2018年高考数学(理科)模拟试卷(二)

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2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。

2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。

3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。

5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。

6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。

7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。

8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。

10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。

11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。

12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。

2018年高考理科数学全国卷2(含详细答案)

理科数学a 2b 2 1 a2 x 2 x准确粘贴在条 __ 卷__ _ __ __ __ 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考上--------------------本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只7.为计算 S 1 1__ 答A. 4B.3C.3 4 D. 3 4__ 5 5 i55i 5 5 i 5 5 i __ __ __ -------------------- ee x 2的图象大致为A.1-------------绝密 ★ 启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试在--------------------本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.已知向量 a,b 满足 a 1,a b 1 ,则 a 2a bA. 4B. 3C. 2D. 0x 2 y 25.双曲线 0,b 0 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码A. y 2xB. y 3xC.y 2D.y 3此--------------------形码区域内。

6.在 ABC 中, cos C 2 55 ,BC1,AC 5,则 AB =__3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；号证准__1 2i__名 A.9 B. 8 C. 5 D. 4姓题2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

--------------------在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

有一项是符合题目要求的．）__ 1. 1 2i-------------------- 3 42.已知集合 A x,y x 2 y 2 3,x Z ,y Z ,则 A 中元素的个数为x x3.函数 f(x)5B.4D.A .42B. 30 C . 29 D . 251 1 1 1234 99 100 ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A. i i 1B. i i 2C.i i 3D.i i 48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ,哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23 . 在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是1 1 112 B. 14 C. 15 D.18无--------------------9.在长方体 ABCD A B C D 中, AB BC 1,AA1 1 1 1成角的余弦值为1 3,则异面直线 AD 1 与 DB 1 所A. 15 6 C.5 5 D. 2210.若 f(x) cosx sinx 在 a,a 是减函数,则 a 的最大值是效----------------A.4 B.2 C.3理科数学试题 A 第 1 页（共 24 页）理科数学试题 A 第 2 页（共 24 页）6的直线上,PF F为等腰三角形,3B.8,SA与圆锥底面所成角为45.n 的通项公式；11.已知f(x)是定义域为,的奇函数,满足f(1x)f(1x).若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)f(50)A.50B.0C.2D.50下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.12.已知F,F是椭圆C:12x2y2a2b21(a b0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为312F F P120,则C的离心率为12A.212C.113D.4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线y2ln(x1)在点0,0处的切线方程为_____________.x2y50,14.若x,y满足约束条件x2y30,则z x y的最大值为________.x50,15.已知sin cos1,cos sin0,则sin__________.16.已知圆锥的顶点为S,母线SA、SB所成角的余弦值为7若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题（共70分。

【2018年数学高考】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学理科

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）命题：高贵彩珠海市第二中学本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}R 12,1,0,1,2,{|0}2x A B x x -=--=≥+ð，则A B ⋂= A. {}1,0,1- B. {}1,0- C . {}2,1,0-- D. {}0,1,22.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误．．的是 A.若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ= ，则//m n3.变量X 服从正态分布()()210,,12X N P X a σ>= ，()810P X b ≤≤=，则直线1ax by +=过定点A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（）A. 0 B . 25 C. 50 D. 755.记不等式组222 20x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为Ω，点M 的坐标为(),x y ．已知命题p ： M ∀∈Ω， x y -的最小值为6；命题q ： M ∀∈Ω，224205x y ≤+≤；则下列命题中的真命题是 A.p q ∨ B ．p q ∧ C.q ⌝ D ．p q p q q ∨∧⌝、、都是假命题 6.设21,F F 为椭圆22:1C x my +=的两个焦点，若点1F 在圆2221:()2F x y n m++=上，则椭圆C 的方程为 A ．2212y x += B ．2221x y += C.2212x y += D ．2221x y += 7.若20c o s a x d x π=⎰，则6(2)a x x+-的展开式中含5x 项的系数为 A ．24- B ．12- C ．12 D ．24 8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2fx f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则 A. ()()11672f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭ B. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭ C. ()()11762f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭ D . ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭9.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT =.下列关系中正确的是 A ．BP TS RS-=B ．CQ TP+= C ．12ES AP BQ -=D ． 12AT BQ CR += 10.已知函数()2s i n (2)6f x x π=+在[,]()4a a a R π-∈上的最大值为1y ，最小值为2y ，则1y 2y -的取值范围是 A．[2 B ．C．D ．[2A 11.对于任一实数序列{} ,,,321a a a A =，定义A ∆为序列{} ,,,342312a a a a a a ---，它的第n 项是n n a a -+1，假定序列)(A ∆∆的所有项都是1，且0201718==a a ，则=2018aA ．0B ．1000C. 1009 D ．201812.已知}0)(|{==ααf M ，{|()0}N g ββ==，若存在M ∈α，N ∈β，使得1||<-βα，则称函数)(x f 与)(x g 互为“和谐函数”.若2()23x f x x -=+-与3)(2+--=a ax x x g 互为“和谐函数”则实数a 的取值范围为A.),2(+∞B.),2[+∞ C .)3,2( D.),3(+∞二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数z =（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为_____，虚部为_____． 14.点F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线上位于第二象限的点，点P 关于原点的对称点为Q ，且2PF FQ =，OP =，则双曲线E 的离心率为_____．15.在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T n a a +=对于任意的正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期．已知数列{}n b 满足:21(*)n n n b b b n N ++=-∈，若11b =，2(,0)b a a R a =∈≠，当数列{}n b 的周期最小时，该数列的前2018项的和是_____． 16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，M 为AC 的中点，且44cos 3sin a b C c B =+. (Ⅰ)求cosB 的大小； (Ⅱ)若045,ABM a ∠==求ABC ∆的面积．。

2018年高考理科数学全国卷2(含答案解析)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.1212ii+=- 43. 55A i -- 43. 55B i -+ 34. 55C i -- 34. 55D i -+2.已知集合(){}22,3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为. 9A. 8B . 5C . 4D3.函数2()x xe ef x x--=的图象大致为4.已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则()2a a b ⋅-=. 4A . 3B . 2C . 0D5.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为. 2A y x =± . 3B y x =± 2. 2C y x =± 3. 2D y x =±6.在ABC ∆中,5cos ,1,5,25C BC AC ===则AB = . 42A . 30B . 29C. 25D 7.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入. 1A i i =+ . 2B i i =+ . 3C i i =+ . 4D i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23. 在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是1.12A 1. 14B 1. 15C 1. 18D 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,11,3,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为1. 5A5. 6B 5. 5C 2.2D 10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是.4A π.2B π3.4C π .D π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=. 50A -. 0B . 2C . 50D12.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为6的直线上,12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ∠=,则C 的离心率为2. 3A 1. 2B 1. 3C 1. 4D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线2ln(1)y x =+在点()0,0处的切线方程为_____________.14.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为________.15.已知sin cos 1,cos sin 0αβαβ+=+=,则()sin αβ+=__________.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA 、SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45.若SAB ∆的面积为则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题（共70分。

2018年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁R A）∩B等于（）A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）2．（5分）若实数x，y满足+y＝2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b为实数，则“ab＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．8B．32C．16D．165．（5分）执行如图的程序框图，若a＝8，则输出的S＝（）A．2B．C．0D．﹣16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为（）A．4B．5C．8D．107．（5分）已知点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围是（）A．[]B．[﹣5]C．[﹣5]D．[﹣5，1]8．（5分）如图，已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（﹣），与y轴的交点为B（0，），那么函数f（x）图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），若g （10）＝2018，则g（﹣10）等于（）A．1998B．2038C．﹣1818D．﹣221810．（5分）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l：12x﹣5y﹣24＝0交双曲线的右支于A，B两点，若∠AF1B的角平分线的方程为x ﹣4y+2＝0，则三角形AF1B内切圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2B．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2C．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2D．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为．14．（5分）已知正△ABC的边长为2，若＝2，则等于．15．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上下底边长分别为3，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC﹣A1B1C1内，则球O 的表面积为．16．（5分）如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC＝∠BOD）．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2，40元/米2．为使预计日总效益最大，∠COD 的余弦值应等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，前5项和S5＝31．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列a 1，a2，a2，a2，a3，a3，a3，a3，a3，…的前100项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB ＝2CD＝2AD＝4，侧面P AB是等腰直角三角形，P A＝PB，平面P AB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面P AD．（1）确定点E，F的位置，并说明理由；（2）求二面角D﹣EF﹣C的余弦值．19．（12分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B，C，D，…I，J共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1，2，3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”（i＝1，2…7）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如下表所示：（1）根据最终评分表，填充如下表格：（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确．号评委评分分析表（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）已知平面直角坐标系内两定点A（），B（2）及动点C（x，y），△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）设P是y轴上的一点，若（1）中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|．（1）解不等式g（x）＜6；（2）若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．2018年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁R A）∩B等于（）A．[1，+∞）B．[4，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）【解答】解：A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}；∴∁R A＝{x|x≤0，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝{x|x＜﹣1，或x≥4}＝（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）．故选：D．2．（5分）若实数x，y满足+y＝2+i（i为虚数单位），则x+yi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵+y＝2+i（i为虚数单位），∴x+y+yi＝（1+i）（2+i）＝1+3i，∴，解得y＝3，x＝﹣2．则x+yi在复平面内对应的点（﹣2，3）位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知a，b为实数，则“ab＞b2”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＞b＞0⇒ab＞b2，反之不成立，例如：a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ab＞b2”是“a＞b＞0”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A．8B．32C．16D．16【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，底面面积S＝×4×2＝4，高h＝4，故该几何体的体积V＝4×4＝16，故选：D．5．（5分）执行如图的程序框图，若a＝8，则输出的S＝（）A．2B．C．0D．﹣1【解答】解：若a＝8，则当k＝0时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝1；当k＝1时，满足进行循环的条件，S＝，k＝2；当k＝2时，满足进行循环的条件，S＝2，k＝3；当k＝3时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝4；当k＝4时，满足进行循环的条件，S＝，k＝5；当k＝5时，满足进行循环的条件，S＝2，k＝6；当k＝6时，满足进行循环的条件，S＝﹣1，k＝7；当k＝7时，满足进行循环的条件，S＝，k＝8；当k＝8时，不满足进行循环的条件，故输出的S＝，故选：B．6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为（）A．4B．5C．8D．10【解答】解：F（1，0），K（﹣1，0），准线方程为x＝﹣1，设P（x0，y0），则|PF|＝x0+1＝5，即x0＝4，不妨设P在第一象限，则P（4，4），∴S PKF＝×|FK|×|y0|＝×2×4＝4．故选：A．7．（5分）已知点P（m，n）在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围是（）A．[]B．[﹣5]C．[﹣5]D．[﹣5，1]【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分：由题意可得：，消去n，可得m＝﹣4或m＝1，由图形可知m∈[﹣5，1]．故选：C．8．（5分）如图，已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与x轴的一个交点为A（﹣），与y轴的交点为B（0，），那么函数f（x）图象上的弧线AB与两坐标所围成图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与y轴的交点为B（0，），可得cosφ＝，∴cosφ＝，∴φ＝﹣．根据函数的图象x轴的一个交点为A（﹣），结合五点法作图可得ω•（﹣）﹣＝﹣，∴ω＝2，∴函数f（x）＝cos（2x﹣）．弧线AB与两坐标所围成图形的面积为cos（2x﹣）dx＝sin（2x﹣）＝﹣﹣（﹣）＝，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），若g （10）＝2018，则g（﹣10）等于（）A．1998B．2038C．﹣1818D．﹣2218【解答】解：∵函数f（x）＝，设g（x）＝kf（x）+x2+x（k为常数），g（10）＝2018，∴g（10）＝kf（10）+100+10＝k（210﹣1）+110＝2018，∴k（210﹣1）＝1908，∴g（﹣10）＝kf（﹣10）+100﹣10＝k（210﹣1）+90＝1908+90＝1998．故选：A．10．（5分）在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的基本事件m＝＝20，∴这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是p＝＝．故选：B．11．（5分）在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，∴S△ABC＝＝bc＝2，bc＝8，∴＝，令t＝则t＞0，上式化为：＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l：12x﹣5y﹣24＝0交双曲线的右支于A，B两点，若∠AF1B的角平分线的方程为x ﹣4y+2＝0，则三角形AF1B内切圆的标准方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2B．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2C．（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2D．（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2【解答】解：如图，设三角形AF1B的内切圆切AB于E，切AF1于G，切BF1于H，则由BF1﹣BF2＝AF1﹣AF2，得BH+HF1﹣（BE+EF2）＝AG+GF1﹣（AE﹣EF2），∴﹣EF2＝EF2，即EF2＝0，也就是E与F2重合．由∠AF1B的角平分线的方程为x﹣4y+2＝0，可得F1（﹣2，0），则F2（2，0）．设三角形AF1B的内切圆的圆心C（a，b），则，解得a＝，b＝．∴三角形AF1B的内切圆的半径r＝．∴三角形AF1B内切圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝（）2 ，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．假设这种指标值在[185，215]内’则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为79%．【解答】解：这种指标值在[185，215]内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在[185，215]内的频率为：（0.022+0.033+0.024）×10＝0.79，∴估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79×100%＝79%．故答案为：79%．14．（5分）已知正△ABC的边长为2，若＝2，则等于1．【解答】解：根据题意，正△ABC的边长为2，若＝2，＝+＝+，则＝•（+）＝2+×•＝4+×2×2×cos120°＝4﹣3＝1；故答案为：1．15．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上下底边长分别为3，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC﹣A1B1C1内，则球O 的表面积为100π．【解答】解：如图，设下底面中心为G，上底面中心为G1，连接GG1，则球心O在GG1上，连接OA，OA1，则OA＝OA1，由已知求得，．∴OG2+42＝（7﹣OG）2+32，解得OG＝3．∴OA2＝25．则球O的表面积为4π×25＝100π．故答案为：100π．16．（5分）如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD，弓形CMD，扇形AOC和扇形BOD（其中∠AOC＝∠BOD）．某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜．预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2，40元/米2．为使预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于．【解答】解：设∠AOC＝α（0＜α＜），日总效益设为y，则y＝α•202•40•2+•202•sin（﹣2α）•50+[（﹣2α）•202﹣•202•sin（﹣2α）]•30＝16000α+10000sin（﹣2α）﹣6000sin（﹣2α）+4000π﹣12000α＝4000[α+sin（﹣2α）]+4000π，（0＜α＜），y′＝4000[1﹣2cos（﹣2α）]，由y′＝0，可得﹣2α＝，解得α＝，由0＜α＜，函数y递增；＜α＜，函数y递减，即有α＝，即有∠COD＝时，预计日总效益最大，∠COD的余弦值应等于，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，前5项和S5＝31．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列a 1，a2，a2，a2，a3，a3，a3，a3，a3，…的前100项和．【解答】解：（1）由各项均为正数且递增的等比数列{a n}满足：2a3，，2a5成等差数列，则：5a4＝2a3+2a5，设数列的公比为q，则：2q2﹣5q+2＝0，解得：q＝2或q＝（舍去），所以：＝31，解得：a1＝1．所以数列的通项公式为：．（2）由1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2＝100，解得：n＝10．所以所求数列的前100项和T100＝a1+3a2+5a3+…+19a10，即：①，②，①﹣②得：，＝，解得：．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB ＝2CD＝2AD＝4，侧面P AB是等腰直角三角形，P A＝PB，平面P AB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面P AD．（1）确定点E，F的位置，并说明理由；（2）求二面角D﹣EF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）平面CEF∥平面P AD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴CE∥AD，又∵AB∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴DC＝AE＝，即点E是AB的中点，∵平面CEF∥平面P AD，平面CEF∩平面P AB＝EF，平面P AD∩平面P AB＝P A，∴EF∥P A，点E是AB的中点，∴点F是PB的中点，综上，E，F分别是AB，PB的中点；（2）∵P A＝PB，AE＝EB，∴PE⊥AB，又∵平面P AB⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，又AB⊥AD，∴CE⊥AB．如图以点E为坐标原点，EC，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（2，0，0），D（2，﹣2，0），E（0，0，0），由中点公式得到F（0，1，1），设平面CEF，平面DEF的法向量分别为，，由，令y1＝1，得，由，令y2＝1，得．∴cos＜＞＝．综上，二面角D﹣EF﹣C的余弦值是．19．（12分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有A，B，C，D，…I，J共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1，2，3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”（i＝1，2…7）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如下表所示：（1）根据最终评分表，填充如下表格：（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确． 4 号评委评分分析表（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）依据评分规则：＝＝85，＝＝93．所以选手的均分及最终排名表如下：（2）对4号评委分析：4号评委评分分析表排名偏差平方和为：12+02+22+12+12+22+22+12+02+12＝17．对5号评委分析：5号评委评分分析表排名偏差平方和为：22+12+52+12+12+12+32+02+12+02＝43．由于17＜43，所以评委4更准确．（3）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，X可能取值有0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：所以数学期望EX＝＝．20．（12分）已知平面直角坐标系内两定点A（），B（2）及动点C（x，y），△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）设P是y轴上的一点，若（1）中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆面积的取值范围．【解答】解：（1）由已知，即，整理得：3x2+4y2＝24，又三点构成三角形，得y≠0．∴点C的轨迹E的方程为（y≠0）．（2）设点P的坐标为（0，t），当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得x1＝﹣2x2，①联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24＝0，由△＞0，得64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣24）＞0，整理得t2＜8k2+6．由韦达定理得，，②由①②，消去x1，x2，得，由，解得，又∵M为长轴端点（，0）时，可求得N点，此时t＝，综上，或2＜t2＜6，又∵以AP为直径的圆面积S＝，∴S的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值≈4.48，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）记F（x）f（x）﹣g（x）＝2xlnx+（2﹣a）x+a，则F′（x）＝2lnx+4﹣a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）＝2＝，函数y＝F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，F′（x）＝0⇒x＝＞1，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min＝F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min＝F（）＝0，化简得：a﹣＝0，记h（a）＝a﹣，h′（a）＝1﹣＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）＝6﹣2e＞0，h（7）＝7﹣2e＜0，所以a∈（6，7），即n＝6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）＝a（x﹣1）＞6（x﹣1），只要证明：x＞3时，6（x﹣1）即eln（x﹣2）﹣＞0，记G（x）＝eln（x﹣2）﹣，则G′（x）＝﹣＝，记φ（x）＝3ex2﹣（6e+4）x+3e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝1+＜3，且φ（3）＝12e﹣4＞0，所以当x＞3时，φ（x）＞0，即G′（x）＞0，所以G（x）在区间（3，+∞）上单调递增，从而G（x）＞G（3）＝0，即eln（x﹣2）﹣＞0，成立，所以f（x）成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，∴曲线C1的极坐标方程可以化为：ρ2﹣4ρsinθ＝0，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝0，∵曲线C2的极坐标方程为．∴曲线C2的极坐标方程可以化为：+＝2，∴曲线C2的直角坐标方程为：x+﹣4＝0．（2）∵点E的坐标为（4，0），C2的倾斜角为，∴C2的参数方程为：（t为参数），将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得到：（4﹣t）2+﹣2t＝0，整理得：+16＝0，判别式＞0，∵，∴中点对应的参数为2，∴线段AB中点到E点距离为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝﹣|x﹣a|+a，g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|．（1）解不等式g（x）＜6；（2）若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|＝①当x≤﹣2时，﹣4x﹣3＜6，得x＞﹣，即﹣＜x≤﹣2；②当﹣2＜x＜时，5＜6，即﹣2＜x＜；③当x≥时，4x+3＜6，得x＜，即≤x＜；综上，不等式g（x）＜6解集是（﹣，）．（2）对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得﹣g（x1）＝f（x2）成立，即f（x）的值域包含﹣g（x）的值域，由f（x|＝﹣|x﹣a|+a，知f（x）∈（﹣∞，a），由g（x）＝|2x﹣1|+|2x+4|≥|2x﹣1﹣2x﹣4|＝5，且等号能成立，所以﹣g（x）∈（﹣∞，﹣5），所以a≥﹣5，即a的取值范围为[﹣5，+∞）．。

