九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版

九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教

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(教材P17习题21.2第13题)

无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，

所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．

【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．

一判断一元二次方程根的情况

方程x2＋7＝8x的根的情况为(A)

A．方程有两个不相等的实数根

B．方程有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．方程没有实数根

对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根

B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根

D．无法确定

下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根

B．方程有两个相等的实数根

C．方程没有实数根

D．无法确定

已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．

证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.

∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根．

已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；

(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．

解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，

∴方程恒有两个不相等的实数根；

(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，

∴原方程为x 2－4x ＋3＝0，

解这个方程得x 1＝1，x 2＝3，

∴方程的另一个根为x ＝3.

①当1，3为直角边长时，斜边长为12＋32＝10， ∴直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10.

②当3为斜边长时，另一条直角边长为32－12＝22，∴直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋22.

二 确定一元二次方程中字母系数的值

关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( D )

A ．0

B ．8

C ．4±2

D ．0或8

【解析】 依题意得Δ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，∴m 1＝0，m 2＝8.

已知关于x 的一元二次方程x 2－23x －k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为__－3__．

【解析】 ∵关于x 的一元二次方程x 2－23x －k ＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，即(－23)2－4×(－k )＝12＋4k ＝0，

解得k ＝－3.

已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，求ab2（a －2）2＋b2－4

的值． 【解析】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b 2－4a ＝0，可得出a ﹨b 之间的关

系式，然后将ab2（a －2）2＋b2－4

化简后，将a ﹨b 之间的关系式代入即可求出这个分式的值． 解：∵ax 2＋bx ＋1＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，

∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即b 2－4a ＝0.

∴ab2（a －2）2＋b2－4＝ab2a2－4a ＋4＋b2－4

＝ab2a2－4a ＋b2＝ab2a2＝b2a

＝4. 三 确定一元二次方程中字母系数的取值范围

若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＝ 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( A )

A ．k <1

B ．k >1

C ．k ＝1

D ．k ≥0

若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( B )

A ．m ≤－1

B ．m ≤1

C ．m ≤4

D ．m ≤12

若关于x 的一元二次方程kx 2＋4x ＋3＝0有实根，则k 的非负整数值是__1__.

【解析】 根据题意得：Δ＝16－12k ≥0，且k ≠0，解得k ≤43

，则k 的非负整数值为1. 已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根，求k 的取值范围．

解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，

整理，得－8k ＋4≥0，解得k ≤12

.

四 确实一元二次方程中字母系数的取值范围 已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( C )

A ．k >43且k ≠2

B ．k ≥43

且k ≠2 C ．k >34且k ≠2 D ．k ≥34

且k ≠2 【解析】 ∵方程为一元二次方程，∴k －2≠0，即k ≠2.

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，∴(2k ＋1)2－4(k －2)2＞0，

∴(2k ＋1－2k ＋4)(2k ＋1＋2k －4)＞0，

∴5(4k －3)＞0，k ＞34，故k ＞34

且k ≠2. 关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋(k －1)＝0有实数根，则k 的取值范围是__k ≥－18

且k ≠0__． 如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．

解：∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根，∴m ≠0，原方程是关于x 的一元二次方程，

∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)

＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0，

∴m ＞4.

对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0，

当m ＝5时，方程有一个实数根；

当m ≠5时，Δ＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝4(3m ＋1)．∵m ＞4，∴3m ＋1＞13， ∴Δ＝4(3m ＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，

∴当m ＝5时，方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时，此方程有两个不相等的实数根．

关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根．

(1)求a 的最大整数值；

(2)当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2－32x －7x2－8x ＋11

的值． 解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，

∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0，解得a ≤709

且a ≠6. ∴a 的最大整数值为7.

(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.

∵a ＝1，b ＝－8，c ＝9，

∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，

∴x ＝－（－8）±28

2，即x ＝4±7，

∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7.

②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，