九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 专题训练(三) 根的判别式的两种应用
(2)∵AB＝2，∴x＝2 是原方程的一个根，代入原方程得 4－2m＋m2 －14 ＝0， 解得 m＝52 ，代入原方程得 x2－52 x＋1＝0，解得 x1＝2，x2＝12 ，∴AD＝12 ， ∴▱ABCD 的周长是 2×(2＋12 )＝5解得k4应用 2 与几何图形结合
3．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－12 )＝0. (1)求证：k 取任意实数，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a＝4，另两边 b，c 恰好是这个方程的两个根， 求△ABC 的周长.
解：(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4(k－12 )＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0， ∴无论 k 取何值，这个方程总有实数根，即 k 取全体实数
(2)当 b＝c 时，Δ＝(2k－3)2＝0，解得 k＝32 ，方程化为 x2－4x＋4＝0，解得
b＝c＝2，而 2＋2＝4，故舍去；当 a＝b＝4 或 a＝c＝4 时，把 x＝4 代入方程得 16 －4(2k＋1)＋4(k－12 )＝0，解得 k＝52 ，方程化为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝4，x2 ＝2，即 a＝b＝4，c＝2 或 a＝c＝4，b＝2，∴△ABC 的周长是 4＋4＋2＝10
4．已知▱ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2－mx＋m2 －14 ＝0 的 两个根．
(1)当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若 AB 的长为 2，那么▱ABCD 的周长是多少？
解：(1)当四边形 ABCD 是菱形时，AB＝AD.
根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。
最新人教版九年级数学上册 21.2.2 解一元二次方程--根的判别式 测试题(含答案)
最新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程21.2.2 解一元二次方程--根的判别式测试题（含答案）一、填空题1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=________．2．a是有理数，b是________时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有________实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为__________．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则m为________．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是28．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac 是一个完全平方数，则方程必有________．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____________．10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是__________．11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____________．12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c 的关系式为___________．13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为_______．14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是______．15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿______解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0________实根．二、选择题那么α= []．18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为[ ]．19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为[ ]．A．2个；B．1个；C．0个；D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为[ ]．则该方程[ ]．A．无实数根；B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根；D．不能确定有无实数根．22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是[ ]．A．2；B．0；C．1；D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是[ ]．A．1；B．2；C．-1；D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是[ ]．A．4；B．-7；C．4或-7；D．所有实数．[ ]．A．两个相等的有理根；B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根；D．两个不等的无理根．26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是[ ]．A．-1；B．0；C．1；D．2．27．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则[ ]．28．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则[ ]．29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为[ ]．A．4；B．1；C．-2；D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是[ ]．A．1；B．2；C．3；D．4．三、简答题有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x ＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0 的根对于a的任何值均是有理数？42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c 是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．有相等的实数根，求证r1＝r2或r1+r2＝d．46．求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．47．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．48．已知a，b，c是三角形的三边．求证方程a2x2＋（a2+c2-b2）x＋c2=0无实数根．49．若方程b（x2-4）+4（b-a）x-c（-4+x2）=0的两个根不相等，且a，b，c为△ABC的三边，求证：△ABC不是等边三角形．50．k为何值时，方程4kx+k=x2+4k2+2：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）无实数根？51．设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．53．如果方程（3k-4）x2+6（k＋2）x＋3k+4=0没有实数根，那么方程kx2-2（k-1）x＋（k＋4）=0有实数根吗？为什么？54．m是什么实数值时，方程2x2＋（n＋1）x-（3n2-4n+m）=0有有理根？参考答案：1．22．13．有两个不相等的4．6，-46．167．4，18．两个有理数根9．m=011．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数14．k≤115．无实数16．也有相等的17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D27．C 28．B 29．B 30．C已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，即化简得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．34．2≤b≤6．35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4k的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．45．提示：Δ=（-2r1）2-4（r22+r1d-r2d）=0，即4r21-4r22-4r1d+4r2d=0，（r21-r22）-d （r1-r2）=0，（r1-r2）（r1+r2-d）=0，所以r1=r2或r1+r2=d．46．提示：原方程化为x2-（2a+b）x+（a2+ab-1）=0，Δ=[-（2a+b）]2-4（a2+ab-1）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+4=b2+4，即Δ＞0．代47．提示：因为方程x2+2x+1+m=0无实根，所以Δ=4-4（1+m）=4-4-4m＜0，推知m＞0．而方程x2+（m-2）x-（x+3）=0的Δ=（m-2）2+4（m+3）＞0．48．提示：Δ=（a2+c2-b2）2-4a2c2=（a2+c2-b2+2ac）（a2+c2-b2-2ac）=[（a+c）2-b2]×[（a-c）2-b2]=（a+c+b）×（a+c-b）×（a-c+b）×（a-c-b）．因为a，b，c是三角形的三边，所以a+b+c＞0，a+c-b＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0，推知Δ＜0．49．提示：原方程化为：（b-c）x2+4（b-a）x-4（b-c）=0，Δ=16（b-a）2+16（b-c）2＞0．所以（b-a）与（b-c）不全为0，a，b，c不全相等，因此△ABC不是等边三角形．50．（1）k＞2；（2）k=2；（3）k＜2．51．k的最大值为0，x+（k+4）=0的Δ＞0，故而方程有实数根．54．m=1．。
人教版九年级数学上册 21.2.2.1 一元二次方程的根的判别式 同步练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第21 章21.2.2.1 一元二次方程的根的判别式 同步练习题一、选择题1．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A)A ．4B ．2C ．0D ．－42．一元二次方程4x 2－2x －1＝0的根的情况为(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝04．若方程x 2＋kx ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是(C)A ．－2B ．2C ．±2 D.125．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为(A)A ．k ＞－14B ．k ＞4C ．k ＜－1D ．k ＜4 6．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则a 的值可以是(D)A ．2B ．1C ．0.5D ．0.257．若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C) A ．k ＝0 B ．k ≥－13且k ≠0 C ．k ≥－13 D ．k ＞－138．已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断9．若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(D)A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k ＜0且k ≠－1D ．k ≤0且k ≠－110．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B)二、填空题11．关于x 的方程x 2＋2x －(m －2)＝0的根的判别式Δ＝4m －4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m ＝1；若方程没有实数根，则m<1．12．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0． 13．关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是m>14． 14．若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是8．15．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．三、解答题16．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)9x 2＋6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x 2＋8x ＝－3；解：化为一般形式为16x 2＋8x ＋3＝0.∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x 2－1)－5x ＝0.解：化为一般形式为3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．17．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值．解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k ·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.18．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0.∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0.∴2a －2b ＝0.∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形．20.已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．。
