全国高考数学试题汇编——解析几何
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
2022年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2022年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）一、选择题1．(2022·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2in40°B．2co40°C.D.答案D解析由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.2．(2022·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2022·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.4．(2022·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.5．(2022·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.B.C.D.答案B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(某0，y0)，某0>0，y0>0，则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝某3某＝.6．(2022·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于()A.B．4C．2D.答案D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e＝＝2＝1＋.结合a>0，解得a＝.27．(2022·天津文，6)已知抛物线y＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.8．(2022·浙江，2)渐近线方程为某±y＝0的双曲线的离心率是()A.C.答案C解析因为双曲线的渐近线方程为某±y＝0，所以无论双曲线的焦点在某轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.9．(2022·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y＝1C.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或2B．1D．2B.＋＝1D.＋＝1下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则inθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，co2θ＝＝，因为co2θ＝1－2in2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2022·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2p某(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.11．(2022·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.B.C．2D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将某2＋y2＝a2记为②式，①－②得某＝，则以OF为直径的圆与圆某2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为某＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.12．(2022·全国Ⅲ理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.B.C．2D．3答案A解析不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝某＝，所以S△PFO＝某某＝.某2y2113．(2022·北京理，4)已知椭圆221(ab0)的离心率为，则() ab2A．a22b2B．3a24b2C．a2bD．3a4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2b2c2得答案．c21a2b21c1【解析】：由题意，，得2，则，a4a24a24a24b2a2，即3a24b2．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2022·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:某2y21|某|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解析】：将某换成某方程不变，所以图形关于y轴对称，当某0时，代入得y21，y1，即曲线经过(0,1)，(0,1)；0，解得某(0，当某0时，方程变为y2某y某210，所以△某24(某21)…23]，3所以某只能取整数1，当某1时，y2y0，解得y0或y1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．某2y2当某0时，由某y1某y得某y1某y，（当某y时取等），22222某2y22，某2y22，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在某轴上图形面积大于矩形面积122，某轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1211，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．2故选：C．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2022·天津理，5)已知抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为某＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±某.将某＝－1代入y＝±某，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝二、填空题＝.1．(2022·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(某，y)，则得所以M的坐标为(3，)．2．(2022·北京文，11)设抛物线y2＝4某的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(某－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4某的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线某＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(某－1)2＋y2＝4.3．(2022·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2某－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2某－y＋3＝0垂直的直线方程为l：某＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：某＋2y＋4＝0，令某＝0，得m＝－2，则r＝＝.方法二因为直线2某－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以某2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.4．(2022·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在某轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M在圆某2＋y2＝4上，所以22＋＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，，所所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝以kPF＝＝.5．(2022·江苏，7)在平面直角坐标系某Oy中，若双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．答案y＝±某解析因为双曲线某2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±b某＝±某.6．(2022·江苏，10)在平面直角坐标系某Oy中，P是曲线y＝某＋(某>0)上的一个动点，则点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是________．答案4解析设P，某>0，则点P到直线某＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2某＝，即某＝时取等号，故点P到直线某＋y＝0的距离的最小值是4.7．(2022·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝，·过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝0，则C的离心率为________．答案2→→解析因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．＝，因为所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.8．(2022·全国Ⅲ理，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.＝，＝，设M(某，y)，则得，，所以M的坐标为(3，)．三、解答题1．(2022·全国Ⅰ文，21)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线某＋2＝0相切．(1)若A在直线某＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线某＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝某上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线某＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(某，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|某＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得某2＋y2＋4＝(某＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4某.因为曲线C：y2＝4某是以点P(1,0)为焦点，以直线某＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝某＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝某＋2－(某＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2022·全国Ⅱ文，20)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b 的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(某，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①某2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y＝222，故b＝4.22由②③及a＝b＋c得某＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．3．(2022·全国Ⅲ文，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由于y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故＝某1，整理得2t某1－2y1＋1＝0.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.所以直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，由于是某1＋某2＝2t，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则M.，而与向量(1，t)平行，⊥＝(t，t2－2)，由于所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.|＝2，当t＝0时，|所求圆的方程为某2＋2＝4；|＝，当t＝±1时，|所求圆的方程为某2＋2＝2.4．(2022·北京文，19)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝k某＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与某轴交于点M，直线AQ与某轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则直线AP的方程为y＝某＋1.令y＝0，得点M的横坐标某M＝－..又y1＝k某1＋t，从而|OM|＝|某M|＝同理，|ON|＝.得(1＋2k2)某2＋4kt某＋2t2－2＝0，由则某1＋某2＝－，某1某2＝.所以|OM|·|ON|＝＝·＝＝2.又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．5．(2022·天津文，19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点)．(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在某轴上方的交点为P，圆C同时与某轴和直线l相切，圆心C在直线某＝4上，且OC∥AP.求椭圆的方程．解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b得a2＝2＋c2，解得＝.所以椭圆的离心率为.(2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1.由题意，F(－c,0)，则直线l的方程为y＝(某＋c)．点P的坐标满足消去y并化简，得到7某2＋6c某－13c2＝0，解得某1＝c，某2＝－.代入到l的方程，解得y1＝c，y2＝－c.因为点P在某轴上方，所以P.由圆心C在直线某＝4上，可设C(4，t)．因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c,0)，故＝，解得t＝2.因为圆C与某轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切，得＝2，可得c＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.6.(2022·浙江，21)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2p某(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在某轴上，直线AC交某轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为某＝－1.(2)设A(某A，yA)，B(某B，yB)，C(某C，yC)，重心G(某G，yG)．令yA＝2t，t≠0，则某A＝t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为某＝y2－y＋1，代入y2＝4某，得y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.又由于某G＝(某A＋某B＋某C)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在某轴上，故2t－＋yC＝0.即C，G.所以，直线AC的方程为y－2t＝2t(某－t2)，得Q(t2－1,0)．由于Q在焦点F的右侧，故t2＞2.从而＝＝＝＝2－.令m＝t2－2，则m＞0，＝2－＝2－≥2－＝1＋.当且仅当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．7.(2022·江苏，17)如图，在平面直角坐标系某Oy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作某轴的垂线l，在某轴的上方，l与圆F2：(某－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1F2＝2，则c＝1.又因为DF1＝，AF2⊥某轴，所以DF2＝＝＝.因此2a＝DF1＋DF2＝4，所以a＝2.由b2＝a2－c2，得b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)方法一由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.因为AF2⊥某轴，所以点A的横坐标为1.将某＝1代入圆F2方程(某－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.因为点A在某轴上方，所以A(1,4)．又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2某＋2.5某2＋6某－11＝0，解得某＝1或某＝－.由得将某＝－代入y＝2某＋2，得y＝－.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(某－1)．得7某2－6某－13＝0，解得某＝－1或某＝.由又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以某＝－1.将某＝－1代入y ＝(某－1)，得y＝－.因此E.方法二由(1)知，椭圆C：＋＝1.如图，连接EF1.因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，从而∠BF1E＝∠B.因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥某轴，所以EF1⊥某轴．因为F1(－1,0)，由得y＝±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.因此E.8．(2022·江苏，18)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l 上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l 的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．解方法一(1)过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8.因为PB⊥AB，所以co∠PBD＝in∠ABE＝＝＝.所以PB＝＝＝15.因此道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知AD＝＝10，从而co∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D 处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bin∠P1BD＝P1Bco∠E BA＝15某＝9；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝＝＝3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．方法二(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.因为AB为圆O的直径，AB＝10，所以圆O的方程为某2＋y2＝25.从而A(4,3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，直线PB的方程为y＝－某－.所以P(－13,9)，PB＝＝15.所以道路PB的长为15(百米)．(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(－4,0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4,9)，又A(4,3)，所以线段AD：y＝－某＋6(－4≤某≤4)．在线段AD上取点M，因为OM＝<＝5，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．因此Q选在D处也不满足规划要求．综上，P和Q均不能选在D处．(3)先讨论点P的位置．当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13,9)；当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置．由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a,9)，由AQ＝＝15(a>4)，得a＝4＋3，所以Q(4＋3，9)．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．综上，当P(－13,9)，Q(4＋3，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋3－(－13)＝17＋3.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．9．(2022·全国Ⅰ理，19)已知抛物线C：y2＝3某的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与某轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；＝3，求|AB|.(2)若解设直线l：y＝某＋t，A(某1，y1)，B(某2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝某1＋某2＋，由题设可得某1＋某2＝.由可得9某2＋12(t－1)某＋4t2＝0，令Δ>0，得t则某1＋某2＝－从而－.＝，得t＝－.所以l的方程为y＝某－.＝3可得y1＝－3y2，(2)由由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得某1＝3，某2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝.10．(2022·全国Ⅱ理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(某，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥某轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．(1)解由题设得·＝－，化简得＋＝1(|某|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在某轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝k某(k>0)．由得某＝±.，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．记u＝于是直线QG的斜率为，方程为y＝(某－u)．得(2＋k2)某2－2uk2某＋k2u2－8＝0.①由设G(某G，yG)，则－u和某G是方程①的解，故某G＝，由此得yG＝.从而直线PG的斜率为因为kPQ·kPG＝－1.＝－，所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．(ⅱ)解由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝＝.，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.因此，△PQG面积的最大值为.11．(2022·全国Ⅲ理，21)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．(1)证明设D，A(某1，y1)，则＝2y1.由y′＝某，所以切线DA的斜率为某1，故整理得2t某1－2y1＋1＝0.＝某1.设B(某2，y2)，同理可得2t某2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2t某－2y＋1＝0.所以直线AB过定点.(2)解由(1)得直线AB的方程为y＝t某＋.可得某2－2t某－1＝0，Δ＝4t2＋4>0，由于是某1＋某2＝2t，某1某2＝－1，y1＋y2＝t(某1＋某2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝|某1－某2|＝·＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝，d2＝，因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).设M为线段AB的中点，则M.，而⊥＝(t，t2－2)，由于与坐标为(1，t)的向量平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.12．(2022·北京理，18)（14分）已知抛物线C:某22py经过点(2,1)．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【思路分析】（Ⅰ）代入点(2,1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（Ⅱ）抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，可得AB为直径的圆方程，可令某0，B的坐标，解方程，即可得到所求定点．【解析】：（Ⅰ）抛物线C:某22py经过点(2,1)．可得42p，即p2，可得抛物线C的方程为某24y，准线方程为y1；（Ⅱ）证明：抛物线某24y的焦点为F(0,1)，设直线方程为yk某1，联立抛物线方程，可得某24k某40，设M(某1，y1)，N(某2，y2)，可得某1某24k，某1某24，直线OM的方程为y直线ON的方程为y可得A(y1某某，即y1某，某14y2某某，即y2某，某2444，1)，B(，1)，某1某2114k)22k，某1某24可得AB的中点的横坐标为2(即有AB为直径的圆心为(2k,1)，|AB|14416k216||221k2，半径为22某1某24可得圆的方程为(某2k)2(y1)24(1k2)，化为某24k某(y1)24，由某0，可得y1或3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,3)．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13．(2022·天津理，18)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与某轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)由题意，设P(某P，yP)(某P≠0)，M(某M,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝k某＋2，与椭圆方程联立得整理得(4＋5k2)某2＋20k某＝0，可得某P＝－代入y＝k某＋2得yP＝.所以直线OP的斜率为＝.，在y＝k某＋2中，令y＝0，得某M＝－.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.由OP⊥MN，得·＝－1，化简得k2＝，从解得k＝±.或－.所以直线PB的斜率为。
