海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题(wd无答案)
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题(wd无答案)
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题一、单选题(★★★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数，则其共轭复数（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知向量，，，则（）A．-2B．-1C．1D．2(★★) 4. 《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为 N，则的整数部分为（）A．2566B．2567C．2568D．2569(★★) 5. 一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（）A．B．C．D．12(★) 6. 已知直线与圆相交所得弦长为4，则（）A．-9B．1C．1或-2D．1或-9(★★) 7. 设“函数在上单调递减”，“ ，”，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 8. 若对任意，都有，则满足条件的有序实数对的对数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题(★★)9. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知双曲线的离心率， C上的点到其焦点的最短距离为1，则（）A．C的焦点坐标为B．C的渐近线方程为C．点在C上D．直线与C恒有两个交点(★★★) 11. 小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：所需时间（分钟）30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是（）A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04(★★★) 12. （多选题）如图，在直三棱柱中， ， ，点 D ， E 分别是线段 BC ，上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是（）A ．平面B ．该三棱柱的外接球的表面积为C ．异面直线与所成角的正切值为D ．二面角的余弦值为三、填空题(★) 13. 第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_____种不同的选法．(★★) 14. 已知角的顶点为坐标原点，始边为 x轴的正半轴，终边上有一点，则____．(★★) 15. 已知抛物线的焦点为 F，点 P在抛物线上，点．若，且的面积为，则______．四、双空题(★★★) 16. 已知函数的图象关于点对称，则______，若对于总有成立，则 a的取值范围是________．五、解答题(★★) 17. 在① ，，② ，，③ ，三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若的面积为，_____，求 b．(★★) 18. 已知等差数列的前 n项和为，满足，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求数列的前 n项和．(★★★) 19. 如图，三棱锥中，，是正三角形，且平面平面ABC，， E， G分别为 AB， BC的中点．（Ⅰ）证明：平面 ABD；（Ⅱ）若 F是线段 DE的中点，求 AC与平面 FGC所成角的正弦值．(★★★) 20. 某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度 t（℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值 y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为 A 组，第15～20组数据定为 B组．（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合 y与 t的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．（Ⅱ）若根据A组数据得到回归模型，根据B组数据得到回归模型，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．（Ⅲ）根据实验数据计算可得： A组中活性指标值的平均数，方差； B组中活性指标值的平均数，方差．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数和方差．(★★★★) 21. 已知椭圆的左顶点为 A， O为坐标原点，， C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆 C的方程；（Ⅱ）已知不经过点 A的直线交椭圆 C于 M， N两点，线段 MN的中点为 B，若，求证：直线 l过定点．(★★★) 22. 已知函数，其中．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，讨论关于 x的方程在区间上实根的个数．。
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题(解析版)
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题一、选择题1．设复数2z m i =++，若z 的实部与虚部相等，则实数m 的值为（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】B【解析】因为复数2z m i =++的实部与虚部相等，所以21+=m ，解得1m =-．故选：B. 2．sin1050︒=（ ）A ．-1B ．12- C ．0 D 【答案】B【解析】()()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-．故选:B 3．设集合(){}211A x x =-≤，(){}20B x x x =+≤，则AB =（ ）A ．[]1,1-B ．[]0,2C ．[]22-,D ．[]2,1-【答案】C【解析】∵(){}{}21102A x x x x =-≤=≤≤，(){}{}2020B x x x x x =+≤=-≤≤，∴[]2,2AB =-，故选：C ．4．已知函数()2e ,0,,0,x x f x ax x ⎧-≥=⎨<⎩若()()01f f =，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．2【答案】A 【解析】()()()()()20e 111ff f f a =-=-=-=，所以a 的值为1．故选：A.5．统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（ ） A ．0.5 B ．2C ．5D ．10【答案】B【解析】总频数为311，则中位数是所有数据从小到大第156个数据，156733548--=，中位数大约在区间[)1,3的中点处，所以中位数大约为2．故选：B6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（ ）A ．7B ．10C ．63D ．18【答案】C【解析】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ∴311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+，∴111133252814a d a a d a d +-++=+=，∴147a d +=，即57a =∴()199599632a a S a+⨯===．故选：C7．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为（ ） A ．94-B ．2-C ．32-D ．0【答案】A【解析】由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞．所以，()()()()2224224log log 4log log 41log 4xf x x x x =⋅=-⋅+，()()()()22222221992log 1log log log 2log 244f x x x x x x ⎛⎫=-++=--=--≥- ⎪⎝⎭，故选：A ．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．355D ．477【答案】D【解析】设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则OC a =．因为AB BC CD ==，所以2CD OC =，所以33OD OC a ==．因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，所以点22a ⎫⎪⎭在双曲线上，代入双曲线方程得2299122a b -=，解得2297b a =．所以双曲线的离心率为229471177c b e a a==+=+=D ． 二、多选题9．已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足2AB a =，2AD a b =+，则（ ）A ．22b =B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．()4a b b +⊥【答案】AD【解析】由条件可b AD AB BD =-=，所以22b BD ==，A 正确；12a AB =，与BD 不垂直，B 错误；122a b AB BD ⋅=⋅=-，C 错误；4a b AB AD AC +=+=，根据正方形的性质有AC BD ⊥，所以()4a b b +⊥，D 正确．故答案为：AD .10．设α和β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，βn//，//m n ，则//αβB ．若m α⊥，n β⊂，//αβ，则m n ⊥C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n【答案】BCD【解析】//m α，βn//，//m n ，并不能推出//αβ，这时α和β还可能相交，故A 错误；若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又n β⊂，则m n ⊥，B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n β⊥，则αβ⊥，C 正确；若m α⊥,//αβ，中m β⊥，又n β⊥，则//m n ，D 正确. 11．函数()()π6sin 0f x x ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的最小正周期为π2，则（ ） A ．ω的值为4B ．()f x 图象的一条对称轴为直线π6x = C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为12【答案】BC【解析】对A ，因为ππ2T ω==，所以ω的值为2，A 错误； 对B ，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，()1f x =，所以π6x =是函数()f x 图象的一条对称轴，B 正确； 对C ，πππsin 2666f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 2cos 22x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确； 对D ，当ππ,412x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，ππ2,063x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围是2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D 错误． 故选：BC12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（ ）A ．AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C ．当2m =时，ABF 为直角三角形 D ．当1m =时，ABF 【答案】ACD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=，∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =与椭圆方程联立，可解得A ⎛ ⎝⎭，B ⎝⎭，又∵)F ，∴260222AF BF ⎛⎛⋅=+-+=⎭⎝⎭，∴ABF 为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确． 