备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；

（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.

【答案】（1）()22303y x x x =

-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2117+. 【解析】

试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．

（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，

∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．

②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-， 则()22303y x x x =-++<<

（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，

∴∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．

②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =--

则

2

2

14117

2

4

AD CA x

x

AC CB x

x

-±

=⇒=⇒=

-

（舍负）

易知∠ACE<90°，所以边BC的长为117

2

+

．

综上所述：边BC的长为2或117

2

+

．

点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．

2．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P 作PE⊥PC交直线AB于E．

（1）求证：PC=PE;

（2）延长AP交直线CD于点F.

①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；

②若ΔAPE的面积是216

25

，则DF的长为

（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接

PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=72

3

，则△MNQ的

面积是

【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）56

【解析】

【分析】 （1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;

（2）作出△ADP 和△DFP 的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE 的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;

（3）根据已经条件证出△MNQ 是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.

【详解】

(1) 证明：∵点P 在对角线BD 上，

∴△ADP ≌△CDP ,

∴AP=CP , ∠DAP =∠DCP ,

∵PE ⊥PC ，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,

∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,

∵∠PAE=90°-∠DAP ＝90°-∠DCP ,

∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,

∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,

∴∠PEA=∠PAE,

∴PC=PE;

（2）①如图2，过点P 分别作PH ⊥AD,PG ⊥CD,垂足分别为H 、G.延长GP 交AB 于点M.

∵四边形ABCD 是正方形，P 在对角线上，

∴四边形HPGD 是正方形，

∴PH=PG,PM ⊥AB,

设PH=PG=a,

∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADF S

=9, ∵ADF S

=ADP DFP S S +=1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴1163922

a a ⨯+⨯=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,

又∵PA=PE,

∴AM=EM,AE=4,

∵APE S =1144822

EA MP ⨯=⨯⨯=, ②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b, ∴APE S =()121626225

b b ⨯⨯-=, 解得b=2.4 3.6或,

∵ADF S =ADP DFP S S +=

1122

AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴11166222

b DF b DF ⨯⨯+⨯=⨯, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9,

即DF 的长为4或9;

（3）如图，

∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD,

∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,

∴∠1+∠4=45°,

∴∠3=∠4,

易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC,

∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,

∴∠6+∠7=90°,

∴△MNQ 是直角三角形,

设EM=a,NC=b 列方程组

222252372 3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎪+= ⎪⎝⎭⎩

, 可得12ab=56

,