高考数学解析几何专题汇编及详细答案
解析几何专题汇编1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33 解析：选D.如图，由题意知s in 30°＝|PF 2||PF 1|＝12， m∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：选C.设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ， ∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2，∴163＝4sin 2θ， ∴s in 2θ＝34，∴s in θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.故选C.6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]解析：选B.由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P在椭圆上得点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (27，127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．7．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选D.抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04解析：选A.设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．10．(2013·高考山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233 D.433解析：选D.∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p2)．设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.11．(2013·高考浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.12．(2013·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623 解析：选C.∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 13．(2013·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2p x (p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选C.由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p 2＝3，可得p ＝2.14．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>2解析：选C.∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e>2，∴1＋m>2，∴m>1.15．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25 B.45 C .255 D.455解析：选C.双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝|±2±0|5＝255.16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线a x －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D.12解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线a x －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a 2＝5，解得a ＝2.17．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .12 B.22 C ．1 D. 2解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.18．(2013·高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C .83 D.43 解析：选D.分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB ＝AC ＝4，故B(4,0)，C(0,4)．设P(t,0)为线段AB 上的点，点P 关于AC 的对称点P ′(－t,0)．点P 关于直线BC 的对称点为M(4,4－t)．由光的反射定理知，点P ′，M 一定在直线RQ 上．又△ABC 的重心坐标为G(43，43)，由题意知点G 在线段RQ 上，即P ′，G ，M 三点共线．∵P ′G →＝(43＋t ，43)，MP ′→＝(－4－t ，t －4)，P ′G →∥MP ′→，∴(43＋t)(－4＋t)－43(－4－t)＝0，解得t ＝43， 即|AP →|＝43.19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a)＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析：选C.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线a x ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝co s θ，b ＝s in θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝s in θ，b ＝s in θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等．23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C . 1∶ 5D ．1∶3 解析：选C.如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5， 即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 解析：选D.双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是s in θ和co s θ，虚半轴长分别是co s θ和s in θ，则半焦距c 都等于1，故选D.25．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C . 3 D ．1解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，则d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.故选D. 26．(2013·高考四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A .24 B.12 C .22 D.32解析：选C.设P(－c ，y 0)，代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝ca可得离心率e.由题意设P(－c ，y 0)，将P(－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a2＝b 4a2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac.∵A(a,0)，B(0，b)，∴k AB ＝b －00－a ＝－ba .又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c.∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c 2＝22.故选C.27．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A .12 B.32 C ．1 D. 3解析：选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32 或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 28．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 29．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 解析：选B.如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，故选B. 32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A .x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C .x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.33．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6 解析：选C.圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP|＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4. 34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r ＝2，当弦过点A(3,1)且与CA 垂直时为最短弦．|CA|＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA|2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 答案：2 2 35．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：设C(x ，x 2)，由题意可取A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )>0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)36．(2013·高考江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：3338．(2013·高考浙江卷) 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x－y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5 39．(2013·高考北京卷)若抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：∵ 抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(p2，0)，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2；x ＝－1 40．(2013·高考浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P(－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：±141．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y23＝142．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－143．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，co s ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF 1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF中，设|BF|＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝12|AB|＝5，即c ＝5.所以e ＝57.答案：5744．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：x 216－y2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m.而e ＝54，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：945．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－146．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a ，|QF|－|QA|＝2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a ，则|PF|＋|QF|＝4a ＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：4447．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：由题意a 2＝16⇒a ＝4.又b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25⇒c ＝5，故e ＝c a ＝54.答案：5449．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a. 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a.∵在双曲线中c>a ，∴在△PF 1F 2中|PF 2|所对的角最小且为30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|co s 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c)2＝0，∴c ＝3a ，即ca＝ 3.∴e ＝ 3.答案： 350．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 答案：651．(2013·高考江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．解：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c.代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D(0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立，得⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M(2,4)． 答案：(2,4) 53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解： 由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r 2＝4.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝Rr 1，可求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，将其代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8 ＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16， 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．56．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|(32x 0＋2)2＝|m －3|(32x 0－2)2.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.法二：设P(x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P(3，－12)．若P(3，12)，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3，所以m ＝334.若P(3，－12)，同理可得m ＝334.②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|. 因为－3<m<3，0≤x 0<2且x 0≠3，所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04，故0≤m<32且m ≠334. 综合①②可得0≤m<32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是(－32，32)．(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2k x 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝(－4y 0x 0)·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m. 由题意得－2<m<0或0<m< 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝ 2－m 22.所以 S △AOB ＝|m|·2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m,0)＝(mt,0)，又P 为椭圆C 上一点，所以(mt )22＝1.②由①②，得t 2＝4或t 2＝43，又t>0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kh x ＋2h 2－2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d ＝12×22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|1＋k 2 ＝2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|.又S △AOB ＝64，所以2×1＋2k 2－h 21＋2k2×|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0.解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2)， 又P 为椭圆C 上一点，所以t 2[12(－2kh 1＋2k 2)2＋(h 1＋2k 2)2]＝1， 即h 2t 21＋2k 2＝1.⑤ 将④代入⑤，得t 2＝4或t 2＝43.又t>0，故t ＝2或t ＝233.经检验，适合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)，得t ＝2或t ＝233.58.(2013·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系x Oy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝k x ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．59．(2013·高考浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求|MN |的最小值.解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2 (5t ＋35)2＋1625≥852.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.60．(2013·高考安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设出点P 的坐标，并求出其横、纵坐标的关系式． 注意点在直线上时，点的坐标满足直线方程．设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －y 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2， 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．61．(2013·高考北京卷)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 解：(1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 互相垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·(－14k)≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．62．(2013·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线C D 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
高考平面解析几何试题汇编(新课标)
平面解析几何（新课标）一、选择题1.（07）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ）Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·2. （08）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）3.(09)双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A ）（B ）2 （C （D ）14.（10）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A) 22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -= 5.（11）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）36.（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率()A 12 ()B 23 ()C 34()D 457.（12）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 88.（13I ）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±=9.（13I ）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为)11(-,，则E 的方程为（A ）1364522=+y x （B ）1273622=+y x (C)1182722=+y x （D ）191822=+y x 10.（13II ）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为,F 点M 在C 上，,5=MF 若以MF 为直径的圆过点),2,0(E 则C 的方程为（A ）x y x y 8,422== (B)x y x y 8,222==（C ）x y x y 16,422== （D ）x y x y 16,222==11.（13II ）已知点)1,0(,0,1(),0,1(C B A ）-直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ） )1,0( (B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.(14I)已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A. 3B. 3C. m 3D. m 313.(14I)已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若FQ PF 4=，则=QF （ ）A. 27B. 3C. 25D. 214.（14II ）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）3393 C. 6332 D. 9415. (15I)已知()00,y x M 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则0y 的取值范围是（A ）（（B ）（-（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） 16.（15II ）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2 CD二、填空题1. （07）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．2.（08）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F.过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为___3. (09)设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点.若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.4.（10）过点A(4,1)的圆C 与直线01=--y x 相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____5.（11）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为6.(15I)一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .三、解答题1.（07）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明理由．2.（08）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2.F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25||3MF =.（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满意12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA ·OB =0，求直线l 的方程.3.（09）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xoy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM =λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 4.（10）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线与E相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满意PA PB =，求E 的方程.5.（11） 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满意,,//BA MB AB MA OA MB ⋅=⋅M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.6.(12)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同始终线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.7.(13I)已知圆M ：1)1(22=++y x ，圆N ：9)1(22=+-y x ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB .8.(13II)平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=()0>>b a 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12(Ι)求M 的方程;（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值.9. (14I)已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.10. (14II)设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求.,b a 11. (15I)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.12.(15II)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．。
