11集合的概念课件-秋高中数学人教A版(2019)必修一
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1.1 集合的概念
高一年级 数学
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由 德国数学家康托尔在 19 世纪 70 年代奠定的，经过一大批科学家半个 多世纪的努力，到 20 世纪 20 年代已确立了其在现代数学理论体系中 的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严 格的集合理论上.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成 的总体叫做集合(set)（简称集）.
给定的集合，它的元素必须是确定的.而当元素不确定时，不能构 成集合，例如，“较小的数”就不能构成集合.（元素的确定性）
一个给定集合的元素是互不相同的，也就是说，集合中元素 是不重复出现的.（元素的互异性）
例如0 0 ，不能写成0 0 .
数学中常用数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记作 N ；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N* 或 N ；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作 R .
课堂检测: （1）已知集合 A 含有两个元素a和a2，若 1∈A，则实数a 的 值为________. 解：因为a 和a2都是集合 A 的两个元素，
所以a a2 ，a 1，a 0
又因为 1A，所以a2 1 a 1
（2）已知集合 A={ x | x2 ax b 0} ，若 A={2，3}，求a,b的值．
一般来说，当从上下文关系看， xR 或 xZ 等关系是明 确的,那么“|”前的 xR 或 xZ 可以省略，比如 A 也可
以写成x | x 10，B 也可以写成x |10 x 20, x Z.
思考： 所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？它们的
表示方法是否唯一？
设 A 为所有奇数的集合，则 A x | x 2k 1，k Z . 设 B 为所有偶数的集合，则B x | x 2k，k Z . A x | x 2t 1，t Z A x | x 2k 1，k Z A x | x 4k 1，k Z
如果两个集合的元素是一样的,则两个集合是相等的.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
判断以下结论是否正确： 1.所有的“美景”能构成一个集合. 错误，“美景”这个元素不确定.
2.由2，3，4，5，|3| 这几个数构成的集合中有5个元素. 错误，3 和 |3| 相等，这个集合中只有 4 个元素.
通常用大写拉丁字母 A，B，C，…表示集合，用小写拉丁
字母a，b，c…表示集合中的元素.
如果 a .是集合. A.中的元素，就说.a .属于集合. A，记作 aA；如果.a .不是集合. A.中的元素，就说.a 不属于集合. A， 记作. a A.
例如，若用 A表示“1 10之间的所有偶数”组成的集合， 则有4A，3A.
注意：元素与集合只有“属于”和“不属于”两种关系，
（2）设方程 x2 x 的所有实数根组成的集合为 B，那么 B={1，0}.
注意：由于元素相同的两个集合相等，与列举顺序无关，因此 一个集合可以有不同的列举方法.（元素的无序性）
若a A，b A，则a，b可以相等，但是若 A a，b，则a b
思考：
（1）能不能用列举法表示立德中学高一年级的所有学生？ （2）能不能用列举法表示不等式 x 7 3 的解集？
B x | x 2k 2，k Z
思考：
集合M x, y | y x2 1，x R 与集合 N y | y x2 1，x R 相等吗？
不相等，集合 M 是一个点集，集合中的元素都在函数 y x2 +1 的图象上，而集合 N 是一个数集，集合中的元素是二
次函数 y x2 1 中 y 的取值，实际上 N y | y≥1.
（1）可以 （2）不可以，因为满足 x 10 有无穷多个元素.
2.描述法：
一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同
特征的P x的元素 x所组成的集合表示为x | P x ，这种方法
称为描述法.
例如：不等式 x73 的解集可表示为x R | x 10
Q=
x
R
|
x
q ，p，q Z，p p
练习：用“”或 “”填空 2______N， 2 3_______Q, ______R，
3______Z， 0_______N* ．
集合的表示法 1.列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋},“方程 x2 3x 2 0 的所有实根”组成的 集合可以表示为 {1,2} .
0
例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. （1）方程 x2 2 0 的所有实数根组成的集合. （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.
（1）列举法：方程 x2 2 0 有两个实根， 2, 2 ，用列举法
表示为 A 2， 2 ；
描述法：设 x A，x2 2 0，则 x为实数，用描述法表示为
在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集 合，同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合（即圆）.
（1）1～10 以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点； （5）方程 x2 3x 2 0 的所有实数根； （6）地球上的四大洋.
把集合中的所有元素一一列举出来，并用“{ } ”括起来表 示集合的方法叫做列举法.
例 1 用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合. （2）方程 x2 x 的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A， 那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
A x R | x2 2 0 .
（2）列举法：大于 10 小于 20 的整数共有 9 个，用列举法表示 为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19};
描述法：设 xB，则 x 是一个整数，即 xZ，且10 x20，
用描述法表示为B x Z |10 x 20.
