函数的图象关于y 轴对称，故选C ．7.函数112ln x y +-=（）在点P （2，k ）处的切线是（ ）A. x ﹣2y ＝0B. x ﹣y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣1＝0D. 2x ﹣2y﹣3＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到()1'21y x =-，当2x =时，11,'22y y ==，计算得到切线方程.【详解】()1ln 11'221x y y x +-=∴=-（），当2x =时，11,'22y y ==。
2020届北京四中高三第二学期开学考试数学试题
北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三数学测试2.13试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知集合2{|20}A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B ⋂=（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,2D. {}0,1,2 2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)-，则(1i)z +等于( )A. 3i +B. 2i +C. 1i +D. 1i -3. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a 的值为 ( )A. 4B. 5C. 6D. 84. 已知,a b ∈R ,则“a b <”是“22log log a b <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是A 492B. 382C. 185D. 123 6. 设()f x 是定义在R 上奇函数，且3()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当10x -≤<时，3()log (63)f x x =-+.则(2020)f 的值为（ ）A. -1B. -2C. 1D. 27. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += .8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A. 23B. 43C. 83D.9. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟D. 9秒钟10. 已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A. []1,7 B. []1,7-C. 1,3⎡+⎣D. 1,3⎡-+⎣ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.直线10x +=倾斜角为_________．12. 已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=___________.13. ABC 中，若面积为6，5c =，4tan 3A =，则a 的值为_____. 14. 设函数()()2,ln ,x x x af x x x a ⎧+≤=⎨>⎩， ①若1a =，则()f x 的零点的个数为_____.②若()f x 的值域为[)1,-+∞，则实数a 的取值范围是_____.15. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+的时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题：① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =；④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=.其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC（2）已知1AP =，AD =，AB =求二面角D AE C --的余弦值.17. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18. 在①211390n n n n a a a a -----=，②2213n n a a -=+，③222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =， .求：对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列.若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数()()1ln 0f x a x a x=+≠. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若(){}|0x f x ≤≠∅且(){}()|00,1x f x ≤⊆，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点 ，且离心率为12.设,A B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，直线,AP BP 分别与直线:4l x =相交于,M N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点,,A H N 是否共线，并证明你的结论.21. 若数列()12,,,2n n A a a a n =⋅⋅⋅≥满足()111,2,,1k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，数列n A 为E 数列，记()12n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（1）写出一个满足150a a ==，且()50S A >的E 数列5A ；（2）若113a =，2008n =，证明：E 数列n A 是递增数列充要条件是2020n a =； （3）对任意给定的整数()2n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.。
数学文卷·2019届北京四中高三下学期第二次模拟考试
北京四中2018届高三第二次模拟考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·太原期末]已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2018·豫南九校]抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A B C D 3．[2018·南山中学]下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：甲乙丙丁在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．[2018·行知中学]设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5BCD6．[2018·龙岩质检)())0,π大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．[2018·深圳一模]函数()()sin f x x ωϕ=+(ω，ϕ是常数，0ω>，的部分图象如图所示，为得到函数cos y x ω=，只需将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象（ ）ABCD8．[2018·三门峡期末]运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个。
北京市西城区第四中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.tan 690o 的值为（ ） A.3 B.3 C. 33-D. 3-【答案】C 【解析】 试题分析：因3-故应选C. 考点：诱导公式及运用.2.设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（ ） A. 14 B. 21C. 28D. 35【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得到44a =，再计算12747a a a a ++⋯+=得到答案. 【详解】数列{a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；1247728a a a a =⋯+=++故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】sin cos αα=，得4k παπ=+，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+，得sin cos .αα=，即可判断 【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k πααπ==+，得sin2α=sin 2sin 142k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭成立；反之，若sin21，则α=2224k k ππαπαπ=+∴=+，得sin cos ?sin cos ?“sin21?.ααααα===，故是的充分必要条件故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sin cos αα=”推出“sin21α=”. 4.