故选：ACD 三、填空题13．能够说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题的一个x 值为__________．【答案】3【解析】因为*3x =∈N ，而3223<，∴说明“*x ∀∈N ，22x x ≥”是假命题．14．为了给国外新冠肺炎疫情严重的地区提供援助，国内某机构计划派出由5人组成的专家指导小组，其中甲、乙、丙3人通晓英语，丁、戊2人通晓法语，现从中随机选出通晓英语、法语的专家各1名作为领队，则甲和丁至少有1人被选中的概率为__________． 【答案】23【解析】从5人中选出通晓英语、法语的专家各1名的可能结果为（甲，丁），（甲，戊），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），共6种情况．甲和丁至少有1人被选中的有（甲，丁），（甲，戊），（乙，丁），（丙，丁），共4种情况． 甲和丁至少有1人被选中的概率为42==63P ． 15．一个底面半径为r ，高为h 的圆柱内接于半径为R 的球O 中，若h=R ，则rR=__________．【解析】做出该圆柱内接于球O 的轴截面如图所示，则OA R =，22h ROB ==，AB r =，在OAB 中，2222322R AB OA OB R R r ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭，所以32r R =．16．设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x x f <-成立的x 的取值范围是_________．【答案】3 ()ln 2,+∞【解析】∵()f x 是奇函数，∴()()223f f =--=，设()()2g x f x x =-，则()()22g f =-41=-，()()20g x f x ''=-<， ∴()g x 在R 上单调递减， 由()e2e1xxf <-得()e e 21x x f -<-，即()()2e xg g <，∴e 2x >，得ln 2x >， 四、解答题17．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅱ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7． （解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅱ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 18．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．sin A ，cos C 分别为方程212530x x +-=的两根．（Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若2a =，求ABC 的面积． 【解析】（1）解方程212530x x +-=得113x =，234x =-．因为(),0,πA C ∈，所以1sin 3A =，3cos 4C =-，所以cos 3A ==，sin C == 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+13134346⎛⎫=⨯-+=-+⎪⎝⎭．（结果写成312也对）（2）由正弦定理sin sin c a C A =，所以2sin 41sin 3a Cc A⨯===， 所以1sin 2ABC S ac B =△11224⎛=⨯⨯-+=+ ⎝⎭．也对） 19．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为34，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为12．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢． （Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．【解析】（Ⅰ）设事件A 为“第四盘棋甲赢”，若第四盘棋甲赢，分两种情况： 若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，概率13394416P =⨯=， 若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，概率2111428P =⨯=， ∴()12911116816P A P P =+=+=； （Ⅱ）设事件B 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况：若甲第三盘赢，概率33113144232P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 若甲第四盘赢，概率41111142216P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 若甲第五盘赢，概率51111142216P ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭， ∴()345311732161632P B P P P =++=++=． 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11ABB A ，四边形11ABB A 为菱形．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）若160ABB ∠=︒，4AB =，二面角11C A B A --的余弦值为217，求三棱锥1C ABB -的体积．【解析】（Ⅰ）因为四边形11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥． 因为BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB BC ⊥． 又因为1A BBC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以1BB ，BC 所在的直线为x 轴和z 轴， 以过B 点垂直平面11BB C C 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．设()0BC h h =>，则()0,0,0B ，()14,0,0B ，()16,23,0A ，()0,0,C h ．所以()14,0,B C h =-，()112,23,0B A =．设平面11CA B 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n B C n B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,2230,x hz x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得341,3n h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 由条件知()0,0,BC h =为平面11AA B 的一个法向量．设二面角11C A B A --的平面角为θ，易知θ为锐角．则cos 7θ==，解得4h =．所以11111444sin 603323C A BB B A B V BC S -=⨯︒=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯． 21．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点．（Ⅰ）当14y =时，求2y 的值；（Ⅱ）过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为E ，过点B 作EF 的垂线，交抛物线于另一点D ，求ABD △面积的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意知()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ty =+，联立21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=． 由根与系数的关系得124y y =-．当14y =时，21y =-．（Ⅱ）设()00,D x y ，()20,4m m m A ⎛⎫⎪⎝≠⎭，则()1,E m -， 由（Ⅰ）知24y m =-，所以244,B m m⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为BD EF ⊥，0112EF m m k -==---，所以2BD k m=． 所以直线BD 的方程为2424y x m m m⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即28240x my m ---=． 联立方程组得228240,4,x my my x ⎧---=⎪⎨⎪=⎩消去x 得2216280y my m ---=， 所以202y y m +=，202168y y m=--． ()2222020202644432y y y y y y m m -=+-=++，所以20BD y y =-=试卷第11页，总12页 设点A 到BD 的距离为d，则22168m d ++==．所以332222111618816244ABD S BD d m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2m =±时等号成立，所以ABD △面积的最小值为16． 22．已知0a >，函数()()21ln f x a x x =--，()111ex g x x -=-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；（Ⅲ）若()()f x g x >在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>． 因为0a >，由()0f x '=，得x = 由()0f x '>，得x >()0f x '<，得x <． 所以()f x的单调递增区间为⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． （Ⅱ）证明：设()1e x x x ϕ-=-，则()1e 1x x ϕ-'=-． 当1x >时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增， 所以()()10x ϕϕ>=，即1e x x ->，所以11e 1x x-<， 所以当1x >时，()0g x >． （Ⅲ）当102a <<1>，由（Ⅰ）知，()10f f <=，而0g >，此时()()f x g x >在区间()1,+∞上不恒成立． 当12a ≥时，设()()()()1h x f x g x x =-≥．试卷第12页，总12页 当1x >时，()21221111112121e x h x ax x x x x x x x x -'=-+->-+->-+ 22210x x x -+=>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=， 即此时()()f x g x >恒成立．综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2020年海南省高考数学模拟试卷(5月份)