2018年山东省临沂市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知a∈R，复数z＝，若＝z，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．（5分）已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|y＝log3（﹣4x2+11x﹣6）}，则M∩N＝（）A．（，1]B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（，2）3．（5分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）+lg（1+x），则（）A．f（x）是奇函数，且在（0，1）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，1）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，1）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，1）是减函数4．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣4x+3≠0”B．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件C．若“p∨￢q”为假命题，则q为假命题D．命题“∃x0∈R，使得x0sin x0＜0”的否定为“∀x∈R，都有x sin x≥0”5．（5分）甲、乙、丙等五人排成一排照相，甲、乙不能在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．24B．40C．56D．606．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＜1，令b n＝a n﹣1，若数列{b n}中有连续的四项在集合{﹣19，﹣9，5，11，26}中，则q＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0改写成如下形式：f（x）＝（…（（a n x n+a n）x+a n﹣2）x+…a1）x+a0，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用﹣1秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．25B．50C．100D．2008．（5分）设x，y满足约束条件，若z＝ax+y的最大值为2a+9，最小值为2a ﹣1，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）9．（5分）某空间几何体的三视图如图，俯视图虚线部分为半圆弧，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x和圆C2：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）已知，是单位向量，•＝0，若向量满足|﹣3﹣4|＝1，则||的取值范围为（）A．[﹣1，+1]B．[1，+1]C．[5，6]D．[4，6]12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为等边三角形，AB ＝CD＝AE＝，又知三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此公共三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．πC．3πD．π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则＝．14．（5分）若随机变量X～N（2，σ2），且P（x≤1）＝P（x≥a），则（x+a）2（ax﹣）5展开式中x3项的系数是15．（5分）点P在双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上，C的左、右焦点分别为F1，F2，若直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切与点A，线段PF1的垂直平方线恰好过点F2，则＝．16．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝36，a2+a4＝10，若b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{bn}的前101项的和为三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin（2x﹣π）．（1）求f（x）的单调递增区间（2）已知△ABC的外接圆半径为R，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，sin B+sin C＝，求a的取值范围．18．（12分）如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，如图②．（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；（2）若AD＝1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AE﹣D的正弦值．19．（12分）某铸件厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y＝ax b（a，b为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如表：对以上数据作了初步判断，得到部分统计数据的值：（lnx i lny i）＝1.54，lnx i＝24.6，lny i＝0.3，（lnx i）2＝101.48（1）参照所给数据，求y关于x的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为A等品，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记X为选到A等品的件数，试求随机变量X的分布列和数学期望EX．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线＝+v的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为＝，＝﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），上顶点为B，又知N点坐标为（，0），且满足3＝+2，||＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点N的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若C上存在点P满足+＝t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+，g（x）＝2e x﹣1+a．（1）讨论f（x）的单调性；（2）如果s，t满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近，当a＞4，且x≥1时，试比较h（x）＝f（x）﹣alnx和g（x）哪个更靠近2lnx，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C交于点P，直线的交点为点Q，求线段PQ的长．[选修4-4：不等式选讲]23．已知函数|．（I）当a＝3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）证明：．2018年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知a∈R，复数z＝，若＝z，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵z＝＝＝，且＝z，∴1+a＝0，即a＝﹣1．故选：B．2．（5分）已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|y＝log3（﹣4x2+11x﹣6）}，则M∩N＝（）A．（，1]B．（﹣2，1]C．[1，2）D．（，2）【解答】解：集合M＝{x|≤0}＝{x|﹣2＜x≤1}，N＝{x|y＝log3（﹣4x2+11x﹣6）}＝{x|﹣4x2+11x﹣6＞0}＝{x|＜x＜2}，则M∩N＝{x|＜x≤1}＝（，1]．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）＝lg（1﹣x）+lg（1+x），则（）A．f（x）是奇函数，且在（0，1）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，1）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，1）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，1）是减函数【解答】解：由得，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），f（﹣x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，f（x）＝lg（1﹣x）+lg（1+x）＝lg（1﹣x）（1+x）＝lg（1﹣x2），当0＜x＜1时，函数t＝1﹣x2，为减函数，∴函数f（x）为减函数，故选：D．4．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣4x+3≠0”B．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件C．若“p∨￢q”为假命题，则q为假命题D．命题“∃x0∈R，使得x0sin x0＜0”的否定为“∀x∈R，都有x sin x≥0”【解答】解：对于A、命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣4x+3≠0”，故A正确；对于B、由a＞1，可得＜1，反之，由＜1，不一定有a＞1，如a＜0，“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故B正确；对于C、若“p∨￢q”为假命题，则p、￢q均为假命题，则q为真命题，故C错误；对于D、命题“∃x0∈R，使得x0sin x0＜0”的否定为“∀x∈R，都有x sin x≥0”，故D正确．∴错误的说法是C．故选：C．5．（5分）甲、乙、丙等五人排成一排照相，甲、乙不能在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．24B．40C．56D．60【解答】解：根据题意，设5人中除甲乙丙之外的2人为A、B，甲、乙、丙等5个人排成一排照相，若甲、乙不在丙的同侧，则甲乙在丙的两侧，先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，有A22＝2种排法，3人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选1个，安排A，有C41＝4种情况，4人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选1个，安排B，有C51＝5种情况，则不同的排法共有2×4×5×6＝40种；故选：B．6．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＜1，令b n＝a n﹣1，若数列{b n}中有连续的四项在集合{﹣19，﹣9，5，11，26}中，则q＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：由b n＝a n﹣1，可得：a n＝1+b n，∵数列{b n}中有连续的四项在集合{﹣19，﹣9，5，11，26}中，则数列{a n}中有连续的四项在集合{﹣18，﹣8，6，12，27}中，则连续的四项为：27，﹣18，12，﹣8．∴q＝﹣．故选：C．7．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法f（x）＝a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0改写成如下形式：f（x）＝（…（（a n x n+a n）x+a n﹣2）x+…a1）x+a0，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用﹣1秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．25B．50C．100D．200【解答】解：根据程序框图：n＝4，x＝2，v＝1，i＝4﹣1＝3，由于：i＝3≥0，所以：执行循环，v＝1•2+3＝5，i＝3﹣1＝2，v＝5•2+2＝12，i＝2﹣1＝1，v＝12•2+1＝25，i＝1﹣1＝0，v＝25•2+0＝50所以：输出v＝50．故选：B．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z＝ax+y的最大值为2a+9，最小值为2a ﹣1，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝ax+y，得y＝﹣ax+z，平移直线y＝﹣ax+z，要使z＝ax+y的最大值为2a+9，最小值为2a﹣1，即直线y＝﹣ax+z经过点A，由可得A（2，9）时，截距最大，2a+9．经过点B，可得B（2，﹣1），经B时，截距最小，2a﹣1，∴a≤，则目标函数的斜率﹣a，满足2≥﹣a≥﹣，即a∈[﹣2，]故选：C．9．（5分）某空间几何体的三视图如图，俯视图虚线部分为半圆弧，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体是有关边长为2的四棱锥挖去有关底面半径为1的半圆锥，如图：几何体的体积为：×＝，故选：A．10．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x和圆C2：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵y2＝8x，焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2．由定义得：|AF|＝x1+2，又∵|AF|＝|AB|+2，∴|AB|＝x1，同理：|CD|＝x4，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y＝k（x﹣2）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x1x4＝4，则|AB|•|CD|＝4．综上所述，|AB|•|CD|＝4，故选：B．11．（5分）已知，是单位向量，•＝0，若向量满足|﹣3﹣4|＝1，则||的取值范围为（）A．[﹣1，+1]B．[1，+1]C．[5，6]D．[4，6]【解答】解：令＝，＝，＝3+4，＝，如图所示：则||＝5，又|﹣3﹣4|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时||达到最值，最大值为5+1，最小值为5﹣1，所以||的取值范围为[4，6]．故选：D．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为等边三角形，AB ＝CD＝AE＝，又知三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为一个三棱锥，则此公共三棱锥的外接球的表面积为（）A．4πB．πC．3πD．π【解答】解：如下图所示：三棱锥D﹣ABC与三棱锥E﹣ABC的公共部分为三棱锥F﹣ABC，底面ABC是边长为的等边三角形，外接圆半径为1，内切圆半径为，AF⊥CF，几何体的外接球的球心在AC的垂直平分线上，因为，△ABC为等边三角形，所以它的外接圆的圆心就是球心，外接圆的半径就是球的半径，外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则＝．【解答】解：∵，∴cos（+α）＝，∴＝cos[2（+α）]＝2cos2（+α）﹣1＝2×﹣1＝．故答案为：．14．（5分）若随机变量X～N（2，σ2），且P（x≤1）＝P（x≥a），则（x+a）2（ax﹣）5展开式中x3项的系数是1620【解答】解：∵随机变量X～N（2，σ2），且P（x≤1）＝P（x≥a），则＝2，求得a ＝3，∴（x+a）2（ax﹣）5＝（x+3）2（3x﹣）5＝（x2+6x+9）•（243x5﹣405+270x2﹣90+15x﹣1﹣），∴展开式中x3项的系数是6×270＝1620，故答案为：1620．15．（5分）点P在双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上，C的左、右焦点分别为F1，F2，若直线PF1与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切与点A，线段PF1的垂直平方线恰好过点F2，则＝．【解答】解：由题意，线段PF1的垂直平分线恰过点F2，垂直为D，AD为△F1F2D的中位线，则y D＝2y A＝y p，y A＝y p，∴＝＝，则＝，故答案为：．16．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝36，a2+a4＝10，若b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{bn}的前101项的和为【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＝36，a2+a4＝10，∴6a1+d＝36，2a1+4d＝10，联立解得：a1＝1，d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．∵b n＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×，则数列{b n}的前101项的和＝++……﹣+＝＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin（2x﹣π）．（1）求f（x）的单调递增区间（2）已知△ABC的外接圆半径为R，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，sin B+sin C ＝，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝2cos2x﹣sin（2x﹣π）．＝cos2x+1+sin（2x﹣）＝cos2x+sin2x+1＝cos（2x﹣）+1，令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ（k∈Z），解得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），所以单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．（2）由（1）得：f（A）＝，则：cos（2A+）＝，由于：0＜A＜π，解得：，所以：A＝．由于：sin B+sin C＝，所以：2R sin B+2R sin C＝4，即：b+c＝4．所以：则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2+bc，解得：a，因为a＜b+c＝4故：a的取值范围是：[2，4）．18．（12分）如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，如图②．（1）求证：平面ABC⊥平面ADC；（2）若AD＝1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AE﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD．…（1分）∵AB⊂平面ABD，∴DC⊥AB．…（2分）又∵折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，…（3分）∴AB⊥平面ADC．…（4分）∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．…（6分）解：（2）由（1）知AB⊥平面ADC，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴DC⊥AD．依题意tan∠CAD＝＝．…（7分）∵AD＝1，∴CD＝．设AB＝x（x＞0），则BD＝，依题意△ABD～△BDC，∴＝，即＝．解得x＝1，故AB＝1．…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（，0，），B（，0，0），C（0，，0），E（，，0），＝（﹣，0，），＝（﹣，，0），＝（），＝（，0），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），设二面角B﹣AE﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝．∴二面角B﹣AE﹣D的正弦值为．19．（12分）某铸件厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y＝ax b（a，b为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如表：对以上数据作了初步判断，得到部分统计数据的值：（lnx i lny i）＝1.54，lnx i＝24.6，lny i＝0.3，（lnx i）2＝101.48（1）参照所给数据，求y关于x的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为A等品，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记X为选到A等品的件数，试求随机变量X的分布列和数学期望EX．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线＝+v的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为＝，＝﹣．【解答】解：（1）为了能使用求和数据，对y＝ax b两边取自然数e为底的对数，可得lny＝blnx+lna．令v i＝lnx i，u i＝lny i．得：＝b+lna．＝＝＝得：lna＝，∴a＝．故得y关于x的回归方程为．（2）由题意＝∈（，）解得：49＜x＜81．x可取值为：x＝58，68，76．即优等品由3件．X为选到A等品的件数可取到0，1，2，3，且P（X＝0）＝且P（X＝1）＝且P（X＝2）＝且P（X＝3）＝所以X分布列为：所以，E（X）＝0×+1×++＝．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），上顶点为B，又知N点坐标为（，0），且满足3＝+2，||＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点N的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若C上存在点P满足+＝t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，b），N（，0），可得＝（c，﹣b），＝（﹣c，﹣b），＝．∵3＝+2，||＝2．∴3c＝﹣c+2，＝2，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝c＝2．∴椭圆C的方程为：+＝1．（2）设直线l的方程为：my＝x﹣4，S（x1，y1），T（x2，y2）．联立，化为：（m2+2）y2+8my+8＝0，△＝64m2﹣32（m2+2）＞0，化为：m2＞2．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴x1+x2＝m（y1+y2）+8＝．∵+＝t（O为坐标原点），∴x P＝×（x1+x2）＝×，y P＝×．代入椭圆方程可得：+2×＝8，化为：t2＝＜4．解得：﹣2＜t＜2，t＝0时不满足题意，舍去．因此t的求值范围是：（﹣2，0）∪（0，2）．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+，g（x）＝2e x﹣1+a．（1）讨论f（x）的单调性；（2）如果s，t满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近，当a＞4，且x≥1时，试比较h（x）＝f（x）﹣alnx和g（x）哪个更靠近2lnx，并说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣，x＞0，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上函数单调递增，（2）令p（x）＝h（x）﹣2lnx＝alnx+﹣alnx﹣2lnx＝﹣﹣2lnx，q（x）＝2e x﹣1+a﹣2lnx （x≥1），∴p′（x）＝﹣﹣＜0，故p（x）在[1，+∞）上单调递减，故当1≤x≤e时，p（x）≥p（e）＝0，当x＞e时，p（x）＜0；q′（x）＝2e x﹣1﹣，q″（x）＝2e x﹣1+＞0，q′（x）在[1，+∞）上单调递增，故q′（x）≥q′（1）＝0，则q（x）在[1，+∞）上单调递增，q（x）≥q（1）＝a+1＞0．①当1≤x≤e时，令m（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＝p（x）﹣q（x）＝﹣2lnx﹣2e x﹣1﹣a+2lnx＝﹣2e x﹣1﹣a．∴m′（x）＝﹣﹣﹣2e x﹣1＜0，故m（x）在[1，e]上单调递减，∴m（x）≤m（1）＝2e﹣2﹣a＜0，即|p（x）|＜|q（x）|，∴h（x）＝f（x）﹣alnx比g（x）更靠近2lnx；②当x＞额、时，令n（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）＝﹣﹣+2lnx﹣2e x﹣1﹣a+2lnx＝﹣﹣2e x﹣1﹣4lnx﹣a．∴n′（x）＝﹣﹣2e x﹣1﹣＜﹣1﹣2e3＜0，故n（x）在[e，+∞）上单调递减，∴n（x）≤n（e）＜0，即|p（x）|＜|q（x）|，∴h（x）＝f（x）﹣alnx比g（x）更靠近2lnx．综上，当a＞4，且x≥1时h（x）＝f（x）﹣alnx比g（x）更靠近2lnx．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线C交于点P，直线的交点为点Q，求线段PQ的长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为，两式平方相加得：（x﹣1）2+y2＝13，即x2+y2﹣2x﹣12＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣12＝0；（Ⅱ）由，解得ρ＝4，即P点坐标为P（4，），由，解得ρ＝1，即Q点的坐标为Q（1，）．故线段PQ的长|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝4﹣1＝3．[选修4-4：不等式选讲]23．已知函数|．（I）当a＝3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）证明：．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+3|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或，或∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（2m）+f（﹣）＝|2m+a|+|2m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥|2m+a+|+|2m++﹣|≥2（|2m+|，∴f（2m）+f（﹣）．。