高考数学真题三年专题平面解析几何
三年专题 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1 D ．x 22+y 2=12．【2022年全国甲卷】椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．133．【2022年全国乙卷】设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF |=|BF |，则|AB |=（ ） A ．2B ．2√2C ．3D ．3√24．【2022年全国乙卷】双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且cos∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为（ ）A ．√52B ．32C ．√132D ．√1725．【2021年甲卷文科】点()3,0到双曲线221169xy -=的一条渐近线的距离为（ ）A ．95B ．85C ．65D ．456．【2021年乙卷文科】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则P B的最大值为（ ）A ．52B C D ．27．【2021年乙卷理科】设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2P B b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12M F M F ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．69．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y p x p =>的焦点到直线1y x =+p=（ ）A ．1B ．2C ．D ．410．【2020年新课标1卷理科】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9 11．【2020年新课标1卷理科】已知⊙M ：222220xyx y +---=，直线l ：220xy ++=，P为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,P A P B ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线A B的方程为（ ） A ．210xy --= B ．210xy +-=C ．210xy -+= D ．210xy ++=12．【2020年新课标1卷文科】已知圆2260x yx +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 13．【2020年新课标1卷文科】设12,F F 是双曲线22:13y Cx-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2O P =，则12P F F △的面积为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．214．【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A 5B 5C 5D 515．【2020年新课标2卷理科】设O 为坐标原点，直线x a=与双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若O D E的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3216．【2020年新课标3卷理科】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)yp x p =>交于D ，E 两点，若O D O E⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)17．【2020年新课标3卷理科】设双曲线C ：22221x y ab-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．818．【2020年新课标3卷文科】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1A CBC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线19．【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线()1y kx =+距离的最大值为（ ）A ．1BC D ．220．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x 2=2py(p >0)上，过点B(0,−1)的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为y =−1 B ．直线AB 与C 相切 C ．|OP|⋅|OQ|>|OA |2D ．|BP|⋅|BQ|>|BA|221．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√6 B ．|OB|=|OF|C ．|AB|>4|OF|D ．∠OAM +∠OBM <180°22．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线A B 的距离大于2C ．当P B A ∠最小时，P B = D ．当P B A ∠最大时，P B =23．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l a x b y r+-=与圆222:Cxyr+=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 24．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C m xn y+=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线25．【2022年全国甲卷】设点M 在直线2x +y −1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为______________． 26．【2022年全国甲卷】记双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值______________． 27．【2022年全国甲卷】若双曲线y 2−x 2m 2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4y +3=0相切，则m =_________．28．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．29．【2022年新高考1卷】写出与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程________________． 30．【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是________________．31．【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是________． 32．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l 的方程为___________． 33．【2021年甲卷文科】已知12,F F 为椭圆C ：221164xy +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12P QF F =，则四边形12P F Q F 的面积为________．34．【2021年乙卷文科】双曲线22145xy -=的右焦点到直线280xy +-=的距离为________．35．【2021年乙卷理科】已知双曲线22:1(0)xC y m m-=>0m y +=，则C 的焦距为_________．36．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y p x=(0p>)的焦点为F ，P 为C 上一点，P F 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且P Q O P⊥，若6F Q =，则C 的准线方程为______.37．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y ab-=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.38．【2020年新课标1卷理科】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.39．【2020年新课标3卷文科】设双曲线C ：22221x y ab-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．40．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C交于A ，B 两点，则A B=________．三年专题 平面解析几何（解答题）1．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3． (1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程．2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点． (1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 3．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x 2a2−y 2a 2−1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP,AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan∠PAQ =2√2，求△PAQ 的面积． 4．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C A ，B 两点，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0,y 1>0．过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．【2021年甲卷文科】抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C于P ，Q 两点，且O P O Q⊥．已知点()2,0M ，且M与l 相切．（1）求C ，M的方程；（2）设123,,AA A 是C 上的三个点，直线12AA ，13AA 均与M相切．判断直线23AA 与M的位置关系，并说明理由．6．【2021年乙卷文科】已知抛物线2:2(0)C yp x p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9P Q Q F=，求直线O Q 斜率的最大值.7．【2021年乙卷理科】已知抛物线()2:20Cxp yp =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M xy ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,P A P B 是C 的两条切线，,A B 是切点，求P A B △面积的最大值．8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系x O y 中，已知点()1F -、()21202F M F M F -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x=上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且T A T B T P T Q⋅=⋅，求直线A B 的斜率与直线P Q 的斜率之和.9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，右焦点为0)F ，且3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线M N 与曲线222(0)x yb x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||M N=10．【2020年新课标1卷理科】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x ya+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8A G GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆222:1(05)25xy C m m+=<<4，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x=上，且||||B PB Q =，B PB Q⊥，求A P Q的面积．14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，且过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且A M A N⊥，A DM N⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得D Q为定值．15．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.。
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编12 解析几何
17．（2020·全国（文））已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
A．1B．2
C．3D．4
18．（2020·全国（理））已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（）
A． B． C． D．
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
64．（2021·全国）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
65．（2020·海南）已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
11．（2020·全国（文））设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且 ，则 的面积为（）
A． B．3C． D．2
12．（2020·全国（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
13．（2020·全国（理））设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）
A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线
5．（2021·全国（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，则C的离心率为（）
A． B． C． D．
6．（2021·全国（理））设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（）
高考数学经典试题与解析 专题八 平面解析几何
专题八平面解析几何——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知点(3)1,A -，(3,1)B ，若直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为()A.(,5][1,)-∞-+∞ B.[5,1]-C.(,1][5,)-∞-+∞ D.[1,5]-1．答案：C解析：由题意知直线l 过定点(0,2)P -，易求直线PA 的斜率3(2)510PA k --==---，直线PB 的斜率1(2)130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，作出线段AB 及直线PA ，PB ，如图，由图知，1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥，故选C.2．若直线10x my ++=是2221:(1)(2)(0)C x y r r -++=> 与222:(2)(2)4C x y -+-= 的公切线，则实数r 的值为()A.3413B.1712C.127D.922．答案：A解析：已知1C 的圆心1(1,2)C -，半径是r ；2C 的圆心是2(2,2)C ，半径是2.由题知直线10x my ++=是1C 和2C 的公切线，当0m =时，直线为1x =-，此时直线1x =-与圆2C 不相切，所以0m ≠，由2=，解得512m =-，则有3413r ==.故选A.3．已知双曲线22:22C x y -=，过点(1,2)P 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长MN 等于()A.3B.4C.D.3．答案：D解析：由题设，直线l 的斜率必存在，设过(1,2)P 的直线MN 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线与双曲线的方程并化简得()()22222(2)460k xk k x k k -+---+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，0∆>，则1222(2)22P k k x x x k -+=-=-，所以22(2)22k k k--=-，解得1k =，则122x x +=，123x x =-.弦长MN ===.故选D.4．[2023届·全国·模拟考试联考]阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为21π，点P 在椭圆C 上，且点P 与椭圆C 左、右顶点连线的斜率之积为949-，记椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，则1PF 的值不可能为()A.4 B.7 C.10 D.144．答案：D解析：因为椭圆C 的面积为21π，所以π21πab =，即21ab =.①设()()000,P x y x a ≠±，则2200221x y a b +=，则()2220202b x a y a-=-，所以点P 与椭圆C 左、右顶点连线的斜率之积为22000222000949y y y b x a x a x a a ⋅==-=--+-.②联立①②可得7a =，3b =，则c ==177a c PF c a -=-<<+=，故选D.5．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C上，且12MF MF ⊥，1OMF △的面积为218a （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为() A.103B.52C.102D.3835．答案：A解析：不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示.设1MF m =，2MF n =，则22222,4,1,418m n a m n c a mn ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩①②③由①得22224m n mn a +-=.将②③代入即可得2224449c a a -=，故224049c a =，所以22109c a =，所以离心率103c e a ==.故选A.6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的交点，若4FP FQ =，则||FQ =()A.4B.52C.2D.326．答案：D 解析：依题意得12p=，(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-.因为点P 是l 上一点，所以设点(1,)P t -，()00,Q x y ，则(2),FP t =-，()001,FQ x y =-，因为4FP FQ = ，所以()0241x -=-，解得012x =.又Q 是直线PF 与C 的交点，所以由抛物线的定义可得03||12FQ x =+=.故选D.7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点A 在F 的正上方，过点A 的直线l 与抛物线交于另一点B ，满足||2||BF AF =，则钝角AFB ∠=()A.7π12B.2π3C.3π4D.5π67．答案：D解析：由题知，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-.因为点A 在F 的正上方，所以点A 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为AFB ∠为钝角，则点B 在x 轴下方，所以||2||22B p x BF AF p +===，解得32B x p =，即点B 的坐标为332p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（舍去）或3,32p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为直线BF 的斜率33322BF k p p ==-，所以直线BF 的倾斜角为2π3，故钝角π2π5ππ236AFB ∠=+-=.故选D.8．[2024春·高二·四川眉山·开学考试校考]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点是A ，左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是C 在第一象限上的一点，直线1MF 与C 的另一个交点为N .若2//MF AN ，则直线MN 的斜率为()A.52B.311C.12D.1578．答案：A解析：因为椭圆C 的离心率为12，故可设2a k =，(0)c k k =>，故3b k =，因此椭圆C 的方程为22243x y k +=，而1AF a c k =-=，122F F k =，故11212AF F F =，因为2//MF AN ，所以1112NF MF =.因为直线MN 与x 轴不垂直也不重合，故可设:(0)MN x my k m =->，()11,M x y ，()22,N x y ，则122y y =-，由222,3412x my k x y k=-⎧⎨+=⎩可得()22243690m y mky k +--=，因为1F 在椭圆C 的内部，所以0∆>恒成立，且1222122126,439,432,km y y mk y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩故22226129434343km km k m m m --⨯=+++，因为0k ≠，所以255m =，此时112355012445k y k ⨯==>+，1452k x k k =⨯-=>故M 在第一象限，符合条件，因此直线MN 的斜率为152m =.故选A.二、多项选择题9．已知双曲线22:2(0)C mx y m -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若圆22(4)8x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率e =B.若双曲线C 上一点P 满足1PF x ⊥轴，则1PF =C.若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F △的周长为4+D.双曲线C 上存在一点P ，使得点P 到C9．答案：BC解析：对于A 项，由220mx y -=，可得双曲线的渐近线方程为y =.圆22(4)8x y -+=的圆心为(4,0)，半径r =因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心(4,0)0y -=的距离=1m =，所以双曲线的方程为22122x y -=，a b ==，24c =，2c =，所以离心率ce a==A 项错误.对于B 项，由A 知，1(2,0)F -，所以直线1PF 的方程为2x =-.代入双曲线方程可得22y =，则y =，所以1PF =B 项正确.对于C 项，由已知1222PF PF PF =>，根据双曲线的定义可知，1222PF PF PF a -===，所以1PF =又1224F F c ==，所以12PF F △的周长为12124PF PF F F ++=+，故C 项正确.对于D 项，设()00,P x y ，双曲线的渐近线方程为y x =±，则点()00,P x y 到直线0x y -=的距离1d =，到直线0x y +=的距离2d =2200122x y d d -=.又点()00,P x y 在双曲线222x y -=上，所以22002x y -=，所以121d d =，故D 项错误.