2020年海南省高考数学模拟试卷（5月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|214}A x x =<-<，2{|4120}B x x x =--，则()(R A B =⋃ ) A ．(2,1)--B ．(3,6)-C ．(3-，6]D ．(6,2)-2．（5分）已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1(zz+= ) A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 3．（5分）已知向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，则(x = ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-4．（5分）“lnm lnn <”是“22m n <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）若双曲线221(0)mx ny m +=>，则(mn= ) A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（5分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上．AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD =，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为( )A ．30B．C ．33D．7．（5分）已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为( )A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-8．（5分）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76(ab = )A ．67B ．1211C ．1825D ．1621二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：)kg 情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( ) A ．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少10．（5分）将函数()sin 331f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11(,1)18π对称；④它在519[,]39ππ上单调递增．其中正确的结论的编号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（5分）若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2812ab g >D ．6b a lg ->12．（5分）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[2π-，2)π，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 在[0，)π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数21()2,0()34,0xx x f x log x x ⎧-⎪=⎨⎪-+>⎩，则(f f （8）)= ．14．（5分）某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX = ．15．（5分）已知0a b >>，且2a b +=，则515a b+的最小值是 ． 16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD = ，1AHHC = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①cos23sin 20B B -+=②2cos 2b C a c =-③cos 13sin b B a A+=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{22}n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD =．()l 证明：AB PD ⊥．（2）求二面角A PB C --的余弦值．20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 21．（12分）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-．记点G 的轨迹为曲线C ．（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE ． （2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点．试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数22()1x f x ax ax e =++-． （1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围．2020年海南省高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|214}A x x =<-<，2{|4120}B x x x =--，则()(R A B =⋃ ) A ．(2,1)--B ．(3,6)-C ．(3-，6]D ．(6,2)-【解答】解：因为{|31}A x x =-<<-，{|2B x x =-或6}x ，即{|26}R B x x =-<<，所以(3,6)RAB =-，故选：B ．2．（5分）已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1(zz+= ) A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 【解答】解：1z i =-，∴12(2)(1)131(1)(1)2z i i i iz i i i +----===++-， 故选：C ．3．（5分）已知向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，则(x = ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解答】解：向量(0,2)a =，(23b =，)x ，且a 与b 的夹角为3π，∴202212cos3a b x x π=+=+，即2x =2x =，故选：B ．4．（5分）“lnm lnn <”是“22m n <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <， 故前者是后者的充分不必要条件， 故选：A ．5．（5分）若双曲线221(0)mx ny m +=>的离心率为5，则(mn= ) A ．14B ．14-C ．4D ．4-【解答】解：由题意双曲线化为标准方程：221(0)11x y m m n-=>-，所以离心率2215b e a =+=，则22141b n a m-==，即4mn =-，故选：D ．6．（5分）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上．AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且3AB CD ==，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为( )A ．30B ．1010C ．33D ．1210【解答】解由题意将此三棱锥放在长方体中，由题意可知长方体的长宽高分别为，3，2，3，设外接球的半径为R ，则2(2)34310R =++=， 所以外接球的表面积为2410S R ππ==， 又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=， 所以10π=，所以1010S =， 故选：B ．7．（5分）已知1()x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，则不等式2(3)(9)f x f x -<-的解集为( )A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(4,3)-D ．(3,4)-【解答】解：根据题意，因为1()x x e f x e a -=+是定义在R 上的奇函数，所以f （1）(1)0f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，则12()111x x xe f x e e -==-++，易知()f x 在R 上为增函数． 又2(3)(9)f x f x -<-，必有239x x -<-，解得43x -<<，即不等式的解集为(4,3)-； 故选：C ．8．（5分）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76(ab = )A ．67B ．1211C ．1825D ．1621 【解答】解：因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，0k ≠． 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=， 所以7667a b =． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：)kg 情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是( ) A ．他们健身后，体重在区间[90，100)内的人数增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[100，110)内的人数没有改变C ．因为体重在[100，110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少【解答】解：体重在区间[90，100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A 正确；他们健身后，体重在区间[100，110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确；他们健身后，已经出现了体重在[80，90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C 错误；因为图2中没有体重在区间[110，120)内的比例，所以原来体重在区间[110，120)内的肥胖者体重都有减少，D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11(,1)18π对称；④它在519[,]39ππ上单调递增．其中正确的结论的编号是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④【解答】解：()sin312sin(3)13f x x x x π=+=-+，∴()2sin[3()]12sin(3)1636g x x x πππ=+-+=++， 令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，∴59x π=不是()g x 的对称轴，①错误， 函数()g x 的周期为23π，故②正确； 令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故()g x 关于点11(,1)18π对称，③正确： 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，故④错误． 故选：BC ．11．（5分）若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2812ab g >D ．6b a lg ->【解答】解：由104a =，1025b =，得4a lg =，25b lg =， 则1002a b lg +==，2564b a lg lg -=>，242542482ab lg lg lg lg lg =>=， 故选：ACD ．12．（5分）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[2π-，2)π，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 在[0，)π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【解答】解：因为()f x 的定义域为[2π-，2)π， 所以()f x 是非奇非偶函数，又()1cos (cos sin )1sin f x x x x x x x '=+--=+，当[0x ∈，)π时，()0f x '>，则()f x 在[0，)π上单调递增． 显然(0)0f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[2π-，2)π上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[2π-，2)π上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[2π-，2)π上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数21()2,0()34,0xx x f x log x x ⎧-⎪=⎨⎪-+>⎩，则(f f （8）)= 5 ．【解答】解：因为f （8）24log 8431=-+=-+=-， 所以11((8))(1)()253f f f -=-=+=．故答案为：5．14．（5分）某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX = 47.5 ．【解答】解：由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=． 故答案为：47.5．15．（5分）已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是 185． 