2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)

2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。

--iB。

-+iC。

--iD。

-+i解析：选D。

2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。

9B。

8C。

5D。

4解析：选A。

问题为确定圆面内整点个数。

3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。

B。

C。

D。

解析：选B。

f(x)为奇函数，排除A。

当x>0时，f(x)>0，排除D。

取x=2，f(2)=1，故选B。

4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。

4B。

3C。

2D。

2-2xy解析：选B。

a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。

y=±2xB。

y=±3xC。

y=±2x/abD。

y=±3x/ab解析：选A。

e=3，c=3ab=2a。

6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。

42B。

30C。

29D。

25解析：选A。

cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。

届汉中市高三理科数学模拟试卷题目及答案

届汉中市高三理科数学模拟试卷题目及答案2018届汉中市高三理科数学模拟试卷题目及答案要想在高考数学中取得好，就要在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率最优化。

我们可以多做一些数学模拟试卷来提升这方面的能力，以下是店铺为你整理的2018届汉中市高三理科数学模拟试卷，希望能帮到你。

2018届汉中市高三理科数学模拟试卷题目一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，则A∩(∁RB)=( )A.[﹣3，﹣1]B.(﹣3，﹣1]C.(﹣3，﹣1)D.[﹣1，2]2.已知复数z满足z( +3i)=16i(i为虚数单位)，则复数z的模为( )A. B.2 C.4 D.83.已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断( )A. >0， >0B. >0， <0C. <0， >0D. <0， <04.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，则| |=( )A.9B.3C.D.35.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为( )A.±512B.512C.±1024D.10246.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为( )A.5B.6C.7D.87.已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为( )A. B. C. D.8.已知过点(﹣2，0)的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P(P 在第一象限内)，则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为( )A.x+ y﹣2=0B.x+ y﹣4=0C. x+y﹣2=0D.x+ y﹣6=09.函数f(x)=( ﹣1)•sinx的图象大致形状为( )A. B. C. D.10.已知函数f(x)= sinωx﹣cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的图象与y=f(x﹣ )的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g(x)=cos(ω0x﹣ )的单调递增区间为( )A.[﹣π+ ，﹣+ ](k∈Z)B.[﹣ + ，+ ](k∈Z)C.[﹣π+2kπ，﹣+2kπ](k∈Z)D.[﹣+2kπ，﹣+2kπ](k∈Z)11.已知双曲线C：﹣=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点F2双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.12.定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，若关于x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为( )A.[ ， ]B.[ ， ]C.[ ， ]D.[ ， ]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.(2x﹣1)5的展开式中，含x3项的系数为(用数字填写答案)14.已知实数x，y满足则z= 的取值范围为.15.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，则S1+S2+…+S2017=.16.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为.三、解答题17.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC﹣ccosB.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周长和面积.18.(12分)每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生(学生很多)的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量(单位：本)进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图.男生年阅读量的频率分布表(年阅读量均在区间[0，60]内)：本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]频数 3 1 8 4 2 2(Ⅰ)根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数;(Ⅱ)在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30)，[30，40)的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40)这一组中至少有1人被抽中的概率;(Ⅲ)若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关.性别阅读量丰富不丰富合计男女合计P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.879附：K2= ，其中n=a+b+c+d.19.(12分)已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为 .(Ⅰ)求证：PQ∥平面BCD;(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.20.(12分)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上(异于B点).(Ⅰ)若椭圆V过点(﹣， )，求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， = .21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)证明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )四、选修4-4：极坐标与参数方程22.(10分)已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线θ= (ρ∈R)与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度.选修4-5：不等式选讲23.(10分)已知函数f(x)=|3x﹣4|.(Ⅰ)记函数g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g(x)的图象，并根据图象求出函数g(x)的最小值;(Ⅱ)记不等式f(x)<5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求实数λ的取值范围.2018届汉中市高三理科数学模拟试卷答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，则A∩(∁RB)=( )A.[﹣3，﹣1]B.(﹣3，﹣1]C.(﹣3，﹣1)D.[﹣1，2]【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可.【解答】解：A={x|(x﹣2)(x+3)<0}=(﹣3，2)，B={x|y= }=(﹣1，+∞)，∴∁RB=(﹣∞，﹣1]∴A∩(∁RB)=(﹣3，﹣1].故选：B.【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.已知复数z满足z( +3i)=16i(i为虚数单位)，则复数z的模为( )A. B.2 C.4 D.8【考点】复数求模;复数代数形式的混合运算.【分析】利用复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出.【解答】解：z( +3i)=16i(i为虚数单位)，∴z( +3i)( ﹣3i)=16i( ﹣3i)，∴16z=16i( ﹣3i)，∴z=3+ i.则复数|z|= =4.故选：C.【点评】本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为 = x+ ，则大致可以判断( )A. >0， >0B. >0， <0C. <0， >0D. <0， <0【考点】线性回归方程.【分析】利用公式求出，，即可得出结论.【解答】解：样本平均数 =0.2， =﹣1.7，∴ = = >0，∴ =﹣1.7﹣×0.2<0，故选：C.【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题.4.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，则| |=( )A.9B.3C.D.3【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模.【解答】既然：向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，2 + =(1，x﹣8)，(2 + )⊥ ，可得：1+8﹣x=0，解得x=9.则| |= =3 .故选：D.【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力.5.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为( )A.±512B.512C.±1024D.1024【考点】等比数列的性质.【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值.【解答】解：log2a2+log2a8=2，可得log2(a2a8)=2，可得：a2a8=4，则a5=±2，等比数列{an}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=(a5)9=±512.故选：A.【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力.6.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为( )A.5B.6C.7D.8【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i 值.【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下;S=1，i=1，S<30;S=2，i=2，S<30;S=4，i=3，S<30;S=8，i=4，S<30;S=16，i=5，S<30;S=32，i=6，S≥30;终止循环，输出i=6.故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法.7.已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为( )A. B. C. D.【考点】简单空间图形的三视图.【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图.【解答】解：由题意，A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)在xOy平面上投影坐标分别为A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，D(1，2，0).故选：C.【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题.8.已知过点(﹣2，0)的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P(P 在第一象限内)，则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为( )A.x+ y﹣2=0B.x+ y﹣4=0C. x+y﹣2=0D.x+ y﹣6=0【考点】圆的切线方程.【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+ y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的`方程.【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P(1， ).设直线l的方程为x+ y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+ y﹣4=0，故选B.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题.9.函数f(x)=( ﹣1)•sinx的图象大致形状为( )A. B. C. D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证.【解答】解：∵f(x)=( ﹣1)•sinx，∴f(﹣x)=( ﹣1)•sin(﹣x)=﹣( ﹣1)sinx=( ﹣1)•sinx=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f(2)=( ﹣1)•sin2<0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题.10.已知函数f(x)= sinωx﹣cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的图象与y=f(x﹣ )的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g(x)=cos(ω0x﹣ )的单调递增区间为( )A.[﹣π+ ，﹣+ ](k∈Z)B.[﹣ + ，+ ](k∈Z)C.[﹣π+2kπ，﹣+2kπ](k∈Z)D.[﹣+2kπ，﹣+2kπ](k∈Z)【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的单调性.【分析】利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g(x)的增区间.【解答】解：函数f(x)= sinωx﹣cosωx(ω<0)=2sin(ωx﹣ )，若y=f(x+ )的图象与y=f(x﹣ )的图象重合，则为函数f(x)的周期，即=k•| |，∴ω=±4k，k∈Z.记ω的最大值为ω0，则ω0=﹣4，函数g(x)=cos(ω0x﹣ )=cos(﹣4x﹣ )=cos(4k+ ).令2kπ﹣π≤4x+ ≤2kπ，求得﹣≤x≤ ﹣，故函数g(x)的增区间为[ ﹣，﹣ ]，k∈Z.故选：A.【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题.11.已知双曲线C：﹣=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设F(﹣c，0)，渐近线方程为y= x，对称点为F'(m，n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解：设F(﹣c，0)，渐近线方程为y= x，对称点为F'(m，n)，即有 =﹣，且•n= • ，解得m= ，n=﹣，将F'( ，﹣ )，即( ，﹣ )，代入双曲线的方程可得﹣ =1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e= .故选：D.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.12.定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，若关于x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为( )A.[ ， ]B.[ ， ]C.[ ， ]D.[ ， ]【考点】函数恒成立问题.【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥ 且2m≤ 对x∈[1，3]恒成立.求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围.【解答】解：∴定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，∴函数f(x)为偶函数，∵函数数f(x)在[0，+∞)上递减，∴f(x)在(﹣∞，0)上单调递增，若不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)对x∈[1，3]恒成立，即f(2mx﹣lnx﹣3)≥f(3)对x∈[1，3]恒成立.∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥ 且2m≤ 对x∈[1，3]恒成立.令g(x)= ，则g′(x)= ，在[1，e)上递增，(e，3]上递减，∴g(x)max= .令h(x)= ，h′(x)= <0，在[1，3]上递减，∴h(x)min= .综上所述，m∈[ ， ].故选D.【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展开式中，含x3项的系数为﹣260 (用数字填写答案)【考点】二项式定理的应用.【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求.【解答】解：(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展开式中，含x3项为﹣30x2 =80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，所以x3的系数为﹣260;故答案为：﹣260.【点评】本题考查了二项式定理;注意各种可能.14.已知实数x，y满足则z= 的取值范围为[ ] .【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，再由z= 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(﹣2，﹣1)连线的斜率求解.【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A(2，0)，联立，解得B(5，6)，z= 的几何意义为可行域内的动点与定点P(﹣2，﹣1)连线的斜率，∵ ，∴z= 的取值范围为[ ].故答案为：[ ].【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.15.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，则S1+S2+…+S2017=.【考点】数列递推式;数列的求和.【分析】n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，可得[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.可得Sn= = ﹣ .利用“裂项求和”方法即可得出.【解答】解：∵n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，∴[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.∴n(n+1)Sn﹣1=0，∴Sn= = ﹣ .∴S1+S2+…+S2017= +…+ = .故答案为： .【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为13π.【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心.∵∠EDC=90°，∴ ，又∵ ，∴OO1= ，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R= ，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π.【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题.三、解答题17.(12分)(2017•内蒙古模拟)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c= bsinC﹣ccosB.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周长和面积.【考点】正弦定理;三角形中的几何计算.【分析】(Ⅰ)根据题意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，进而变形可得1= sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin(B﹣ )，即可得B﹣的值，计算可得B的值，即可得答案;(Ⅱ)由余弦定理可得(a+c)2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC= acsinB= b2sinB计算可得△ABC的面积.【解答】解：(Ⅰ)根据题意，若c= bsinC﹣ccosB，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，又由sinC≠0，则有1= sinC﹣cosB，即1=2sin(B﹣ )，则有B﹣ = 或B﹣ = ，即B= 或π(舍)故B= ;(Ⅱ)已知b=2 ，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，则有12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，所以△ABC的周长l=a+b+c=2 +4 =6 ，面积S△ABC= acsinB= b2sinB=3 .【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值.18.(12分)(2017•汉中一模)每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生(学生很多)的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量(单位：本)进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频率分布表和女生阅读量的频率分布直方图.男生年阅读量的频率分布表(年阅读量均在区间[0，60]内)：本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]频数 3 1 8 4 2 2(Ⅰ)根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数;(Ⅱ)在样本中，利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30)，[30，40)的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求[30，40)这一组中至少有1人被抽中的概率;(Ⅲ)若年阅读量不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究阅读丰富与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关.性别阅读量丰富不丰富合计男女合计P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.879附：K2= ，其中n=a+b+c+d.【考点】独立性检验.【分析】(Ⅰ)求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数;(Ⅱ)确定基本事件的个数，即可求[30，40)这一组中至少有1人被抽中的概率;(Ⅲ)根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关.【解答】解：(Ⅰ)前三组频率之和为0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位数位于第三组，设中位数为a，则 = ，∴a=38，∴估计该校女生年阅读量的中位数为38;(Ⅱ)利用分层抽样的方法，从男生年与度量在[20，30)，[30，40)的两组里抽取6人，从这6人中随机抽取2人，共有方法 =15种，各组分别为4人，2人，[30，40)这一组中至少有1人被抽中的概率1﹣= ;(Ⅲ)性别阅读量丰富不丰富合计男 4 16 20女 9 11 20合计 13 27 40K2= ≈2.849<6.635，∴没有99%的把握认为月底丰富与性别有关.【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题.19.(12分)(2017•内蒙古模拟)已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF 的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为 .(Ⅰ)求证：P Q∥平面BCD;(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)取EB的中点M，连接PM，QM，证明：平面PMQ∥平面BCD，即可证明PQ∥平面BCD;(Ⅱ)建立坐标系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明：取EB的中点M，连接PM，QM，∵P为DE的中点，∴PM∥BD，∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴PM∥平面BCD，同理MQ∥平面BCD，∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCD，∵PQ⊂平面PQM，∴PQ∥平面BCD;(Ⅱ)解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC= ，建立坐标系，则E(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，D(0，﹣1，﹣)，A(2，﹣1， )，∴ =(﹣2，﹣2， )， =(0，2，﹣ )， =(0，1，0)，设平面DAB的一个法向量为 =(x，y，z)，则，取 =(0，， )，同理平面DBE的一个法向量为 =( ，0， )，∴cos< ， >= = ，∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为 .【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题.20.(12分)(2017•内蒙古模拟)已知椭圆C：+ =1(a>b>0)的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上(异于B点).(Ⅰ)若椭圆V过点(﹣， )，求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， = .【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将(﹣，)代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程;(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由= ，根据函数零点的判断即可存在k∈R， = .【解答】解：(Ⅰ)椭圆的离心率e= = = ，则a2=2b2，将点(﹣， )代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，(Ⅱ)由题意的对称性可知：设存在存在k>0，使得 = ，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：(1+2k2)x2+4kbx=0，解得：xP=﹣，则丨BP丨= × ，由BP⊥BQ，则丨BQ丨= ×丨丨= • ，由 = .，则2 × = • ，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f(x)=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f( )<0，f( )>0，∴函数f(x)存在零点，∴存在k∈R， = .【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题.21.(12分)(2017•内蒙古模拟)已知函数f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)证明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)求出lnx< x﹣，令x=1+ (n≥2)，得到ln(1+ )< ( ﹣ )，累加即可证明结论.【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f′(x)= ，令h(x)=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥ ，若a≥ ，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′(x)≤0，此时函数f(x)在(0，+∞)递减，当0显然x1>x2>0，故此时函数f(x)在( ， )递增，在(0， )和( ，+∞)递减;综上，0在(0， )和( ，+∞)递减，a≥ 时，函数f(x)在(0，+∞)递减;(Ⅱ)证明：令a= ，由(Ⅰ)中讨论可得函数f(x)在区间(0，+∞)递减，又f(1)=0，从而当x∈(1，+∞)时，有f(x)<0，即lnx< x﹣，令x=1+ (n≥2)，则ln(1+ )< (1+ )﹣ == ( + )< = ( ﹣ )，从而：ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< (1﹣ + ﹣ + ﹣+…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ )= (1+ ﹣﹣ )< (1+ )= ，则有ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< ，可得(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题.四、选修4-4：极坐标与参数方程22.(10分)(2017•内蒙古模拟)已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线θ= (ρ∈R)与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(I)曲线C1的参数方程为(φ为参数)，利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程.(II)把直线θ= (ρ∈R)代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= 即可得出.【解答】解：(I)曲线C1的参数方程为(φ为参数)，利用平方关系消去φ可得： +(y+1)2=9，展开为：x2+y2﹣2 x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x.(II)把直线θ= (ρ∈R)代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= = =2 .【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.(10分)(2017•内蒙古模拟)已知函数f(x)=|3x﹣4|.(Ⅰ)记函数g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g(x)的图象，并根据图象求出函数g(x)的最小值;(Ⅱ)记不等式f(x)<5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求实数λ的取值范围.【考点】函数的图象.【分析】(Ⅰ)根据函数解析式作出函数g(x)的图象，并根据图象求出函数g(x)的最小值;(Ⅱ)记不等式f(x)<5的解集为M，可得p，q∈(﹣，3)，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)函数g(x)=f(x)+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，图象如图所示，由图象可得，x= ，g(x)有最小值﹣ ;(Ⅱ)由题意，|3x﹣4|<5，可得﹣∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|<3+3+3×3=15，∴λ≥15.【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题.【2018届汉中市高三理科数学模拟试卷题目及答案】。

