相对论2

l ' l 1 u 2 / c 2 52 1 0.99 2 7.3m
而实验室飞过这一段距离所需的时间为
t ' l ' / u 7.3 / 0.99c 2.5 10 (s )
这正好就是静止介子的平均寿命。
8
例3. 如图所示, 一长为1m的棒静止地放在O’x’y’平面内。 在S’系的观察者测得此棒与 O’x’轴成450角。试问从S系 的观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox轴的夹角是多 3 ’ 少？设想S 系以速率 u c 沿Ox轴相对S系运动。 2 y y’ u 解：设此棒静止于 S’系 的长度为 l ' ，它与 O’x’ l' S’ S 轴的夹角为 ’ 。此棒 ' x’ 长在 O’x’ 和 O’y’ 轴上的 分量分别为 O O’ x
以爱因斯坦火车为例 S’：爱因斯坦火车
S： 地面参考系 实验装置： S’
u A ’ M’ B ’
x’
S
x
在火车上
A’、 B’
分别放置信号接收器 放置光信号发生器 M’发出一光信号
中点M’
t t 0
t t 0
事件1 事件2
M’ 发出一光信号
A’ 接收到闪光
B’ 接收到闪光
S
S’
11.2
时间延缓和长度收缩
11.2.1 同时的相对性
一、明确几个概念 1. 事件：一个物理现象或物理状态
2. 事件位置和时间的测量 S 同步钟
一个事件
时空坐标
S’
x’
u
x
3. 同时性 事件一：那列火车七点钟到达这里。 地面参照系 中两事件同 事件二：我的表的短针指到七。 时发生。
二、同时性的相对性(Relativity of Simultaneity) -- 光速不变原理的直接结果
由题意知，
0
y
S O
y’ u
3 ' 45 , l ' 1m, u c , 所以有 2
S’ O’
l'
'
l l ' 1 cos ' 0.79m
2 2
x’ x
tan ' tan 2, 2 1
z
z’
63.430
可见，从 S系的观察者来看，运动着的棒不仅长度 要收缩，而且还要转向。
ut 0.99 3 108 1.8 10 7 53(m )
与实验结果52m符合很好。
例3: 飞船A和B分别以 0.6c 和0.8c的速度向东飞行。地 面上某地先后发生两个事件，在飞船 A上观测，时间间 隔为 5s，那么在飞船 B 上观测时的时间间隔为多少？ 解 ：两事件在地面系同地发生，地面时间为固有时，两 飞船上观测到不同的运动时。由飞船 A相对于地面飞行 的速度uA = 0.6c以及飞船A上的运动时tA = 5s得固有时
2
2
因此，从 S 系中的观察者看来， y 棒的长度为 S
2 l lx l y l ' 1 2 cos 2 ' 2
u y’
S’ O z’ O’
l'
'
而 棒 与 Ox 轴 的夹 角， 则 由下 式 z 确定
x’ x
ly l ' sin ' tan ' tan 2 l x l ' 1 cos ' 1 2
11.3.3 长度收缩
一、长度测量的基本要求
在某一参照系中，测量棒的两端点在同一时刻的位置 之间的距离。
长度的测量与同时性有关。
二、固有长度（静长、原长）
棒静止时测得的它的长度 S
S’
u
A’ l ' B’
l ' 静长 棒静止在S’系中，
x’ x
棒以极高的速度相对S 系运动
S
S’
u
x1 S’
定为惯性系)匀速飞行。飞船上的钟走了5s，问地面上 经历了多少秒？
解：地面为S系，飞船为S’系。
t ' 5s是原时
t