故选BC.10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是()A.34PQ k =- B.121x x =C.25||4PQ =D.1l 与2l 之间的距离为410．答案：BC解析：由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =中得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121x x =，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，12125||4244PQ x x p =++=++=，故C 正确；因为1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选BC.11．[2024春·高二·山西·月考联考]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点32⎫⎪⎪⎭，直线1:2l y x m =-+与椭圆C 交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为32，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的离心率为12B.椭圆C 的方程为22112x y += C.若1m =，则35||2MN =D.若12m =，则椭圆C 上存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称11．答案：AC解析：设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，即121232OP y y k x x +==+因为点M ，N 在椭圆C 上，所以2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，由题得121212MN y y k x x -==--，所以221304a b -=，即2234b a =，又222a b c =+，所以2214c a =，则离心率12c e a ==，故A 正确.因为椭圆C过点32⎫⎪⎪⎭，所以223314a b +=，又由A 选项知，2234b a =，联立解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，故B 错误.若1m =，则直线l 的方程为112y x =-+，由2211,21,43y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得220x x --=，所以11x =-，22x =，则|||21|2MN =+=，故C 正确.若12m =，则直线l 的方程为1122y x =-+.假设椭圆C 上存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称，则设()33,E x y ，()44,F x y ，线段EF 的中点为()00,Q x y ，则3402x x x +=，3402y y y +=.因为E ，F 关于直线l 对称，所以2EF k =，且点Q 在直线l上，即001122y x =-+.又E ，F 两点在椭圆C 上，所以223322441,431,43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()34343434043x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434043y y y y x x x x +-++=-，所以()343438x x y y ++=-，即0038y x =-.联立000011,223,8y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得004,3,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩即34,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为22342143⎛⎫- ⎪⎝⎭+>，所以点Q 在椭圆C 外，这与Q 是弦EF 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在E ，F 两点，使得E ，F 关于直线l 对称，故D 错误.故选AC.三、填空题12．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）的焦点相同，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点.若2PF x ⊥轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为___________.12．答案：1解析：设122F F c =，由题可知122PF PF a +=，122PF PF m -=.因为2PF x ⊥轴，所以21PF -22212PF F F =，所以椭圆和双曲线的离心率之积为2121212221212121F F F F F F c ca m PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅==+--.13．[2023年全国高考真题]已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的离心率为__________.13．答案：355解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设1(,0)F c -，2(,0)F c ，(0,)B n .由2223F A F B =- ，得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又11F A F B ⊥ ，且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1(,)F B c n = ，则22118282,(,)03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =.又点A 在双曲线C 上，则2222254991c n a b -=，整理得22222549c na b-=，将224n c =，222b c a =-代入，得2222225169c c a c a -=-，即222162591e e e -=-，解得295e =或215e =（舍去），故355e =.法二：由2223F A F B =-得2223F A F B =，设22F A x =，则23F B x =，||5AB x =.由双曲线的对称性可得13F B x =，由双曲线的定义可得122AF x a =+.设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x axθ+==，解得x a =，所以14AF a =，22AF a =.在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，即2259c a =，可得355e =.14．已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，8OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是__________.14．答案：12解析：由题意可知)1(,02F ，设直线AB 的方程为x ty m =+，点211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 与x 轴的交点为(,0)C m ，联立方程2,2,x ty m y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2220y ty m --=，则2480t m ∆=+>，122y y m =-.因为8OA OB ⋅= ，所以()21212804y y y y +-=，解得124y y =或128y y =-，由点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，可知120y y <，所以1228y y m =-=-，故4m =，此时0∆>，即218y y =-.不妨设点A 在x 轴上方，则10y >，120y y ->，且1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(4,0)C ，则12111||||22ABO AFO S S OC y y OF y +=⨯⨯-+⨯⨯△△12112111119916421222244y y y y y y y =⨯⨯-+⨯⨯=-=+≥=，当且仅当119164y y =，即183y =时，等号成立.所以ABO △与AFO △面积之和的最小值是12.四、解答题15．[2023年全国高考真题]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-，离（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.15．答案：（1）221416x y -=（2）证明见解析解析：（1）因为双曲线C的左焦点为(-，所以c =.由离心率25c e a a===2a =，所以4b ==，所以C 的方程为221416x y -=.（2）证明：设()11,M x y （10x <，10y >），()22,N x y ，显然直线MN 的斜率不为0，故设直线MN 的方程为4x my =-.因为1(2,0)A -，2(2,0)A ，所以直线1MA 的方程为1122)(y y x x =++，直线2NA 的方程为22(2)2y y x x =--，联立1122(2),2(2),2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩消去y 得12122222y x x x y x --⋅=++.联立224,1,416x my x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得()224132480m y my --+=，则2410m -≠，22561920m ∆=+>，则1223241m y y m +=-，1224841y y m =-，所以()121232my y y y =+，所以211212112122123926223312222y y y x my y y x y my y y y y---⋅===-+--，所以232x x -=-+，解得1x =-，所以点P 在定直线1x =-上.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上顶点为B ，其长轴长是短轴长的2倍，P 是C 上任意一点，12F PF S △.（1）求椭圆C 的方程；（2）过(,)E a b 作一直线与C 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 与x 轴分别交于点R ，S ，求证：RS 的中点是定点.16．答案：（1）2214x y +=（2）证明见解析解析：（1）由题意知2a b =，12F PF S △，而()122max122F PF S b c bc =⋅⋅====△，则21b =，即1b =，2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：根据（1）知(2,1)E ，(0,1)B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，由题意知直线EM 斜率存在，且不为0，设直线EM 的方程为(2)1y k x =-+.则由22(2)1,14y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148(21)16160k x k k x k k +--+-=.则有1228(21)14k k x x k -+=+，12216(1)14k k x x k-=+.直线BM 的方程为1111y y x x --=，则111R xx y =-；直线BN 的方程为2211y y x x --=，则221s xx y =-.取RS 的中点为()0,0x ，则有120121211xx x y y ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭12121222x x k x x ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭()121212411224x x k x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥-++⎣⎦22216(1)4114116(1)16(21)241414k k k k k k k k k k -⎡⎤-⎢⎥+=-+⎢⎥--⎢⎥-+++⎣⎦2=.即RS的中点是定点(2,0).17．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在坐标轴上，且过(2,A，1,2B⎛⎝两点.（1）求C的方程；（2）设过点F的直线l与C交于M，N两点，P，Q两点分别是直线AM，BN与x轴的交点，证明：||||OP OQ⋅为定值.17．答案：（1）24y x=（2）证明见解析解析：（1）由题意可知抛物线C过第一、四象限，故可设抛物线C的方程为22(0)y px p=>，代入(2,A得84p=，则2p=，故抛物线C的方程为24y x=.（2）证明：由（1）可得(1,0)F，易得直线l的斜率不为0，则可设直线:1l x my=+，211,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yN y⎛⎫⎪⎝⎭.联立方程得21,4,x myy x=+⎧⎨=⎩消去x得2440y my--=，则216160m∆=+>，124y y m+=，124y y=-.当直线AM的斜率不存在时，(2,M-，此时直线:14l x y=-+，则12N⎛⎝，(2,0)P∴，1,02Q⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||212OP OQ⋅=⨯=；当直线AM的斜率存在时，12124AMyky-==-，则直线AM的方程为2)y x-=-，令0y=，则2)x-=-，解得122x=-，12,02P⎛⎫∴- ⎪⎪⎝⎭，同理可得22,04Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故121||||14OP OQ y y ⋅===（定值）.综上，||||OP OQ ⋅为定值1.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，焦距为动圆D 的圆心坐标是(0,2)，过点A 作圆D 的两条切线，分别交椭圆于M ，N 两点，记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k .（1）求证：121k k =.（2）若O 为坐标原点，作OP MN ⊥，垂足为P .问：是否存在定点Q ，使得PQ 为定值？18．答案：（1）证明见解析（2）存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值解析：（1）证明：由题意知，椭圆C 的左顶点为(2,0)A -，焦距为，可得2222,2,a c abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.若过点A 作圆D 的一条切线的斜率不存在，则其方程为2x =-，其与椭圆只有点A 一个交点，此时圆D 半径为2，与题干矛盾，所以设过点A 且与圆D 相切的直线方程为(2)y k x =+，动圆D 的半径为(2)r r ≠，则r =，化简得()2224840r k k r --+-=，()2264440r ∆=-->，即208r <<，所以1k 和2k 是方程()2224840r k k r --+-=的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系知，121k k =.（2）存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值，理由如下：设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14161640)k x k x k +++-=，0'∆>，则212164241k x k --=+，得2122841k x k -=+，12441ky k =+，所以222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为121k k =，所以将k 换成1k ，可得222284,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.易知直线MN 的斜率存在，则直线MN 的斜率为()2222222443414282841414k kk k k k k k k k -++=--+-++，所以直线MN 的方程为()22224328414141k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭.直线MN 的方程可化为()22224328414141k k k y x k k k ⎛⎫-=+- ⎪+++⎝⎭，即()()222224134284134141k k kk y x k k k k ⎡⎤+-⎢⎥=⋅+⨯-+++⎢⎥⎣⎦，即()2310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，所以直线MN 过定点10,03E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为OP MN ⊥，所以点P 的轨迹是以OE 为直径的圆上的一段弧，故存在点5,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PQ 为定值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，C 的焦点是F .（1）若过原点O 作两条直线交曲线C 于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求证：直线AB 过定点；（2）若过曲线C 上一点(2,1)P 作两条直线交曲线C 于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=，求AFB △的面积的取值范围.19．答案：（1）证明见解析（2）[12)-+∞解析：（1）证明：因为A ，B 是两直线与抛物线C 的交点，所以OA ，OB 的斜率均存在，且不为零，故可设直线:(0)OA y kx k =≠，则直线1:OB y x k =-.由12,02y kx x x py =⎧⇒=⎨=⎩，22x pk =，所以()22,2A pk pk .同理得222,p p B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则2222122ABppk k k k p k pk k -==-+，则直线AB 的方程为2112(2)2y pk k x pk y k x p k k ⎛⎫⎛⎫-=--⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线AB 过定点(0,2)p .（2）因为点(2,1)P 在曲线C 上，所以将点P 的坐标代入曲线C 的方程可得2p =，即24x y =，则(0,1)F .设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，则可设直线AB 的方程为y kx t =+.则由24,x y y kx t ⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --=，则124x x k +=，124x x t =-，()2160k t ∆=+>.所以()()1122,1,1FA FB x y x y ⋅=-⋅-，()()()222212121(1)(1)41(1)4(1)0k x x t k x x t t k k t k t =++-++-=-++-+-=，得()22161034k t t t =-+≥⇒≥+3t ≤-0∆>.而点F 到AB 的距离d =，||AB ==则211||2|1|(1)22AFB S d AB t t =⋅==-=-△.所以12AFB S ≥-△.所以AFB △的面积的取值范围为[12)-+∞.。
解析几何 高考数学真题分类汇编14篇之12
近五年高考数学真题分类汇编十二、解析几何一、单选题1．（2021·全国（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则的最大值为（ ）A ．BCD ．23．（2021·全国）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．64．（2021·浙江）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线5．（2021·全国（理））已知是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，则C 的离心率为（ ）ABCD6．（2021·全国（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．（2020·天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦()3,0221169x y -=9585654522:15x C y +=PB 521F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅,R,0a b ab ∈>()2R ()f x ax b x =+∈(),(),()f s t f s f s t -+(),s t 12,F F 121260,3F PF PF PF ∠=︒=B 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C P ||2PB b ≤C ⎫⎪⎪⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C 22221(0,0)x y a b a b-=>>24y x =点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．8．（2020·北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．A ．经过点B ．经过点C ．平行于直线D ．垂直于直线9．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020·浙江）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）AB C D11．（2020·全国（文））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）A ．B ．3 C．D ．212．（2020·全国（理））若直线l与曲线y 和x 2+y 2=都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +C ．y =x +1 D ．y =x + 13．（2020·全国（理））设双曲线C ：（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．814．（2020·全国（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．2(0,)b l C l l C 22144x y -=2214y x -=2214x y -=221x y -=O F l P O P PQ l ⊥Q FQ O P OP OP (3,4)12,F F 22:13y C x -=O P C ||2OP =12PF F △7252151212121222221x y a b-=()1y k x =+15．（2020·全国（文））设为坐标原点，直线与抛物线C ：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2020·全国（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线17．（2020·全国（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020·全国（理））已知⊙M ：，直线：，为上的动点，过点作⊙M 的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2020·全国（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．920．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）ABCD21．（2020·全国（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3222．（2019·北京（文））已知双曲线（a ＞0则a =AB ．4C ．2D ．O 2x =22(0)y px p =>D E OD OE ⊥C 1,04⎛⎫⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,0)(2,0)=1AC BC ⋅2260x y x +-=222220x y x y +---=l 220x y ++=P l P ,PA PB ,A B ||||PM AB ⋅AB 210x y --=210x y +-=210x y -+=210x y ++=230x y --=O x a =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,D E ODE C 2221x y a-=1223．（2019·全国（文））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为A ．B ．C ．D ．24．（2019·北京（理））已知直线l 的参数方程为（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．B ．C ．D ．25．（2019·全国（理））双曲线C ：=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若，则△PFO 的面积为A BC ．D ．26．（2019·天津（文））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 ABC ．2D27．（2019·全国（文））设F 为双曲线C ：（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A B C ．2D 28．（2019·全国（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．F 22:145x y C -=P C O=OP OF OPF △3252729213,24x t y t=+⎧⎨=+⎩152545652242x y -=PO PF 24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b-=>>||4||AB OF =O 22221x y a b-=121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=29．（2019·全国（文））双曲线C :的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．D ．30．（2019·上海）以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线31．（2018·北京（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A ．B ．C ．D ．32．