2018年高考数学(理科)全国Ⅱ卷(精校版)

2018年高考数学（理科）全国Ⅱ卷（精校版）一、选择题： 1.[2018全国Ⅱ理1]12i=12i+-（） A.43-i 55- B.43-i 55+C.34-i 55-D.34-i 55+【答案：D 】2.[2018全国Ⅱ理2]已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A.9B.8C.5D.4【答案：A 】3.[2018全国Ⅱ理3]函数2()x x e e f x x --=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案：B 】4.[2018全国Ⅱ理4]已知向量满足,a b ，1,1,a a b =⋅=-则(2)a a b ⋅-=（）A.4B.3C.2D.0【答案：B 】5.[2018全国Ⅱ理5]双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（）A.y =B.y =C.y =D.y = 【答案：A 】6.[2018全国Ⅱ理6]在ABC ∆中，cos1,52C BC AC ===，则AB =（）A.D.【答案：A 】7.[2018全国Ⅱ理7]为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应输入（）A.1i i =+B.2i i =+C.3i i =+D.4i i =+【答案：B 】8.[2018全国Ⅱ理8]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中去取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.114C.115D.118【答案：C 】9.[2018全国Ⅱ理9]在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成交的余弦值为（）A.15【答案：C 】10.[2018全国Ⅱ理10]若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（）A.4πB.2πC.34πD.π【答案：A 】11.[2018全国Ⅱ理11]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3(50)f f f f +++⋅⋅⋅+=）（） A.50-B.0C.2D.50【答案：C 】12.[2018全国Ⅱ理12]已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=，则C 的离心率（）A.23B.12C.13D.14【答案：D 】二、填空题：13.[2018全国Ⅱ理13]曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为 . 【答案：20x y -=】14.[2018全国Ⅱ理14]若,x y 满足的约束条件250,230,50.x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为 . 【答案：9】15.[2018全国Ⅱ理15]已知sin cos a αβ+=，cos sin 0αβ-=，则sin()αβ+= .【答案：12-】16.[2018全国Ⅱ理16]已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为 .【答案：】三、解答题：（一）必考题：17.[2018全国Ⅱ理17]记n S 为等差数列}n a 的前n 项和，已知137,15a S =-=-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】：（1）29n a n =-；（2）28n S n n =-，最小值为16-.18.[2018全国Ⅱ理18]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的直线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资源，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：9917.5y t =+（1）分析利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 【答案】：（1）①226.1亿元；②256.5亿元. （2）②更可靠.19.[2018全国Ⅱ理19]设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，8AB =.（1）求l 的方程；（2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程.【答案】：（1）10x y --=；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.20.[2018全国Ⅱ理20]如图，在三棱锥中P ABC -，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.【答案】：（1）略；（2.21.[2018全国Ⅱ理21]已知函数2()x f x e ax =-. （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a .【答案】：（1）略；（2）24e .（二）选考题：22.【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018全国Ⅱ理22]在直角坐标系中xOy ，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.【答案】：（1）22:1416x y C +=，:l 当2πα=时，1x =.当2πα≠时，20(tan )kx y k k α--+==；（2）2k =-.23.【选修4-5：不等式选讲】[2018全国Ⅱ理23]设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.。

2018年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)

2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( )A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}；∴ (∁U A)∩B ={3, 5}．故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（）A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论．【解答】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =(1)因此只有C 正确．故选：C ．3. 已知x >y >0，则（）A.1x >1yB.(12)x >(12)yC.cosx >cosyD.ln(x +1)>ln(y +1)【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质、函数的单调性即可得出判断出结论．【解答】x>y>0，∴1x <1y，(12)x<(12)y，cosx与cosy的大小关系不确定，ln(x+1)>ln(y+1)．4. 若直线x+y+a=0是圆x2+y2−2y=0的一条对称轴，则a的值为（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程求解．【解答】圆x2+y2−2y=0化为x2+(y−1)2=1，圆心坐标为(0, 1)，∵直线x+y+a=0是圆x2+y2−2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=−(1)故选：B．5. 设曲线C是双曲线，则“C的方程为x2−y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据双曲线的渐近线方程结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】C的方程为x2−y24=1，则双曲线的渐近线方程为y=±2x，即充分性成立，双曲线y24−x2=1的渐近线方程也是y=±2x，即必要性不成立，故“C的方程为x2−y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件，6. 关于函数f(x)=sinx−xcosx，下列说法错误的是（）A.f(x)是奇函数B.0不是f(x)的极值点C.f(x)在(−π2，π2)上有且仅有3个零点D.f(x)的值域是R 【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】对于A：由f(−x)=sin(−x)+xcos(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，A对；对于B，f(x)=sinx−xcosx，f′(x)=cosx−cosx−xsinx=−xsinx，当x=0时，f(x)=0，f′(x)=0，0不是f(x)的极值点．B对．对于C:f(x)=sinx−xcosx，f′(x)=cosx−cosx−xsinx=−xsinx，可得在(−π2, 0)上单调递增．(0, π2)上单调递减．f(0)可得最大值，f(0)=0，所以，f(x)在(−π2，π2)上不是3个零点．C不对；对于D：当x无限大或无线小时，可得f(x)的值域为R，D对．7. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A.求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B.求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C.求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D.求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21−1=1，第二次累加的是23−1=4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，8. 已知集合M={x∈N∗|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3=M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i=1, 2, 3)，则X1+X2+X3的值不可能为（）A.37B.39C.48D.57【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】求出集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．【解答】由题意集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}，当A1={1, 4, 5, 6, 7}，A2={3, 12, 13, 14, 15}，A3={2, 8, 9, 10, 11}时，X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项；当A1={1, 4, 5, 6, 15}，A2={2, 7, 8, 9, 14}，A3={3, 10, 11, 12, 13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项；当A1={1, 2, 3, 4, 15}，A2={5, 6, 7, 8, 14}，A3={9, 10, 11, 12, 13}时，X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为（37）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)到直线ρcosθ=1的距离为________．极坐标系中，点(2,π2【答案】1【考点】圆的极坐标方程【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步利用点到直线的距离求出结果．【解答】)转换为直角坐标为：(0, 2)，把点(2, π2直线ρcosθ=1转换为直角坐标方程为：x=1，则：点(0, 2)到直线x=1的距离为：d=(1)如图所示：故答案为：1在(x +2x )5的二项展开式中，x 3的系数是________（用数字作答）．【答案】10【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r +1项，令x 的指数为3得解．【解答】因为其通项为：T r+1=c 5r x 5−r ⋅(2x )r =2r ⋅c 5r ⋅x 5−2r ．令5−2r =3得r =1，所以：x 3的系数为21×c 51=(10)已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且满足|a →|=2，|b →|=1，则a →∗b →=________，|a →+2b →|=________．【答案】1,2√3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据向量的数量积公式和向量的模即可求出．【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，|a →|=2，|b →|=1，∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos π3=2×1×12=1， ∴ |a →+2b →|2=|a →|2+4|b →|2+4a →⋅b →=4+4+4=12，∴ |a →+2b →|=2√3，在△ABC 中，a:b:c =4:5:6，则tanA =________．【答案】√7【考点】正弦定理【解析】根据题意，利用余弦定理求得cosA 的值，再利用同角的三角函数公式求得sinA 、tanA 的值．【解答】△ABC 中，a:b:c =4:5:6，设a =4k ，b =5k ，c =6k ，k >0，则cosA =b 2+c 2−a 22bc =25k 2+36k 2−16k 22×5k×6k =34，∴ sinA =√1−cos 2A =√1−(34)2=√74； ∴ tanA =sinA cosA =√73．能够使得命题“曲线x 24−y 2a 2=1(a ≠0)上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为________．【答案】a <−2或a >2的任意实数【考点】命题的真假判断与应用【解析】由题意可设P(m, n)，(m >0, n >0)，由对称性可得Q(−m, n)，R(−m, −n)，S(m, −n)，可得m =n ，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【解答】曲线x 24−y 2a 2=1(a ≠0)上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形，可设P(m, n)，(m >0, n >0)，由对称性可得Q(−m, n)，R(−m, −n)，S(m, −n)，则|PQ|=|QR|，即2m =2n ，即m =n ，由曲线的方程可得m 24−n 2a 2=1，即m 24−m 2a 2=1有解，即有m 2=4a 2a 2−4>4，可得4a 2−4>0，解得a >2或a <−2，如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为________．【答案】2√55【考点】棱柱的结构特征【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积．【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)，∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →∗CM →=−2a +4+b −2=0，即b =2a −(2)取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ，过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55．又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55．故答案为：2√55．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．如图，已知函数f(x)=Asinx(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象经过B(π6,0)，C(2π3,0)，D(5π12,2)三点(Ⅰ)写出A ，ω，φ的值；(Ⅱ)若α∈(5π12,2π3)，且f(α)=1，求cos2α的值．【答案】（1）π6+2π3=10π12=5π12×2，即x=5π12为图象的一条对称轴，可得A=2，12⋅2πω=2π3−π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（2）由(Ⅰ)得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f(α)=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12,2π3)，∴2α−π3∈(π2,π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos76π=−√32．【考点】正弦函数的图象【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数的解析式，由题意求得sin(2α−π3)=12，结合2α−π3的范围，求得2α−π3的值，可得2α的值，进而求得cos2α的值．【解答】（1）π6+2π3=10π12=5π12×2，即x=5π12为图象的一条对称轴，可得A=2，12⋅2πω=2π3−π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（2）由(Ⅰ)得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f(α)=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12,2π3)，∴2α−π3∈(π2,π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos76π=−√32．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：(Ⅱ)从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x 1，s 12，考核成绩的平均数和方差分别为x 2，s 22，试比较x 1与x 2，s 12与s 22的大小．（只需写出结论）【答案】（本小题共1（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：510=0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………．（2）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．所以，P(A)=C 32C 62=315=15． (Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22．【考点】极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)求出这10名学生的考核成绩，其中大于等于90分的有5人，由此能求出样本中学生考核成绩大于90分的频率，由从该校高二年级随机选取一名学生，能估计这名学生考核成绩大于90分的概率．(Ⅱ)设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有3人．由此能求出这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率．(Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22．【解答】（本小题共1（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：510=0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………．（2）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．所以，P(A)=C 32C 62=315=15． (Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =AB 1=2，AB 1⊥平面ABC ，AC 1⊥AC ，D ，E 分别是AC ，B 1C 1的中点(Ⅰ)证明：AC ⊥B 1C 1；(Ⅱ)证明：DE // 平面AA 1B 1B ；(Ⅲ)求DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【答案】（本小题共1证明：(Ⅰ)因为AB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AB 1⊥AC ．因为AC 1⊥AC ，AB 1∩AC 1=A ，AB 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥平面AB 1C 1．因为B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥B 1C 1．(Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ．因为E 、M 分别是B 1C 1、A 1B 1的中点，所以ME // A 1C 1，且ME =12A 1C 1．在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AD // A 1C 1，且AD =12A 1C 1，所以ME // AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以DE // AM ．又AM ⊂平面AA 1B 1B ，DE 平面AA 1B 1B ，所以DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1，因为AC ⊥B 1C 1，所以AC ⊥BC ．在平面ACB 1内，过点C 作Cz // AB 1，因为，AB 1⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，如图．则C(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 2)，C 1(−2, 2, 2)，D(0, 1, 0)，E(−1, 2, 2)． DE →=(−1,1,2)，CB →=(2,0,0)，CB 1→=(0,2,2)．设平面BB 1C 1C 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗CB →=0n →∗CB 1→=0，即{2x =02y +2z =0，得x =0，令y =1，得z =−1，故n →=(0, 1, −1)．设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sinθ=|cos <DE →，n →>|=|DE →∗n →||DE →|∗|n →|=√36，所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．【考点】直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)推导出AB 1⊥AC ，AC 1⊥AC ，从而AC ⊥平面AB 1C 1，由此能证明AC ⊥B 1C 1． (Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ，推导出四边形ADEM 是平行四边形从而DE // AM ，由此能证明DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)推导出AC ⊥BC ，过点C 作Cz // AB 1，则Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，利用向量法能求出直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【解答】（本小题共1证明：(Ⅰ)因为AB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AB 1⊥AC ．因为AC 1⊥AC ，AB 1∩AC 1=A ，AB 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥平面AB 1C 1．因为B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥B 1C 1． (Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ．因为E 、M 分别是B 1C 1、A 1B 1的中点，所以ME // A 1C 1，且ME =12A 1C 1．在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AD // A 1C 1，且AD =12A 1C 1，所以ME // AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以DE // AM ．又AM ⊂平面AA 1B 1B ，DE 平面AA 1B 1B ，所以DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1，因为AC ⊥B 1C 1，所以AC ⊥BC ．在平面ACB 1内，过点C 作Cz // AB 1，因为，AB 1⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，如图．则C(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 2)，C 1(−2, 2, 2)，D(0, 1, 0)，E(−1, 2, 2)． DE →=(−1,1,2)，CB →=(2,0,0)，CB 1→=(0,2,2)．设平面BB 1C 1C 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗CB →=0n →∗CB 1→=0，即{2x =02y +2z =0，得x =0，令y =1，得z =−1，故n →=(0, 1, −1)．设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sinθ=|cos <DE →，n →>|=|DE →∗n →||DE →|∗|n →|=√36，所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．已知椭圆C:x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O:x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (Ⅰ)求椭圆C 的焦距及离心率；(Ⅱ)求四边形OFPT 面积的最大值．【答案】 (Ⅰ)在椭圆C:x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3，故椭圆C 的焦距为2c =2√3，离心率e =ca=√32． (Ⅱ)设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)，则x 024+y 02=1，故y 02=1−x 024．所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x 02+y 02−1=34x 02，所以|TP|=√32x 0，S △OTP =12|OT|∗|TP|=√34x 0．又O(0, 0)，F(√3,0)，故S △OFP =12|OF|∗y 0=√32y 0．因此S 四边形OFPT =S △OFP +S △OTP =√32∗(x 02+y 0)=√32∗√x 024+x 0y 0+y 02=√32∗√1+x0y0．由x024+y02=1，得2√x024∗y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32∗√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【考点】椭圆的定义【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(Ⅱ)设P(x0, y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】(Ⅰ)在椭圆C:x24+y2=1中，a=2，b=1，所以c=√a2−b2=√3，故椭圆C的焦距为2c=2√3，离心率e=ca =√32．(Ⅱ)设P(x0, y0)(x0>0, y0>0)，则x024+y02=1，故y02=1−x024．所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，S△OTP=12|OT|∗|TP|=√34x0．又O(0, 0)，F(√3,0)，故S△OFP=12|OF|∗y0=√32y0．因此S四边形OFPT =S△OFP+S△OTP=√32∗(x02+y0)=√32∗√x024+x0y0+y02=√32∗√1+x0y0．由x024+y02=1，得2√x024∗y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32∗√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．已知函数f(x)=e ax−ax−3(a≠0) (Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)当a>0时，设g(x)=1a e ax−12ax2−3x，求证：曲线y=g(x)存在两条斜率为−1且不重合的切线．【答案】（1）f′(x)=a⋅e ax−a=a⋅(e ax−1)(a≠0, x∈R)，令f′(x)=0，得x=(0)①当a>0时，f′(x)与e ax−1符号相同，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②当a<0时，f′(x)与e ax−1符号相反，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，f(x)在x=0处取得极小值f(0)=−(2)（2）g′(x)=e ax−ax−3=f(x)(a>0, x∈R)，故g′(x)=−1⇔f(x)=−(1)注意到f(0)=−2<−1，f(2a )=e2−5>−1，f(−2a)=e−2−1>−1，所以，∃x1∈(−2a ,0)，x2∈(0,2a)，使得f(x1)=f(x2)=−(1)因此，曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线斜率均为−(1)下面，只需证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合．曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线方程为y−g(x i)=−(x−x i)，即y=−x+g(x i)+x i．假设曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线重合，则g(x2)+x2=g(x1)+x1．令G(x)=g(x)+x，则G(x1)=G(x2)，且G′(x)=g′(x)+1=f(x)+(1)由(Ⅰ)知，当x∈(x1, x2)时，f(x)<−1，故G′(x)<(0)所以，G(x)在区间[x1, x2]上单调递减，于是有G(x1)>G(x2)，矛盾！因此，曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线不重合．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)问题转化为证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合，得出矛盾，从而证明结论．【解答】（1）f′(x)=a⋅e ax−a=a⋅(e ax−1)(a≠0, x∈R)，令f′(x)=0，得x=(0)①当a>0时，f′(x)与e ax−1符号相同，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②当a<0时，f′(x)与e ax−1符号相反，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，f(x)在x=0处取得极小值f(0)=−(2)（2）g′(x)=e ax−ax−3=f(x)(a>0, x∈R)，故g′(x)=−1⇔f(x)=−(1)注意到f(0)=−2<−1，f(2a )=e2−5>−1，f(−2a)=e−2−1>−1，所以，∃x1∈(−2a ,0)，x2∈(0,2a)，使得f(x1)=f(x2)=−(1)因此，曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线斜率均为−(1)下面，只需证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合．曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线方程为y−g(x i)=−(x−x i)，即y=−x+g(x i)+x i．假设曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线重合，则g(x2)+x2=g(x1)+x1．令G(x)=g(x)+x，则G(x1)=G(x2)，且G′(x)=g′(x)+1=f(x)+(1)由(Ⅰ)知，当x∈(x1, x2)时，f(x)<−1，故G′(x)<(0)所以，G(x)在区间[x1, x2]上单调递减，于是有G(x1)>G(x2)，矛盾！因此，曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线不重合．如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k=a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d.(1)若a1=2，公差d=3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；(3)若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．(1)解：若a1=2，公差d=3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n=3n−1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k=a1a2，则有3k−1=2×5=10，解得k=113，得出矛盾，所以对任意的k∈N∗，a k≠a1a2．(2)证明：若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1<0，d≤0，则对任意的n∈N∗，a n=a1+(n−1)⋅d<0，设a k=a1×a2，则a k>0，矛盾；②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，使得a1<a2<a3<...<a t≤0<a t+1<a t+2<…，设a1⋅a t+1=a k1，a1⋅a t+2=a k2，a1⋅a t+3=a k3，…，a1⋅a2t+1=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0>a k1>a k2>a k3>⋯>a kt+1，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾；③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，使得a1>a2>a3>...>a t≥0>a t+1>a t+2>…，设a t+1⋅a t+2=a k1，a t+1⋅a t+3=a k2，a t+1⋅a t+4=a k3，…，a t+1⋅a2t+2=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0<a k1<a k2<a k3<⋯<a kt+1，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾.综上，a1≥0，d≥0.(3)解：设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，若d=0，则{a n}为常数数列，此时a n=2018恒成立，故对任意的正整数k，a k=2018≠20182=a1⋅a2，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0，设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设a k1=x(x+d)，a k2=x(x+2d)，则a k2−a k1=xd=(k2−k1)⋅d，因为d≠0，所以x=k2−k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由(2)知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018⋅(2018+d)是数列中的项，设a m=2018⋅(2018+d)，则a m−a k=2018⋅(2018+d)−2018=2018×2017+2018d=(m−k)⋅d，即(m−k−2018)⋅d=2018×2017，因为m−k−2018∈Z，d∈N∗，故d是2018×2017的约数．所以，d=1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017，当d=1时，a1=2018−(k−1)≥0，得k=1，2，…，2018，2019，故a1=2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d=2时，a1=2018−2(k−1)≥0，得k=1，2，…，1008，1009，1010，故a1=2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d=1009时，a1=2018−1009×(k−1)≥0，得k=1，2，3，故a1=2018，1009，0，共3种可能；当d=2017时，a1=2018−2017(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，1，共2种可能；当d=2×1009时，a1=2018−2018×(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，0，共2种可能；当d=2×2017时，a1=2018−2×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=1009×2017时，a1=2018−1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=2×1009×2017时，a1=2018−2×1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．【考点】数列的应用【解析】(Ⅰ)直接利用反证法求出结果．(Ⅱ)直接利用反证法求出结果．(Ⅲ)分情况对数列的项进行讨论，得出组合数．【解答】(1)解：若a1=2，公差d=3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n=3n−1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k=a1a2，则有3k−1=2×5=10，解得k=113，得出矛盾，所以对任意的k∈N∗，a k≠a1a2．(2)证明：若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1<0，d≤0，则对任意的n∈N∗，a n=a1+(n−1)⋅d<0，设a k=a1×a2，则a k>0，矛盾；②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，使得a1<a2<a3<...<a t≤0<a t+1<a t+2<…，设a1⋅a t+1=a k1，a1⋅a t+2=a k2，a1⋅a t+3=a k3，…，a1⋅a2t+1=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0>a k1>a k2>a k3>⋯>a kt+1，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾；③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，使得a1>a2>a3>...>a t≥0>a t+1>a t+2>…，设a t+1⋅a t+2=a k1，a t+1⋅a t+3=a k2，a t+1⋅a t+4=a k3，…，a t+1⋅a2t+2=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0<a k1<a k2<a k3<⋯<a kt+1，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾.综上，a1≥0，d≥0.(3)解：设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，若d=0，则{a n}为常数数列，此时a n=2018恒成立，故对任意的正整数k，a k=2018≠20182=a1⋅a2，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0，设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设a k1=x(x+d)，a k2=x(x+2d)，则a k2−a k1=xd=(k2−k1)⋅d，因为d≠0，所以x=k2−k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由(2)知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018⋅(2018+d)是数列中的项，设a m=2018⋅(2018+d)，则a m−a k=2018⋅(2018+d)−2018=2018×2017+2018d=(m−k)⋅d，即(m−k−2018)⋅d=2018×2017，因为m−k−2018∈Z，d∈N∗，故d是2018×2017的约数．所以，d=1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017，当d=1时，a1=2018−(k−1)≥0，得k=1，2，…，2018，2019，故a1=2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d=2时，a1=2018−2(k−1)≥0，得k=1，2，…，1008，1009，1010，故a1=2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d=1009时，a1=2018−1009×(k−1)≥0，得k=1，2，3，故a1=2018，1009，0，共3种可能；当d=2017时，a1=2018−2017(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，1，共2种可能；当d=2×1009时，a1=2018−2018×(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，0，共2种可能；当d=2×2017时，a1=2018−2×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=1009×2017时，a1=2018−1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=2×1009×2017时，a1=2018−2×1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．。