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版教材P17习题21.2第13题)无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0，Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．一判断一元二次方程根的情况方程x2＋7＝8x的根的情况为(A)A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．方程没有实数根对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C)A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A)A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．无法确定已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．【解析】 (1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据三角形的周长公式进行计算．解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，∴方程恒有两个不相等的实数根；(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.①当1，3为直角边长时，斜边长为＝，∴直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋.②当3为斜边长时，另一条直角边长为＝2，∴直角三角形的周长为1＋3＋2＝4＋2.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(D)A．0B．8C．4±D．0或8【解析】依题意得Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，∴m1＝0，m2＝8.已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－3__．【解析】∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(－2)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，解得k＝－3.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．【解析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2－4a＝0，可得出a、b 之间的关系式，然后将化简后，将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值．解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.∴＝ab2a2－4a＋4＋b2－4＝＝＝＝4.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(A)A．k<1B．k>1C．k＝1D．k≥0x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是(B)A．m≤－1B．m≤1C．m≤4 D．m≤12若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是__1__.【解析】根据题意得：Δ＝16－12k≥0，且k≠0，解得k≤，则k的非负整数值为1.已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根，求k的取值范围．解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，整理，得－8k＋4≥0，解得k≤.四确实一元二次方程中字母系数的取值范围已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(C)A．k>且k≠2B．k≥且k≠2C．k>且k≠2 D．k≥且k≠2【解析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴(2k＋1)2－4(k－2)2＞0，∴(2k＋1－2k＋4)(2k＋1＋2k－4)＞0，∴5(4k－3)＞0，k＞，故k＞且k≠2.关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根，则k的取值范围是__k≥－且k≠0__．如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，∴m＞4.对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m＞4，∴3m＋1＞13，∴Δ＝4(3m＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，∴当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝，即x＝4±，∴x1＝4＋，x2＝4－.②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，∴x2－8x＝－9.∴2x2－＝2x2－32x－7－9＋11＝2x2－16x＋＝2(x2－8x)＋＝2×(－9)＋72＝－.。
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根的判别式的六种常见应用
名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
2．【2015·泰州】已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．【2015· 咸宁】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1
的值．
（2m－1）2＋2m
利用根的判别式解与函数综合问题
5．【2016·黔南州】y＝k－1x＋1是关于x的一次函数，则关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为( )
A．没有实数根
B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根。
人教九上数学同步课时训练21.2.2第1课时 一元二次方程的根的判别式 答案版
人教九上数学同步课时训练第21章21．2.2第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A)A．4 B．2 C．0 D．－42．(铜仁中考)一元二次方程4x2－2x－1＝0的根的情况为(B)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．下列一元二次方程没有实数根的是(B)A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝04．(教材P17习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x2＋8x＝－3；解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x2－1)－5x＝0.解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围5．关于x的方程x2＋2x－(m－2)＝0的根的判别式Δ＝4m－4，若方程有两个不相等的实数根，则m>1；若方程有两个相等的实数根，则m＝1；若方程没有实数根，则m<1．6．若方程x 2＋kx ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是(C )A ．－2B ．2C ．±2 D.127．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为(A )A ．k ＞－14B ．k ＞4C ．k ＜－1D ．k ＜48．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则a 的值可以是(D )A ．2B ．1C ．0.5D ．0.25易错点1 用一元二次方程根的判别式时忽略二次项系数不为09．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值．解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k ·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.易错点2 未对方程进行分类讨论导致漏解10．(营口中考)若关于x 的方程kx 2－x －34＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C ) A ．k ＝0 B ．k ≥－13且k ≠0 C ．k ≥－13 D ．k ＞－13中档题11．(咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．(菏泽中考)若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是(D )A ．k ≥0B ．k ≤0C ．k ＜0且k ≠－1D ．k ≤0且k ≠－113．【数形结合思想】若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B )14．已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0．15．【易错】若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．16．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12. 将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴2a－2b＝0.∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形．。
九年级数学上册第二十一章21.2.6根的判别式同步练习(新版)新人教版
21.2.6根的判别式学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．33．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜14．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥6．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根8．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根C．无实数根 D．不能确定10．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥311．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3 D．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤2B．k≤0C．k＜2 D．k＜013．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=014．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4D．k＜415．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2二．填空题（共5小题）16．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．17．若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是（只写一个）．18．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是．19．关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负整数a=（一个即可）．20．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．三．解答题（共3小题）21．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．2．解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．3．解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．4．解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜．故选：A．6．解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．故选：A．7．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，∴，∴b=a+1或b=﹣（a+1）．当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．故选：D．8．解：原方程可变形为x2+（a+1）x=0．∵该方程有两个相等的实数根，∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0，解得：a=﹣1．故选：A．9．解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．11．解：∵a=2，b=﹣k，c=3，∴△=b2﹣4ac=k2﹣4×2×3=k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴k2﹣24=0，解得k=±2，故选：A．12．解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2．故选：C．13．解：A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0，方程有两个相等实数根；B、x2=xx2﹣x=0△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0两个不相等实数根；C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程无实根；D、（x﹣1）2+1=0（x﹣1）2=﹣1，则方程无实根；故选：B．14．解：根据题意得△=42﹣4k≥0，解得k≤4．故选：C．15．解：A、△=4﹣4=0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；B、△=16+4=20＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C、△=16﹣4×2×3＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D、△=25﹣4×3×2=25﹣24=1＞0，有两个相等的实数根，故此选项不合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即：22﹣4（﹣m）=0，解得：m=﹣1，故选答案为﹣1．17．解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6．18．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，解得：k≥﹣4．故答案为：k≥﹣4．19．解：∵关于x的方程ax2+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，∴△=42+8a≥0，解得a≥﹣2，∴负整数a=﹣1或﹣2．故答案为﹣2．20．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．三．解答题（共3小题）21．解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．22．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．。
人教版数学九年级上册：专题训练(一) 一元二次方程根的判别式 同步练习(附答案)
