年北师大版九年级数学下册第三章圆33垂径定理
九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版
垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。
北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。
北师大版九年级数学下册 第三章3 垂径定理(含答案)
北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4； 当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ， 则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15， 则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理
知识点二 垂径定理的推论 3.下列说法: ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦; ②平分弦的直径平分弦所对的弧; ③垂直于弦的直线必过圆心; ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. 其中正确的是 ( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
答案 D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧,故②错误;垂直于弦 且平分弦的直线必过圆心,故③错误.①④正 m,过点E作ME⊥AB,交 AB 于点M,过点F作NF⊥AB,交 AB 于点N.设
︵
AB 所在圆的圆心为点O,连接OA,ON,OD,MN,设MN交CD于点H,可知O,D,C
三点在同一条直线上,MN∥AB,AD= 1 AB=3.6 m.
2
图3-3-7 设OA=r m,则OD=OC-CD=(r-2.4)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即r2=3.62+(r-2.4)2,∴r=3.9,
知识点二 垂径定理的推论
内容 详解
应用 格式 推论
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
①推论的条件:直径平分弦,弦不
能是直径;
推论的结论:直径垂直于弦,且平 分弦所对的弧. ②一定不能忽略“被平分的弦 不是直径”这个条件,因为圆中 任意两条直径都是互相平分的, 但它们未必垂直
∵CD平分AB,且CD是直径, ∴CD⊥AB, A︵C= B︵C, A︵D= B︵D
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一 条弧
例2 如图3-3-2,在☉O中,点C是 A︵B 的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB= 12,CD=2.求☉O的半径长.
图3-3-2 分析 连接OA,根据垂径定理的推论得出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定 理列出方程,求出方程的解即可.
3.3北师大版九年级数学下册课件第三章圆第三节垂径定理
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿
北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。
这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。
教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。
2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。
问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。
3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。
5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。
6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。
七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。
通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。
3.3垂径定理
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测 量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的 两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚 好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂 足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E， 连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。 （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
北师大九年级数学下32垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理逆定理:平分弦(不就是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
一、如何运用垂径定理:垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质,就是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据。
在解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,以构成垂径定理的基本图形(而实际中,往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以)。
在运用垂径定理时,涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的距离)h这四者之间的关系,如图所示,它们的关系就是:222)2(adr+=,hdr+=,根据这两个公式,在a,d,r,h四个量中,知道任意两个量便可求出其她两个量。
典型中考题讲解:1、(2014•盘锦三模)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,,(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.2、(2014•浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.3、(2014•金山区一模)如图,已知AB就是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.4、(2014•槐荫区一模)如图,在⊙O中,点C就是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求⊙O半径的长.5、.(2014•天河区二模)如图,AB就是⊙O的弦,半径OA=20cm,∠AOB=120°,求线段AB的长.二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论:(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学设计
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握垂径定理及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
2.难点：
（1）从具体实例中抽象出垂径定理，理解其几何本质。
（2）运用逻辑推理证明垂径定理，培养学生的逻辑思维和推理能力。
（3）将垂径定理应用于解决与圆相关的实际问题，提高学生的应用能力。
5.小组合作题：安排一道需要团队合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同解决问题。这样的题目有助于提高学生的沟通协作能力，同时也能让学生在合作中发现问题、解决问题。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励学生尝试不同的解题方法，注重解题过程的逻辑性和思维的创造性。
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课后练习题中与垂径定理相关的前三题，旨在帮高拓展题：选择两道具有一定难度的题目，要求学生在理解垂径定理的基础上，结合其他几何知识，如圆周角定理、相似三角形等，解决问题。这样的题目旨在培养学生的综合解题能力和逻辑思维。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同水平的学生，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达和倾听能力。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：首先，引导学生复习圆的基本概念，如半径、直径、弦、弧等。通过提问方式，让学生回顾这些概念的定义及性质，为新课的学习打下基础。
3.小组合作题需明确每个成员的责任，确保每个学生都能积极参与，共同完成任务。
北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理
#北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理1. 引言垂径定理是数学中的一个重要定理，它涉及到直角三角形的性质和垂线的特点。
通过研究垂径定理，我们可以更好地理解直角三角形的性质，并且在解题过程中可以运用这个定理来简化问题。
本文将详细介绍北师大版数学九年级下册第三章中的3.3节垂径定理。
2. 垂径定理的表述垂径定理是指：在直角三角形中，如果一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。
具体地说，设直角三角形ABC中，∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD称为锐角边上的垂线，CD称为直角边上的垂线。
根据垂径定理可知：AD * CD = BD^2（即锐角边上的垂线与直角边上的垂线之积等于高的平方）。
3. 垂径定理的证明为了证明垂径定理，我们可以利用几何图形中的相似三角形性质来进行推导。
首先，我们假设直角三角形ABC中∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD为锐角边上的垂线，CD为直角边上的垂线。
由于∠B是直角，所以四边形ABCD是一个矩形，即∠A = ∠C = 90°。
根据几何图形中的相似三角形性质，我们可以得到三个相似三角形：△ADB与△CDB相似，△ABC与△ADC相似，△ABD与△CBD相似。
由于△ADB与△CDB相似，所以有：AD/BD = BD/CD，即AD * CD = BD^2。
由于△ABC与△ADC相似，所以有：AB/AD = AD/CD，即AB * CD = AD^2。
由于△ABD与△CBD相似，所以有：AB/BD = BD/CD，即AB * CD = BD^2。
通过以上三个等式，我们可以发现：AD * CD = BD^2 = AB * CD = AD^2。
综上所述，根据垂径定理的证明，我们得出结论：在直角三角形中，一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。
4. 垂径定理的应用垂径定理在解题过程中有着广泛的应用。
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第三章圆
《垂径定理》教学设计
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆
弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
二、教学任务分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用
圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
过程与方法
1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
情感与态度
培养学生类比分析，猜想探索的能力．1.