（2018·全国（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为 ABC ．D33．（2018·全国（理））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A ．B ．C ．D ．34．（2018·全国（文））已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A ．B ．CD35．（2018·全国（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>1sin50︒1cos50︒()()12,0,,0a a ()1,0y ()()120,,0,y y 12ln ln 0y y +=1211,a a⎛⎫ ⎪⎝⎭d ()cos ,sin P θθ20x my --=θm d 12341F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C 220x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1-21-1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：AC P A 12PF F △12120F F P ∠=︒CA．B．C．D．36．（2017·全国（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A．B．C．D．37．（2017·全国（文））过抛物线C：y2＝4x的焦点F，的直线交C于点M(M 在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A B．C．D．二、多选题38．（2021·全国）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面39．（2021·全国）已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，40．（2020·海南）已知曲线.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上231213142222:1(0,0)x yC a ba b-=>>y x=221123x y+=221810x y-=22145x y-=22154x y-=22143x y-=111ABC A B C-11AB AA==P1BP BC BBλμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈1λ=1AB P△1μ=1P A BC-12λ=P1A P BP⊥12μ=P1A B⊥1AB PP()()225516x y-+-=()4,0A()0,2BP AB10P AB2PBA∠PB=PBA∠PB=22:1C mx ny+=B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线未命名未命名三、填空题41．（2021·全国）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.42．（2021·全国（文））已知为椭圆C ：的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．43．（2021·全国（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C 的焦距为_________．44．（2021·全国（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．45．（2020·天津）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．46．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1(a ＞0)的一条渐近线方程为x ，则该双曲线的离心率是____. 47．（2020·全国（理））已知F 为双曲线的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.y =O C 22y px =0p >F P C PF x Q x PQ OP ⊥6FQ =C 12,F F 221164x y+=12PQ F F =12PFQF 22:1(0)x C y m m-=>0my +=22145x y -=280x y +-=80x -+=222(0)x y r r +=>,A B ||6AB =r 22x a 25y 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>48．（2019·江苏）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.49．（2019·北京（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．50．（2019·全国（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.51．（2019·浙江）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.52．（2019·全国（理））已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．53．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，______．54．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．55．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点，则其离心率的值是________．56．（2018·北京（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于轴，若l 被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.57．（2018·全国（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．xOy 4(0)y x x x=+>12F F ，22:+13620x y C =M C 12MF F △M 22195x y +=F P x PF O OF PF 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F A AB =120F B F B ⋅=1x 2x 1y 2y 22111x y +=22221x y +=121212x x y y +=xOy A :2l y x =()5,0B AB C l D 0AB CD ⋅=A xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(c,0)F 24y ax =()11M ，-24C y x =：C k C A B 90AMB ∠=︒k =58．（2018·浙江）已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．四、解答题59．（2021·全国（文））已知抛物线的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足，求直线斜率的最大值.60．（2021·全国（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：交C 于P ，Q 两点，且．已知点，且与l 相切． （1）求C ，的方程；（2）设是C 上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．61．（2021·浙江）如图，已知F 是抛物线的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且，求直线l 在x 轴上截距的范围.62．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．24x AP PB 2:2(0)C y px p =>9PQ QF =OQ 1x =OP OQ ⊥()2,0M M M 123,,A A A 12A A 13A A M 23A A M ()220y px p =>2MF =,,MA MB AB 2RNPN QN =⋅xOy C ()2,1C（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．63．（2021·全国（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．64．（2021·全国）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.65．（2020·海南）已知椭圆C ：过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.66．（2020·天津）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 67．（2020·北京）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：C ()4,1F C ()2:20C x py p =>F F 22:(4)1M x y ++=4p P M ,PA PB C ,A B PAB △xOy ()1F )21217,02F MF MF -=M C C T 12x =T C A B P Q TA TB TP TQ ⋅=⋅AB PQ 22221(0)x y a b a b+=>>1222221(0)x y a b a b+=>>(0,3)A -F ||||OA OF =O C 3OC OF =B B ABC P P AB AB 2222:1x y C a b+=(2,1)A --2a b =（Ⅱ）过点的直线l 交椭圆C 于点,直线分别交直线于点．求的值． 68．（2020·山东）已知椭圆C ：，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．69．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．70．（2020·全国（理））已知A 、B 分别为椭圆E ：（a >1）的左、右顶点，G为E 的上顶点，，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.(4,0)B -,M N ,MA NA 4x =-,P Q ||||PB BQ 22221(0)x y a b a b +=>>()2,1A C M N C AM AN ⊥AD MN ⊥D Q DQ 22:143x y E +=OP QP ⋅2221x y a+=8AG GB ⋅=71．（2020·全国（文））已知椭圆C 1：(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．72．（2019·江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．73．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=． 22221x y a b+=4322221(0)x y a b a b+=>>222(1)4x y a -+=52（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．74．（2019·北京（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．75．（2019·全国（文））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 76．（2019·上海）已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.77．（2018·上海）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：24,y x F =P Q PF ()PF d P FQ=81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()d P a ()2d P PF a =+123,,P P P 1223P P P P =()()13d P d P +()22d P 2t >xOy ()20F ，l，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．78．（2018·北京（文））已知椭圆，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. 79．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于两点．若，求直线l 的方程． x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP 8t =FP FQ FPEQ E ΓP 2222:1(0)x y M a b a b +=>>k l M A B M 1k =||AB ()2,0P -PA M C PB M D C D 71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭k xOy 1)212(F F 12F F ,A B OAB80．（2018·北京（理））已知抛物线C ：=2px 经过点（1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，，，求证：为定值．81．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.82．（2018·全国（理））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．83．（2018·全国（文））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．84．（2018·全国（理））在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；2y P QM QO λ= QN QO μ= 11λμ+xOy 1C 2y k x =+x 2C 22cos 30ρρθ+-=2C 1C 2C 1C k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C 0FP FA FB ++=FA FP FBk l 22143x y C +=：A B AB (1,)(0)M m m >12k <-F C P C 0FP FA FB ++=2FP FA FB =+xOy O cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩θ(0-，αl O A B ，α（2）求中点的轨迹的参数方程．85．（2018·浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 86．（2018·全国（文））设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：．87．（2018·天津（理））设椭圆(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭A 的坐标为，且. （I）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若(O 为原点) ，求k 的值. 88．（2018·全国（文））设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．89．（2018·天津（文））设椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ．已AB P 24y 22C y x =：()20A ，()20B -，A l C M N l x BM ABM ABN ∠=∠22221x y a b+=(),0b FB AB ⋅=(0)y kx k =>AQ AOQ PQ=∠24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C 22221(0)x y a b a b+=>>，． （1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．五、双空题90．（2021·浙江）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.91．（2020·浙江）设直线与圆和圆均相切，则_______；b =______．92．（2019·浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.93．（2018·北京（理））已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．AB =:(0)l y kx k =<P Q l AB BPM △BPQ V k 22221(0)x y a b a b +=>>1(,0)F c -2(,0)F c (0)c >1F 22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2PF x⊥:(0)l y kx b k =+>221x y +=22(4)1x y -+=k =C (0,)m r 230x y -+=(2,1)A --m =r =22221(0)x y M a b a b+=>>：22221x y N m n -=：。
2022高考数学真题分类汇编11解析几何
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将 用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
8.（2022·北京卷T3）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （）
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
数学培优专题：解析几何(选填题、简答题)全国各地高考数学模拟题汇编(含解析)一
培优专题：解析几何（选填题、简答题）选填题：1．（5分）设m，θ∈R，则的最小值为（）A．3 B．4 C．9 D．162．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．3．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为．4．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B． C．D．5．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．6．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π7．（5分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，I是△ABC的内心，若=m（m，n∈R），则=（）A．B．C．2 D．8．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．69．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p ＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p10．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，） D．（1，）12．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3213．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．14．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1 B．2 C．D．k215．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．16．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A． B．C．D．17．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣318．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．D．19．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+= ．20．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是．21．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．22．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．23．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为．简答题：1．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB 与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．2．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．3．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．4．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．5．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．6．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．7．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．8．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a的值．9．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．10．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．11．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．12．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．13．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B 异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．14．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．15．（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C 上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：；（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．参考答案与解析1．（5分）设m，θ∈R，则的最小值为（）A．3 B．4 C．9 D．16【解答】解：令点P（2﹣m，2+m），Q（cosθ，sinθ）．点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1．因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值==（4﹣1）2=9．故选：C．2．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由=，得，即，取AB中点G，AC中点H，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使KG=GO，则O为所求点，∵点P满足|，M为△ABC边上的点，∴当M与A重合时，|MP|有最大值为|OA|+|OP|，而|OA|=，∴|MP|的最大值为，故选：D．3．（5分）已知点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2﹣xy﹣1=0（x≠±1）．【解答】解：设M（x，y），∵AM，BM的斜率存在，∴x≠±1，又∵k AM=，k BM=，∴由k AM+k BM=2得：•=0，整理得：x2﹣xy﹣1=0，∴点M的轨迹方程为：x2﹣xy﹣1=0（x≠±1）．故答案为：x2﹣xy﹣1=0（x≠±1）4．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，若，则E椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：如图所示|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，则|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M（﹣，），∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1（舍去），a2=，∴a2===（）2，∴a==，∴e===﹣1，故选：C．5．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），∴+=（，1﹣2b），∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，当且仅当b=时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．6．（5分）已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）A．4πB．13πC．16πD．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选：A．7．（5分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，I是△ABC的内心，若=m（m，n∈R），则=（）A．B．C．2 D．【解答】解：设BC中点为D，以BC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系如图所示：∵AB=5，BD=BC=3，∴AD=4．∵△ABC是等腰三角形，∴内心I在线段AD上，设内切圆的半径为r，则tan∠IBD=，∴tan∠ABC===，又tan∠ABC==，∴=，解得r=或r=﹣6（舍）．∴I（0，），又B（﹣3，0），A（0，4），C（3，0），∴=（3，），=（3，4），=（6，0），∵=m，∴，解得，∴=．故选：B．8．（5分）设点P为椭圆C：+=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24 B．12 C．8 D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF 1F2是直角三角形，S=，∵△PF 1F2的重心为点G．∴S=，∴△GPF1的面积为8，故选：C9．（5分）如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p ＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）A．