2018年陕西省高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣43．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．34．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．1895．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．67．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝08．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．2018年陕西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|2x＜4}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x∈R}C．{x|x≤1}D．{x|x＞2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}，则A∪B＝{x|x∈R}．故选：B．2．（5分）若（1﹣mi）（m+i）＜0，其中i为虚数单位，则m的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【解答】解：由（1﹣mi）（m+i）＝2m+（1﹣m2）i＜0，得，即m＝﹣1．故选：A．3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（x，4），若⊥（﹣），则x＝（）A．1B．C．2D．3【解答】解：根据题意，向量＝（2，3），＝（x，4），则﹣＝（2﹣x，﹣1），若⊥（﹣），则有•（﹣）＝2（2﹣x）+3×（﹣1）＝0，解可得：x＝故选：B．4．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（）A．398B．388C．199D．189【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，∵a5是a3和a8的等比中项，∴（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d），化为d（d﹣1）＝0，d≠0．联立解得：d＝1，则S18＝18×2+×1＝189．故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，即，∴ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+），对于A和C：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝1，∴A不对，C对．对于B：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝，∴B不对．对于D：：当x＝时，∴f（）＝sin（2×+）＝0，∴D不对．故选：C．6．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行输出的k值是（）A．9B．8C．7D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝100满足条件S＞0，执行循环体，S＝97，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝91，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝82，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝70，k＝5满足条件S＞0，执行循环体，S＝55，k＝6满足条件S＞0，执行循环体，S＝37，k＝7满足条件S＞0，执行循环体，S＝16，k＝8满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣8，k＝9此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为9．故选：A．7．（5分）已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是（）A．x+2＝0，7x﹣24y+14＝0B．y+2＝0，7x+24y+14＝0C．x+2＝0，7x+24y+14＝0D．y+2＝0，7x﹣24y+14＝0【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝16，故圆心是（2，3），半径是4，点M（﹣2，0）是⊙C外一点，显然x+2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是，直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b＝0，故，解得：，故切线方程是7x+24y+14＝0，故选：C．8．（5分）由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．9﹣B．9﹣πC．1﹣D．1﹣【解答】解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．△ABC的面积为S1＝，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝π，∴其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P＝1﹣＝1﹣．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，其中θ∈（0，），则f（x）的最大值（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin x sin（x+3θ）是奇函数，可得sin x sin（x+3θ）是偶函数，∵θ∈（0，），∴3θ＝，可得θ＝．那么：f（x）＝sin x sin（x+）＝sin x cos x＝sin2x．∵sin2x的最大值为1；∴f（x）的最大值为1×．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．B．13πC．D．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则：△ABC为直角三角形．所以：r＝＝．所以：V＝．故选：D．11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P是双曲线右支上一点，若P点的横坐标x0＝a时，F1P⊥F2P，则该双曲线的离心率e 为（）A．B．C．2D．【解答】解：把x＝代入双曲线方程可得y＝±，∴|PF1|2＝（）2+，|PF2|2＝（﹣c）2+，∵F1P⊥F2P，|F1F2|＝2c，∴（）2++（﹣c）2+＝4c2，化简可得：16a2+7b2＝9c2，∴9a2＝2c2，∴e＝＝．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+2（x＜0）与g（x）＝ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，e）C．D．【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）＝0在（0，+∞）上有解，即e﹣x+2﹣ln（x+a）﹣2＝0在（0，+∞）上有解，即函数y＝e﹣x与y＝ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，函数y＝g（x）＝ln（x+a）的图象是把由函数y＝lnx的图象向左平移且平移到过点（0，1）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，1）代入y＝ln（x+a）得，1＝lna，∴a＝e，∴a＜e故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是210．【解答】解：由＝．令，得r＝6．∴二项式（﹣x2）10展开式中含x10项的系数是．故答案为：210．14．（5分）设函数f（x）＝，则函数f（log26）的值为12．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴函数f（log26）＝f（log26+1）＝＝6×2＝12．故答案为：12．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx和直线l：2x﹣y+6＝0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．【解答】解：f′（x）＝，设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m＝0，则＝2，解得x0＝1．∴P（1，0）．∴点P到直线l的距离的最小值为切点P到直线l的距离d＝＝．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且b＝5且•＝5，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，在△ABC中，，则有＝1﹣，即+＝1，变形可得：b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，又由b＝5且•＝5，即有bc cos A＝5，则c＝2，则△ABC的面积S＝bc sin A＝，故答案为：．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答．满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n＝n﹣4．（I）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（II）设数列{S n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）∵S n﹣2a n＝n﹣4．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，∴S n﹣2（S n﹣S n﹣1）＝n﹣4，化为：S n﹣n+2＝2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]，n＝1时，a1﹣2a1＝1﹣4，解得a1＝3，∴S1﹣1+2＝4．∴{S n﹣n+2}为等比数列，首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（I）知：S n﹣n+2＝2n+1，可得：S n＝2n+1+n﹣2．于是T n＝（22+23+……+2n+1）+（1+2+……+n）﹣2n＝+﹣2n＝2n+2﹣4+．18．（12分）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）【解答】解：（1）由直方图可得：20（x+0.0175+0.0225+0.005+x）＝1，∴x＝0.0025．（2）新手中上学时间不少于 1 小时的频率为：20（0.005+0.0025）＝0.15，∴新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15＝180人．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为20（0.0025+0.0175）＝0.4．∴P（X＝0）＝（1﹣）4＝，P（X＝1）＝••（1﹣）3＝，P（X＝2）＝•（）2•（1﹣）2＝，P（X＝3）＝•（）3•（1﹣）＝，P（X＝4）＝（）4＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC．（I）求证：AB1⊥平面A1BC；（II）若AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在侧面A1ABB1中，因为A1A＝AB，所以四边形A1ABB1为菱形，所以对角线AB1⊥A1B，…（2分）因为侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，所以CB⊥侧面A1ABB1，因为AB1⊂平面A1ABB1内，所以CB⊥AB1，…（4分）又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC．…（6分）（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，所以AB＝＝4，又菱形A1ABB1中，因为∠A1AB＝60°，所以△A1AB为正三角形，如图，以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点OA1方向为x轴，OA方向为y轴，过O且与BC平行的方向为z轴建立如图空间直角坐标系，则A1（2，0，0），B（﹣2，0，0），C（﹣2，0，3），B1（0，﹣2，0），C1（0，﹣2，3），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，2，﹣3），设＝（x，y，z）为平面A1CC1的法向量，则，取x＝3，得＝（3，，4），又＝（0，﹣2，0）是平面A1BC的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值为﹣．…（12分）20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为+＝1 （a＞b＞0），F（c，0）；由题意知，解得b＝，c＝1；所以椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝＝；（Ⅱ）证明：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）；由，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0；设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝，所以x0＝，y0＝k（x0+2）＝；因为点F坐标为（1，0），当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF⊥x轴，点D的坐标为（2，±2），此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2＝1与直线PF相切；当k≠±时，则直线PF的斜率为k PF＝＝，所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），点E到直线PF的距离为d＝＝＝2|k|；又因为|BD|＝4|k|，所以d＝|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF相切；综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切．21．（12分）设函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，直线l与曲线C1：y＝f（x）切于点（0，f（0））且与曲线C2：y＝g（x）切于点（，g（））．（1）求a，b的值和直线l的方程；（2）证明：ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x+x2，g（x）＝sin x+bx，∴f′（x）＝ae x+2x，g′（x）＝cos x+b，f（0）＝a，f′（0）＝a，b，，曲线C1：y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝ax+a，曲线C2：y＝g（x）在点（，g（））处的切线为，即y＝bx+1，依题意有a＝b＝1，直线l方程为y＝x+1．证明：（2）由ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0，得ae x+x2＞sin x+bx，∴ae x+x2﹣（x+1）＞sin x+bx﹣（x+1）由（1）知a＝b＝1，则e x+x2﹣（x+1）＞sin x+x﹣（x+1），设F（x）＝e x+x2﹣x﹣1，则F′（x）＝e x+2x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，∵0＜e x＜1，∴F′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，∴F′（x）＞0，∴F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，∴F（x）≥F（0）＝0，当x＝0时，等号成立，∴设G（x）＝sin x+x﹣（x+1）＝sin x﹣1，等号成立，又∵F（x）与G（x）不同时为0，∴F（x）＞g（x），∴e x+x2﹣x﹣sin x＞0，∴ae x+x2﹣bx﹣sin x＞0．四.（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x﹣y﹣＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．（1）写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求AB的中点N的坐标．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，转换为参数方程为：（t 为参数）．曲线C极坐标方程为2cosθ＝ρ（1﹣cos2θ）．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（2）将（t为参数）代入y2＝2x，得到：3t2﹣2t﹣4＝0，设A、B对应的参数为t1和t2，则：，A（x1，y1）B（x2，y2），中点N（x0，y0），则：＝2+＝，＝．故中点坐标为：N（）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|﹣3|x|≥a．（1）当a＝0，解该不等式；（2）a为何值时，该不等式成立．【解答】解：（1）a＝0时，原不等式为|x+2|﹣3|x|≥0，故|x+2|≥3|x|，故x2+4x+4≥9x2，解得：﹣≤x≤1，故不等式的解集是{x|﹣≤x≤1}；（2）令F（x）＝|x+2|﹣3|x|，由题意得F（x）max≥a，∵F（x）＝|x+2|﹣|x|﹣2|x|≤|x+2﹣x|﹣2|x|＝2﹣2|x|≤2，当且仅当x＝0时，上述不等式等号同时成立，∴F（x）max＝2，∴a∈（﹣∞，2]时，该不等式成立．。