2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是
的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
三、教学设计分析
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节类比引入
活动内容：页 1 第
.等腰三角形是轴对称图形吗？1
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？2如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的3. 形是否是轴对称图形呢？活动目的：培养学生类比
分析通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，的能力．
第二环节猜想探索活动内容：
，⊥ABO的一条弦，作直径CD，使CD．如图，1AB是⊙M．垂足为）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？1（
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．是直径；②CD⊥AB条件：①CD AM=BM；结论（等量关系）：③⌒⌒⌒⌒. = ④=；⑤BDACBCAD. OBOA=证明：连接OA,OB,则, OBM 中在Rt△OAM和Rt△，，OA=OBOM=OM∵. OBMRt△OAM≌Rt△∴.
AM∴=BM. 和点B关于CD对称∴点A,
O关于直径CD对称∵⊙,
B重合与点∴当圆沿着直径CD对折时, 点A⌒⌒⌒⌒.
和重合和重合, BDACADBC⌒⌒⌒⌒∴=，= .BDACBCAD．证明完毕后，让学生自行
用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容—2 —垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？页 2 第
B
B
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径，垂直于弦D
O O通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识C CDEDC．垂径定理逆定理的探索4A A
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：①CD是直径；②AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
⌒⌒⌒⌒④= ；⑤= .
BDBCACAD让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容
——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B
反例：
目的：活动D
C
O
主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新的1活动知，从而得到研的主要目的究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 A
并对定是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨活动3理的条件和结论有更深刻的理解和认识；提高探索能力；类比，相似，并让学生与活动1的主要目的与活动性有更深的认识；活动41 相似．的主要目的与活动35活动实际教学效果：此时应引导学生类学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，1在活动中的证明时，，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另、OB比等腰三角形，通过连接OA这时应类比等腰学生会觉得比较难表述，外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，中，学生的说法可能不够准确、2三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动互相加以修但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，精炼，这也是一个自主构建在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，正，要注意让学生学会通过反例3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，活动的过程；
页 3 第
找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5
与活动3相似．
第三环节知识应用
活动内容：
讲解例题及完成随堂练习．
错误！未．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中1⌒⌒指定书签。
错误！未指定书签。
，其所在圆的圆心）,点0是CDCD⌒=90m.EF，垂足为OE⊥CDF，中CD=600m，E为上
的一点，且CD求这段弯路的半径．
．则OF=(R-90)m解：连接OC，设弯路的半径为Rm, CD∵OE⊥根据勾股定理，得+OF22 OC2=CF. +(R-90)2即R2=3002=545. 解这个方程，得R545m.
所以，这段弯路的半径为（弧年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度2．随堂练习1．1400（结米，求桥拱所在圆的半径．37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2所对的弦长）为米）．果精确到0.1 ．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？3．随堂练习2 ）圆心在平行弦外；有三种情况：（1 （2）圆心在其中一条弦上；
3）圆心在平行弦内．（
动活
B
A
O
活动的：目B O
A O
的主要2、1B
D
A
D
C
C
的是让学目C
D
的主要目的是生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3页 4
第
让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．
实际教学效果：
在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．
第四环节归纳小结
活动内容：
学生交流总结
1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
活动目的：
通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．
实际教学效果：
学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．
页 5 第。