2p2B．2p C．4p D．p【解答】解：过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点为任意的，不妨设直线AB为x=p，由，解得y=±2p，则A（﹣p，﹣p），B（p，p），∵直线BM的方程为y=x，直线AM的方程为y=﹣p，解得M（﹣p，﹣p），∴|ME|2=（2p）2+2p2=6p2，设过点M与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p），由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2p+2p2k=0，∴△=4p2﹣4k（﹣2p+2p2k）=0，解得k=，∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p），由，解得N（p，2p），∴|NE|2=4p2，∴|ME|2﹣|NE|2=6p2﹣4p2=2p2，故选：A10．（5分）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N，且M，N均在第一象限，当直线MF1∥ON时，双曲线的离心率为e，若函数f（x）=x2+2x﹣，则f（e）=（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：双曲线的c2=a2+b2，e=，双曲线的渐近线方程为y=±x，与圆x2+y2=c2联立，解得M（a，b），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，解得，∵直线MF1与直线ON平行时，即有，即（a+c）2（c2﹣a2）=a2（2c2﹣a2），即有c3+2ac2﹣2a2c﹣2a3=0，∴e3+2e2﹣2e﹣2=0，即e2+2e﹣=2，∴f（e）=e2+2e﹣=2，故选：C．11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（，2）C．（，） D．（1，）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，∴＞3，即b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选A．12．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．13．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．14．（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1 B．2 C．D．k2【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，则|AB|•|CD|=1．综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A．15．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．16．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A． B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．17．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，∴|PC|2=（t+1）2+（t﹣3）2=2t2﹣4t+10，∴|PA|2=|PB|2=|PC|2﹣1=（t+1）2+（t﹣3）2﹣1=2t2﹣4t+9，cos∠APC==，∴cos∠PAB=2cos2∠APC﹣1=2×（）﹣1==∴•=||•||cos∠PAB=（2t2﹣4t+9）•=[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，设t2﹣2t+4=x，则x≥3，则•=f（x）=（x+x+1）•=，∴f′（x）=＞0恒成立，∴f（x）在[3，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（3）=，∴•的最小值为故选：C18．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．D．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|==2m•，PQ的中点为H（2m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=•．可得=，e====．故选C．19．（5分）已知点F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和双曲线C2：﹣=1（a′＞0，b′＞0）的公共焦点，点P为两曲线的一个交点，且满足∠F1PF2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+=2．【解答】解：可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m﹣n=2a'可得m=a+a'，n=a﹣a'，由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=（2c）2，即为（a+a'）2+（a﹣a'）2=4c2，化为a2+a'2=2c2，则+=2，即有+=2．故答案为：2．20．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是﹣1．【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，斜边BC=2，则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），则+=2=（﹣2x，﹣2y），=（﹣x，﹣y），∴=2x2+2y2﹣2y=2x2+2（y﹣）2﹣1，∴当x=0，y=时，则取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．21．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．22．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．23．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为 4 ．【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F'（﹣4，0），右焦点为F（4，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a﹣|PF'|）=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小．此时直线AF'的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4．故S△APF故答案为：4．简答题1．（12分）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB 与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．【解答】解：（1）由直线l：bx﹣ay=0都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）联立：，整理得x2+2tx+2t2﹣8=0，∴x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣8，设直线MA，MB的斜率为k MA，k MB，要证△MEF为等腰三角形，只需k MA+k MB=0，由，k MA+k MB=，=0，所以△MEF为等腰三角形．2．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．3．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．4．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．5．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣6．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则N（x，0），，又∵，∴，由M在椭圆上，得，即；（Ⅱ）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，，∴．当l1与x轴垂直时，，|CD|=6，∴．当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），把直线l1与曲线E联立，得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．，．∴，把直线l2与曲线E联立，同理可得．∴为定值．7．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．8．（12分）已知曲线C的方程为ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B（A，B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M，N，且•=﹣，求a的值．【解答】解：（1）将曲线C的方程化为x2+y2﹣2ax﹣y=0，∴（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+，可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．（2）△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0，得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），在曲线C方程中令x=0，得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值），（3）直线l与曲线C方程联立可得5ax2﹣（2a2+16a﹣8）x+16a﹣16=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴•=x1x2+y1y2=5x1x2+8（x1+x2）+16=﹣，即（80a﹣80﹣16a2﹣128a+64+80a）=﹣，即2a2﹣5a+2=0，解得a=2或a=，当a=2或时，都满足△＞0，故a=2或9．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于μ的增函数，故S min=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．10．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB11．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．12．（12分）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．13．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B 异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）（c＞0），∵e=，∴a=2c，又由|EH|=，得，且a2=b2+c2，解得，因此椭圆的方程为：；（2）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），与直线l的方程x=﹣1联立，可得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．将x=my+1与联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=．由点B异于点A，可得点B（）．由Q（﹣1，），可得直线BQ的方程为，令y=0，解得，故D（）．∴|AD|=．又∵△APD的面积为，故，整理得，解得|m|=，∴m=．∴直线AP的方程为，或3x﹣﹣3=0．14．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．【解答】（12分）解：（1）由，设椭圆的半焦距为c，所以a=2c，因为C过点，所以，又c2+b2=a2，解得，所以椭圆方程为．（4分）（2）①显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆相切，则有k1=﹣k2，直线l1的方程为，联立方程组消去y，得，因为P，M为直线与椭圆的交点，所以，同理，当l2与椭圆相交时，，所以，而，所以直线MN的斜率．②设直线MN的方程为，联立方程组，消去y得x2+mx+m2﹣3=0，所以，原点O到直线的距离，△OMN得面积为，当且仅当m2=2时取得等号．经检验，存在r（），使得过点的两条直线与圆（x﹣1）2+y2=r2相切，且与椭圆有两个交点M，N．所以△OMN面积的最大值为．（12分）15．（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C 上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：；（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．【解答】证明：（1）设Q（x1，y1），由椭圆，得B（﹣2，0），A（2，0），∴；（2）由（1）知：．设P（x2，y2），直线PQ：x=ty+m，代入x2+4y2=4，得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，∴，，由k AP•k AQ=﹣1得：（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，∴，∴（t2+1）（m2﹣4）+（m﹣2）t（﹣2mt）+（m﹣2）2（t2+4）=0，∴5m2﹣16m+12=0，解得m=2或m=．∵m≠2，∴，∴直线PQ：，恒过定点．。
全国高考数学解析几何大题精选50题(完美编辑、含答案、知识卡片)
20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F1
试卷第 9 页，总 25 页
（﹣ ，0），F2（ ，0），圆 O 的直径为 F1F2． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程．
试卷第 1 页，总 25 页
线型道路 PB，QA，规划要求：线段 PB，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆 O 的半径．已知点 A，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD（C，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）． （1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米），求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离．
点的圆． （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足
＝2 ，求 M 的轨迹方程．
试卷第 8 页，总 25 页
18．（2018•浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2＝4x 上 存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
22．（2018•上海）设常数 t＞2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l： x＝t，曲线Γ：y2＝8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点． （1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离； （2）设 t＝3，|FQ|＝2，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求△AQP 的面积； （3）设 t＝8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
高中数学平面解析几何真题(解析版)
专题09平面解析几何真题汇编1．设A，B为椭圆的长轴顶点，E，F为的两个焦点，|ABl=4，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为.【答案】1【解析】由题意知该椭圆可设为.由余弦定理，.所以.2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别是，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则的面积为【答案】【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知.即P(2，1).进而由得U(2，2))，S(4，1)，代入椭圆C的方程知，解得a2=20，b2=5.从而.3．在平面直角坐标系中,椭圆C的方程为,F、A分别为椭圆C的上焦点、右顶点.若P为椭圆C上位于第一象限内的动点，则四边形面积的最大值为___________。
【答案】【解析】易知,，设则其中，当时，四边形OAPF面积的最大值为.故答案为：4．在平面直角坐标系中，点集，在点集K中随机取出三个点,则这三点中存在两点之间距离为的概率为___________。
【答案】【解析】易知,点集K中有9个点,故在点集K中随机取出三个点的种数为。
将点集K中的点按图标记为其中有8对点之间的距离为。
由对称性,考虑取两点的情形.则剩下的一个点有7种取法，这样有个三点组(不计每组中三点的次序)。
对每个,点集中恰有两点与距离为,因而，恰有这8个三点组被计算了两次。
故满足条件的三点组个数为从而所求概率为.故答案为：5．已知双曲线C：，左、右焦点分别为F1、F2.过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于点P、Q，使得.则的内切圆半径为________.【答案】【解析】如图所示.由双曲线的性质知:.由.从而，的内切圆半径为:.6．设椭圆的两个焦点为，过点的直线与椭圆交于点P、Q.若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】【解析】不妨设.设椭圆的长轴、短轴的长度分别为，焦距为.则，且由椭圆的定义知.故.如图所示，设H为线段的中点.则，且.由勾股定理知：7．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点上的投影为，则的最大值是_______.【答案】1【解析】根据抛物线的定义可知，，故，在三角形中，根据余弦定理有，由于，所以，即，故.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法.抛物线的定义是：动点到定点的距离等于到定直线的距离，这是在有关抛物线的小题中常考考知识点.本题中利用抛物线的定义，进行转化后，利用余弦定理和基本不等式来求解最值.8．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，.则点的坐标为______.【答案】【解析】设.由.则①又，则②因为，所以，.故.将方程组①、②代入上式并整理得.显然，.否则，.于是，点在直线上，即点重合.所以，.故所求点.故答案为：9．双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)的个数是________. 【答案】9800 【解析】由对称性知，只需先考虑轴上方的情况. 设与双曲线右半支交于点，与直线交于点.则线段内部的整点的个数为.从而，在轴上方区域内部整点的个数为. 又轴上有98个整点，则所求整点的个数为.10．已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤． 解得36a ≤≤． 11．椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 ．【答案】【解析】 设，．由在椭圆上，有①②得．于是当时，达到最小值．12．在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线:y2=4x恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径.【答案】【解析】设圆的半径为R，圆心为(1，R)(-1，R)，则圆的方程可写作.不妨设圆与抛物线相切于点，则过该切点的切线方程：以圆为对象，得以抛物线为对象，得.于是可得①②又切点在抛物线y2=4x上，③由①得，由②得.解得：.故圆半径为.13．如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点.点P在△A BC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D，E.证明：若DE=MP，则BC=2BP.【答案】证明见解析【解析】如图：只要证明两小黄全等△DBP，△EMC。
高考真题汇编-平面解析几何(学生版)
高考真题汇编--平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．83．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C的离心率为A B ．2D4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4 B ．2C ．D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 58．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．22B ．1C 2D ．29．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．。
新高考卷解析几何热门考题汇编(学生版)
新高考卷解析几何热门考题汇编选填部分一、基本原理1.圆中与距离最值有关的常见的结论结论1. 圆外一点A 到圆上距离最近为AO -r ，最远为AO +r ；结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d +r ,最近为d -r ；从圆外任一点P (x 0,y 0)向圆引两条切线，圆心C ，两切点A ,B ，我们把线段PA ，PB 的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则有：结论4.切线长的计算：PA =PB =PC 2−r 2,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.结论5. 过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为A ,B ，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大.结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.2.椭圆三定义1.椭圆的第二定义：a 2−cx =a (x −c )2+y 2⇒(x −c )2+y 2a 2c−x=ca①. ①式表明椭圆上的点P 到右焦点F 2的距离与到直线x =a 2c 的距离之比是离心率e .2.角度形式焦半径：上加下减.QF 2 =b 2a -c ⋅cos θ,PF 2 =b 2a +c ⋅cos θ，AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ3.第三定义假设A ,B 是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P (不与A ,B 重合)到A ,B 点的斜率之积为一个定值.证明：设A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(−x 0,−y 0)，P (x ,y )，则由于三点均在椭圆上，故满足：x 20a 2+y 20b 2=1，x 2a 2+y 2b 2=1，即x 20a 2+y 20b 2=x 2a 2+y 2b 2⇒y −y 0x −x 0⋅y +y 0x +x 0=−b 2a2.3．椭圆焦点三角形焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：ΔPF 1F 2中，(1). |PF 1|+|PF 2|=2a ,|F 1F 2|=2c .(2). 焦点三角形的周长为L =2a +2c .(3).|PF 1||PF 2|=2b 21+cos ∠F 1PF 2.(4). 焦点三角形的面积为：S =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22.①设F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大.②．S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点ΔPF 1F 2的内切圆半径为r ，则S =(a +c )r .(6).焦半径公式:设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a −ex 0，进一步，有PF 1 •PF 2 =a 2-ex 2∈b 2,a 2推导：根据两点间距离公式:|PF 1|=(x 0+c )2+y 2，由于x 20a 2+y 20b2=1,(a >b >0)代入两点间距离公式可得|PF 1|=(x 0+c )2+b 21−x 20a2，整理化简即可得|PF 1|=a +ex 0. 同理可证得|PF 1|=a −ex 0.(7).设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么PF 1 ⋅PF 2 =b 2−c 2+e 2x 20，由于x 0∈[0,a 2],故我们有PF 1 •PF 2 =b 2-c 2+e 2x 2∈b 2-c 2,b 2(8)若约定椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为左、右焦点；顶点P (x 0,y 0)在第一象限；∠PF 2F 1=α,∠PF 1F 2=β(α>β),∠F 1PF 2=γ，则对于椭圆，离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α+sin β=sin (α+β)sin α+sin β4．双曲线焦点三角形1.如图，F 1、F 2是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记∠F 1PF 2=θ，则△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2.OF 1F 2Pxy ．2.离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α−sin β=sin (α+β)sin α−sin β.3.焦半径公式：如图，对于双曲线，PF 1 =ex 0+a ,PF 2 =ex 0−a ，对双曲线，其焦半径的范围为c −m ,+∞ .4.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠).5.已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.6.如图，过焦点F 2的弦AB 的长为t ，则ΔABF 1的周长为4m +2t .5．