2018届全国高考模拟试卷(二)数学理试题

2018届全国高考模拟试卷（二）数学（理科）本试题卷共10页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-<，2{|1,}N y y x x R ==-∈，则M N = （）A ．{|21}x x -≤<B ．{|12}x x <<C ．{|11}x x -≤<D ．{|12}x x ≤< 2.已知2018()54im ni i +=-(,)m n R ∈，则关于复数z m ni =+的说法，正确的是（）A ．复数z 的虚部为4-B ．z =C ．54z i =-+D ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限3.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()f x 的图象（） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 4.下列命题中，真命题是（）A ．x R ∀∈，有ln(1)0x +>B ．22sin 3sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．函数2()2x f x x =-有两个零点 D ．1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件5.若0.33a =，ln 2b =，2log cos6c π=，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.若双曲线C ：22221x y m n-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）A ．20x y ±=B ．20x y ±= C0y ±= D．0x = 7.执行如图所示的程序框图，当输入的[0,5]x ∈时，输出的结果不大于75的概率为（）A ．13 B ．23 C ．34 D ．168.已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k =（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．349.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（）立方丈.A ．532B ．24C ．27 D．18+10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（）A．13e+ C ．1 D ．1e - 12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（）A ．14400B ．28800C ．38880D ．43200第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知1a =，b = (2)a b b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角是．14.在23(1)(1)(1)x x x +++++10(1)x +⋅⋅⋅++的展开式中，2x 的系数是．15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20x e y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ．16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则cb的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项的和23122n T n n =+，且*213log 0()n n a b n N ++=∈. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n S . 18.四棱锥A BCDE -中，//EB DC ，且EB ⊥平面ABC ，1EB =，2DC BC AB AC ====，F 是棱AD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求二面角B AE D --的余弦值.19.近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20.已知离心率为2的椭圆C 焦点在y 轴上，且椭圆4个顶点构成的四边形面积为4，过点(0,3)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B . （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值范围.21.已知函数()ln ax f x x=. （1）若()f x 在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若方程()1f x =有两个不相等的实数解1x 、2x ，证明：122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B满足2AOB π∠=，求AB .23.选修4-5：不等式选讲设函数()1()f x x x R =-∈.（1）求不等式(1)()5f x f x -+≤的解集；（2）若不等式()()(2)3g x f x f x a =+-≥的解集是R ，求正整数a 的最小值.2018届全国高考模拟试卷（二）数学（理科）参考答案及解析一、选择题1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC二、填空题13.34π 14. 1652 16. 12三、解答题17.解析：（1）112a T ==，131(1)n n n a T T n n -=-=->，所以*31()n a n n N =-∈，得233log 0n n b +=1()2nn b ⇒=.（2）1(31)2n n n n c a b n ==-⨯，所以123111258222n S =⨯+⨯+⨯1(31)2nn +⋅⋅⋅+-⨯，所以23411112582222n S =⨯+⨯+⨯11(31)2n n ++⋅⋅⋅+-⨯.错位相减得12311112332222n S =⨯+⨯+⨯1113(31)22n n n ++⋅⋅⋅+⨯--⨯，1231111111313()2222222n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+--1111315353(1)22222n n n n n ++-+=---=-. 所以3552n nn S +=-.18.解析：（1）取AC 中点M ，连接FM 、BM ，∵F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==.又因为//EB DC ，∴//FM EB .又∵1EB =，∴FM EB =，∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，又BC AB AC ==，∴ABC ∆是等边三角形，∴BM AC ⊥，∵EB ⊥平面ABC ，//EB DC ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD BM ⊥，∴BM ⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD .（2）取AC 中点N ，则AN BC ⊥，AN ⇒⊥平面BCD ，以N 为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C ，(2,1,0)D ，(1,1,0)E -，1(1,2F .可得(0,1BA = ，(1,0,0)BE = ，(1,1EA =- ，(1,2,0)ED =；设平面ABE 的法向量1111(,,)n x y z = ，则1100n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11100y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取1(0,)n =，设平面ADE 的法向量2222(,,)n x y z = ，则2200n EA n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22222020x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，取2(2,1,n =-，于是12cos ,n n <>== 注意到二面角B AE D --是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是4-.19.解析：（1）22⨯列联表：22200(80204060)1406012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1001.5963=≈，由于1.59 6.635<，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. 3327(0)()5125P X ===；1232354(1)()()55125P X C ==⨯=；22132336(2)()()55125P X C ==⨯=；3303238(3)()()55125P X C ==⨯=.X 的分布列为：所以012125125125EX =⨯+⨯+⨯31255+⨯=. 或者：由于2(3,)5X B ，则26355EX =⨯=.20.解析：（1）设椭圆的方程为22221x y b a +=，由题意可知22234c e a ==，得2214b a =，2a b =；又顶点构成四边形的是菱形，面积24S ab ==，所以2a =，1b =，椭圆方程为2214y x +=. （2）设直线AB 的方程为3ykx =+或0x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，当AB 的方程为0x =时，4AB =>.当AB 的方程为3y kx =+时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解.消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，1212(3)(3)y y kx kx +=+++2244k =+，因为AB =<<解得216813k -<<，所以258k <<. 因为OA OB OP λ+=，即112233(,)(,)()x y x y x y λ+=+，所以当0λ=时，由0OA OB += ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k+==+，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在：当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+，因为点33(,)P x y 在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,λ∈- . 综上，实数λ的取值范围为(2,- .21.解析：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞ ，2(ln 1)'()ln a x f x x -=，21'()44a f e ==可得2a =，令2(ln 1)'()0ln a x f x x-=<得(0,1)(1,)x e ∈ ，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)和(1,)e . （2）由2211ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩12121212ln ln ()ln ln ()x x a x x x x a x x -=-⎧⇒⎨+=+⎩1212ln ln x x a x x -⇒=-，∵12x x +>21212ln ln 2x x e x x >⇔+>，只需证1212ln ln ()x x a x x +=+121212ln ln ()2x x x x x x -=+>-，不妨设12x x >，即证1122122()ln x x x x x x ->+，令121xt x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln 1t g t t t -=-+4ln 21t t =+-+，则214'()0(1)g t t t =->+2(1)4t t ⇔+>2(1)0t ⇔->在(1,)+∞上恒成立；所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0(1)g t g t >=>，即证.22.解析：（1）曲线1C 的直角坐标方程是2213x y +=，化成极坐标方程为22312sin ρθ=+；曲线2C的直角坐标方程是22(1)(4x y -+=. （2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是(0)3πθρ=≥，代入22312sin ρθ=+得265A ρ=，又2AOB π∠=，所以22B ρ=，因此AB ==23.解析：（1）不等式(1)()215f x f x x x -+=-+-≤，解得14x -≤≤，所以解集是[1,4]-.（2）()()(2)g x f x f x a =+-121x x a =-+--，注意到a 是正整数，有112a +≤，所以32,11(),12132,2x a xag x a x xax a x⎧⎪-++<⎪+⎪=-≤≤⎨⎪+⎪-->⎪⎩，令()3g x≥，解得7a≥，所以正整数a的最小值是7.11。

2018届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)(二)

2018届高考数学模拟考试试卷及答案（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．355．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．46．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．628．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC． D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是．14．实数x，y满足，则的最小值为．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【考点】1E：交集及其运算；33：函数的定义域及其求法．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和题意求出a4的值，再由等差数列的性质化简所求的式子，把a4代入求值即可．【解答】解：由等差数列的性质得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故选：C．5．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．4【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据=0求得实数的值．【解答】解：∵向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，∴•=3•2•cos60°=3，∴=（﹣）•（m+n）=（m﹣n）•﹣m+n•=3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，∴实数=，故选：A．6．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期函数的周期计算公式算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω==2，所以f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故选：C．7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62【考点】E7：循环结构．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解答】解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC． D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，由此能求出这个几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，∴这个几何体的体积：V=×2=．故选：D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B．C．D．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B的坐标，由，得到3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，解方程从而求得λ﹣μ的值．【解答】解：直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程y2=4x，解得，或，不妨设A（3，2）、B （，﹣）．∵，∴（1，0）=（3λ，2λ）+（μ，﹣μ）=（3λ+μ，2λ﹣μ ）．∴3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，∴λ=，μ=，则λ﹣μ=﹣．故选：B．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是1．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式，把要求的式子化为==，从而求得结果．【解答】解：=====1，故答案为：1．14．实数x，y满足，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，∴∠DCA=30°∴|AC|=2|AD|=8，∴|CF|=8﹣4=4，∴|PF|=|CF|═2，即p=|PF|=2，故答案为：2三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，可得．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a=0.010．…（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则=×0.05+155×0.1+×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm．…（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，所以；；；．随机变量X的分布列为因为X～B，所以．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB ⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式求得a2=b2+2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•+是常数．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，则c=，则a2=b2+2，将（，1），代入椭圆方程可得：，解得：b2=2，则a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由，整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），•+=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2+，=（x1﹣）（x2﹣）+k2（x1+1）（x1+1）+，=（1+k2）x1x2+（k2﹣）（x1+x2）++k2+，=（1+k2）×+（k2﹣）（﹣）++k2+，=，∴•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．对a分类讨论即可得出．（2）不等式f（x）≥0恒成立，⇔f（x）min≥0．利用（1）的结论即可得出．【解答】解：（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．（2）由（1）可得：①当a≤0时，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．又x→0时，f（x）→﹣∞，舍去．②当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，即最小值，因此a﹣alna≥0，化为：lna≤0，解得0＜a≤1．综上可得：a的取值范围是（0，1]．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可求不等式f（x）≤6的解集A；（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：不等式|x+2|+|x﹣2|≤6可以转化为：或或，解得﹣3≤x≤3，即不等式的解集A={x|﹣3≤x≤3}．（2）证明：因为|m﹣n|≤|m|+|n|=|m|+|n|，又因为m，n∈A，所以|m|≤3，|n|≤3，所以|m|+|n|≤×3+×3=，当且仅当m=﹣n=±3时，等号成立，即|m﹣n|≤，得证．。

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二)