专题训练(一) 一元二次方程根的判别式1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程有______________实数根； (2)x 2＋x ＋5＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程______________实数根； (3)x 2＋2x ＋12＝0，Δ＝b 2－4ac ＝______，方程有______________实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋2x ＋2＝0C ．(x －1)2＋1＝0D ．(x －1)(x ＋2)＝03．一元二次方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定4．下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是( )A ．2x 2－6x ＋1＝0B ．3x 2－x －5＝0C ．x 2＋x ＝0D ．x 2－6x ＋9＝05．已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根．6．定义新运算：对于任意实数m ，n 都有m ☆n ＝m 2n ＋n ，等式右边是通常的加法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断关于x 的一元二次方程：2x 2－bx ＋a ＝0的根的情况．7．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －(m －2)＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m≥1D ．m≤18．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是( )图1－ZT －19．若关于x 的方程x 2＋x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( )A ．k ＞－14B ．k≥－14C ．k<－14D ．k>－14且k≠010．已知关于x 的一元二次方程12mx 2＋mx ＋m －1＝0有两个相等的实数根．(1)求m 的值； (2)解原方程．11．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．12．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．13．已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知0是此方程的一个根，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简，再求值)．14．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：除0外，不论m为何值，方程总有实数根；(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？参考答案1．(1)1 两个不相等的 (2)－19 没有 (3)0 两个相等的2．D [分析] A 选项，Δ＝b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，方程没有实数根，所以A 选项不合题意；B 选项，Δ＝b 2－4ac ＝22－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根，所以B 选项不合题意；C 选项，(x －1)2≥0，则(x －1)2＋1＞0，方程没有实数根，所以C 选项不合题意；D 选项，方程(x －1)(x ＋2)＝0整理得x 2＋x －2＝0，Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1×(－2)＝9＞0，方程有两个不相等的实数根．所以D 选项符合题意．故选D.3．B [分析] Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×4＝0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选B. 4．D5．证明：Δ＝b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4×4(k －12)＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8 ＝4k 2－12k ＋9 ＝(2k －3)2.∵(2k －3)2≥0，即Δ＝b 2－4ac≥0， ∴无论k 取何值，这个方程总有实数根． 6．解：∵2☆a 的值小于0， ∴22a ＋a ＝5a ＜0，解得a ＜0. 在方程2x 2－bx ＋a ＝0中， ∵Δ＝(－b)2－8a≥－8a ＞0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根． 7．C8．B [分析] ∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝22－4(kb ＋1)＞0，解得kb ＜0.A 项，k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 项不符合题意；B 项，k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 项符合题意；C 项，k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 项不符合题意；D 项，k<0，b ＝0，即kb ＝0，故D 项不符合题意． 故选B.9．A [分析] ∵关于x 的方程x 2＋x －k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝12－4×1·(－k)＝1＋4k ＞0，解得k ＞－14.10．解：(1)∵关于x 的一元二次方程12mx 2＋mx ＋m －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝m 2－4·12m·(m －1)＝0，且m≠0，解得m ＝2.(2)由(1)知m ＝2，则原方程为x 2＋2x ＋1＝0， 即(x ＋1)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－1.11．解：(1)根据题意，得Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4k≥0， 解得k≤94.(2)由(1)知k 的最大整数值为2，则原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∵关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根， ∴当x ＝1时，m －1＋1＋m －3＝0， 解得m ＝32；当x ＝2时，4(m －1)＋2＋m －3＝0， 解得m ＝1.又∵m －1≠0，∴m 的值为32.12．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0， 得1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝12.(2)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝m 2－4(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0， ∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．13．解：(1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4m(m ＋1)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根．(2)(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5. ∵0是方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0的一个根， ∴把x ＝0代入方程中得到m(m ＋1)＝0. ∴原式＝3m(m ＋1)＋5＝5.14．解：(1)证明：Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2. ∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0， ∴除0外，不论m 为何值，方程总有实数根． (2)解方程，得x ＝m ＋2±（m －2）2m ，∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m ＝1或m ＝2(不合题意，舍去)． ∴m ＝1.。
数学九年级上人教新课标第二十二章一元二次方程的解法及根的判别式测试(B卷)
第十二章复习 一元二次方程的解法及根的判别式测试(B 卷)一、填空题〔每题3分，共24分〕1．假设方程〔m －1〕x ｜m ｜+1－2x=3是关于x 的一元二次方程，那么m=__________．2．对于方程〔m －1〕x 2+〔m+1〕x+3m+2=0，当m__________时，为一元一次方程；当m____时为一元二次方程．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是____________．4．假设关于x 的方程x 2－mx+41=0与x 2－〔m+1〕x+m=0均有一样的实数根，那么m 的值为________． 5．如果m 为任意实数，那么一元二次方程x 2－mx+21m 2+m+32=0的解的情况是____________．6．k ＜1时，关于x 的方程2〔k+1〕x 2+4kx+2k －1=0的根的情况是__________．7．假设x=a 〔a ≠2〕是关于x 的一元二次方程〔k －1〕x 2+2kx+k+3=0的一个实数根，那么k 的取值范围是_________________________．8．假设关于x 的方程〔m －1〕x 2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，那么Δ=_____________________，那么m 的取值范围是____________________________________．二、选择题〔每题3分，共24分〕9．方程〔m+2〕x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么A ．m ≠±2B ．m=2C ．m=－2D ．m=±210．关于x 的方程41x 2－〔m －3〕x+m 2=0有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 A ．2 B ．1 C ．0D ．－1 11．k 为实数，那么关于x 的方程x 2+2〔k+1〕x+k －1=0的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．不能确定12．关于x 的方程〔2m －1〕x 2－8x+4=0有两个实数根，那么非负整数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0、1、213．对任意实数m ，关于x 的方程〔m 2+1〕x 2－2mx+m 2+4=0一定A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定14．关于x 的方程〔b+c 〕x 2+2〔a －c 〕x －43〔a －c 〕=0有两个相等的实数根，那么以a 、b 、c 为三边长的三角形是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不能确定15．假设关于x 的方程x 2－〔42+k 〕x+k=0有两个不相等的实数根，那么化简k+2+442+-k k 的值为A ．4B ．2kC ．－4D ．－2k 16．假设关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，那么k 的取值范围是 A ．k ＜1 B ．k ≤1 C ．k ＜1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠0三、解答题〔共52分〕17．解关于x 的方程2x 2+〔3m －n 〕x －2m 2+3mn －n 2=0．〔6分〕18．假设两个关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个公共根，求a 的值．〔6分〕19．试证明：关于x 的方程〔a 2－8a+20〕x 2+2ax+1=0，不管a 取何值，该方程都是一元二次方程．〔6分〕20．k 取何值时，方程kx 2－〔2k+1〕x+k=0，〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根．〔7分〕21．方程x 2－〔k+1〕x+41k=0能否有相等的实数根．假设有请求出来．〔7分〕22．一元二次方程〔ab －2b 〕x 2+2〔b －a 〕x+2a －ab=0有两个相等的实数根，求ba 11 的值．〔10分〕23．：a 、b 、c 是三角形三条边的长，求证：方程b 2x 2+〔b 2+c 2－a 2〕x+c 2=0没有实数根．〔10分〕参考答案一、1．－1 2．1 ≠1 3．c=0 4．15．－332－2≤m ≤332－2时有解； m ＞332－2或m ＜－332－2时无解． 6．有两个不相等的实数根 7．k ≤1.5且k ≠1 8．Δ=12－8m ，m ＜23且m ≠1 二、9．B 10．B 11．A 12．D 13．C 14．B 15．A 16．D 三、17．解：Δ=〔5m －3n 〕2≥0，∴x=4)32(8)3(3222n mn m n m m n -+---±-=4)35(32n m m n -±-∴x 1=2nm -，x 2=n －2m 18．解：设两个方程的公共根为x 0，那么有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++②①010020020ax x a x x ，由①－②得〔1－a 〕x 0+a －1=0，∴〔1－a 〕〔x 0－1〕=0 由题知，x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0是两个不同的方程． ∴a ≠1，a －1≠0，∴x 0－1=0，x 0=1， 把x 0=1代入①得a=－219．证明：a 2－8a+20=a 2－8a+16+4=〔a －4〕2+4 ∵〔a －4〕2≥0，∴〔a －4〕2+4＞0 ∴无论a 取何值，a 2－8a+20≠0，即无论a 取何值时，原方程一定是一元二次方程． 20．解：由得k ≠0，于是a=k ，b=－〔2k+1〕，c=k ， ∴Δ=b 2－4ac=［－〔2k+1〕］2－4×k ×k=4k+1 〔1〕假设方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0即4k+1＞0，∴k ＞－41， ∴当k ＞－41且k ≠0时， 方程有两个不相等的实数根； 〔2〕假设方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0即4k+1=0，∴k=－41≠0， ∴当k=－41时，方程有两个相等的实数根； 〔3〕假设方程没有实数根，∴Δ＜0即4k+1＜0，∴k ＜－41≠0． ∴当k ＜－41时，方程无实数根． 21．解：∵a=1，b=－〔k+1〕，c=41k∴Δ=b 2－4ac=［－〔k+1〕］2－4×1×41k=k 2+k+1，当Δ=0时，即k 2+k+1=0．而此时，方程k 2+k+1=0的判别式Δk =12－4×1=－3＜0，说明方程k 2+k+1=0无实数根，即对任何实数k ，Δ≠0．故原方程无相等的实数根．22．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴Δ=0即4〔b －a 〕2－4〔ab －2b 〕〔2a －ab 〕=0 ∴b 2－2ab+a 2－〔2a 2b －a 2b 2－4ab+2ab 2〕=0 〔a 2+2ab+b 2〕－〔2a 2b+2ab 2〕+a 2b 2=0 〔a+b 〕2－2ab 〔a+b 〕+a 2b 2=0 ∴〔a+b －ab 〕2=0∴a+b －ab=0∵a ≠0且b ≠0，ab ≠0，上式中两边都除以ab 得a 1+b1=1，故a 1+b1的值是1．23．证明：∵a 、b 、c 是三角形三条边的长， ∴a ＞0、b ＞0、c ＞0且a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b ∵b 2≠0∴方程b 2x 2+〔b 2+c 2－a 2〕x+c 2=0是一元二次方程∵Δ=〔b 2+c 2－a 2〕2－4b 2c 2=〔b 2+c 2－a 2+2bc 〕〔b 2+c 2－a 2－2bc 〕=［〔b+c 〕2－a 2］·［〔b －c 〕2－a 2］ =〔b+c+a 〕〔b+c －a 〕〔b －c+a 〕〔b －c －a 〕=〔a+b+c 〕［〔b+c 〕－a ］·［〔a+b 〕－c ］·［b －〔a+c 〕］ ∵a+b+c ＞0，b+c －a ＞0，a+b －c ＞0，b －〔a －c 〕＜0 ∴〔a+b+c 〕［〔b+c 〕－a ］·［〔a+b 〕－c ］·［b －〔a+c 〕］＜0 即Δ＜0，∴原方程没有实数根．。
九年级上册数学 《21.2.2第1课时一元二次方程的根的判别式》同步习题(含答案)