双曲线的渐近线1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，右焦点为F 2，作F 2P 垂直于渐近线y =b a x ，垂足为P ，则点P 在双曲线的右准线上，且P 的坐标为a 2c ,abc，且OP =a ,F 2P =b ,F 2O =c .2.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交C 的两条渐近线于P 、Q 两点，则OF =c ,FQ =b ,OQ =a .(1)当1<e <2时，设∠FOQ =α，则tan α=ba，tan2α=2tan α1−tan 2α=2⋅b a 1−b a2=2aba 2−b 2，PQ =a ⋅tan2α=2a 2b a 2−b 2，PF =PQ −FQ =2a 2b a 2−b 2−b =bc 2a 2−b2，OP =a 2+2a 2b a 2−b 22=ac 2a 2−b 2.进一步，若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1(2)当e >2时，设M 是直线PQ 与y 轴的交点，∠MOQ =β，则tan β=a b，tan2β=2βtan 1-2βtan =2⋅a b 1-a b 2=2ab b 2-a 2，PQ =a ⋅tan2β=2a 2bb 2−a 2，OP =a 2+2a 2b b 2−a 22=ac 2b 2−a2，MQ =a tan β=a 2b ，PM=PQ -MQ =2a 2b b 2−a 2-a 2b =a 2c 2b b 2−a 2OM =a 2b 2+a 2=ac b ，MF =ac b 2+c 2=c 2b.进一步：若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ，则e 2=2λλ−16.抛物线焦半径假设抛物线方程为y 2=2px .过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点，其坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).性质1.|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .性质2.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .于是，若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).性质3.已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则(1)|AF|=p1−cosθ,|BF|=P1+cosθ，1|FA|+1|FB|=2p.(2)|AB|=2psin2θ，SΔOAB=p22sinθ，|AB|=2p1+1k2.性质4.抛物线的通径(1).通径长为2p.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，若弦AB中点的坐标为(x0,y0)，则|AB|=2x0+p 2.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.7.抛物线中的阿基米德三角形如图，假设抛物线方程为x2=2py(p>0)，过抛物线准线y=−p2上一点P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2). 则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.结论2.直线AB的方程为x0x=2p y0+y2=p(y0+y).结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.结论4.PF⊥AB.结论5.AP⊥PB.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.二．试题汇编1.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知⊙O 1:(x -2)2+(y -3)2=4，⊙O 1关于直线ax +2y +1=0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a =( )A.-32或56B.-56或32C.-32或-56D.56或322.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC =2AB =2，点P 在圆O 上，则BP ⋅AO的取值范围为( )A.-12,4B.0,2C.-12,2D.0,43.(广东省2023届高考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB ≥b ，则C 的离心率取值范围是( )A.1,5+12B.5+12,+∞ C.1,2D.2,+∞4.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x +3y -20=0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A.54B.43C.53D.745.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点2,0 的且线交C 于P ,Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为( )A.66B.12C.22D.16.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB=3F 2A ，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为( )A.7B.5C.3D.27.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且∠AOB =60°，球体O 表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为( )A.121111π B.4155π C.6147π D.121313π8.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为( )A.54B.85C.52D.21059.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的两条弦AB ，CD 相交于点P (点P 在第一象限)，且AB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴.若PA :PB :PC :PD =1:3:1:5，则椭圆E 的离心率为( )A.55B.105C.255D.210510.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的右焦点为F c ,0 ，点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP ⋅OQ =2OF 2，则该椭圆的离心率为( )A.23B.63C.22D.3211.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)如图，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ，D 两点，OD =3，E 为线段的DF 1中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB成立，且△BF 1F 2内切圆的圆心在直线x =2上.则双曲线的离心率是()A.43B.3C.2D.3212.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =3x 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 的离心率为( )A.3+12B.3C.3+1D.5+113.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m多选14.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线C :x 24+y 22m 2-4=1( )A.若m >2，则C 是椭圆B.若-2<m <2，则C 是双曲线C.当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D.当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大15.(广东省2023届高考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是( )A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BF B.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF16.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ-y sin θ+1=0(其中0<θ<π)分别与直线x +1=0、x -1=0交于C 、D 两点，则( )A.θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B.∀θ∈0,π ，点A 、B 到l 的距离之和为定值C.∃θ∈0,π ，使l 与圆O 无公共点D.∀θ∈0,π ，恒有OC ⊥OD17.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5 B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,518.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)已知抛物线C ：y 2=2x 的准线为l ，直线x =my +n 与C 相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则( )A.当n =12时，以AB 为直径的圆与l 相交B.当n =2时，以AB 为直径的圆经过原点OC.当AB =4时，点M 到l 的距离的最小值为2D.当AB =1时，点M 到l 的距离无最小值19.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知直线l :y =k x +2 交y 轴于点P ，圆M :x -2 2+y 2=1，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则( )A.若直线l 与圆M 相切，则k =±1515B.当k =2时，四边形PAMB 的面积为219C.直线AB 经过一定点D.已知点Q 74,0，则CQ 为定值20.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若椭圆x 2m 2+2+y 2m 2=1(m >0)的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有( )A.5B.7C.2D.221.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知点A -1,0 ，B 1,0 ，点P 为圆C ：x 2+y 2-6x -8y +17=0上的动点，则( )A.△PAB 面积的最小值为8-42 B.AP 的最小值为22C.∠PAB 的最大值为5π12D.AB ⋅AP的最大值为8+4222.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则( )A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=023.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB =r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是( )A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值24.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知圆的方程为(x -m )2+(y -m )2=m 2，对任意的m >0，该圆( )A.圆心在一条直线上 B.与坐标轴相切C.与直线y =-x 不相交D.不过点1,1填空25.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线f x =x 3-3x 2+6x +2在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．26.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知椭圆C ：x 212+y 26=1，直线l 与C在第二象限交于A ，B 两点(A 在B 的左下方)，与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．27.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)写出与直线x =1, y =1,和圆x 2+y 2=1都相切的一个圆的方程________．28.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)不与x 轴重合的直线l 过点N (x N ,0)(xN ≠0)，双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为x M ．若x N =4x M ，则C 的离心率为____________．29.(广东省2023届高考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为___________.30.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点N 在l 上，若FM ⊥FN ，且MF =10，则NF =______.31.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．32.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)设a >0，A 2a ,0 ，B 0,2 ，O 为坐标原点，则以OA 为弦，且与AB 相切于点A 的圆的标准方程为____；若该圆与以OB 为直径的圆相交于第一象限内的点P (该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为______．33.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知M 1,2 为抛物线C :y 2=2px p >0 上一点，过点T 0,1 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，则TA ⋅TB =__________．34.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =____________.35.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则t a的最大值为____________.36.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知点P 在抛物线C :y 2=2px p >0 上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若∠HPF =60°，点P 的横坐标为1，则p =_______.37.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)过点-1,0 作曲线y =x 3-x 的切线，写出一条切线的方程_______．38.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.39.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)直线x =t 与曲线C 1：y =-e x +ax a ∈R 及曲线C 2：y =e -x +ax 分别交于点A ，B .曲线C 1在A 处的切线为l 1，曲线C 2在B 处的切线为l 2.若l 1，l 2相交于点C ，则△ABC 面积的最小值为____________.40.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =________41.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点，AB =52,AB 的中点纵坐标为2，则p =__________.42.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)已知圆C 1：x 2+y 2=2关于直线l 对称的圆为圆C 2：x 2+y 2+2x -4y +3=0，则直线l 的方程为______.43.已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =______．44.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知抛物线y2=4x和椭圆x2+a2y2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的b2离心率是__________．。
2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何
解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。
2022年高考数学真题：解析几何(解析版)
第7讲解析几何一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ，则C 的离心率为（）AB ．32C ．132D ．172【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF ，21F F N ，即可求出sin ，sin ，cos ，在21F F N 中由12sin sin F F N 求出12sin F F N ，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a ，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ，因为123cos 05F NF，所以N 在双曲线的右支，所以OG a ，1OF c ，1GF b ，设12F NF ，21F F N ，由123cos 5F NF，即3cos 5 ，则4sin 5=，sin a c ，cos b c ，在21F F N 中，12sin sin sin F F N 4334sin cos cos sin 555b a a bc c c，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N ，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c，2555sin 222c c a a NF c 又12345422222a b a b aNF NF a，所以23b a ，即32b a ，所以双曲线的离心率132c e a故选：C2．（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）AB ．22C ．12D ．13【答案】A 【解析】【分析】设 11,P x y ，则 11,Q x y ，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a ，再根据2211221x y a b，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解： ,0A a ，设 11,P x y ，则 11,Q x y ，则1111,AP AQ y y k k x a x a，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ，又2211221x y a b ，则2221212b a x y a，所以2221222114b a x a x a ，即2214b a ，所以椭圆C的离心率c e a 故选：A.3．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x 的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF ，则AB （）A ．2B．C ．3D．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得， 1,0F ，则2AF BF ，即点A 到准线1x 的距离为2，所以点A 的横坐标为121 ，不妨设点A 在x 轴上方，代入得， 1,2A ，所以AB .故选：B4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA，则C 的方程为（）A ．2211816x y B ．22198x y +=C ．22132x y D ．2212x y 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率及12=1BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率13c e a ，解得2289b a ，2289 b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则 12,0,,0A a A a ，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,) BA a b BA a b ，因为121BA BA所以221 a b ，将2289b a 代入，解得229,8a b ，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.二、多选题5．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM ，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF C ．||4||AB OF D ．180OAM OBM【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM 及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB即可判断C 选项；由0OA OB ，0MA MB 求得AOB ，AMB 为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM 可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp ，代入抛物线可得2233242p y p p ，则36(,)42p p A ，则直线AB的斜率为2342p p A 正确；对于B，由斜率为AB的方程为2p x y，联立抛物线方程得220y py p ，设11(,)B x y1p y p，则1y，代入抛物线得2123p x，解得13p x，则6(,)33p B ，则32p OB OF ，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF，C 正确；对于D，2333(,)(,)0423343234p p p p p OA OB，则AOB 为钝角，又2225((,)043436p p p p p MA MB，则AMB 为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ，则180OAM OBM ，D 正确.故选：ACD.6．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p 上，过点(0,1)B 的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1yB ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA D ．2||||||BP BQ BA 【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p ，所以抛物线方程为2x y ，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)210AB k，所以直线AB 的方程为21y x ，联立221y x x y，可得2210x x ，解得1x ，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx ，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y，得210x kx ，所以21212Δ401k x x k x x，所以2k 或2k ，21212()1y y x x ，又||OP，||OQ所以2||||||2||OP OQ k OA ，故C 正确；因为1|||BP x，2||||BQ x ，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ，而2||5BA ，故D 正确.故选：BCD 三、填空题7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE ，则ADE的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c ，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c，整理化简得到：221390y c ，利用弦长公式求得138c，得1324a c ，根据对称性将ADE 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a .【详解】∵椭圆的离心率为12c e a，∴2a c ，∴22223b a c c ，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ，，，∴23AF O，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE直线DE 的方程：x c ，代入椭圆方程22234120x y c ，整理化简得到：221390y c ，判别式22224139616c c ，∴12226461313cCD y，∴138c，得1324a c ，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ，，∴ADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a .故答案为：13.8．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a ，若直线AB 关于y a 对称的直线与圆22(3)(2)1x y 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32【解析】【分析】首先求出点A 关于y a 对称点A 的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解： 2,3A 关于y a 对称的点的坐标为 2,23A a ， 0,B a 在直线y a 上，所以A B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a，即 3220a x y a ；圆 22:321C x y ，圆心 3,2C ，半径1r ，依题意圆心到直线l 的距离1d，即 2225532a a ，解得1332a ，即13,32a；故答案为：13,329．