2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共 小题，每小题分，满分 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．☎年北京✆已知集合✌＝ ⌧ ⌧ ❝，＝－ ❝，则✌✆ ＝☎✆✌． ❝ ． ❝．－ ❝ ．－ ❝．已知为纯虚数，且 ☎＋♓✆＝＋♋♓ ☎♓为虚数单位✆，则复数♋＋在复平面内对应的点所在的象限为☎✆✌．第一象限 ．第二象限．第三象限 ．第四象限．☎年新课标Ⅲ✆某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 ✷图中✌点表示十月的平均最高气温约为  ，点表示四月的平均最低气温约为下面叙述不正确的是☎✆✌．各月的平均最低气温都在以上．七月的平均温差比一月的平均温差大．三月和十一月的平均最高气温基本相同．平均气温高于  的月份有个图 ✷ 图 ✷．已知平面向量♋＝☎✆，♌＝☎－， ✆，若♋与♌共线，则 ♋＋♌＝☎ ✆✌． ．  ．．函数⍓＝ ⌧ －●⏹ ⌧的单调递减区间为☎ ✆✌．☎－  ．☎．☯，＋ ✆ ．☎，＋ ✆．阅读如图 ✷所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为☎ ✆✌． ． ． ．－．☎年新课标Ⅱ✆如图 ✷，网格纸上正方形小格的边长为 ☎表示 ♍❍✆，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 ♍❍，高为 ♍❍的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为☎ ✆图 ✷✌       ．已知☞ ，☞ 分别为双曲线☜：⌧ ♋ －⍓ ♌ ＝ ☎♋ ，♌ ✆的左、右焦点，离心率为，过原点的直线●交双曲线左、右两支分别于✌，，若 ☞ － ✌☞ ＝，则该双曲线的标准方程为☎ ✆✌⌧ －⍓ ＝ ⌧ －⍓ ＝⌧ －⍓ ＝ ⌧ －⍓ ＝．若函数♐☎⌧✆＝⎩⎪⎨⎪⎧ ☎⌧－♋✆ ☎⌧♎✆，⌧＋ ⌧＋♋☎⌧ ✆的最小值为♐☎✆，则实数♋的取值范围是☎ ✆✌．☯－  ．☯－ ．☯ ．☯ ．已知变量⌧，⍓满足⎩⎪⎨⎪⎧ ⌧－ ⍓＋ ♏，⌧♎，⌧＋⍓－ ♏，则⌧＋⍓＋ ⌧＋的取值范围是☎ ✆✌⎣⎡⎦⎤ ， ⎣⎡⎦⎤ ， ⎣⎡⎦⎤ ， ⎣⎡⎦⎤ ， ．在区间⎣⎡⎦⎤－⇨ ，⇨ 上随机取一个数⌧，♍☐♦ ⌧的值介于到之间的概率为☎ ✆ ✌  ⇨  ．对定义在☯上，并且同时满足以下两个条件的函数♐☎⌧✆称为函数：☎ⅰ✆对任意的⌧∈☯，恒有♐☎⌧✆♏；☎ⅱ✆当⌧ ♏，⌧ ♏，⌧ ＋⌧ ♎时，总有♐☎⌧ ＋⌧ ✆♏♐☎⌧ ✆＋♐☎⌧ ✆成立．则下列四个函数中不是函数的个数是☎ ✆①♐☎⌧✆＝⌧ ；②♐☎⌧✆＝⌧ ＋；③♐☎⌧✆＝●⏹☎⌧ ＋ ✆；④♐☎⌧✆＝ ⌧－ ✌． ． ． ．第Ⅱ卷☎非选择题满分 分✆本卷包括必考题和选考题两部分．第 ～ 题为必考题，每个试题考生必须作答．第 ～ 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共小题，每小题分．．椭圆：⌧ ♋ ＋⍓ ♌ ＝ ☎♋ ♌ ✆的左、右焦点分别为☞ ，☞ ，焦距为♍，若直线⍓＝ ☎⌧＋♍✆与椭圆的一个交点满足∠ ☞ ☞ ＝ ∠ ☞ ☞ ，则该椭圆的离心率等于♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．☎年天津✆⎝⎛⎭⎫⌧ － ⌧ 的展开式中⌧ 的系数为♉♉♉♉♉♉♉♉．☎用数字作答✆．已知正方体✌✷✌ 中，☜、☞分别为  、  的中点，那么异面直线✌☜与 ☞所成角的余弦值为♉♉♉♉♉♉♉♉．．设等比数列 ♋⏹❝的前⏹项和为 ⏹ 若＝，＝ ，则＝♉♉♉♉♉♉♉♉三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．☎本小题满分 分✆☎年浙江✆在△✌中，内角✌，，所对的边分别为♋，♌，♍ 已知♌＋♍＝ ♋♍☐♦☎✆证明：✌＝； ☎✆若♍☐♦ ＝，求♍☐♦ 的值．．☎本小题满分 分✆☎年云南统测✆某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出名同学组成参赛队，其中初中学部选出的名同学有名女生；高中学部选出的名同学有名女生，竞赛组委会将从这名同学中随机选出人参加比赛．☎✆设❽选出的人中恰有名女生，而且这名女生来自同一个学部❾为事件✌，求事件✌的概率 ☎✌✆；☎✆设✠为选出的人中女生的人数，求随机变量✠的分布列和数学期望．．☎本小题满分 分✆☎年浙江✆如图 ✷，在三棱台✌✷ ☜☞中，平面 ☞☜⊥平面✌，∠✌＝ ， ☜＝☜☞＝☞＝， ＝，✌＝ ☎✆求证： ☞⊥平面✌☞；☎✆求二面角 ✷✌✷☞的平面角的余弦值．图 ✷．☎本小题满分 分✆☎年山东✆如图 ✷，在平面直角坐标系⌧⍓中，椭圆：⌧ ♋ ＋⍓ ♌ ＝ ☎♋＞♌＞ ✆的离心率是，抛物线☜：⌧ ＝ ⍓的焦点☞是的一个顶点．☎✆求椭圆的方程；☎✆设是☜上的动点，且位于第一象限，☜在点处的切线●与交于不同的两点✌，，线段✌的中点为，直线 与过点且垂直于⌧轴的直线交于点☎ⅰ✆求证：点在定直线上；☎ⅱ✆直线●与⍓轴交于点☝，记△ ☞☝的面积为，△ 的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．图 ✷．☎本小题满分 分✆设函数♐☎⌧✆＝☎♋⌧ ＋⌧－ ✆♏⌧☎♋ ✆． ☎✆讨论♐☎⌧✆的单调性；☎✆当♋＝－时，函数⍓＝♐☎⌧✆与♑☎⌧✆＝ ⌧ ＋ ⌧ ＋❍的图象有三个不同的交点，求实数❍的取值范围．请考生在第☎✆☎✆两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．．☎本小题满分 分✆选修 ✷：坐标系与参数方程已知直线●：⎩⎨⎧ ⌧＝＋ ♦，⍓＝＋ ♦☎♦为参数✆．以坐标原点为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为⇧＝ ♍☐♦ →☎✆将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；☎✆设点的直角坐标为☎， ✆，直线●与曲线的交点为✌、，求 ✌   的值．．☎本小题满分 分✆选修 ✷：不等式选讲已知函数♐☎⌧✆＝ ⌧＋♋ ＋ ⌧－ ☎✆当♋＝－时，求不等式♐☎⌧✆♏的解集；☎✆若♐☎⌧✆♎⌧－ 的解集包含☯，求实数♋的取值范围．年高考数学☎理科✆模拟试卷☎二✆ 解析：由✌＝ ⌧ － ⌧ ❝，得✌✆ ＝－ ❝．故选  ．解析：设＝♌♓☎♌∈ ✆且♌♊，则☎＋♓✆♌♓＝＋♋♓ ，即－♌＋ ♌♓＝－♋♓，所以♋＝，♌＝－，则♋＋＝－♓，对应的点为☎，－ ✆，所在象限为第四象限．故选 ．解析：由图可知平均最高气温高于  的月份有个，所以不正确．故选  ．．解析：∵⍓＝ ⌧ －●⏹ ⌧，∴⍓ ＝⌧－ ⌧ 由⍓ ♎解得⌧♎故选 ．解析：当♓＝，＝进入循环体运算时，＝，♓＝；＝＋☎－ ✆＝－，♓＝；＝－＋＝－，♓＝，∴ ＝－＋＝，♓＝；＝＋＝，♓＝＞，故选 ．解析：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为⇨ ＋⇨ ＝ ⇨☎♍❍ ✆，圆柱体毛坯的体积为⇨ ＝ ⇨☎♍❍ ✆，所以切削掉部分的体积为 ⇨－ ⇨＝ ⇨☎♍❍ ✆．所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ⇨ ⇨＝   故选 ．✌ 解析：连接✌☞ ， ☞ ，由双曲线的对称性知，四边形✌☞ ☞ 是平行四边形，则 ☞ ＝ ✌☞ ，所以 ✌☞ － ✌☞ ＝ ♋ 所以 ♋＝，♋＝，又因为离心率为，所以♍♋＝所以♍＝ 所以♌ ＝♍ －♋ ＝ ，即♌＝，所以该双曲线的标准方程为⌧ －⍓＝ 故选✌．解析：当♋ 时，♐☎⌧✆❍♓⏹＝♐☎♋✆♊♐☎✆，所以♋♏； ⌧ ，♐☎⌧✆＝⌧＋⌧＋♋♏＋♋，∵♐☎⌧✆❍♓⏹＝♐☎✆，∴ ＋♋♏♐☎✆＝♋ 解得－ ♎♋♎∴ ♎♋♎．解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图 阴影部分，即△✌的边界及其内部，又因为⌧＋⍓＋ ⌧＋＝＋⍓＋ ⌧＋，而⍓＋ ⌧＋表示可行域内一点☎⌧，⍓✆和点 ☎－，－ ✆连线的斜率，由图可知 ♎⍓＋ ⌧＋ ♎ ，根据原不等式组解得 ☎✆， ☎✆．所以＋＋ ♎⍓＋ ⌧＋ ♎ ＋＋ ⇒ ♎⍓＋ ⌧＋ ♎ ⇒ ♎⌧＋⍓＋ ⌧＋♎ 故选 图  ．✌ 解析：⌧∈⎣⎡⎦⎤－⇨ ，⇨ ，♍☐♦ ⌧的值介于到之间，利用三角函数性质解得⌧∈⎣⎡⎦⎤－⇨ ，－⇨ ∪⎣⎡⎦⎤⇨ ，⇨ ，在⎣⎡⎦⎤－⇨ ，⇨ 上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为☐＝ ⎝⎛⎭⎫⇨ －⇨ ⇨ －⎝⎛⎭⎫－⇨ ＝ ．✌ 解析：☎ⅰ✆在☯上，四个函数都满足；☎ⅱ✆⌧ ♏，⌧ ♏，⌧ ＋⌧ ♎；对于①，♐☎⌧ ＋⌧ ✆－☯♐☎⌧ ✆＋♐☎⌧ ✆＝☎⌧ ＋⌧ ✆ －☎⌧ ＋⌧ ✆＝ ⌧ ⌧ ♏，满足；对于②，♐☎⌧ ＋⌧ ✆－☯♐☎⌧ ✆＋♐☎⌧ ✆＝☯☎⌧ ＋⌧ ✆ ＋ －☯☎⌧ ＋ ✆＋☎⌧ ＋ ✆＝ ⌧ ⌧ － ，不满足．对于③，♐☎⌧ ＋⌧ ✆－☯♐☎⌧ ✆＋♐☎⌧ ✆ ＝●⏹☯☎⌧ ＋⌧ ✆ ＋ －☯●⏹☎⌧ ＋ ✆＋●⏹☎⌧ ＋ ✆＝●⏹☯☎⌧ ＋⌧ ✆ ＋ －●⏹☯☎⌧ ＋ ✆☎⌧ ＋ ✆＝●⏹ ☎⌧ ＋⌧ ✆ ＋ ☎⌧ ＋ ✆☎⌧ ＋ ✆＝●⏹ ⌧ ＋⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋⌧ ＋⌧ ＋，而⌧ ♏，⌧ ♏，∴ ♏⌧ ＋⌧ ♏⌧ ⌧ ∴⌧ ⌧ ♎ ∴⌧ ⌧♎ ⌧ ⌧ ♎⌧ ⌧∴⌧ ＋⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋⌧ ＋⌧ ＋ ♏∴●⏹ ⌧ ＋⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋ ⌧ ⌧ ＋⌧ ＋⌧ ＋♏，满足；对于④，♐☎⌧ ＋⌧ ✆－☯♐☎⌧ ✆＋♐☎⌧ ✆＝☎⌧ ＋⌧ － ✆－☎⌧ －＋ ⌧ － ✆＝ ⌧ ⌧ － ⌧ － ⌧ ＋＝☎⌧ － ✆☎⌧ － ✆♏，满足．故选✌ －解析：由直线方程⍓＝ ☎⌧＋♍✆⇒直线与⌧轴的夹角∠ ☞ ☞ ＝⇨ 或 ⇨，且过点☞ ☎－♍ ✆，∵∠ ☞ ☞ ＝ ∠ ☞ ☞ ，∴∠ ☞ ☞ ＝ ∠ ☞ ☞ ＝⇨ ，即☞ ⊥☞ ∴在♦△☞ ☞ 中，☞ ☞ ＝ ♍，☞ ＝♍，☞ ＝ ♍ ∴由椭圆的第一定义可得 ♋＝♍＋ ♍，∴♍♋＝＋＝－  ．－  解析：展开式通项为❆❒＋＝ ❒ ☎⌧ ✆ －❒ ⎝⎛⎭⎫－ ⌧❒＝☎－ ✆❒ ❒ ⌧ － ❒，令 － ❒＝，❒＝，所以⌧ 的☎－ ✆ ＝－ 故答案为－  解析：如图 ，连接 ☞，图 则✌☜∥ ☞∴∠ ☞即为异面直线✌☜与 ☞所成的角．设正方体棱长为♋，则＝♋， ☞＝ ♋， ☞＝ ♋，∴♍☐♦ ∠ ☞＝⎝⎛⎭⎫ ♋ ＋⎝⎛⎭⎫ ♋ －♋  ♋ ♋＝．  解析：设等比数列 ♋⏹❝的首项为♋，公比为❑，易知❑♊根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ ♋☎－❑ ✆ －❑＝，♋☎－❑ ✆ －❑＝ ，解得❑ ＝，♋ －❑＝－ 所以＝♋☎－❑ ✆ －❑＝☎－ ✆☎－ ✆＝  ．解：☎✆由正弦定理，得♦♓⏹ ＋♦♓⏹ ＝ ♦♓⏹ ✌♍☐♦ 故 ♦♓⏹ ✌♍☐♦ ＝♦♓⏹ ＋♦♓⏹☎✌＋ ✆＝♦♓⏹ ＋♦♓⏹ ✌♍☐♦ ＋♍☐♦ ✌♦♓⏹于是，♦♓⏹ ＝♦♓⏹☎✌－ ✆，又✌， ∈☎，⇨✆，故 ✌－ ⇨所以＝⇨－☎✌－ ✆或＝✌－因此，✌＝⇨☎舍去✆或✌＝所以✌＝ ☎✆由♍☐♦ ＝，得♦♓⏹ ＝，♍☐♦  ＝ ♍☐♦ －＝－故♍☐♦ ✌＝－，♦♓⏹ ✌＝♍☐♦ ＝－♍☐♦☎✌＋ ✆＝－♍☐♦ ✌♍☐♦ ＋♦♓⏹ ✌♦♓⏹ ＝  ．解：☎✆由已知，得 ☎✌✆＝＋＝  所以事件✌的概率为 ☎✆随机变量✠的所有可能取值为 由已知得 ☎✠＝ ✆＝－☎ ＝ ✆．所以随机变量✠的分布列为：随机变量✠的数学期望☜☎✠✆＝  ＋  ＋  ＋  ＝．解：☎✆延长✌， ☜， ☞相交于点，如图 图 因为平面 ☞☜⊥平面✌，且✌⊥ ，所以，✌⊥平面 ，因此， ☞⊥✌又因为☜☞∥ ， ☜＝☜☞＝☞＝， ＝，所以△ 为等边三角形，且☞为 的中点，则 ☞⊥  又✌✆ ＝，所以 ☞⊥平面✌☞ ☎✆方法一，过点☞作☞✈⊥✌，连接 ✈ 因为 ☞⊥平面✌，所以 ☞⊥✌，则✌⊥平面 ✈☞，所以 ✈⊥✌ 所以，∠ ✈☞是二面角 ✷✌✷☞的平面角．在 ♦△✌中，✌＝， ＝，得☞✈＝  在 ♦△ ✈☞中，☞✈＝ ， ☞＝，得♍☐♦∠ ✈☞＝所以，二面角 ✷✌✷☞的平面角的余弦值为方法二，如图 ，延长✌， ， ☞相交于一点，则△ 为等边三角形．图 取 的中点，则 ⊥ 又平面 ☞⊥平面✌，所以 ⊥平面✌以点为原点，分别以射线 ， 的方向为⌧，的正方向，建立空间直角坐标系⌧⍓由题意，得☎✆， ☎－ ✆， ☎， ✆，✌☎－，－✆，☜⎝⎛⎭⎫ ，，，☞⎝⎛⎭⎫－，，因此，✌❼＝☎✆，✌❼＝☎， ✆，✌❼＝☎✆．设平面✌的法向量为❍＝☎⌧ ，⍓ ， ✆，平面✌的法向量为⏹＝☎⌧ ，⍓ ， ✆．由⎩⎪⎨⎪⎧✌❼ ❍＝，✌❼ ❍＝，得⎩⎪⎨⎪⎧⍓ ＝，⌧ ＋ ⍓ ＋＝ 取❍＝☎ ，，－ ✆；由⎩⎪⎨⎪⎧✌❼ ⏹＝，✌❼ ⏹＝，得⎩⎪⎨⎪⎧⌧ ＋ ⍓ ＝，⌧ ＋ ⍓ ＋＝ 取⏹＝☎，－， ✆．于是，♍☐♦〈❍，⏹〉＝❍ ⏹ ❍ ⏹＝所以，二面角 ✷✌✷☞的平面角的余弦值为．解：☎✆由题意知，♋ －♌ ♋＝，可得♋＝ ♌因为抛物线☜的焦点为☞⎝⎛⎭⎫ ，，所以♋＝，♌＝，所以椭圆的方程为⌧ ＋ ⍓ ＝ ☎✆☎ⅰ✆设 ⎝⎛⎭⎫❍，❍☎❍ ✆，由⌧ ＝ ⍓，可得⍓ ＝⌧ 所以直线●的斜率为❍因此直线●的方程为⍓－❍ ＝❍☎⌧－❍✆，即⍓＝❍⌧－❍设✌☎⌧ ，⍓ ✆， ☎⌧ ，⍓ ✆， ☎⌧ ，⍓ ✆，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧⍓＝❍⌧－❍，⌧ ＋ ⍓ ＝，得☎❍ ＋ ✆⌧ － ❍ ⌧＋❍ －＝ 由 ，得 ❍ ＋ ☎或 ❍ ＋ ✆．且⌧ ＋⌧ ＝ ❍❍ ＋，因此⌧ ＝⌧ ＋⌧＝ ❍❍ ＋将其代入⍓＝❍⌧－❍，得⍓ ＝－❍☎❍ ＋ ✆因为⍓ ⌧＝－ ❍，所以直线 的方程为⍓＝－❍⌧联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧⍓＝－ ❍⌧，⌧＝❍，得点的纵坐标为⍓ ＝－，即点在定直线⍓＝－上．☎ⅱ✆由☎ⅰ✆知直线●的方程为⍓＝❍⌧－❍，令⌧＝，得⍓＝－❍所以☝⎝⎛⎭⎫ ，－❍又 ⎝⎛⎭⎫❍，❍ ，☞⎝⎛⎭⎫ ，， ⎝ ⎛⎭⎪⎫ ❍ ❍ ＋，－❍ ☎❍＋ ✆，所以＝ ☝☞ ❍＝❍☎❍ ＋ ✆，＝ ❍－⌧ ＝❍☎❍ ＋ ✆ ☎❍ ＋ ✆，所以＝ ☎❍ ＋ ✆☎❍ ＋ ✆☎❍ ＋ ✆令♦＝ ❍ ＋，则＝☎♦－ ✆☎♦＋ ✆♦＝－ ♦ ＋ ♦＋ 当 ♦＝，即♦＝时，取得最大值，此时❍＝，满足 ，所以点的坐标为⎝⎛⎭⎫ ，，因此的最大值为，此时点的坐标为⎝⎛⎭⎫ ， ．解：☎✆♐ ☎⌧✆＝☯♋⌧ ＋☎♋＋ ✆⌧ ♏⌧＝⌧☎♋⌧＋ ♋＋ ✆♏⌧☎♋ ✆，令♐ ☎⌧✆＝，解得⌧ ＝，⌧ ＝－－♋①当♋＝－时，♐ ☎⌧✆＝－⌧ ♏⌧♎，♐☎⌧✆在☎－，＋ ✆上递减； ②当－♋ 时，⌧ ⌧ ，♐☎⌧✆在☎－， ✆上递减；在⎝⎛⎭⎫ ，－－ ♋上递增，在⎝⎛⎭⎫－－ ♋，＋上递减； ③当♋ －时，⌧ ⌧ ，♐☎⌧✆在⎝⎛⎭⎫－，－－ ♋上递减；在⎝⎛⎭⎫－－ ♋，上递增，在☎，＋ ✆上递减．☎✆当♋＝－时，函数 ⍓＝♐☎⌧✆与♑☎⌧✆＝ ⌧ ＋⌧ ＋❍的图象有三个不同的交点，等价于－❍＝☎⌧ －⌧＋ ✆♏⌧＋ ⌧ ＋⌧ 有三个不同的根．设♒☎⌧✆＝☎⌧ －⌧＋ ✆♏⌧＋ ⌧ ＋⌧♒ ☎⌧✆＝⌧☎⌧＋ ✆☎♏⌧＋ ✆，函数♒☎⌧✆在☎－，－ ✆上递增，在☎－ ✆上递减，在☎，＋ ✆上递增，♒☎⌧✆极大值＝♒☎－ ✆＝ ♏＋，♒☎⌧✆极小值＝♒☎✆＝，当－ ♏－ ❍ －时，方程－❍＝☎⌧ －⌧＋ ✆♏⌧＋ ⌧ ＋⌧ 有三个不同的根．．解：☎✆∵⇧＝ ♍☐♦ →，∴⇧ ＝ ⇧♍☐♦ →，∴⌧ ＋⍓ ＝ ⌧ 故它的直角坐标方程为☎⌧－ ✆ ＋⍓ ＝  ☎✆直线●：⎩⎨⎧⌧＝＋♦，⍓＝＋♦☎♦为参数✆，普通方程为⍓＝ ⌧－☎， ✆在直线●上，过点作圆的切线，切点为，则 ❆ ＝☎－ ✆ ＋－＝ ，由切割线定理．可得 ❆ ＝ ✌   ＝ ．解：☎✆当♋＝－时，♐☎⌧✆♏，即 ⌧－ ＋ ⌧－ ♏，即⎩⎪⎨⎪⎧⌧♎，－⌧＋－⌧♏或⎩⎪⎨⎪⎧⌧ ，－⌧＋⌧－ ♏或⎩⎪⎨⎪⎧⌧♏，⌧－＋⌧－ ♏，解得⌧♎，或⌧♏所以解集为☎－， ∪☯，＋ ✆． ☎✆原命题等价于♐☎⌧✆♎⌧－ 在☯上恒成立，即 ⌧＋♋ ＋－⌧♎－⌧在☯上恒成立，即－－⌧♎♋♎－⌧在☯上恒成立，即－ ♎♋♎。