【解答】解：因为2a b +=，所以511511526()()()525255b a a b a b a b a b +=++=++， 因为0a b >>，所以525b a a b +（当且仅当53a =，13b =时，等号成立）， 所以5112618(2)5255a b+⨯+=， 故答案为：185． 16．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD = 16，1AH HC = ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ABA B 平面11CDC D ，BF ⊂平面11ABA B ，//BF ∴平面11CDD C ，则//BF CE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =． 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点．因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN AM NC MC ==． 所以135MN CC =，所以65MN HNFA AH==，故138AH HC =． 故答案为：16；38．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①cos23sin 20B B +=②2cos 2b C a c =-③3sin b a A=一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ① ，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：选①2cos212sin B B =-，∴22sin 3sin 30B B -=，即(2sin 3)(sin 3)0B B =，解得sin 3B =-（舍去）或3sin B ． 0B π<<，∴3B π=或23π， 又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，b ∴不是三角形中最大的边， 即3B π=，由2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 选②由正弦定理可得2sin cos 2sin sin B C A C =-，故2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-， 整理得2cos sin sin 0B C C -=．0C π<<，sin 0C ∴>，即1cos 2B =． 0B π<<，∴3B π=，又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，即a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 选③ 由正弦定理得sinsin B A =sin 0A ≠，∴cos 1B B -=，即1sin()62B π-=，0B π<<，∴5666B πππ-<-<， 即66B ππ-=，可得3B π=，由余弦定理即2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，可得a c =， 故ABC ∆是等边三角形． 故答案为：①．18．（12分）设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{22}n n a +的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）111a b -=，113a b +=， 12(1)21n n a b n n ∴-=+-=-，132n n n a b -+=⨯．联立解得21(21)322n n a n -=-+⨯．（2）1122213222152n n n n n a n n --+=-+⨯+=-+⨯．∴数列{22}nn a +的前n 项和2(211)125525212nn n n n S n -+-=+⨯=+⨯--．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD =．()l 证明：AB PD ⊥．（2）求二面角A PB C --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结BD ，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD l ==，2PD 112BD AD ∴=+222AD PD AP ∴+=，222BD PD PB +=， AD PD ∴⊥，BD PD ⊥，ADBD D =，PD ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB PD ∴⊥．（2）解：222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2A 0，0)，(0B 20)，22(22C -，0)，(0P ，02)， (2,0,2)PA =，(0PB =22)-，2(2PC =-2，2)， 设平面ABP 的法向量(n x =，y ，)z ，则220220n PA x z n PB y z ⎧==⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，1)， 设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则22022202m PB y z m PC y z ⎧==⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =，得(1m =-，1，1)， 设二面角A PB C --的平面角为θ， 则二面角A PB C --的余弦值为：||1cos ||||3m n m n θ==．20．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元． （1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由． 【解答】解：（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元， 即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故生产成本恰好为18万元的概率为(10.02)0.030.0294-⨯=．（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5．(0)(10.02)(10.03)0.9506P ξ==-⨯-=， (2)0.02(10.03)0.0194P ξ==⨯-=， (3)(10.02)0.030.0294P ξ==-⨯=， (5)0.020.030.0006P ξ==⨯=．所以00.950620.019430.029450.00060.13E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+=（万元）．若选生产线②，设增加的生产成本为η，则η的可能取值为0.8，5，13．(0)(10.04)(10.01)0.9504P η==-⨯-=， (8)0.04(10.01)0.0396P η==⨯-=，(5)(10.04)0.010.0096P η==-⨯=， (13)0.040.010.0004P η==⨯=．所以00.950480.039650.0096130.00040.37E η=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+=（万元）， 故应选生产线②．21．（12分）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-．记点G 的轨迹为曲线C ．（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE ． （2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点．试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：设(,)G x y ，2232244AG BGy y y k k x x x ===-+--， 即221(0)43x y y +=≠．将0)x y=代入22143x y +=，得D的坐标为，又E ， 则OD AE k k ==//OD AE ． （2）（方法一）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立y kx =与22143x y +=，得22(34)120k x +-=，120x x ∴+=，1221234x x k -=+． 易知A 的坐标为(2,0)-，则直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++，则112(0,)2y P x +，同理可得222(0,)2y Q x +． 故以PQ 为直径的圆的方程为222()()22P QP Qy y y y x y +-+-=，令0y =，得212124(2)(2)P Q y y x y y x x -=-=++．222212121221212121212444443434(2)(2)2()44113y y k x x k x x k k k x x x x x x x x x x -----=====++++++++-，∴以PQ为直径的圆恒过定点(T ．（方法二）设1(M x ，1)y ，则1(N x -，1)y -， 则直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 则112(0,)2y P x +， 同理可得112(0,)2y Q x -． 假设存在0(T x ，0)符合题设，则0PT QT =，∴221021404y x x +=-， 1(M x ，1)y 在曲线C 上，∴22211121413434x y y x +=⇒=--，∴2030x x -=⇒=．故存在(T 符合题设．22．（12分）已知函数22()1x f x ax ax e =++-． （1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为2()()22x g x f x ax a e '==+-， 所以22()242(2)x x g x a e e a '=-=--，①当0a 时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减．②当0a >时，令()0g x '>，则122a x ln <：令()0g x '<，则122ax ln >，所以()g x 在1(,)22a ln -∞上单调递增，在1[,)22aln +∞上单调递减．综上所述，当0a 时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1(,)22a ln -∞上单调递增，在1[,)22aln +∞上单调递减．（2）2222()22(21)2(21)(),(0)021xxxe f x ax a e a x e x a f x '=+-=+-=+-=+．令()0f x '=，得2221xe a x =+．设22()21xe h x x =+，则228()(21)x xe h x x '=+．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221xe x >+．当2a 时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意．当2a >时，(0)2h a =<，所以22()21xe h x a x ==+有唯一实根0x ，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意． 综上，2a ，即a 的取值范围为(-∞，2]．。
海南省2020届高三高考调研测试数学试题 Word版含解析