（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y 在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MNl 的方程为___________．【答案】0x 【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设 11,A x y ， 22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB ，所以ME NE ，设 11,A x y ， 22,B x y ，则2211163x y ，2222631x y ，所以2222121206633x x y y ，即 12121212063x x x x y y y y 所以1212121212y y y y x x x x ，即12OE AB k k ，设直线:AB y kx m ，0k ，0m ，令0x 得y m ，令0y 得m x k，即,0m M k ， 0,N m ，所以,22m m E k，即1222mk m k，解得k 22k （舍去），又MNMN 2m 或2m （舍去），所以直线2:22AB y x，即0x；故答案为：0x 10．（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y 和22(3)(4)16x y 都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x 或7252424y x 或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y 的圆心为 0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y 的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k ，所以34l k ，设方程为3(0)4y x t t O 到l的距离1d，解得54t，所以l 的方程为3544y x ，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ，其中0p ，0k ，由题意14，解得7242524k p，7252424y x 当切线为n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544y x 或7252424y x 或1x.11．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m的渐近线与圆22430x y y 相切，则m _________．【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线 22210x y m m的渐近线为y x m ，即0x my ，不妨取0x my ，圆22430x y y ，即 2221x y ，所以圆心为 0,2，半径1r ，依题意圆心 0,2到渐近线0x my 的距离1d ，解得3m或33m （舍去）．12．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x 与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e 【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线by x a 中02b a即可求得满足要求的e 值.【详解】解：2222:1(0,0)x y C a b a b ，所以C 的渐近线方程为b y x a,结合渐近线的特点，只需02b a ，即224b a，可满足条件“直线2y x 与C 无公共点”所以 c e a又因为1e ，所以1e故答案为：2（满足1e 13．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y 上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．【答案】22(1)(1)5x y 【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y 上，∴设点M 为(,12) a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ，222694415 a a a a a ，解得1a ，∴(1,1)M，R M 的方程为22(1)(1)5x y .故答案为：22(1)(1)5x y 14．（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ，若过 0,0， 4,0， 1,1 ，则01640110F D F D E F ，解得046F D E，所以圆的方程为22460x y x y ，即 222313x y ；若过 0,0， 4,0， 4,2，则01640164420F D F D E F ，解得042F D E，所以圆的方程为22420x y x y ，即 22215x y ；若过 0,0， 4,2， 1,1 ，则0110164420F D E F D E F ，解得083143F D E，所以圆的方程为22814033x y x y ，即224765339x y；若过 1,1 ， 4,0， 4,2，则1101640164420D E F D F D E F ，解得1651652F D E，所以圆的方程为2216162055x y x y ，即 2281691525x y；故答案为： 222313x y 或 22215x y 或224765339x y或2281691525x y；四、解答题15．（2022·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y ．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点 1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y ．过P且斜率为QM .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213y x (2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k ；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y，由②//PQ AB 等价转化为003ky x ，由①M 在直线AB 上等价于 2002ky k x ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c ,∵渐近线方程为y，∴bab ，∴222244c a b a ，∴1a，∴b ．∴C 的方程为：2213y x ；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x ，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为 2y k x ,则条件①M 在AB 上，等价于 2000022y k x ky k x ；两渐近线的方程合并为2230x y ,联立消去y 并化简整理得： 22223440k x k x k 设 3334,,,A x y B x y ,线段中点为 ,N N N x y ,则 2342226,2233N N N x x k kx y k x k k ,设 00,M x y ,则条件③AM BM 等价于 222203030404x x y y x x y y ,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220x x x x x y y y y y ，3403403434220y y x x x y y y x x ,即 000N N x x k y y ,即200283k x ky k ；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由10102020,y y x x y y x x ,∴ 121202y y x x x ,所以直线PQ的斜率 1201212122x x x y y m x x x x,直线 00:PM y x x y ,即00y y ,代入双曲线的方程22330x y ,即3yy 中，得：00003y y ,解得P的横坐标：100x y x,同理：200x y x，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x∴03x m y,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于 2002ky k x ；条件②//PQ AB 等价于003ky x ；条件③AM BM 等价于200283k x ky k ；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k ,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴003ky x ，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ，∴02623x k ，∴ 2002ky k x ，∴①成立.16．（2022·全国·高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ，求PAQ △的面积．【答案】(1)1 ；(2)1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k ，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ 即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，所以224111a a ，解得22a ，即双曲线22:12x C y 易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m ， 1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx mx y 可得， 222124220k x mkx m ，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ，22222216422210120m k m k m k ．所以由0AP BP k k 可得，212111022y y x x ，即 122121210x kx m x kx m ，即 1212212410kx x m k x x m ，所以 2222242124102121m mk k m k m k k，化简得， 2844410k k m k ，即 1210k k m ，所以1k 或12m k ，当12m k 时，直线 :21l y kx m k x 过点 2,1A ，与题意不符，舍去，故1k ．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为 , ，因为0AP BP k k ，所以π ，因为tan PAQtantan 2 ，2tan 0，解得tan ，于是，直线 :21PA y x，直线 :21PB y x ，联立 222112y x x y可得，23211002x x ，因为方程有一个根为2，所以103P x ，P y53，同理可得，10423Q x，Q y 4253．所以5:03PQ x y ，163PQ，点A 到直线PQ的距离223d，故PAQ △的面积为1162317．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点 ,0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF ．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为, ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【答案】(1)24y x ；(2):4AB x .【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMF p，即可得解；（2）设点的坐标及直线:1MN x my ，由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k ，再由差角的正切公式及基本不等式可得22AB k，设直线:AB x n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为2px ，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p，所以2p ，所以抛物线C 的方程为24y x ；(2)设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y，直线:1MN x my ，由214x my y x可得2440y my ，120,4y y ，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y，34223434444AB y y k y y y y ，直线112:2x MD x y y，代入抛物线方程可得 1214280x y y y ，130,8y y ，所以322y y ，同理可得412y y ，所以 34124422MNAB k k y y y y又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为, ，所以tan tan 22MN AB k k，若要使 最大，则0,2，设220MN AB k k k ，则2tan tan 12tan 11tan tan 1242k k k k，当且仅当12k k即2k 时，等号成立，所以当 最大时，22AB k，设直线:AB x n ，代入抛物线方程可得240y n ，34120,4416y y n y y ，所以4n ，所以直线:4AB x .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.18．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 30,2,,12A B两点．(1)求E 的方程；(2)设过点 1,2P 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x (2)(0,2) 【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny ，过 30,2,,12A B，则41914n m n ，解得13m ，14n ，所以椭圆E 的方程为：22143y x .(2)3(0,2),(,1)2A B ，所以2:23AB y x ，①若过点(1,2)P 的直线斜率不存在，直线1x .代入22134x y，可得(1,3M，(1,N ，代入AB 方程223y x，可得3,)3T ，由MT TH得到H .求得HN方程：(22y x ，过点(0,2) .②若过点(1,2)P 的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y .联立22(2)0,134kx y k x y得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k ，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k ，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k，且1221224(*)34kx y x y k联立1,223y y y x可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x，将(0,2) ，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y ，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2). 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
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7.2004年全国高考数学试题汇编一一解析几何(一)1. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽)•理科数学第7题，文科数学第7题]2椭圆—• y 2 =1的两个焦点为F i 、F 2,过F i 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交4点为P ,则| PF 2 | =,3 A .22. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽)I 的斜率的取值范围是的轨迹方程为[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)•已知点A (1, 2)、B( 3, 1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 A . 4x 2y=5 B . 4x-2y=5 C . x 2y=5别是O '和A '，则O A "=囂£,其中•=B . .3•理科数学第8题，文科数学第8题] 设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线I 与抛物线有公共点，则直线3. 1 1A .[ —2, 2]B .[—2,2]C . [-1, 1]D . [ — 4, 4][2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽)•理科数学第14题，文科数学第15题] 由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、 B ,Z APB=60 ° ,则动点4. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)•理科数学第4题, 文科数学第已知圆C 与圆(x -1)2 y 2 =1关于直线 y = -x 对称，则圆 C 的方程为A . (x 1)2 y 2 =1B . x 2 - y 2 =12 2C . x (y 1)=12亠/ 八2D . x (y -1) =15. 文科数学第8题]6. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)•理科数学第8题]在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1 ,且与点B (3, 1)距离为2 A . 1条[2004年全国高考 的直线共有 ( D . 4条已知平面上直线 B . 2条C . 3条(四川云南吉林黑龙江)•理科数学第9题] 4 3l 的方向向量e =(,—),点0(0, 0)和A (1, — 2)在I 上的射影分5 541111A .B .C . 2D255& [2004年全国高考（四川云南吉林黑龙江）•理科数学第14题，文科数学第14题] 设x, y 满足约束条件：x _0, x _y, 2x 「y 辽1,贝U z = 3x 2y 的最大值是 ________________ .9. [2004年全国高考（四川云南吉林黑龙江）•理科数学第15题，文科数学第15题]设中心在原点的椭圆与双曲线 2x 2 -2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是[2004年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古） •理科数学第1题，文科数学第1题]设集合 M = ®x, y 核2 + y 2 =1,x 己 R, y E R }, N = f x, y)xI则集合M N 中元素的个数为、 1设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为yx ，则该双曲线的离心率 e = 2 _5 214 . [2004年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古）•理科数学第16题]10. 11 . [2004 年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古）-理科数学第 4题, 文科数学第圆x 22厂y-4^0在点P （1,'・3）处的切线方程为x .3y -2 = 0x - . 3y ，2 = 012. [2004 年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古）•理科数学第7题，文科数学第13 . [2004年全国高考（陕西广西海南西藏内蒙古）•文科数学第16题]2 2设P 为圆x y =1上的动点，则点到直线3x-4y-10=0的距离的最小值2设P是曲线y =4（x -1）上的一个动点，则点P到点（0,1）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为_______________ .15. ［2004年全国高考（甘肃贵州宁夏青海新疆）•理科数学第3题］过点（—1, 3）且垂直于直线x - 2y• 3 = 0的直线方程为（）A. 2x y-1=0B. 2x y-5=0C. x 2y-5=0D. x-2y 7=016. ［2004年全国高考（甘肃贵州宁夏青海新疆）•文科数学第7题］已知函数y = log1x与y二kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2,则k =（）41 1 1 1A . B. C. D .-4 4 2 217 . ［2004年全国高考（甘肃贵州宁夏青海新疆）•文科数学第8题］已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x 4y ^0与圆C相切，则圆C的方程为（）A . x2y2-2x-3=0B . x2y24x = 02 2 2 2C . x y 2x-3=0D . x y -4x=018 . ［2004年全国高考（甘肃贵州宁夏青海新疆）•理科数学第8题］1 2已知椭圆的中心在原点，离心率e ，且它的一个焦点与抛物线y二-4x的焦点重合,2则此椭圆方程为2 2 2 222x . y . A. 1x . y .B . 1C .x 2 .y 1X 亠 2 彳y = 14 38 62419 . ［2004年全国高考（甘肃贵州宁夏青海新疆）•理科数学第16题，文科数学第16题］设x, y满足约束条件：x y 岂1,*y兰x, 贝U z=2x + y的最大值是_____________________ .八0,20 .［（山东山西河南河北江西安徽）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（142分）］2设双曲线C:务- y2=1（a - 0）与直线l : x - 1相交于两个不同的点A、B.a（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：— 5 —（II）设直线I与y轴的交点为P,且PA PB.求a的值.21. ［（四川云南吉林黑龙江）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］给定抛物线C: y2=4x, F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A、B两点。
（I）设I的斜率为1，求OA与OB的夹角的大小；（H）设FB -，AF，若入€ ［4,9］，求I在y轴上截距的变化范围22. ［（陕西广西海南西藏内蒙古）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］2X 2设椭圆y =1的两个焦点是F^-C Q）与F2（C,0）,（C• 0），且椭圆上存在一点m 1P，使得直线PF1与PF2垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q，若QF2 2 - 3，求直线PF2的方程•23. ［（甘肃贵州宁夏青海新疆）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］x2y2、、双曲线—=1（^>1,^>0）的焦距为2C,直线l过点（a, 0）和（0, b）,且点（1,a b40）到直线I的距离与点（一1, 0）到直线I的距离之和s C.求双曲线的离心率e的取值范5围.参考答案1. C 2 . C 2 23. x + y = 44. C5. B6. B7. D2x 2 ‘8.5 9. y =1210. B 11. D12. C 13. 1 14... 515. A16. A17. D 18. A 19. 2 20. ［2004年全国高考（山东山西河南河北江西安徽）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力•解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组2x~~2ajx + y =1.有两个不同的实数解.消去y并整理得（1 - a2）x2+2a2x-2a2=0.所以I1］育2 4a4 +8a2（1 _a2）〉0.解得0 ::: a < ■■- 2且 a = 1.双曲线的离心率0 :：: a ：：一2且a =1,.e 6且e = 226 -即离心率e的取值范围为e-6, 2) (2 =).2(II)设A(x「yj, B(x2, y2), P(0,1)5PA PB,125-(my -1) (X2, y2 -1).12由此得x1— x2.122y =1,由于X 1+X 2都是方程①的根，且 1— a 2z 0,21.［（四川云南吉林黑龙江）•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］ 本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和 综合解题能力。
I ） C 的焦点为F （1, 0）,直线I 的斜率为1,所以I 的方程为y=x —1.将y = x -1代入方程 y 2= 4x ，并整理得 设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),则有x 1 x^ 6, x 1x 2 =1.OA OB 化皿)=yy = 2恥2 -(洛 x ?) 1 = -3.|OA||OB 1= x 2 y ；. x ； y ；二4(花 x ?) 16] =、41.OA OB 3.14cos(OA, OB).|OA| |OB|41所以OA 与 OB 夹角的大小为二- arccos 3■上.41（H ）由题设 FB 「AF 得（x 2 —1,y 2）=（-论‘一力）,即 X 2 刊「（17）, ①②由②得2 2 2 y 2y 1 ,2 2y 1胡人皿=4X 2,H 2• X 2X 1 .联立①、 ③解得x^ -,依题意有"食0.••• B (丸,2以),或B (丸厂2顶),又F (1, 0),得直线I 方程为(-T)y = 2-1)或(--1)y - -2 • ■ (x T),所以 17 一x 212 2a 2 1-a 2 5 x 12 2 a 2 1 _a 消去,X 2,得1289而由a ^0,所以a解:2x -6x1=0.2a 2 17 132m一1代入②，化简得型2-1 -当八e［4,9］时，I 在方程y 轴上的截距为2、 或■ -1 ■ -12 2+ -----■ -1■可知-在［4 ,九-19］上是递减的，::J : 4 ± 九一1 3, 3 ；：.2 一—九-1直线I 在y 轴上截距的变化范围为22.［（陕西广西海南西藏内蒙古） 本小题主要考查直线和椭圆的基本知识,［4 3 3 4］ 3 4 4 3•理科数学第21题（12分），文科数学第22题（14分）］ 以及综合分析和解题能力 解：（I ）由题设有m . 0, c = m.设点P 的坐标为（x 0, y 0）,由PF i 丄PF 2，得y 。
X 0 - c y 0 —=-1, 化简得X 0 C2X2y 。
二 m.2将①与芒匚m +1y 2 =1联立，解得2X 0 =2 m—12,y 。