21.2.2第1课时一元二次方程的根的判别式01基础题知识点1利用根的判别式判别根的情况1．(滨州中考)一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(A) A．4 B．2C．0 D．－42．(丽水中考)下列一元二次方程没有实数根的是(B)A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝03．(山西第二次质量评估)下列一元二次方程有两个相等实数根的是(C) A．x2－4＝0 B．x2＋3x＝0C．x2－2x＋1＝0 D．(x＋2)(x－1)＝04．(吕梁期末)关于x的一元二次方程x2－kx－1＝0的根的情况是(D) A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－4×9×1＝0.∴此方程有两个相等的实数根．(2)16x2＋8x＝－3；解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．(3)3(x 2－1)－5x ＝0.解：化为一般形式为3x 2－5x －3＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值6．(吕梁期中)关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(B)A ．k ≤92B ．k ＜92C ．k ≥92D ．k ＞927．(苏州中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A ．1B ．－1C ．2D ．－28．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实根，则a 的值可以是(D)A ．2B ．1C ．0.5D ．0.259．(益阳中考)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝1，x 2＝－1，那么下列结论一定成立的是(A)A ．b 2－4ac>0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac<0D ．b 2－4ac ≤010．(黔西南中考)已知关于x 的方程x 2＋2x －(m －2)＝0没有实数根，则m 的取值范围是m<1．11．当k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＝－k 2＋2k ＋3：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实根．解：原方程整理为x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k －3＝0，Δ＝(2k －1)2－4(k 2－2k －3)＝4k ＋13.(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4k ＋13>0，解得k>－134. (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k ＋13＝0，解得k ＝－134. (3)当Δ<0时，方程没有实数根，即4k ＋13<0，解得k<－134.易错点 概念不清12．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的最小整数值． 解：因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即(－2)2－4k·(－1)>0，解得k>－1.所以k 的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案．解：不正确．错误原因：∵当k ＝0时，原方程不是一元二次方程，∴k ≠0.∴k 的最小整数值为1.【T12变式】 若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是k ≥－1． 02 中档题13．(攀枝花中考)关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是(C)A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠114．(临汾市襄汾县期末)已知a ，b ，c 为常数，且(a －c)2＞a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一根为0D ．无实数根15．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B)16．(贺州中考)已知关于x 的方程x 2＋(1－m)x ＋m 24＝0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是0．17．若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是k ≤4且k ≠0．18．(岳阳中考)在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为2．19．(汕尾中考)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12. 将a ＝12代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．03综合题20．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0.∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴2a－2b＝0.∴a＝b.∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形．。
最新人教版九年级初三数学上册《一元二次方程的根的判别式》提升练习题
21.2.2公式法第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1利用根的判别式判别根的情况1．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根2．(自贡中考)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．(云南中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．4x2－5x＋2＝0 B．x2－6x＋9＝0C．5x2－4x－1＝0 D．3x2－4x＋1＝04．(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是()A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝05．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3；(3)3(x2－1)－5x＝0.6．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．知识点2 利用根的判别式确定字母的取值7．(温州中考)若关于x 的一元二次方程4x 2－4x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．48．(益阳中考)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m ＞1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m ≤19．(东莞中考)若关于x 的方程x 2＋x －a ＋94＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤2C ．a ＞2D ．a ＜210．(龙口期中)当k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＝－k 2＋2k ＋3.(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实根．中档题11．(内江中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有不相等实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠1 12．(贵港中考)若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．213．(泸州中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是( )14．(烟台中考)等腰三角形三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( )A ．9B．10C．9或10D．8或1015．关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是________．16．(贺州中考)已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．17．(福州中考)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．18．(汕尾中考)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题19．(自贡中考)用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.参考答案基础题1．B 2.D 3.A 4.C5.（1）∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根．（2）化为16x2＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．（3）化为一般形式为：3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．6.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4.∴m 的值为－2或－4.7.B 8.D 9.C10.原方程整理为x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k －3＝0，Δ＝(2k －1)2－4(k 2－2k －3)＝4k ＋13.(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4k ＋13>0，解得k>－134. (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k ＋13＝0，解得k ＝－134. (3)当Δ<0时，方程没有实数根，即4k ＋13<0，解得k<－134. 中档题11．C 12.B 13.B 14.B 15.a ≥1 16.017.∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0.∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 18.(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.代入方程得：x 2＋12x －32＝0.解得x 1＝1，x 2＝－32.∴a 的值为12，方程的另一个根为－32.(2)证明：在x 2＋ax ＋a －2＝0中，Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．综合题19．∵关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，∴a ≠0，∴由原方程，得x 2＋b a x ＝－c a ，等式的两边都加上(b 2a)2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，配方，得(x ＋b 2a )2＝－4ac －b 24a 2，当b 2－4ac>0时，开方，得：x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a，解得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a ，当b 2－4ac ＝0时，解得x 1＝x 2＝－b 2a；当b 2－4ac<0时，原方程无实数根．励志名言：1、学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
【初中数学】人教版九年级上册中考特训（一） 根的判别式作用大(练习题)
人教版九年级上册中考特训（一）根的判别式作用大(353)1.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m<3C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠22.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m>34B.m≥34且m≠2 C.m<34D.m>34且m≠23.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0.(1)求证：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？4.已知关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.k⩾1B.k>1C.k⩾−1D.k>−15.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k⩾1B.k>1C.k<1D.k⩽16.若关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A. B.C. D.7.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.8.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A.(x−1)2=0B.x2+2x−19=0C.x2+4=0D.x2+x+1=09.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2−4x+c=0一定有实数根的是（）A.a>0B.a=0C.c>0D.c=010.若a，b，c为常数，且(a−c)2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为011.已知关于x的方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m−1)2+(3+m)(3−m)+7m−5的值(要求先化简再求值)．12.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．13.定义新运算：对于任意实数m，n，都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：−3☆2=(−3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断关于x的一元二次方程2x2−bx+a=0的根的情况．参考答案1.【答案】:D【解析】:∵方程有实数根，∴22−4×(m−2)×1≥0且m−2≠0，∴m≤3且m≠2.故选D2.【答案】:D【解析】:根据题意得m−2≠0且Δ=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠23(1)【答案】证明：Δ=(m+2)2−8m=m2−4m+4=(m−2)2.∵不论m为何值时，都有(m−2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根(2)【答案】解方程，得x=m+2±√(m−2)22m =m+2±(m−2)2m，x1=2m，x2=1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或m=2(不合题意)，∴m=14.【答案】:D【解析】:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，说明Δ>0，由此得出实数k的取值范围5.【答案】:D【解析】:∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，∴Δ=b2−4ac=4(k−1)2−4(k2−1)=−8k+8⩾0，解得k⩽16.【答案】:B【解析】:∵关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4−4(kb+1)>0，解得kb<0.A项，k>0，b>0，即kb>0，故A不正确；B项，k>0，b<0，即kb<0，故B正确；C项，k<0，b<0，即kb>0，故C不正确；D项，k>0，b=0，即kb=0，故D不正确．故选 B.7(1)【答案】∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，∴△=(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m+5>0，.