高一年级 数学
集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由 德国数学家康托尔在 19 世纪 70 年代奠定的，经过一大批科学家半个 多世纪的努力，到 20 世纪 20 年代已确立了其在现代数学理论体系中 的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严 格的集合理论上.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成 的总体叫做集合(set)（简称集）.
给定的集合，它的元素必须是确定的.而当元素不确定时，不能构 成集合，例如，“较小的数”就不能构成集合.（元素的确定性）
一个给定集合的元素是互不相同的，也就是说，集合中元素 是不重复出现的.（元素的互异性）
例如0 0 ，不能写成0 0 .
数学中常用数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记作 N ；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N* 或 N ；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；
全体实数组成的集合称为实数集，记作 R .
课堂检测: （1）已知集合 A 含有两个元素a和a2，若 1∈A，则实数a 的 值为________. 解：因为a 和a2都是集合 A 的两个元素，
所以a a2 ，a 1，a 0
又因为 1A，所以a2 1 a 1
（2）已知集合 A={ x | x2 ax b 0} ，若 A={2，3}，求a,b的值．
一般来说，当从上下文关系看， xR 或 xZ 等关系是明 确的,那么“|”前的 xR 或 xZ 可以省略，比如 A 也可
以写成x | x 10，B 也可以写成x |10 x 20, x Z.
思考： 所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？它们的
表示方法是否唯一？
设 A 为所有奇数的集合，则 A x | x 2k 1，k Z . 设 B 为所有偶数的集合，则B x | x 2k，k Z . A x | x 2t 1，t Z A x | x 2k 1，k Z A x | x 4k 1，k Z
如果两个集合的元素是一样的,则两个集合是相等的.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
判断以下结论是否正确： 1.所有的“美景”能构成一个集合. 错误，“美景”这个元素不确定.
2.由2，3，4，5，|3| 这几个数构成的集合中有5个元素. 错误，3 和 |3| 相等，这个集合中只有 4 个元素.
通常用大写拉丁字母 A，B，C，…表示集合，用小写拉丁
字母a，b，c…表示集合中的元素.
如果 a .是集合. A.中的元素，就说.a .属于集合. A，记作 aA；如果.a .不是集合. A.中的元素，就说.a 不属于集合. A， 记作. a A.
例如，若用 A表示“1 10之间的所有偶数”组成的集合， 则有4A，3A.
注意：元素与集合只有“属于”和“不属于”两种关系，
（2）设方程 x2 x 的所有实数根组成的集合为 B，那么 B={1，0}.
注意：由于元素相同的两个集合相等，与列举顺序无关，因此 一个集合可以有不同的列举方法.（元素的无序性）
若a A，b A，则a，b可以相等，但是若 A a，b，则a b
思考：
（1）能不能用列举法表示立德中学高一年级的所有学生？ （2）能不能用列举法表示不等式 x 7 3 的解集？
B x | x 2k 2，k Z
思考：
集合M x, y | y x2 1，x R 与集合 N y | y x2 1，x R 相等吗？
不相等，集合 M 是一个点集，集合中的元素都在函数 y x2 +1 的图象上，而集合 N 是一个数集，集合中的元素是二
次函数 y x2 1 中 y 的取值，实际上 N y | y≥1.
（1）可以 （2）不可以，因为满足 x 10 有无穷多个元素.
2.描述法：
一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同
特征的P x的元素 x所组成的集合表示为x | P x ，这种方法
称为描述法.
例如：不等式 x73 的解集可表示为x R | x 10
Q=
x
R
|
x
q ，p，q Z，p p
练习：用“”或 “”填空 2______N， 2 3_______Q, ______R，
3______Z， 0_______N* ．
集合的表示法 1.列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋},“方程 x2 3x 2 0 的所有实根”组成的 集合可以表示为 {1,2} .
0
例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. （1）方程 x2 2 0 的所有实数根组成的集合. （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.
（1）列举法：方程 x2 2 0 有两个实根， 2, 2 ，用列举法
表示为 A 2， 2 ；
描述法：设 x A，x2 2 0，则 x为实数，用描述法表示为
在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集 合，同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合（即圆）.
（1）1～10 以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点； （5）方程 x2 3x 2 0 的所有实数根； （6）地球上的四大洋.
把集合中的所有元素一一列举出来，并用“{ } ”括起来表 示集合的方法叫做列举法.
例 1 用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合. （2）方程 x2 x 的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A， 那么 A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
A x R | x2 2 0 .
（2）列举法：大于 10 小于 20 的整数共有 9 个，用列举法表示 为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19};
描述法：设 xB，则 x 是一个整数，即 xZ，且10 x20，
用描述法表示为B x Z |10 x 20.