多元统计分析第三章假设检验与方差分析

第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析

从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。

所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。

统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。

3.1一元正态总体情形的回顾

一、 假设检验

在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。

1、显著性检验

为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2

σμN 的样本，我们要检验假设

100:,:μμμμ≠=H H （3.1）

原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。

当2

σ已知时，用统计量n

X z σ

μ

-=

在原假设0H 成立下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。

对于检验问题（3.1.1），我们制定这样一个检验规则（简称检验）： 当2αz z >时，拒绝0H ；

当2αz z ≤时，接受0H 。 （3.2） 我们称2αz 为临界值，是)1,0(N 的上分位点，不同的临界值代表不同的检验。称拒绝原假设0H 的统计量z 的范围为拒绝域，称接受0H 的统计量z 的范围为接受域，因此给出一个检验，就是给出一个拒绝域。

2、两类错误

由于样本具有随机性，因此在根据样本进行判断时，有可能犯两种类型的错误。一类错误是，原假设0H 本来正确，但按检验规则却作出了拒绝0H 的判断，这类错误称为第一类错误（弃真错误），其发生的概率{}

αα=>2z z P 称为犯第一类错误的概率；另一类错误时，原假设0H 本来不正确，但按检验规则却作出了接收0H 的判断，这类错误称为第二类错误（存伪错误），其发生的概率称为犯第二类错误的概率，记为β。

同时控制这两类错误是困难的，当时在样本容量n 固定的条件下，要使α和β同时减小，通常是不可能的。在假设检验的应用中,由奈曼(NEYMAN)与皮尔逊(PEARSON)提出了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率α条件下，尽量使犯第二类错误的概率β小,这种检验问题, 称为显著性检验问题。根据这一原则，原假设受到保护，不至于被轻易拒绝，一旦检验结果拒绝了原假设，则表明拒绝的理由是充分的，如果接受了原假设，则只是表明拒绝的理由还不充分，未必意味着原假设就是正确的。所以，在实际问题中，为了通过样本观测值对某一猜测取得强有力的支持，通称我们把这一猜测的否定作为原假设，而把猜测本身作为备择假设。

3、关于检验的p 值

下面，我们再介绍进行检验的另一种方式——p 值，我们就以(3.1.1)的检验问题为例来加以说明，对于样本，我们通过统计量，计算出n

x z σ

μ0

0-=

，是一确定值，这里的x 是

样本观测值的均值，再由统计量

z 服从正态分布z )1,0(~N ,计算}{0z z P >为检验的p 值。

由于αz z >等价于p =}{0z z P >{}

αα=>≤2z z P ，所以检验规则可以表述为： 当α≤p 时，拒绝0H ；

当α>p 时，接受0H 。接受0H 。 （3.3） 上述p 值的检验规则与（3.1.2）的检验结果相比含有更丰富的信息，p 值越小，拒绝原假设的理由就充分。通常SAS 等软件的计算机输出一般只给出p 值，由你自己给定的α值来判断检验结果

二、单一变量假设检验的回顾 1、 单个正态总体均值的检验

考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2

σμN 的样本，我们要检验假设

100:,:μμμμ≠=H H

（1） 总体方差2

σ已知

构造统计量

n

X z σ

μ

-=

在原假设

H 成立下， z 服从正态分布z )1,0(~N ，可得这样一个检验规则： 当2αz z >时，拒绝0H ； 当

2

αz z ≤时，接受

H 。

（2） 总体方差2

σ未知

构造统计量

n

s

X t μ-=

在原假设0

H 成立下，t 服从自由度为1-n 的t 分布t )1(~-n t 可得这样一个检验规

则：

当)1(2->n t t α时，拒绝0H ；

当)1(2-≤n t t α时，接受

H 。 （3.1.4）

2、 两个正态总体均值的比较检验 考虑假设检验问题 211210:,

:μμμμ≠=H H （3.1.5）

设121,,,n X X X 是取自总体),(2

11σμN 的容量为1n 的样本，221,,,n Y Y Y 是取自

),(2

22σμN 的容量为2n 的样本，给定显著性水平α。

（1） 两个总体方差2

1σ和2

2σ已知 构造检验统计量2

22

1

21

n n Y

X z σ

σ

+

-=

（3.1.6）

在原假设

H 成立下， z 服从正态分布z )1,0(~N ，检验规则为：

当2αz z >时，拒绝0H ； 当2

αz z ≤时，接受

H 。

（2） 两个总体方差21σ和22σ都未知，但21σ=22σ=2

σ 用样本方差s 代替σ，构造检验统计量

2

111n n s Y

X t +

-=

在原假设

H 成立下，t 服从正态分布t )2(~21-+n n t ，检验规则为：