定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i=+-，则z 等于（ ）A. 1+iB. 1﹣iC. 3+iD. 3﹣i【答案】B 【解析】 【分析】根据定义得到1z zi i i i=+-，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知：11121z izi i i z i i ii+=+=+∴==-- 故选：B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P I 等于（ ）A. {}03,x x x Z <≤∈B. {}03,x x x Z ≤≤∈ C. {}10,x x x Z -≤≤∈ D. {}10,x x x Z -≤<∈【答案】B【解析】 【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得M P I ． 【详解】集合{}12,M x x x R =-≤∈解绝对值不等式12x -≤,可得{}13M x x =-≤≤ 集合51,1P xx Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭解分式不等式51,1x Z x ≥∈+,可得{}14,P x x x Z =-<≤∈ 则{}{}{}1314,03,M P x x x x x Z x x x Z ⋂=-≤≤⋂-<≤∈=≤≤∈ 故选:B【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题． 6.在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于（ ） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D. 直线y=x 对称 【答案】C 【解析】 因为1()2()xg x f x -==-，所以两个函数的图象关于y 轴对称，故选C ．7.函数112ln x y +-=（）在点P （2，k ）处的切线是（ ）A. x ﹣2y ＝0B. x ﹣y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣1＝0D. 2x ﹣2y﹣3＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到()1'21y x =-，当2x =时，11,'22y y ==，计算得到切线方程.【详解】()1ln 11'221x y y x +-=∴=-（），当2x =时，11,'22y y ==故切线方程为：()11221022y x x y =-+∴--= 故选：C【点睛】本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.8.函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1)2(b f =，(3)c f =，则（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】B 【解析】【详解】x ∈（-∞，1）时，x -1＜0，由（x -1）•f '（x ）＜0，知f '（x ）＞0， 所以（-∞，1）上f （x ）是增函数． ∵f （x ）=f （2-x ）， ∴f （3）=f （2-3）=f （-1） 所以f （-1）＜（0）＜1()2f ， 因此c ＜a ＜b ． 故选B ．9.已知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，则()2019f =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由函数()y f x =的周期性和奇函数的性质可得出()()()201911f f f =-=-，代入解析式可得出()2019f 的值.【详解】由于函数()y f x =定义在R 上周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()2ln f x x x =+，()()()()()2201945051111ln11f f f f ∴=⨯-=-=-=-+=-，故选A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题. 10.设函数f （x）=xmπ，若存在f （x ）的极值点x 0满足x 02+[f （x 0）]2＜m 2，则m 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'xf x mπ=，计算得到0,2mx mk k Z =+∈，代入式子化简得到 223304k k m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，取0k =或1k =-时计算得到答案.【详解】()x f x m π=，则()'xf x mπ=故()0000'0,22x x mf x k x mk k Z m m ππππ==∴=+∴=+∈2222222003[]330,24m m x f x k m k k m k Z m ⎛⎫⎛⎫<∴++<∴+-+<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝（）当0k =或1k =-时得：233024m m -+<∴>或2m <- 故选：C【点睛】本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力.二、填空题11.函数f （x ）12121log x =+（）的定义域是_____． 【答案】（12-，0）∪（0，+∞）． 【解析】 【分析】根据定义域定义得到12210log 210x x +>⎧⎪⎨+≠⎪⎩（）计算得到答案. 【详解】函数()1212log 1f x x =+（）的定义域满足：()12210100,log 2102x x x +>⎧⎪⎛⎫∴∈-⋃+∞⎨ ⎪+≠⎝⎭⎪⎩，（） 故答案：()100,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 12.曲线x y e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】22e【解析】解析：依题意得y′=e x ，因此曲线y=e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2，相应的切线方程是y-e 2=e 2（x-2），当x=0时，y=-e 2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：221122e S e =⨯⨯=13.已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 【答案】152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 14.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，则A ，B 两点的距离 为 m【答案】502m 【解析】由正弦定理得50sin 45502sin(18010545)=--oo o o15.已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个命题： ①010x e<<； ②01x e>； ③00()0f x x +<； ④00()0f x x +>其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 【答案】①③． 【解析】 试题分析：的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有．考点：导数在求函数极值中的应用16.设函数f （x ）21421x a x x a x a x ⎧-=⎨--≥⎩，＜（）（），，①若a ＝1，则f （x ）的最小值为_____；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____．【答案】 (1). ﹣1 (2). 12≤a ＜1，或a ≥2． 【解析】 【分析】①分别计算1x <和1x ≥的最小值，比较得到答案.②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），讨论()h x 有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案【详解】①当a ＝1时，f （x ）2114121x x x x x ⎧-=⎨--≥⎩，＜（）（），，当x ＜1时，f （x ）＝2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ≥1时，f （x ）＝4（x ﹣1）（x ﹣2）＝4（x 2﹣3x +2）＝4（x 32-）2﹣1， 当1＜x 32＜时，函数单调递减，当x 32＞时，函数单调递增， 故当x 32=时，f （x ）min ＝f （32）＝﹣1，故最小值为1- ②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，h （1）＝2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以12≤a ＜1， 若函数h （x ）＝2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）＝2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1＝a ，x 2＝2a ，满足题意的 综上所述：a 的取值范围是12≤a ＜1，或a ≥2． 故答案为：-1；12≤a ＜1，或a ≥2． 【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、解答题17.已知：{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，S 3＝7，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a 3n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N （2）T n ＝32（n 2+n ） 【解析】 【分析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.