解得m>−54【解析】:由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，进而求出m的取值范围.(2)【答案】令m=1，此时原方程为x2+3x=0，即x(x+3)=0，解得x1=0，x2=−3.【解析】:结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程.8.【答案】:B9.【答案】:D【解析】:∵一元二次方程有实数根，∴Δ=(−4)2−4ac=16−4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4且a≠0. A项，若a>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项错误；B 项，a=0不符合一元二次方程的定义，故此选项错误；C项，若c>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项错误；D项，若c=0，则ac=0≤4，故此选项正确10.【答案】:B【解析】:∵(a−c)2=a2+c2−2ac>a2+c2，∴ac<0.在关于x的方程ax2+bx+c=0中，b2−4ac⩾−4ac>0，∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根11(1)【答案】证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0，∴Δ=(2m+1)2−4m(m+1)=1>0，∴方程总有两个不相等的实数根【解析】:要证明方程总有两个不相等的实数根，即证明Δ>0(2)【答案】∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0，∴m=0或m=−1.∵(2m−1)2+(3+m)(3−m)+7m−5=4m2−4m+1+9−m2+7m−5=3m2+3m+5.把m=0代入3m2+3m+5，得3m2+3m+5=5；把m=−1代入3m2+3m+5，得3m2+3m+5=3×1−3+5=5.【解析】:把x=0代入方程中求出m的值，然后化简代数式，再将m的值代入所求的代数式并求值12(1)【答案】证明：∵Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=1>0，∴该方程有两个不相等的实数根【解析】:先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义得出结论(2)【答案】∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB≠AC，△ABC的第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解．将x=5代入方程x2−(2k+1)x+k2+k=0，得25−5(2k+1)+k2+k=0，解得k=4或k=5.当k=4时，原方程为x2−9x+20=0，x1=5，x2=4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，x1=5，x2=6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．∴k的值为4或5【解析】:根据题意推导出x=5是原方程的一个解，将其代入原方程，解出k=4或k=5；然后分别验证当k=4或k=5时，求出的边长能否构成等腰三角形.13.【答案】:∵2☆a的值小于0，∴22·a+a=5a<0，解得a<0. ∵在方程2x2−bx+a=0中，Δ=(−b)2−8a≥−8a>0，∴方程2x2−bx+a=0有两个不相等的实数根。
21.2.5关于根的判别式-人教版九年级数学上册练习
人教版九年级数学上册21.2.5关于根的判别式一．选择题（共6小题）1．一元二次方程（x﹣1）2＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（）A．﹣1B．﹣C．0D．14．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定6．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2二．填空题（共6小题）7．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．8．若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是．9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是．10．如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是．x﹣2﹣10123x2+ax+b50﹣3﹣4﹣3011．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．如果关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值．12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是．三．解答题（共3小题）13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．14．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．15．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：．人教版九年级数学上册21.2.5关于根的判别式参考答案一．选择题（共6小题）1．一元二次方程（x﹣1）2＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：方程化为x2﹣4x﹣2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×（﹣2）＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．2．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k≤C．k＞D．k≥【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤．故选：B．3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（）A．﹣1B．﹣C．0D．1【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，解得：，故选：A．4．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．6．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．二．填空题（共6小题）7．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．8．若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是n≥0．【解答】解：原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．∵该方程有实数根，∴△＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，解得：n≥0．故答案为：n≥0．9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【解答】解：由题意可知：△＝4+4k＜0，故答案为：k＜﹣110．如表是学生小明探究关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根的情况，则4a+b的值是﹣11．x﹣2﹣10123x2+ax+b50﹣3﹣4﹣30【解答】解：根据题意得，解得，所以方程为x2﹣2x﹣3＝0，所以4a+b＝4×（﹣2）﹣3＝﹣11．故答案为﹣11．11．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．如果关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值﹣．【解答】解：∵a※x＝ax+x，（ax+x）※x＝（ax+x）x+x，∵（a※x）※x＝，∴（ax+x）x+x＝，整理得（a+1）x2+x﹣＝0，根据题意得a+1≠0且△＝12﹣4（a+1）×（﹣）＝0，∴a＝﹣．故答案为﹣．12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是直角三角形．【解答】解：∵方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，∴△＝0，即（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，c2﹣（a2﹣b2）＝0，c2﹣a2+b2＝0，∴△ABC的形状为直角三角形，故答案为：直角三角形．三．解答题（共3小题）13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程一定有实数根；（2）x＝，∴x1＝1，x2＝﹣，当整数m取±1，±2时，x2为整数，∵方程有两个不相等的整数根，∴整数m为﹣1，1，2．14．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值为4或6．15．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2+5）≥0，即﹣8m﹣16≥0，解得：m＜﹣2，则＝|1﹣m|+|m+2|＝1﹣m﹣m﹣2＝﹣2m﹣1．。
人教版九年级上《21.2.4根的判别式》同步练习(有答案)
人教版数学九年级上册同步练习21.2.4根的判别式一．选择题（共10小题）1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①b=a+c时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根；②若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；③b2﹣5ac＞0时方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②③C．只有①②④D．只有②④2．方程x2﹣3x=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定是否有实数根3．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k≥﹣1且k≠04．方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定5．已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列正确的是（）A．n2﹣4mk＜0 B．n2﹣4mk=0 C．n2﹣4mk≥0 D．n2﹣4mk＞06．若关于x的一元二次方程ax2+（2a﹣1）x﹣2=0 的两根相等，那么a等于（）A．﹣0.5 B．0.5 C．0.5或﹣0.5 D．﹣0.5或07．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜08．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥9．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根10．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3二．填空题（共6小题）11．方程（2x+1）（x﹣2）=5﹣3x化成一般式为，其中常数项是，根的情况为．12．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有；若有两个不相等的实数根，则有；若方程无解，则有．13．方程2x2+3x﹣1=0根的判别式△=；方程的根的情况是．14．方程x2+4=kx有两个相等的实数根，则k=．15．若方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根，则a，b之间的关系是．16．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是．三．解答题（共4小题）17．不解方程，判断方程根的情况：（1）4y（4y﹣6）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．19．当m为何值时，方程x2﹣（2m+2）x+m2+5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根20．已知：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0．（1）不解方程：判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．A．4．A．5．C．6．A．7．A．8．A．9．D．10．D．二．填空题（共6小题）11．4x2+3=0；﹣7；此方程有两个不相等的实数解．12．b2﹣4ac=0；b2﹣4ac＞0；b2﹣4ac＜0．13．17，方程有两个不相等的两个实数根．14．±4．15．b=．16．0．三．解答题（共4小题）17．（1）16y2﹣24y+9=0，△=b2﹣4ac=（﹣24）2﹣4×16×9=576﹣576=0，∴方程4y（4y﹣6）+9=0有两个相等的实数根．（2）2y2+5y+6=0，△=b2﹣4ac=52﹣4×2×6=25﹣48=﹣23＜0，∴方程2y2+5y+6=0没有实数根．（3）2x2﹣3x﹣1=0，△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根．18．（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，解得k＞﹣3；（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．19．解：△=（2m+2）2﹣4（m2+5）=8m﹣16，（1）当△＞0，方程有两个不相等的实数根；即8m﹣16＞0，所以m＞2；（2）当△=0，方程有两个相等的实数根；即8m﹣16=0，所以m=2；（3）当△＜0，方程没有实数根；即8m﹣16＜0，所以m＜2．20．（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5，∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7，∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．。
【人教版】数学九年级全一册一元二次方程根的判别式随堂练习(课件版)
计算判别式的值，判断方程根的情况 【例 1】不解方程，判断方程 x2－3x－1＝0 根的情况．
解：a＝____1____，b＝__－__3__，c＝__－__1__， ∴Δ＝b2－4ac＝___(_－__3_)2_－__4_×__1_×__(－__1_)__ ＝__________1_3__________． ∵Δ___＞___0， ∴方程有两个_不_等__的__实数根．
8.若 a，b，c 分别是三角形的三边，判断方程(a＋b)x2 ＋2cx＋(a＋b)＝0 的根的情况．
解：Δ＝(2c)2 －4(a ＋b )(a ＋b )＝4c 2－4(a ＋b )2 ＝4(c＋a＋b)(c－a－b). ∵a，b，c 分别是三角形的三边， ∴a ＋b ＞c. ∴c＋a ＋b ＞0，c－a －b ＜0. ∴Δ＜0. ∴方程没有实数根．
9.已知关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋2k2＋k ＝0. (1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求 方程的根．
(1)当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：∵关于 x 的一元二次方程 2x2－(4k＋3)x＋ 2k2＋k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(4k＋3)]2－4×2×(2k 2＋k ) ＝16k ＋9＞0. 解得 k＞－ 9 .