2020年海南省普通高中高考调研测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--，则()AB =R（ ）A. ()2,1--B. ()3,6-C. (]3,6-D. ()6,2-【答案】B 【解析】 【分析】 算出集合B ，求出B R，直接进行交集运算即可.【详解】因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R，所以(){}|36AB x x =-<<R.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A.32i+ B.12i+ C.132i- D.132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3.已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】B【解析】 【分析】 由题意cos3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x ，解得2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.5.若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于,m n 的方程，即可得答案；【详解】因为221mx ny +=(0m >)可化为22111x y m n-=-(0m >)，所以e ==22141b n a m-==，即4m n =-.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B. C. 33D.【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积. 【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点， 从而球O.利用张衡的结论可得25168π=，则π=所以球O的表面积为2410ππ==⎝⎭故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-4,3)D. (-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A.67B.1211C.1825 D.1621【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，所以77618a S S k=-=，66521b T T k=-=，所以7667ab=.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前n项和的特点，属于基础题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了2个B. 他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有改变C. 因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可【详解】体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A正确；他们健身后，体重在区间[100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；他们健身后，已经出现了体重在[80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；因为图2中没有体重在区间[110,120)内的比例，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题.10.将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的变换得出()g x 的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为()sin 312sin 313f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 312sin 31636g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，所以59x π=不是对称轴①错误，②显然正确，令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③正确， 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，所以④错误. 所以选项BC 正确. 故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把x ωϕ+当成整体.11.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b +=B. 1b a -=C. 281g 2ab >D.lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点. 故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则()()8f f =______.【答案】5 【解析】【分析】先将8x =代入解析式可得()81f =-,再求()1f -即可 【详解】由题,()24log 88431f =-+=-+=-,所以()()()1125381f f f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-= 故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX =________. 【答案】47.5 【解析】 【分析】由题意得到~(1000,0.95)X B ，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=. 故答案为：47.5【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单. 15.已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是________. 【答案】185【解析】 【分析】由条件可得511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为2a b +=，所以511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以525b a a b +≥(当且仅当53a =，13b =时，等号成立)，所以511261825255a b⎛⎫+≥⨯+=⎪⎝⎭.故答案为：185【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.16.在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱CD上一点，且2CE DE=，F为棱1AA的中点，且平面BEF与1DD交于点G，与1AC交于点H，则1DGDD=______，1AHHC=______.【答案】 (1).16(2).38【解析】【分析】由线面平行的性质可得//BF GE，即可得到AF DGAB DE=，又2CE DE=，则1DGDD可求. 连接AC交BE于M，过M作1//MN CC，MN与1AC交于N，连接FM，则H为FM与1AC的交点，根据三角形相似可得线段的比.【详解】解：1111ABCD A B C D-是正方体∴面11//A B BA面11C D DCBF⊂面11A B BA//BF∴平面11CDD C，面BFGE面11C D DC GE=则//BF GE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】 【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B -+=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =，又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】（1）根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=.（1）证明：AB ⊥PD.（2）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可； （2）由AD 2+BD 2＝AB 2，可得AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】（1）证明：连结BD ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形， 底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=∴BD ＝AD 112=+=∴AD 2+PD 2＝AP 2，BD 2+PD 2＝PB 2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A 2，0，0），B（02，0），C（2222-，0），P（0，02），PA=22，，，PB=（02，2-），PC=（222，2-，设平面ABP的法向量n=（x，y，z），则220220n PA x zn PB y z⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取x＝1，得n=（1，1，1），设平面PBC的法向量()111,,m x y z=，则11111220222022m PB y zm PC x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11z=，得m=（﹣1，1，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ13m nm n⋅==⋅.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解析】 【分析】（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.（2）若选择生产线①，设增加生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==， ()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C . （1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T . 【解析】 【分析】（1）设点()G x y ,，根据34GA GBk k ⋅=-，求得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组，解答,D E 坐标，结合斜率公式，即可求解. （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，解得0022P y y x =+,022Q y y x =-，假设顶点T ，使得PQ为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=，求得2220434Ty x x ==-，即可得到结论. 【详解】（1）设点()G x y ,，因为34GA GB k k ⋅=-，即3224y y x x ⋅=-+-，整理得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组221430)x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得D且E ，所以OD AE k k ==，所以//OD AE . （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --， 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令0x =，解得0022P y y x =+,同理可得022Q y y x =-, 假设定点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=,即2T P Q x y y =-，又由2200143x y +=，可得22020434T y x x ==-，所以(T ， 即在x轴上存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数22()1e xf x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】 【分析】（1）由于函数2()()22e xg x x ax f a ==+-'，得出()2()22exg x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()'g x 的正负，进而得出()g x 的单调性；（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x eh x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.（2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21xa x =+.设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221x e x >+.当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. 综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.。
2020届海南华侨中学高三第五次月考数学试题(解析版)