2018届江苏高考数学模拟试题(2)数学之友

2018届江苏高考数学模拟试题（2）数学I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=，则=N M ▲．2．已知复数z 满足＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为▲．3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为▲．4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是▲．5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是▲．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为．7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲．8．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是▲．9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1c mA BB C C D ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为▲2cm .10.已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=▲. 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为▲．(第3题)12．正五边形ABCDE的边长为AE AC ⋅的值为▲．13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为▲． 14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥，则实数a 的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值. .16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点.（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求证：BC 1⊥平面AB 1C . 17．(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为探测器在静水中行进时的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量； (ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．18．(本小题满分16分)如图，椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，右准线为l ，过点F 且与x 轴不重合的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是AB 的中点，过点B 作BM ⊥l 于M ，连AM 交x 轴于点N ，连PN . （1）若165AB =，求直线AB 的倾斜角；（2）当直线AB 变化时，求PN 长的最小值. 19．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t =，求(1)(1)a t --的值．20．(本小题满分16分)已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．数学Ⅱ（附加题）一个特征向量．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标． D ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足x +y+z =2，求22232z y x ++的最小值．(第21题A)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值；（2）求()F m ．2018高考数学模拟试题（2）数学I 答案一、填空题答案 1.{0}2.33.1204.215.216.－57.（0，1）8.y 2＝2x9.3π10.3π11.258解：因为直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，又因为圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>，所以25a b +=，52a b =+≥所以ab 的最大值为258． 12.6解：利用在上的投影得，221=⋅=6． 13．()[]6,40, ∞-解：①0<a0≤x 时，01e )(<-=x a x 'f ，所以)(x f 在)0(,-∞单调递减，且0)0(<=a f ，所以)(x f 在)0(,-∞有一个小于0的零点．0>x 时，)(x f 在)0(+∞,单调递增，因为1)1(=f ，所以)(x f 在)0(+∞,有一个小于1的零点．因此满足条件． ②0>a（1）1≤0a <时，)(x f 在)0(,-∞单调递减，0)0(>=a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（2）41<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛01ln ,a上单调递增， 0ln 11ln >+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（3）4=a 时，⎩⎨⎧>+--=04404)(2x x x x x e x f x ,≤ ,，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）4>a 时，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，在)0(+∞,上有两个不相等的零点，且和为a ，故满足题意的范围是64≤a <．综上所述，a 的取值范围为()[]6,40, ∞-． 14.a ≤或a ≥解：因为222()2a b a b -+≥对任意a 、b 都成立，所以，(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥(2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2， (2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2≥，即对任意θ∈[0，]，都有132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，因为132sin cos 512sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθ++=++⋅++,当θ∈[0，]时，1sin cos θθ≤+≤所以72a ≥，同理a ≤.因此，实数a 的取值范围是a ≤或a ≥．二、解答题答案15.解：（1）由三角函数定义，1cos x α=，2cos()3x πα=+，因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以sin 3α==. 211cos()cos 3226x πααα-=+=-=.（2）依题意，1sin y α=，2sin()3y πα=+，所以111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=，)322sin(41-)3sin()3cos(2121222παπαπα+=++-==y x S ,依题意，2sin 22sin(2)3παα=-+，化简得cos20α=，因为62ππα<<，则23παπ<<，所以22πα=，即4πα=.16.证明：（1）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，四边形ACC 1A 1为矩形，设AC 1∩A 1C =G ，则G 为AC 1中点，D 为AB 中点，连DG ，则DG ∥BC 1. 因为DG ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.（2）由（1）四边形BCC 1B 1为矩形，又BC =BB 1，则四边形BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ，由（1）CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，又AC ⊥BC ，则AC ⊥平面BCC 1B 1，AC ⊥BC 1，因此，BC 1⊥平面AB 1C .17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h ，即4v -，所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >；（2）(ⅰ)当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >， 3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ)当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>，所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ)该探测器消耗的最少能量为3200c ； (ⅱ)6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． 18.解（1）显然)0,1(,21,3,2F e b a ===，当AB ⊥x 轴时，易得221635b AB a ==≠，不合题意.所以可设AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与椭圆方程联立得2222(43)84120k x k x k +-+-=，设A （x 1，y 1）,B （x 2，y 2）,则212221228,4341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因此2212(1)16435k k +=+，解得k =，所以直线AB 的倾斜角等于60o 或120o . （2）因为椭圆的右准线的方程为4x =，由（1），当AB 不垂直于x 轴时，点211(4,(1)),(,(1))M k x A x k x --，所以直线AM 的方程为12111()(1)()4k x x y k x x x x ---=--，令y =0，得1121254N x x x x x x --=- 2211221212412205454343k k x x k k x x x x ----++==--=1121255()522x x x x x -+=-. 当AB ⊥x 轴时，易得52N x =，所以无论AB 如何变化，点N 的坐标均为5(,0)2.因此，当AB ⊥x 轴时，PN 取最小值，PN min =53122-=.19.解（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；当ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数. 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围.（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(ee )0ssg s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()(0)0g s g <=，而122e 02x x s+>，所以()1202x x f +'<．又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<．（3）依题意有e 0ix i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C =90°，所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-，所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x x a x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= 20.解：（1）因为{n a }是递增数列，所以n n n p a a =-+1，又11=a ，1,1232++=+=p p a p a ，因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=223123,333144,34，解得0,31==p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p . （2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ，于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a ① 由于1222121-<n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()122121222121----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n a a ③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()nn nnn a a 21222122121++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-.④ 由③④得()nn nn a a 2111++-=-，所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a()()()123122121211--++-+-+=n n()11213134211211211---+=+⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+=n nn ，所以数列{n a }的通项公式为()1213134--+=n nn a ．数学Ⅱ答案21．【选做题】答案 A ．选修4—1：几何证明选讲解：连结OC ，BE ．因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE ．因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形．所以∠BOC ＝60?．又直线l 切⊙O 与于点C ，所以OC ⊥l ．因为AD ⊥l ，所以AD ∥l ．所以∠BAD ＝∠BOC ＝60?．在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90?－∠BAD ＝30°，所以AE ＝AB ＝4． B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝＝(λ－1)(λ－x )－4．因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，则从而y ＝－x ．取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题意得,曲线C 的普通方程为22143x y +=(1)00sin 2≤⇒≤⇒≤≤y θπθπ 直线OP的方程为y =(2)A D(第21题A)联立(1)(2)得55xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）或55xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点P的坐标为(D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z ++⋅≤++++,所以2222()24231111123x y zx y z++++≥=++,当且仅当1112,114,116===zyx时取等号.【必做题】答案22.解：（1）由已知有P(A)=C31C41+C32C102=13,所以事件A发生的概率为13.（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2P(X=0)=C32+C32+C42C102=415；P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715；P(X=2)=C31C41C102=415.所以随机变量X的分布列为23.解：（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =；当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n nn n n n f m ---=++++，奇子集的个数11330()C C C C C C m m m n n n nn n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n nn n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n n n nn n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，01220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n nn n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+；另一方面，2(1)(1)(1)nnnx x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C mm n-，故()F m =22(1)C m m n-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数，为奇数．。

2018新课标全国2卷(理数)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．i B． C． D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f （1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年上海市静安区高考数学二模试卷(解析版)

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14 分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间 t 的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度 C 是指每平方米的昆虫数量，这个 C 的函数表达式为
这里的 t 是从午夜开始的小时
数，m 是实常数，m＝C（8）．（1）求 m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．
cm．
6．（4 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为
．
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7．（5 分）方程
的解集为
．
8．（5 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M（a，﹣4）（a＞
0）到焦点 F 的距离为 5．则该抛物线的标准方程为
．
9．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值
的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若
输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 q 的值为
．（在算法语言中用“*”表示乘法
运算符号，例如 5*2＝10）
2018 年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4 分）已知集合 A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合
用列举法表示的结果是
（1）若 a＝﹣1，解不等式 f（x）≥0；

2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

当 x≤2 时，由 y＝﹣2x﹣3＝1，解得：x＝﹣2，
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综上可得若输出的结果为 1，则输入 x 的值为 3 或﹣2，故选：A． 7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
已知小李下班到家的时间为下午 5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在 10 分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）
求 m 的取值范围．
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2018 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知复数 z 满足 z（• 1﹣2i）＝（i i 是虚数），则复数 z 在复平面内对应的点在（）
到的绵是（）
A．174 斤
B．184 斤
C．191 斤
D．201 斤
6．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则输入 x 的值为（）
第 1 页（共 23 页）
A．3 或﹣2
B．2 或﹣2
C．3 或﹣1
D．﹣2 或﹣1 或 3
7．（5 分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：00﹣6：00 之间送货上门，
对称
12．（5 分）已知点 I 在△ABC 内部，AI 平分∠BAC，述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（）
，对满足上
A．△ABC 的三边长一定成等差数列 B．△ABC 的三边长一定成等比数列 C．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等差数列 D．△ABI，△ACI，△CBI 的面积一定成等比数列二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）

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2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝()A．{0,1} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20 ℃的月份有5个图M2-1 图M2-24．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－17．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图M2-3A.1727B.59C.1027D.138．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为53，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.x 218－y 232＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 264＝19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]10．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0，则x ＋y ＋3x ＋2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤2，52B.⎣⎡⎦⎤54，52C.⎣⎡⎦⎤45，52D.⎣⎡⎦⎤54，2 11．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.2312．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数：(ⅰ)对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立．则下列四个函数中不是M 函数的个数是( )①f (x )＝x 2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝ln(x 2＋1)；④f (x )＝2x －1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷(非选择题满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14．(2016年天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)15．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．16．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2016年浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．18．(本小题满分12分)(2016年云南统测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)(2016年浙江)如图M2-4，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值．图M2-420．(本小题满分12分)(2016年山东)如图M2-5，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(ⅰ)求证：点M 在定直线上；(ⅱ)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图M2-521．(本小题满分12分)设函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x (a <0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，函数y ＝f (x )与g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求|MA |·|MB |的值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－4时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若f (x )≤|x －3|的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围．2018年高考数学(理科)模拟试卷(二)1.C 解析：由A ＝{x |－2<x <2}，得A ∩B ＝{－1,0,1}．故选C.2．D 解析：设z ＝b i(b ∈R )且b ≠0，则(2＋i)·b i ＝1＋a i 3，即－b ＋2b i ＝1－a i ，所以a ＝2，b ＝－1，则a ＋z ＝2－i ，对应的点为(2，－1)，所在象限为第四象限．故选D.3．D 解析：由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份有3个，所以不正确．故选D. 4．C5．B 解析：∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x .由y ′≤0解得0<x ≤1.故选B.6．C 解析：当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S ＝－1＋0＝－1，i ＝4，∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.7．C 解析：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)，圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)．所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027.故选C.8．A 解析：连接AF 2，BF 2，由双曲线的对称性知，四边形AF 1BF 2是平行四边形，则|BF 1|＝|AF 2|，所以|AF 2|－|AF 1|＝2a .所以2a ＝6，a ＝3，又因为离心率为53，所以c a ＝53.所以c ＝5.所以b 2＝c 2－a 2＝16，即b ＝4，所以该双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.故选A.9．D 解析：当a <0时，f (x )min ＝f (a )≠f (0)，所以a ≥0； x >0，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，∵f (x )min ＝f (0)， ∴2＋a ≥f (0)＝a 2.解得－1≤a ≤2.∴0≤a ≤2.10．B 解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图D193阴影部分，即△ABC 的边界及其内部，又因为x ＋y ＋3x ＋2＝1＋y ＋1x ＋2，而y ＋1x ＋2表示可行域内一点(x ，y )和点P (－2，－1)连线的斜率，由图可知k PB ≤y ＋1x ＋2≤k PC，根据原不等式组解得B (2,0)，C (0,2)．所以0＋12＋2≤y ＋1x ＋2≤2＋10＋2⇒14≤y ＋1x ＋2≤32⇒54≤x ＋y ＋3x ＋2≤52.故选B.图D19311．A 解析：x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，cos x 的值介于0到12之间，利用三角函数性质解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎦⎤π3，π2，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为p ＝2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.12．A 解析：(ⅰ)在[0,1]上，四个函数都满足； (ⅱ)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1；对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足．对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－[ln(x 21＋1)＋ln(x 22＋1)]＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－ln[(x 21＋1)(x 22＋1)]＝lnx 1＋x 22＋1x 21＋1x 22＋1＝ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1，而x 1≥0，x 2≥0，∴1≥x 1＋x 2≥2x 1x 2.∴x 1x 2≤14.∴x 21x 22≤14x 1x 2≤2x 1x 2. ∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥1.∴ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥0，满足；对于④，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)] ＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选A.13.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3或2π3，且过点F 1(－c,0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c .∴由椭圆的第一定义可得2a ＝c ＋3c ，∴c a ＝21＋3＝3－1.14．－56 解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·⎝⎛⎭⎫－1xr ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的(－1)3C 38＝－56.故答案为－56.15.35 解析：如图D194，连接DF ，图D194则AE ∥DF .∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.16．63 解析：设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1.根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q 21－q＝3，a 1－q 41－q＝15，解得q 2＝4，a1－q ＝－1.所以S 6＝a 1－q 61－q＝(－1)(1－43)＝63.17．解：(1)由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B . 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B . 于是，sin B ＝sin(A －B )，又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π. 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B . 因此，A ＝π(舍去)或A ＝2B . 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19. 故cos A ＝－19，sin A ＝4 59.cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.18．解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以事件A 的概率为635(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以随机变量X 的分布列为：X 1 234P错误错误错误错误随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52. 19．解：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于点K ，如图D195.图D195因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK . 又AC ∩CK ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD . (2)方法一，过点F 作FQ ⊥AK ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以，∠BQF 是二面角B -AD -F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝3 1313. 在Rt △BQF 中，FQ ＝3 1313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34.所以，二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34.方法二，如图D196，延长AD ，BΕ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．图D196取BC 的中点O ，则KO ⊥BC .又平面BCFΕ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC .以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz . 由题意，得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0. 取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0. 取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n ||m ·||n ＝34. 所以，二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34.20．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a ＝2b .因为抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以a ＝1，b ＝12，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)(ⅰ)设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x . 所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx －m 22，x 2＋4y 2＝1，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝x 1＋x 22＝2m 34m 2＋1.将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 224m 2＋1. 因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 的方程为y ＝－14m x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标为y M ＝－14，即点M 在定直线y ＝－14上．(ⅱ)由(ⅰ)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22.所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22. 又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 224m 2＋1，所以S 1＝12|GF |m ＝14m (m 2＋1)，S 2＝12|PM |·|m －x 0|＝m 2m 2＋1284m 2＋1，所以S 1S 2＝24m 2＋1m 2＋12m 2＋12. 令t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝2t －1t ＋1t 2＝－1t 2＋1t ＋2.当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94，此时m ＝22，满足Δ>0，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14. 21．解：(1)f ′(x )＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ＝x (ax ＋2a ＋1)e x (a <0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2－1a .①当a ＝－12时，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，f (x )在(－∞，＋∞)上递减；②当－12<a <0时，x 1<x 2，f (x )在(－∞，0)上递减；在⎝⎛⎭⎫0，－2－1a 上递增，在⎝⎛⎭⎫－2－1a ，＋∞上递减；③当a <－12时，x 2<x 1，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2－1a 上递减；在⎝⎛⎭⎫－2－1a ，0上递增，在(0，＋∞)上递减．(2)当a ＝－1时，函数 y ＝f (x )与g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有三个不同的交点，等价于－m ＝(x 2－x ＋1)e x ＋13x 3＋12x 2有三个不同的根．设h (x )＝(x 2－x ＋1)e x ＋13x 3＋12x 2h ′(x )＝x (x ＋1)(e x ＋1)，函数h (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，h (x )极大值＝h (－1)＝3e ＋16，h (x )极小值＝h (0)＝1，当－3e －16<m <－1时，方程－m ＝(x 2－x ＋1)e x ＋13x 3＋12x 2有三个不同的根．22．解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x .故它的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，普通方程为y ＝33x －2 33.M (5，3)在直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为Τ，则|MT |2＝(5－1)2＋3－1＝18，由切割线定理．可得|MT |2＝|MA |·|MB |＝18.23．解：(1)当a ＝－4时，f (x )≥6，即|x －4|＋|x －2|≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，4－x ＋2－x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <4，4－x ＋x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥4，x －4＋x －2≥6，解得x ≤0，或x ≥6.所以解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．(2)原命题等价于f (x )≤|x －3|在[0,1]上恒成立，即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[0,1]上恒成立，即－1－x ≤a ≤1－x 在[0,1]上恒成立，即－1≤a ≤0.。