16 ∴当 k＞－ 9 时，方程有两个不相等的实数根．
16
(2)在(1)的条件下，若 k 是满足条件的最小整数，求方 程的根．
根据题意，得 k＝0， ∴原方程为 2x2－3x＝0，即 x(2x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝32 . ∴方程的根为 x1＝0，x2＝32 .
证明：a ＝1，b ＝m ，c＝－6， 由题意，得Δ＝m 2－4×1×(－6)＝m 2＋24. ∵m 2≥0，∴m 2＋24＞0，即Δ＞0. ∴方程总有两个不相等的实数根．
部编数学九年级上册专题21.3一元二次方程根的判别式【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】【人教版】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 (1)【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 (2)【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 (4)【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 (7)【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 (8)【题型6 根的判别式与新定义的综合】 (10)【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 (12)【题型8 根的判别式与三角形的综合】 (14)【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，故选：A．【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【变式1-2】（2022春•长沙期末）关于x的一元二次方程x2+9=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣+9＝0，∵Δ＝（﹣2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝x﹣4，x2+x+1＝0，a＝1，b＝1，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，所以原方程无实数根．故选：D．【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】【例2】（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根【分析】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根C．当p＜0时，方程没有实数根D．方程的根的情况与p的值无关【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p＜0时，Δ的正负无法确定，∴无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意；∵方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意．故选B．【变式2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程14x2−(k+2)x+2k2+5k+5=0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣（k+12）2−34＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×14（2k2+5k+5）＝﹣（k+12）2−34＜0，∴方程无实数根．故选：C．【变式2-3】（2022春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝4（k+5）2﹣4（2k2+4k+50）＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，∴方程无实数根．故选：B．【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例可根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．【解答】解：Δ＝b2+4a，若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根；若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B．【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）A．无实数根B．有且只有一个实数根C．两个实数根D．无数个实数根【分析】根据条件得到a+b＝c，a＞0，关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，根据判别式求根的情况即可．【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，∴3a+b﹣a﹣b＞0，∴2a＞0，∴a＞0，∴关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab＝c2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，∴方程有两个实数根，故选：C．【变式3-2】（2022春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．【解答】解：由图象可得k＜0，∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，∵b2≥0，∴b2+4＞0，∵﹣4k＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．【变式3-3】（2022•＞0x−3＜1有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0根的情况为（ ）A．无法判断B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【分析】先解不等式组得到a＜x＜8，再利用不等式组有3个整数解得到4≤a＜8，对于一元二次方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0，计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4a+1，利用a的范围可判断Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况．＞0①x−3＜1②，解①得x＞a，解②得x＜8，∵不等式组有解，∴a＜x＜8，∵不等式组有3个整数解，∴4≤a＜8，∵a≠0，∴方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0为一元二次方程，∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，而4≤＜8，∴Δ＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】【例4】（2022春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1B．m＞0C．m＜1且m≠0D．m＞0且m≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×2＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故选：D．【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤94B．k≥94C．k＞94D．k＜94【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≤9 4．故选：A．【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞﹣9B．k＞﹣9且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，解得k≥﹣1且k≠0，即k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．故选：C．【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（ ）A．0≤a≤1B．o≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1【分析】利用一次函数的性质得到a≥0，再判断Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵直线y＝x﹣a不经过第二象限，∴﹣a≤0，∴a≥0，当a＝0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元一次方程，解为x=1 2，当a＞0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，∴a≤1．∴0≤a≤1，故选：A．【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】【例5】（2022•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）A．﹣1B．0C．﹣1或0D．4或1【分析】先把方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，解得m＝﹣1．故选：A．【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+1=0有两个相等的实数根，则a，b 的值可能是（ ）A．a＝﹣1，b＝﹣4B．a＝0，b＝0C．a＝1，b＝2D．a＝1，b＝4【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b﹣4a＝0，一元二次方程二次项系数不为0，可得a≠0，二次根式有意义可得b≥0，即可进行判断．【解答】解：根据题意，得Δ＝b﹣4a＝0，a≠0，b≥0，∵b＝﹣4＜0，故A选项不符合题意；∵a＝0，故B选项不符合题意；当a＝1时，b﹣4a＝0，解得b＝4，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）A．.﹣3B．.3C．2D．﹣2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a21a，再代入a2+1＝3a计算即可．【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a21a=3aa=3．故选：B．【变式5-3】（2022春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0【分析】由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0可得出x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出a（x+2）2＝0（a≠0），此题得解．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．【题型6 根的判别式与新定义的综合】【例6】（2022•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆（2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）A．有一个实根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先根据新运算得到[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，再把方程化为一般式得到3x2﹣4x＝0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x⋆（2x﹣1）＝﹣3，∴[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，整理得3x2﹣4x＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×0＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；当a≠0时，∵关于x的方程a※x＝0有实数根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故选：D．【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤54且k≠0B．k≤54C．k＜54且k≠0D．k≥54【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤54且k≠0．故选：A．【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵Δ＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝5k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】【例7】（2021秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4（m﹣1）2+4＞0，即可证得结论．【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4，∵4（m﹣1）2≥0，∴4（m﹣1）2+4＞0，∴Δ＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根．【变式7-1】（2021秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入方程x2+px+q+1＝0可得到p、q的关系式；（2）先计算根的判别式得到Δ＝p2﹣4q，再消去q得到Δ＝p2+8p+20，然后利用配方法证明Δ＞0，从而得到结论．