2020届海南华侨中学高三第五次月考数学试题一、单选题 1．已知复数224(1)+=-iz i （i 为虚数单位），则z 的模||z 为（ ）A ．BC ．5D【答案】B【解析】化简得到2z i =-+，再计算z 得到答案. 【详解】224242(12)i iz i i i++===--+-，故z =故选B 【点睛】本题考查了复数模的计算，意在考查学生的计算能力.2．设集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}|2B x x A x A =∈∈,，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合B ,再确定元素个数. 【详解】因为{}1,0,1,2,3,4A =-,{}|2B x x A x A =∈∈,, 所以{}0,1,2B =, 所以集合B 中有3个元素, 故选:C. 【点睛】本题考查集合,属于简单题.3．在等比数列{}n a 中，若435,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．－1或－2 B ．1或－2C ．1或2D ．－2【解析】由等差中项的性质可得3452a a a =+,从而有220q q +-=,进而可得解. 【详解】因为在等比数列{}n a 中,435,,a a a 成等差数列,所以345332322a a a a a a q q ⇒=++⋅⋅=, 又0n a ≠,所以220q q +-=,解得1q =或2q =-, 故选:B. 【点睛】本题主要考查等差中项的性质运用,考查等比数列和计算能力,难度不大.4．设21log 3a =，432b =，2313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D【解析】根据指数,对数函数的单调性分别比较,,a b c 与0,1的大小关系即可. 【详解】221log log 103a =<=, 41322=2b =>2311133c <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,故01c <<,所以a c b <<, 故选:D. 【点睛】本题考查指数,对数式的大小比较,属于基础题.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2C D ．2【答案】CAE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6．唐朝著名的凤鸟花卉浮雕银杯（如图1所示），它的盛酒部分可以近似地看做是半球与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁表面积固定时（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米），要使酒杯容积不大于半球体积的两倍，则R 的取值范围为（ ）3S ⎛3S ⎫3S SD ． 【答案】D【解析】根据题意,酒杯内壁表面积为圆柱与半球的表面积,列出S 的表达式,再求出体积V ,解不等式即可.【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为h ,R , 则表面积222S R Rh ππ=+,故22SRh R ππ=-, 所以酒杯的容积323233224()332323S S V R R h R R R R R R ππππππ=+=+-=-+„,所以2523S R π„,又202SR π->,所以22523S R R ππ<„,R <, 故选:D. 【点睛】本题考查了组合体的体积和表面积的计算,难度不大.7．设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r ，由已知得cos ,1a b =r r ，即,0a b =r r ，//a b r r .而当//a b r r 时，,a b r r 还可能是π，此时a b a b ⋅=-r r r r ，故“a b a b ⋅=r r r r ”是“//a br r ”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充分必要条件、向量共线.8．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，VA AC ⊥，BA BC ⊥则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是（ ）【答案】D【解析】设AC 边的中点为D ,VC 边的中点为O ,则由题意可推出VA ⊥面ABC ,又因为BA BC ⊥,则点D 为ABC ∆的外接圆圆心,从而点O 为V ABC -的外接球球心,最后代入数据求解即可. 【详解】如图所示,设AC 边的中点为D ,因为BA BC ⊥,则点D 为ABC ∆的外接圆圆心, 因此三棱锥V ABC -的外接球球心在过点D 的垂线上, 因为面VAC ⊥面ABC ,面VAC I 面ABC AC =,VA AC ⊥, 所以VA ⊥面ABC ,设VC 边的中点为O ,则//VA OD ,即V ABC -的外接球球心在直线OD 上, 又VA AC ⊥,则VO AO =,则点O 即为V ABC -的外接球球心,因为2VA AC ==,所以V ABC -的外接球半径122R VO VC ===, 因此三棱锥V ABC -的外接球的表面积为248R ππ=, 故选:D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法,需要学生具备一定的空间思维与想象能力,属于中档题.二、多选题9．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（ ）A ．函数的最小正周期为23π π⎛⎫C ．其图象关于直线4πx =-对称 D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 【答案】AC【解析】利用三角函数的图像及性质一一判断选项正误即可. 【详解】2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其最小正周期23T π=,故选项A 正确; 当4x π=时,32sin()12sin 1144y πππ=++=+=,其关于,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称,故选项B 错误; 当4πx =-时,334442x ππππ+=-+=,故选项C 正确; 2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到函数12sin 134y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,故选项D 错误;故选:AC 【点睛】本题考查三角函数图像､性质的应用,难度不大.10．已知函数21()21x x f x +=-，()2g x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 为奇函数B ．()()f x g x 为偶函数C ．()()f x g x +为奇函数D ．()()f x g x +为非奇非偶函数【答案】BC【解析】先判断函数(),()f x g x 的奇偶性,再利用函数奇偶性的性质判断选项正误. 【详解】21()21x xf x +=-,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ,21(21)212()()21(21)212x x x xx x x xf x f x ----++⋅+-====---⋅-, 故函数()f x 为奇函数, 又()2g x x =为奇函数,根据函数奇偶性的性质可知:()()f x g x 为偶函数,()()f x g x +为奇函数, 故选:BC. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质应用,难度不大.11．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面AGF '⊥平面BCDEC ．三棱锥A EFD '-的体积有最大值D ．旋转过程中二面角A DE C '--的平面角始终为A GF '∠ 【答案】ABCD【解析】由斜线的射影定理可判断A 正确;由面面垂直的判定定理,可判断B 正确;由三棱锥的体积公式,可判断C 正确;由二面角的平面角定义可判断D 正确. 【详解】A D A E ''=Q ,ABC ∆是正三角形, ,A G DE GF DE '⊥⊥， DE ⊥平面A GF '，因为DE ⊂平面BCED ，所以平面AGF '⊥平面BCEDA '∴在平面ABC 上的射影在线段AF 上,故A 正确;由A 知, DE ⊥平面A GF ',DE ⊂平面BCED∴恒有平面AGF '⊥平面BCED ,故B 正确;三棱锥A FED ¢-的底面积是定值,体积由高即A '到底面的距离决定,平面A DE 'I 平面CDE DE =,且,A G DE GF DE '⊥⊥,则二面角A DE C '--的平面角为A GF '∠,故D 正确; 故选:ABCD. 【点睛】本题考查了线面､面面垂直的判定定理及性质定理的运用,考查了二面角的平面角的概念,需要学生具备一定的空间想象能力.12．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 【答案】AD【解析】运用指数函数的单调性,即可判断A;由二次函数的单调性,即可判断B;通过函数2()2x h x x ax =+-,求出导数判断单调性,即可判断C;通过函数2()2x h x x ax =++,求出导数判断单调性,即可判断D. 【详解】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减,在(2a-,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误;对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-, 设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '小于0,()h x 单调递减,则C 错误;对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '不恒大于0或小于0, 即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确. 故选:AD. 【点睛】本题考查函数的单调性及运用,运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.三、填空题13．已知两个单位向量,a b v v 满足||3||a b b +=rr r ，则,a b v v 的夹角为__________．【答案】3π 【解析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得. 【详解】因为a r ,b r 是单位向量,所以||||1a b ==r r,因为||3||a b b +=rr r,所以22()3||a b b +=r r r , 所以22223||a b a b b ++⋅=r rr r r ,所以222||||2||||cos ,3||a b a b a b b ++<>=rr rrrr r , 因为||||1a b ==rr,所以3111cos ,2112a b --<>==⨯⨯rr , 又,[0,]a b π<>∈rr ,所以,3a b π<>=rr .故答案为:3π 【点睛】本题考查了向量的数量积和向量夹角公式,属于基础题. 14．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则_______．【解析】根据等比数列的性质得到再由等差数列的中项的性质得到：.【详解】根据等比数列的性质得到：，∴(舍去)，由等差数列的中项的性质得到：，∴.故答案为：8. 【点睛】对于等差等比数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足条件①BM DM ⊥，②DM PC ⊥，③BM PC ⊥中的______时，平面MBD ⊥平面PCD （只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.【答案】②（或③）【解析】推出BD PC ⊥,则要得到平面MBD ⊥平面PCD ,即要得到PC ⊥平面MBD ,故只需PC 垂直平面MBD 内的一条与BD 相交的直线即可. 【详解】PA ⊥Q 底面ABCD ,PA BD ∴⊥,Q 底面各边都相等,AC BD ∴⊥,PA AC A =Q I ,BD ∴⊥平面PAC ,BD PC ∴⊥,∴当DM PC ⊥(或)BM PC ⊥时,即有PC ⊥平面MBD ,而PC ⊂平面PCD ,∴平面MBD ⊥平面PCD . 故答案为:②(或③).本题考查线面､面面垂直的判定与性质应用,需要学生具备一定的空间想象能力与逻辑思维能力.16．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当(0,2)x ∈时，2()2f x x x =-，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______，若16()()log g x f x x =-，则()g x 有______个零点.