（2）计算得到3n b n =，直接利用等差数列求和公式得到答案.【详解】（1）{a n }是公比q 大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，S 3＝7，可得a 1（1+q +q 2）＝7，①a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列，可得6a 2＝a 1+3+a 3+4，即6a 1q ＝a 1+a 1q 2+7，② 由①②可得a 1＝1，q ＝2，则a n ＝2n ﹣1，n ∈N *；（2）32312log l 23og nn n b a n +===，数列{b n }的前n 项和T n ＝3（1+2+…+n ）＝312⨯n （n +1）32=（n 2+n ）． 【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.18.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【答案】（1）34π-；（2）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（3）图象见解析. 【解析】【详解】解：（1）∵sin(2)18πφ⨯+=±，∴,42k k ππφπ+=+∈Z ．∵0πφ-<<，∴34πφ=-． （2）3sin(2)4y x π=-．由3222,242k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 得函数3sin(2)4y x π=-的单调增区间为5[,],88k k k ππππ++∈Z ． （3）由3sin(2)4y x π=-知 x8π38π58π78ππy22-1-122-故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图所示．19.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】(1) x ＋y －2＝0；(2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a 无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x . (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－a x ＝x a x-，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a)时，f′(x)<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．20.在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若4cos , 2.5B b == （1）当5,3a =求角A 的度数；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）30.A =︒（2）3.【解析】【详解】解：（1）43cos ,sin ,55sin sin a b B B A B=∴==Q Q 52153sin ,2,(0,),30.3sin 2325A A A A π∴=∴=<∴∈∴=︒Q ．．．．．．．．．．．5分 （2）13sin ,210S ac B ac ==Q 22222882cos ,242555b ac ac B a c ac ac ac ac =+-∴=+-≥-=Q得10ac ∴≤，3310S ac =≤ 所以ABC ∆面积的最大值为3.．．．．．．．．．．．．．12分21.某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q 311x x +=+（x ≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w 万元表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【答案】（1）w 2983521x x x -++=+（）,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）先计算售价为9962Q x Q ++，再计算利润为9963322Q x w Q x Q Q ++=⋅---，化简得到答案.（2）化简得到164(1)5021w x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意，每件售价为332Q Q +⨯150%x Q +⨯50%9962Q x Q++=， 则299699626649835332222(1)Q x Q x x Q x x w Q x Q Q x ++++----++=⋅---==+ ， 则当x ＝100时，w 100009800352101-++=⨯＜0，故企业亏损． （2）29835164(1)50508422(1)21x x w x x x -++⎛⎫==-+++≤-= ⎪++⎝⎭（当且仅当x ＝7时等号成立）．故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.22.已知：函数f （x ）＝2lnx ﹣ax 2+3x ，其中a ∈R ．（1）若f （1）＝2，求函数f （x ）的最大值；（2）若a ＝﹣1，正实数x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）＝0，证明：1232x x -++≥． 【答案】（1）f （x ）max ＝2ln 2+2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算得到1a =，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.（2）代入数据得到()22ln 3f x x x x ++=，得到()()()21212121232ln x x x x x x x x +++=-，设()ln h t t t =-得到函数的最小值得到不等式（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）≥2，计算得到答案.【详解】（1）∵f （1）＝2，∴﹣a +3＝2，∴a ＝1，∴f （x ）＝2lnx ﹣x 2+3x ，∴f '（x ）2x =-2x +3212x x x+-=-（）（）， 由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2，有f '（x ）＜0得，x ＞2，∴f （x ）在（0，2）为增函数，在（2，+∞）为减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝2ln 2+2；（2）证明：当a ＝﹣1，f （x ）＝2lnx +x 2+3x ，∵f （x 1）+f （x 2）＝2lnx 1+x 12+3x 1+2lnx 2+x 22+3x 2＝0，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）＝2（x 1x 2﹣lnx 1x 2），令h （t ）＝t ﹣lnt ，∴h '（t ）＝111t t t--=， 由h '（x ）＞0得，t ＞1，由h '（x ）＜0得，0＜t ＜1，∴h （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴h （x ）min ＝h （1）＝1，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）≥2，∴（x 1+x 2）2+3（x 1+x 2）﹣2≥0，解得：1232x x -+≥． 【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数()ln h t t t =-是解题的关键.。
2020年北京四中第二学期高三年级统练
（Ⅱ）若 x [0, π ] ，求函数 f (x) 的值域． 3
北京四中 2019-2020 学年度第二学期高三年级统练数学学科
第5页
18．（本小题满分 14 分）
某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维
修．工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必
图1
图2
17．（本小题满分 14 分） 已知函数 f (x) sin(x ) ( 0, π) 恰好满足下列三个条件中的两个条件： 2
① 函数 f (x) 的最小正周期为 π ；
② x π 是函数 f (x) 的对称轴； 6
③ f ( π) 0 且在区间 ( π , π) 上单调，
4
62
（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数 f (x) 的解析式；
为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为
（A） 1 5
（B） 6 25
（C） 8 25
（D） 2 5
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线与抛物线
y2
2 px( p
0) 的准线分别交于
A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2， △AOB 的面积为 3 ，则 p =
（Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x) 在区间 (1, ) 内恒成立．
21．（本小题满分 14 分） 如图，设 A 是由 n n 个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中 aij (i, j 1, 2,3, , n) 表示位于第i
行第 j 列的实数，且 aij {1, 1}.记 S( n, n) 为所有这样的数表构成的集合．