【解答】（1）解：把x＝2代入原式得4+2p+q+1＝0，所以q＝﹣2p﹣5；（2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5）＝p2+8p+20＝p2+8p+16+4＝（p+4）2+4，而（p+4）2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【变式7-2】（2021秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝4p2+9，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x由于一元二次方程有整数解，3或5或7等，然后分别计算出对应的p的值即可．【解答】（1）证明：原方程整理为：x2﹣5x+4﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4（4﹣p2）＝4p2+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：x∵一元二次方程有整数解，3或5或7等，=3时，p＝0；=5时，p＝2；=7时，p=【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0Δ＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，即：n2＝﹣8m．以下答案不唯一，如：当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1．【题型8 根的判别式与三角形的综合】【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】分a＝b及a≠b两种情况考虑，当a＝b时，由方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝0，解之即可得出m的值；当a≠b时，可得出x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，代入x＝3即可求出m的值，综上，即可得出结论．【解答】解：当a＝b时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，∴m＝4；当a≠b时，x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，∴32﹣4×3+m＝0，∴m＝3．综上，m的值为4或3，即满足上述条件的m的值有2个．故选：B．【变式8-1】（2022春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【变式8-2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x=2m±22=m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；综上所述，△ABC的周长为13或17．【变式8-3】（2021秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．【分析】分a为腰及a为底两种情况考虑：①若a＝6是三角形的腰，将x＝6代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周长；②若a＝6是三角形的底边，利用根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不符合题意，需舍去．综上即可得出此三角形的周长．【解答】解：①若a＝6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6．将x＝6代入原方程得：62﹣（3m+1）×6+2m2+2m＝0，解得：m1＝3，m2＝5．当m＝3时，原方程可化为x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6，∴此时三角形三边长分别为4，6，6，∴三角形的周长为4+6+6＝16；当m＝5时，原方程可化为x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10，此时三角形三边长分别为6，6，10，∴三角形的周长为6+6+10＝22．②若a＝6是三角形的底边，则b、c为腰且b＝c，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4×1×（2m2+2m）＝0，解得：m1＝m2＝1，∴原方程可化为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4＜6，∴不能构成三角形，舍去．综上所述，此三角形的周长为16或22．。
21.2.2 一元二次方程 根的判别式 同步练习 2021--2022学年人教版九年级数学上册
21.2.3 一元二次方程根的判别式一、选择题1.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是()A. k<14B. k≤14C. k>4D. k≤14且k≠02.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0的根的情况一定是()A. 有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不等的实数根D. 无实数根3.关于x的方程x2−x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根4.一元二次方程4x2−4x+1=0根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 根的情况无法确定5.关于x的一元二次方程x2−kx−6=0的根的情况为()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定根的情况6.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x−3=0B. x2+2x+1=0C. x2−x+1=0D. x2=17.关于方程x2−4√2x+9=0的根的情况，下列说法正确的是()A. 有两个相等实根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根8.关于x的一元二次方程(k−3)x2−√3−kx+14=0有两个实数根，则k的取值范围是()A. k≥3B. k≤3C. k>3D. k<39.关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个10.已知b2−4ac>0，下列方程①ax2+bx+c=0；②x2+bx+ac=0；③cx2+bx+a=0.其中一定有两个不相等的实数根的方程有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题11.已知关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．12.若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．13.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是______．14.若关于x的方程(1−m2)x2+2mx−1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是______．15.若关于x的方程x2+2√kx−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.16.若a满足不等式组{2a−1≤13−a2⟩1，且关于x的一元二次方程(a−2)x2−(2a−1)x+a+12=0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为_______________三、计算题（本大题共6小题，共36.0分）17.不解方程，判断下列方程的解的情况：(1)x2−5x−2=0；(2)16y2+9=24y；(3)3x2=2x−5)=0.求证：无论k取什么实数值，方程总有18.已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12实数根．19.设方程|x2+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．20.已知关于x的一元二次方程x2−(n+3)x+3n=0．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．21.关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．22.若关于x的一元二次方程(a−2)x2−2ax+a+1=0没有实数根，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴△=[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0，．解得：k≤14故选：B．根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵△=(m+3)2−4×3m=m2+6m+9−12m=m2−6m+9=(m−3)2≥0，所以方程有两个实数根．故选：A．计算判别式的值，利用配方法得到△=(m−3)2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．【解析】解：∵△=b2−4ac=1−4=−3<0，∴方程无实数根．故选：C．判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．4.【答案】A【解析】解：△=16−4×1×4=0，故选：A．根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】解：∵△=(−k)2−4×1×(−6)=k2+24>0，∴一元二次方程x2−kx−6=0有两个不相等的实数，故选：A．先计算△=(−k)2−4×1×(−6)=k2+24>0，即可判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．【解析】解：A、这里a=1，b=−2，c=−3，∵△=b2−4ac=16>0，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；B、这里a=1，b=2，c=1，∵△=b2−4ac=0，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；C、这里a=1，b=−1，c=1，∵△=b2−4ac=−3<0，∴方程没有实数根，符合题意；D、方程即为x2−1=0，这里a=1，b=0，c=−1，∵△=b2−4ac=4>0，∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；故选：C．找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．7.【答案】C【解析】解：∵△=(−4√2)2−4×9=−4<0，∴方程没有实数根．故选：C．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零、根的判别式△≥0以及被开方数非负，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k−3)x2−√3−kx+1414=0有两个实数根，∴{k−3≠0△=(−√3−k)2−4×14(k−3)≥03−k≥0,解得：k<3．故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．根据公式法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．【解答】解：m2x2−8mx+12=0，△=(−8m)2−4m2×12=16m2，∴x=8m±√16m22m2=8m±4m2m2，∴x1=6m ，x2=2m，∵关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，∴6m >0，2m>0，∴m=1或2或3或6，则满足条件的m的值的个数是4个，故选：B．10.【答案】B【解析】解：当a=0时，bx+c=0为一元一次方程，没有两个实根，不合题意；当c=0时，bx+a=0为一元一次方程，也没有两个实根，不合题意；且a≠0时，ax2+bx+c=0为一元二次方程，当c≠0时，cx2+bx+a=0为一元二次方程，此时，由b2−4ac>0，得到两方程一定有两个不相等的实数根，而x2+bx+ac=0为一元二次方程，∵b2−4ac>0，∴一定有两个相等的实数根，∴1个方程一定有2个不相等的实数根，故选B．只要看各个方程根的判别式△=b2−4ac的值的符号是否大于0就可以了．一定有两个不相等的实数根的一元二次方程就是判别式的值大于0的方程．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．11.【答案】a>−1且a≠03【解析】解：由关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根得△=b2−4ac=4+4×3a>0，解得a>−13且a≠0则a>−13且a≠0故答案为a>−13由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2−4ac>0即可进行解答本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△<0时，方程没有实数根．12.【答案】k≠0且k≤1【解析】解：由题意可知：△=4−4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≠0且k≤1，故答案为：k≠0且k≤1；根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．13.【答案】m≤3且m≠2【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，∴m−2≠0且△≥0，即22−4×(m−2)×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故答案为m≤3且m≠2．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义得到m−2≠0且△≥0，即22−4×(m−2)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．14.【答案】m=1或m>2【解析】解：当1−m2=0时，m=±1．