【答案】383【解析】由题可得1()(2)2f x f x =-,故52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫⎪⎝⎭,再将()g x 的零点问题转换为函数()f x 与16()log h x x =的图象交点问题求解. 【详解】因为(2)2()f x f x -=,所以1()(2)2f x f x =-, 又当(0,2)x ∈时,2()2f x x x =-,所以52f ⎛⎫=⎪⎝⎭1511113212222248f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 画出16(),()log f xh x x =的图象如下图所示:161611(3)(3)log 3,(5)(5)log 5,24f g f g =>==<= 因此两函数图象有3个交点,即()g x 有3个零点, 故答案为:38;3.【点睛】本题考查函数性质的应用,考查数形结合法解决函数零点问题,属于中档题.四、解答题 17．如图，直三棱柱中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =,点M 是11A B 的中点.（1）求证：1B C //平面1AC M ； （2）求三棱锥11A AMC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；（2）16. 【解析】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点，利用三角形中位线定理可得1//MN B C ，再由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等积变换可得11A AMC V -11A A C M V -=，再利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点， 又M Q 为11A B 的中点，1//MN B C ∴，又因为MN ⊂平面1AC M ，1B C ⊄平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ；（2）因为，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =，且点M 是11A B 的中点 所以11A AMC V -11A A C M V -=11113A C M S AA ∆=⨯11111132A C B S AA ∆=⨯⨯ 11111123226=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18．已知数列{}n a ，n S 为其前n 项和，22n S n n =+.（1）求{}n a 的通项公式： （2）若21n n n b a a +=，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）n a n =；（2）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】(1)根据22n S n n =+,由1n n n a S S -=-即可求出{}n a 的通项公式:(2)利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】(1)当1n =时,11222S a ==,即11a =,由22n S n n =+得212(1)1(1)n S n n n -=-+->,两式相减得:22(1)n a n n =>, 即(1)n a n n =>, 又1n =时上式也成立, 故n a n =; (2)由(1)知,1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,则1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦32342(1)(2)n n n +=-++. 【点睛】本题考查由数列的求和公式求通项公式,考查裂项相消法求和,难度不大.在由数列的求和公式求通项公式时,需注意n 的取值范围.19．2019年，海南等8省公布了高考改革综合方案将采取“312++”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； （2）试根据茎叶图分析甲同学的物理和历史哪一学科成绩更稳定.（不需计算） （3）甲同学发现，其物理考试成绩y （分）与班级平均分x （分）具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.（计算$a，ˆb 时精确到0.01）x （分）57 61 65 72 74 77 84 y （分）76828285879093参考数据：71490ii x==∑，71595i i y ==∑，72134840i i x ==∑，72150767i i y ==∑，7141964i ii x y==∑，()()71314i i i x x y y =--=∑.参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y n x ybx x xn x ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，ˆˆay b x =-⋅ 【答案】（1）14；（2）物理；（3）73 【解析】(1)直接利用枚举法与古典概型概率计算公式求解;(2)由茎叶图可知物理成绩的方差s 2物理<历史成绩的方差s 2历史,故物理成绩更稳定; (3)由表格数据先求,x y ,再利用公式求出回归方程,进而得解. 【详解】(1)记物理､历史分别为1A ,2A ,思想政治､地理､化学､生物分别为1B ,2B ,3B ,4B , 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ,{}113,,A B B ,{}114,,A B B ,{}123,,A B B ,{}124,,A B B ,{}134,,A B B ,{}212,,A B B ,{}213,,A B B ,{}214,,A B B ,{}223,,A B B ,{}224,,A B B ,{}234,,A B B ,共12种,他选到物理､地理两门功课的满情形有{}112,,A B B {}123,,A B B {}124,,A B B ,共3种, ∴甲同学选到物理､地理两门功课的概率为31124P ==; (2)由茎叶图可知物理成绩数据更集中, 故物理成绩的方差2s <物理历史成绩的方差2s 物理,故物理成绩更稳定;(3)57616572747784707x ++++++==,85y =,∴717222174196477085314ˆ0.58348407705407i ii ii x y x y bx x==-⋅⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑,$ˆ850.587044.40ay b x =-⋅=-⨯≈, ∴y 关于x 的回归方程为0.5844.40y x =+, 当50x =时,0.585044.4073y =⨯+≈. 【点睛】本题考查古典概型,考查茎叶图以及回归方程,属于中档题.在解决古典概型问题时,常利用枚举法进行答题.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，5,21AC AD ==求AB 的长；【答案】（1）3C π=；（2197；【解析】（1）首先根据正弦定理边角互化，得到2sin cos 2sin sin C A B A =-，由()sin sin B A C =+，代入化简，最后得到1cos 2C =求角C ；（2）首先在ACD ∆中，根据余弦定理求CD ，然后在ABC ∆中再利用余弦定理求边AB . 【详解】（1）2cos 2c A b a =-Q ，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin sin C A A C A =+（）-∴，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos in ,sin 0A C s A A =≠∴，1cos 2C ∴=， (),3C C ππ∈=Q 0，∴，（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅ 221255CD CD =+-∴ 2540CD CD -+=，1CD =∴或4CD =，当1CD =时，2BC =ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1254252219=+-⨯⨯⨯=19AB =∴，当4CD =时，8BC =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅12564258492=+-⨯⨯⨯= 7AB =∴19AB =∴或7AB =.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.21．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，2AB =，6CD =，3AD =，E 为CD 上一点，且4DE =，过E 作//EF AD 交BC 于F ，现将CEF ∆沿EF 折到PEF ∆，使60PED ∠=︒，如图2.（1）求证：PE ⊥平面ADP（2）在线段PF 上是否存在一点M ，使DM 与平面ADP 所成的角为30°？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析【解析】(1)解法一:由EF PE ⊥,EF DE ⊥,推出EF ⊥平面PDE ,即有AD ⊥平面PDE ,故AD PE ⊥,结合PE PD ⊥即可推出PE ⊥平面APD ;解法二:建立空间直角坐标系,利用向量推出结论;(2)由(1)知AD ⊥平面PDE ,故以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,设M 是线段PF 上一点,则存在01λ≤≤,使PM PF λ=u u u u r u u u r,再利用向量,结合线面角公式列式求解即可. 【详解】 (1)解法一:∵4DE =,2PE =,60PED ∠=︒,由余弦定理得22212232DE PE PD DE PE PD +-=⋅⋅⋅⇒=, ∵22216PD PE DE +==,∴PE PD ⊥, 又直角梯形ABCD 中,//EF AD , ∴EF PE ⊥,EF DE ⊥,PE DE E =I , 则EF ⊥平面PDE ,又∵//EF AD ,∴AD ⊥平面PDE ,∴AD PE ⊥,又因为直线AD ,PD 在平面APD 内,且相交于D ,∴PE ⊥平面APD . 解法二:以为EF PE ⊥,EF DE ⊥,且PE DE E =I , 则EF ⊥平面PDE ,所以平面DEF ⊥平面PDE ,以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则(0,0,0)D ,(3,0,0)A ,(3P ,(0,4,0)E ,∴(3,0,0)DA =u u u r,(3DP =u u u r ,(0,3EP =-u u u r ,∴0DA EP ⋅=u u u r u u u r ,0DP EP ⋅=u u u r u u u r,∴DA EP ⊥u u u r u u u r ,DP EP ⊥u u u r u u u r∴DA EP ⊥,DP EP ⊥,∵DA ,DP 是平面ADP 内的相交直线, ∴PE ⊥平面APD .(2)由(1)知AD ⊥平面PDE ,∴平面ADE ⊥平面PDE ,以DA 所在的直线为x 轴,以DE 所在的直线为y 轴,在平面DPE 内过D 作DE 的垂线,以垂线所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则(0,0,0)D ,(3P ,(0,4,0)E ,3,4,02F ⎛⎫⎪⎝⎭, 则(0,3EP =-u u u r ,3,1,32PF ⎛=- ⎝u u u r ,∵PE ⊥平面ADP ,∴平面ADP 的一个法向量为(0,3n EP ==-r u u u r,设M 是线段PF 上一点,则存在01λ≤≤,使PM PF λ=u u u u r u u u r,∴(33,1,32DM DP PM λ⎛=+-+ ⎝u u u u r u u u r u u u u r 3,3,332λλλ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,2cos ,2548n DM n DM n DM λ⋅==⨯+r u u u u rr u u u u r r u u u u r , 如果直线DM 与平面ADC 所成的角为30°,那么cos ,sin 30n DM ︒=r u u u u r,2122548λ=±+,解得21613λ=,此方程在[]0,1内无解, 所以在线段PF 上不存在一点M ,使DM 与平在ADP 所成的角为30°. 【点睛】本题考查线面垂直的判定及应用,考查空间向量在线面角上的应用,需要学生具备一定的空间思维及想象能力,属于中档题.22．已知函数2()ln (21)(1)f x x ax a x a =+-+++. （1）若12a =，分析()f x 的单调性.