t '
1 u /c
2 2
5 1 ( 9 10 3 / 3 108 ) 2
5.000000002(s )
例2：静止的 介子衰变的平均寿命是 2.5 108 s 。当 它以速率u=0.99c相对于实验室运动时，在衰变前能通 过多长距离？
4.在低速下 伽利略变换
u c , l l '
例1：固有长度为5m的飞船以 u 9 10 m/s的速率 相对于地面匀速飞行时，从地面上测量，它的长度是 多少？
3
解：以地面为S系，飞船为S’系。
l ' 5m是固有长度， u 9 103 m/s
则
l l ' 1 u2 / c 2
' lx l ' cos '
l l sin
' y '
'
z
z’
由于S’系沿 Oy轴相对 S系的速度为零，故从 S 系 ' 的观察者来看，此棒在 Oy轴上的分量 l y与 l y 相等， 保持不变，即
l y l ' y l ' sin '
而棒长在Ox轴上的分量，
l x l ' x 1 l ' cos ' 1
Δt E Δt A 1 u / c 5 1 0.6 4s
2 A 2 2
再由飞船B相对于地面飞行的速度 uB = 0.8c得飞船 B 上的 时间间隔（运动时）
Δt E 4 Δt B 6.67s 2 2 2 1 uB / c 1 0.8
固有时确实比所有运动时都短。
2. 时间延缓是一种相对效应。
S’ 系中的观察者发现静止于 S 系中而相对于自己运 动的任一只钟比自己参照系中的一系列同步的钟走 得慢。 3. 牛顿的绝对时间概念实际上是相对论时间概念在 参照系的相对速度很小时的近似。
u c , 1 u / c 1, t t '
2 2
3 u 9 10 m/s 例1：一飞船以 的速率相对于地面(假
作业：11-6 11-10 11-13
y M’ S d
y’
u
y M’
y’
u
l
C’ x’ x O 1 u t O ’ A’
2
S
O
l
d
ut
l
A’ O’ C’ x’ x
C1
2
C2
C1
C2
u t 2 l d ( ) 2
2 l 2 2 u t 2 t d ( ) c c 2
2d 1 t c 1 u2 / c 2
l' t ' u
根据固有时最短
(2) 固有时 (3)
t t ' 1 u2 / c 2
由(1)、(2)、(3)得
l l ' 1 u2 / c 2
讨论
原长最长
1. 运动的棒长度收缩是空间本身的客观特征。 2. 运动的棒长度收缩是一种相对效应。 棒在哪个参照系中静止，在哪个参照系中测得的棒 长即为原长。 S’系中的观察者发现静止于S系中而 相对于自己运动的任一根棒的长度都变短了。 3. 纵向效应 只有沿着运动方向 (纵向)放置的棒有长度收缩的效 应，垂直于相对运动方向的长度测量与运动无关。
1. 固有时(原时)(Proper Time) 在某一参考系中，同一地点先后发生的两个事件的时 间间隔叫固有时(原时)。 2. 固有时最短 时间延缓
y’
M’ S’ d A’
考察S’中的一只钟C’
事件1：A’点光源发出闪光 事件2：A’点接受到由M’反射的光
C’
x’
x'1 x'2 0
2d t ' c
解：若以 2.5 10 8 s 和0.99c直接相乘，得出的距离 8 只有7.4m。由于 2.5 10 s 是衰变过程的原时，在 实验室中的时间间隔应为
t
t ' 2.5 10 7 1 . 8 10 (s ) 2 2 2 1 u /c 1 0.99
8
通过的距离为
u A ’ M’ B ’
x’ x
研究的问题：
两事件发生的时间间隔 S’： S：？ S’：？
M’发出的闪光，光速为c
AM BM A’、B’同时接收到光信号
事件1、事件2 同时发生
S系中的观察者又 如何看呢？ M’处闪光，光速也为c
A’、B’随S’运动 A’迎着光， 比B’早接收到光
2 1
S’系中观察：棒静止，S系 高速向左运动，
事件1：t’时刻，x1经过B’端。 过A’端。
u
S
S’
事件2： t ' t ' 时刻，x1经 u
即x1这一点在 t ' 时间间隔 内向左运动的距离是 l '。
O
A’ l ' B’ x’ x1 x O S’ S
A’ l ' B’ x’ x1 x
5 1 (9 10 3 )2 /( 3 108 )2
4.999999998(m )
例2. 介子以0.99c的速率飞行，在实验室中测得它衰 变前飞行的距离是 52m，求静止 介子的平均寿命。

解：在与介子一起运动的S’系中，实验室 (S系)正以 速率u运动，52m是原长，在S’系中只有
S
u A ’ M’ B ’ S’
x’ x
S
u A ’ M’ B ’ S’ x’
x 事件1先发生