当m=1时，可得2x−1=0，x=12，符合题意；当m=−1时，可得−2x−1=0，x=−12，不符合题意；当1−m2≠0时，(1−m2)x2+2mx−1=0，[(1+m)x−1][(1−m)x+1]=0，∴x1=11+m ，x2=−11−m．∵关于x的方程(1−m2)x2+2mx−1=0的所有根都是比1小的正实数，∴0<11+m<1，解得m>0，0<−11−m<1，解得m>2．综上可得，实数m的取值范围是m=1或m>2．故答案为：m=1或m>2．分1−m2=0，1−m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1−m2=0，1−m2≠0两种情况讨论求解．15.【答案】k>−1【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0时方程有两个不相等的实数根；(2)△=0时方程有两个相等的实数根；(3)△<0时方程没有实数根.由关于x的一元二次方程kx2+2√kx−1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2√kx−1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(2√k)2−4×1×(−1)=4k+4>0，∴k>−1．故答案为k>−1．16.【答案】−3【解析】【分析】本题考查一元二次方程的判别式，以及一元一次不等式的解法，首先解不等式求出解集，再根据方程有实数根得出判别式Δ=b2−4ac≥0，求出a的取值范围，然后综合得出a的整数值，再求和即可．【解答】解：不等式组{2a−1⩽1①3−a2>1②，解不等式①，得a≤1，解不等式②，得a<1，∴不等式组的解集为a<1；∵一元二次方程(a−2)x2−(2a−1)x+a+12=0有实数根，∴Δ=b2−4ac=(2a−1)2−4(a−2)×(a+12)≥0且a−2≠0，解得a≥−2.5且a≠2，∴a的取值范围为−2.5≤a<1，∴整数a的值有−2，−1，0，∴满足条件的实数a的所有整数和为−3．故答案为−3．17.【答案】解：(1)a=1，b=−5，c=−2，∴△=(−5)2−4×1×(−2)=33>0，∴原方程有两个不相等的实数根；(2)将原方程化为标准形式，得16y2−24y+9=0a=16，b=−24，c=9，∴△=(−24)2−4×16×9=0，∴原方程有两个相等的实数根；(3)将原方程化为标准形式，得3x 2−2x +5=0a =3，b =−2，c =5，∴△=(−2)2−4×3×5=−56<0，∴原方程无实数根．【解析】本题考查一元二次方程的判别式，掌握判别式的意义是解题关键．(1)直接确定a 、b 、c 的值，然后求出的值，再分析根的情况即可；(2)(3)先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值，进而分析根的情况．18.【答案】证明：∵关于x 的方程x 2−(2k +1)x +4(k −12)=0中，∴△=[−(2k +1)]2−4×4(k −12)=4(k −32)2≥0，∴无论k 取什么实数，方程总有实数根．【解析】通过配方法得到一个完全平方式，证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答．此题考查了根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．19.【答案】解：∵|x 2+ax|=4，∴x 2+ax −4=0①或x 2+ax +4=0②，方程①②不可能有相同的根，而原方程有3个不相等的实数根，∴方程①②中有一个有等根，而△1=a2+16>0，∴△2=a2−16=0，∴a=±4，当a=4时，原方程为x2+4x−4=0或x2+4x+4=0，原方程的解为：x=−2，−2±2√2；当a=−4时，原方程为x2−4x−4=0或x2−4x+4=0，原方程的解为：x=2，2±2√2；【解析】首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．由此即可确定a的值，同时也可以确定相应的3个根．此题主要考查了一元二次方程的解、公式法解一元二次方程、一元二次方程的判别式与根的关系及绝对值的定义，综合性比较强，对于学生分析问题、解决问题的能力要求比较高，解题时首先确定绝对值符号，然后利用判别式确定a的值，然后解方程即可解决问题．20.【答案】(1)证明：∵Δ=(n+3)2−12n=(n−3)2，∵(n−3)2≥0，∴方程有两个实数根；(2)解：∵方程有两个不相等的整数根∴n可取0，则方程化为x2−3x=0，因式分解为x(x−3)=0∴x1=0，x2=3．【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．(1)计算判别式的值得到△=(n−3)2，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而根据判别式的意义可得到结论；(2)n可取0，方程化为x2−3x=0，然后利用因式分解法解方程．21.【答案】解：(1)根据题意得△=(−5)2−4k≥0，；解得k≤254(2)∵k≤25，4∴k的最大整数为6，∴方程x2−5x+k=0变形为x2−5x+6=0，解得x1=2，x2=3，∵一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−55x+k=0有一个相同的根，∴当x=2时，4(m−1)+2+m−3=0，解得m=1；而m−1≠0，所以m=1舍去，当x=3时，9(m−1)+3+m−3=0，，解得，m=910∴m的值为9．10【解析】(1)根据△≥0，解不等式即可；(2)求出k=6，解方程求出x=2或x=3，代入方程求出m的值即可．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．22.【答案】解：∵关于x的一元二次方程(a−2)x2−2ax+a+1=0没有实数根，∴(−2a)2−4(a−2)(a+1)=4a+8<0，即a<−2．∴a<0.∵ax+3>0即ax>−3，∴x<−3．a(a<−2)∴所求不等式的解集为x<−3a【解析】本题主要考查了根的判别別式的知识，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根(3)当△<0时，方程没有实数根．由方程没有实数根，可得△<0，建立关于a的不等式，求出的取值范围。
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九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教
版
(教材P17习题21.2第13题)
无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0，
Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，
所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．
一判断一元二次方程根的情况
方程x2＋7＝8x的根的情况为(A)
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．方程没有实数根
对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根
D．无法确定
已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.
∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，
∴原方程为x 2－4x ＋3＝0，
解这个方程得x 1＝1，x 2＝3，
∴方程的另一个根为x ＝3.
①当1，3为直角边长时，斜边长为12＋32＝10， ∴直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10.
②当3为斜边长时，另一条直角边长为32－12＝22，∴直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋22.
二 确定一元二次方程中字母系数的值
关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( D )
A ．0
B ．8
C ．4±2
D ．0或8
【解析】 依题意得Δ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，∴m 1＝0，m 2＝8.
已知关于x 的一元二次方程x 2－23x －k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__－3__．
【解析】 ∵关于x 的一元二次方程x 2－23x －k ＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(－23)2－4×(－k )＝12＋4k ＝0，
解得k ＝－3.
已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，求ab2（a －2）2＋b2－4
的值． 【解析】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b 2－4a ＝0，可得出a ﹨b 之间的关
系式，然后将ab2（a －2）2＋b2－4
化简后，将a ﹨b 之间的关系式代入即可求出这个分式的值． 解：∵ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，
∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0.
∴ab2（a －2）2＋b2－4＝ab2a2－4a ＋4＋b2－4
＝ab2a2－4a ＋b2＝ab2a2＝b2a
＝4. 三 确定一元二次方程中字母系数的取值范围
若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝ 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( A )
A ．k <1
B ．k >1
C ．k ＝1
D ．k ≥0
若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( B )
A ．m ≤－1
B ．m ≤1
C ．m ≤4
D ．m ≤12
若关于x 的一元二次方程kx 2＋4x ＋3＝0有实根，则k 的非负整数值是__1__.
【解析】 根据题意得：Δ＝16－12k ≥0，且k ≠0，解得k ≤43
，则k 的非负整数值为1. 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根，求k 的取值范围．
解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，
整理，得－8k ＋4≥0，解得k ≤12
.
四 确实一元二次方程中字母系数的取值范围 已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( C )
A ．k >43且k ≠2
B ．k ≥43
且k ≠2 C ．k >34且k ≠2 D ．k ≥34
且k ≠2 【解析】 ∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k ≠2.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，∴(2k ＋1)2－4(k －2)2＞0，
∴(2k ＋1－2k ＋4)(2k ＋1＋2k －4)＞0，
∴5(4k －3)＞0，k ＞34，故k ＞34
且k ≠2. 关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋(k －1)＝0有实数根，则k 的取值范围是__k ≥－18
且k ≠0__． 如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．
解：∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，∴m ≠0，原方程是关于x 的一元二次方程，
∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)
＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0，
∴m ＞4.
对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0，
当m ＝5时，方程有一个实数根；
当m ≠5时，Δ＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝4(3m ＋1)．∵m ＞4，∴3m ＋1＞13， ∴Δ＝4(3m ＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，
∴当m ＝5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时，此方程有两个不相等的实数根．
关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根．
(1)求a 的最大整数值；
(2)当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2－32x －7x2－8x ＋11
的值． 解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，
∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0，解得a ≤709
且a ≠6. ∴a 的最大整数值为7.
(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.
∵a ＝1，b ＝－8，c ＝9，
∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，
∴x ＝－（－8）±28
2，即x ＝4±7，
∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7.
②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，
∴x 2－8x ＝－9.
∴2x 2－32x －7x2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11
＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x )＋72＝2×(－9)＋72
＝－292
.。