（2）若对1x ∀>，都有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：2222222212n n n k n nn n n n++++⋅⋅⋯⋅⋅⋯⋅>对任意正整数n 均成立，其中e 为自然对数的底数.【答案】（1）单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）证明见解析 【解析】(1)直接对函数求导,利用导数研究其单调性即可; (2)对()f x 求导后,再根据a 的取值进行分情况讨论即可;(3)题目可变形为证明不等式22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>恒成立,又由(1)可得1ln (1)1(1)2x x x ⎡⎤>---⎢⎥⎣⎦在(1,)+∞恒成立,则令21k x n =+,即有2224221ln 122k k k k n n nn n ⎛⎫+>-≥- ⎪⎝⎭,据此即可推出结论.【详解】(1)12a =,213()ln 222f x x x x =+-+,2(1)()x f x x-'=,(0,)x ∈+∞,故()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞,无减区间.(2)1()2(21)f x ax a x '=+-+22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x-++--==. ∵1x >,∴10x ->,故:①当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在(1,)+∞上单调递减,而(1)0f =,∴()0f x <,不符合题意;②当12a ≥时,即112a≤,()f x 在(1,)+∞上单调递增, 而()(1)0f x f >=,∴符合题意;③当102a <<时,11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0f x '<,()f x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,而(1)0f =,∴此时()0f x <,不符合题意;第 21 页 共 21 页 综上所述,a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)证明:要证明2222222212n n n k n n n n n n++++⋅⋅⋯⋅⋅⋯⋅>, 等价于证明22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>, 由(1)可得1ln (1)1(1)2x x x ⎡⎤>---⎢⎥⎣⎦在(1,)+∞恒成立, 令21k x n =+,1,2,3,,k n =⋅⋅⋅,则221k n≤, ∴2224221ln 122k k k k n n nn n ⎛⎫+>-≥- ⎪⎝⎭, ∴2222222212ln ln ln ln n n n k n n n n n n++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22121122n n n n ++⋅⋅⋅+>-⨯= ∴22222222121ln ln ln ln 2n n n k n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+>成立, ∴()()()()22222123nn n n n n n +⋅+⋅+⋅⋯⋅+>成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,解决恒成立问题以及不等式证明问题,难度较大.。
【100所名校】2020届海南省海南中学高三第五次月考数学试题(解析版)
2020届海南省海南中学高三第五次月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={1,2,3,4},B ={x|x =2n,n ∈A},则A ∩B = A ． ｛1,4｝ B ． ｛2,3｝ C ． {2,4} D ． ｛1,2} 2．设i 是虚数单位，若复数z=i1+i ，则z̅=A ． 12−12i B ． 1+12i C ． 1−12i D ． 12+12i3．设变量x ，y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,x +y −3≤0, ，则z =2x −y 的最小值为A ． −3B ． −2C ． −1D ． 24．如图，在△OAB 中， P 为线段AB 上的一点， OP xOA yOB =+，且2BP PA =,则A ． 23x =, 13y = B ． 13x =, 23y = C ． 14x =, 34y = D ． 34x =, 14y =5．设m,n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m ⊂α， a//β，那么“n ⊥β”是“m ⊥n ”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 5⋅a 6=4，则数列{log 2a n }的前10项和为A ． 5B ． 6C ． 10D ． 127．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为A ． 4B ． 2√2C ． 8D ． 168．已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为A ． 8+2π3B ． 8+π6C ． 4+π3D ． 8+π3 9．面积为3√32的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为2√2，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则V S的值是A ． 2B ． 1C ． √3D ． √210．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数,b 是从0，1，2三个数中任取的一个数,则关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率是A ． 56B ． 34C ． 23D ． 4511．在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且asin2B +bsinA =0，若a +c =2，则边b 的最小值为A ． 4B ． 3√3C ． 2√3D ． √312．已知函数f (x )=x 3+mx 2+nx （m,n ∈R ）f (x )在x =1处取得极大值，则实数m 的取值范围为A ． m ≠−3B ． m >−3C ． m <−3D ． m ≤−3二、填空题 13．f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，则使f(a)=−1成立的a 值是____________.14．已知函数f(x)=A ⋅sin(ωx +ϕ)，(A >0,ω>0,|ϕ|<）的部分图象如图所示，则f(0)=______．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．已知三棱锥P −ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且AB =√5,BC =√7,AC =2，则此三棱锥的外接球的体积为____________16．已知数列{a n }中，a 1=1，a 3=6，且a n =a n−1+λn(n ≥2)．则数列{1a n }的前n 项_和为____________三、解答题17．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 6，BC = 4，AA 1 =5，过DD 1的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海南省2020届高三年级第五次模拟考试数学试题
一、单选题
(★) 1. 设复数 ，若 z 的实部与虚部相等，则实数 m 的值为（）
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
(★) 2. （）
A ．-1
B ．
C ．0
D ．
(★) 3. 设集合 ， ，则 （）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★) 4. 已知函数 若 ，则 a 的值为（）
A ．1
B ．0
C ．-1
D ．2
(★) 5. 统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋
元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：
分组（万贯）
合计
合计
73
35
95
51
30
19
5
3
311
则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（）
A ．0.5
B ．2
C ．5
D ．10
(★) 6. 已知等差数列
的前 n 项和为 ，若
，则
（）
A ．7
B ．10
C ．63
D ．18
(★★) 7. 函数 的最小值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．0
(★★) 8. 从某个角度观察篮球（如图1）
，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆 O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，且
，则该双曲线的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、多选题
(★★) 9. 已知正方形
的边长为 ，向量 ， 满足 ， ，则（） A ． B ． C ． D ．
(★★) 10. 设 和 是两个不同的平面， m ， n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A ．若，，，则
B ．若，，，则
C ．若，，，则
D．若，，，则
(★★★) 11. 函数的最小正周期为，则（）
A．的值为4
B．图象的一条对称轴为直线
C．是偶函数
D．函数在区间上的最大值为
(★★★) 12. 设椭圆的右焦点为 F，直线与椭圆交于 A， B两点，则（）
A．为定值B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形D．当时，的面积为
三、填空题
(★) 13. 能够说明“ ，”是假命题的一个 x值为__________．
(★★) 14. 为了给国外新冠肺炎疫情严重的地区提供援助，国内某机构计划派出由5人组成的专家指导小组，其中甲、乙、丙3人通晓英语，丁、戊2人通晓法语，现从中随机选出通晓英语、法语的专家各1名作为领队，则甲和丁至少有1人被选中的概率为__________．
(★★) 15. 一个底面半径为 r，高为 h的圆柱内接于半径为 R的球 O中，若 h=R，则
__________．
四、双空题
(★★★) 16. 设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的 x的取值范围是_________．
五、解答题
(★★★) 17. 设，，，给出以下四种排序：① M， N， T；② M， T，N；③ N， T， M；④ T， N， M．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列中的各项都为正数，，且__________依次成等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前 n项和为，求满足的最小正整数 n．
注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．
(★★) 18. 设的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c．，分别为方程的两根．
（Ⅰ）求sin B；
（Ⅱ）若，求的面积．
(★★) 19. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为
，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，
且已知前两盘棋都是甲赢．
（Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
(★★★) 20. 如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的
体积．
(★★★) 21. 已知抛物线的焦点为 F，过 F的直线交抛物线 C于，
两点．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）过点 A作抛物线准线的垂线，垂足为 E，过点 B作 EF的垂线，交抛物线于另一点 D，求面积的最小值．
(★★★) 22. 已知，函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求 a的取值范围．。