集合的基数

等势集合的实例(6)
（6）对任何a, b∈R，a<b， [0,1]≈[a,b]。 双射函数f：[0,1]→[a,b]，f(x)＝(ba)x+a。
例2
例2 设A为任意集合，则P(A)≈{0,1}A。
证明
构造f：P(A)→{0,1}A， f(A)=A ，A∈P(A)。 其中A 是集合A 的特征函数。 (1)易证 f 是单射的。 (2)对于任意的 g∈{0,1}A， 那么有 g：A→{0,1}。令
设 f:N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。f的所有函数值为：
f(0)=0.a1(1)a2(1)… f(1)=0.a1(2)a2(2)… … f(n1)=0.a1(n)a2(n)… …
令y的表示式为0.b1b2…，并且满足bi ≠ ai(i)，i=1,2,…， 则y∈[0,1]， 但y与上面列出的任何一个函数值都不相等。
0 1

1 2
1 2
1 22
1 23
21n 2n12


1 22

1 23 1 24 1 25


x0 1/ 2 1/ 22 x 1 双射函数 f : [0,1](0,1)， f ( x) n 1 2 x 1/ 2 n , n 1, 2,... 1/ 2 其它x x
例如 x = 0.10110100…，则对应于x的函数tx是： n 0 1 2 3 4 5 6 7… tx(n) 1 0 1 1 0 1 0 0…
易见tx∈{0,1}N，且对于x,y∈[0,1)，x≠y，必有tx ≠ ty， 即f(x) ≠ f(y)。 所以，f：[0,1)→{0,1}N是单射的。
说 明
根据这个定理可以知道N ≈ P(N)。 综合前面的结果，可知N ≈ {0,1}N 。 实际上，P(N)，{0,1}N和R都是比N“更大”的集合。
优势
定义2 （1） 设A, B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优 势于A，记作A≤· B。 如果B不是优势于A， 则记作A≤· B。 （2）设A, B是集合，若A≤· B且A≈ B，则称B真优势于A，记 作A＜· B。如果B不是真优势于A，则记作A≮· B。 例如：
构造一个[0,1]区间的小数b，使得b在N中不存在原像。
（2）任取函数f：AP(A)，构造B∈P(A)，使得B在A中不存在 原像。 或者使用反证法。
康托定理
（1）首先规定[0,1]中数的表示。 对任意的x∈[0,1]，令x = 0.x1x2… , （0 ≤ xi ≤ 9）
注意：为了保证表示式的唯一性，如果遇到0.24999…，则将x 表示为0.25000…。
任何的实数区间（开区间、闭区间以及半开半闭的区间） 都与实数集合R等势。
问题：N和R是否等势？
康托定理
定理2 康托定理 （1）N ≈ R。
（2）对任意集合A都有A ≈ P(A)。
分析
（1）如果能证明N ≈ [0,1]，就可以断定N ≈ R。 只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。
（4）(0,1)≈R。 其中实数区间 (0,1)={x| x∈R∧0<x<1}。 令双射函数 f : (0,1) R,
2x 1 f ( x) tan 2
则 f 是(0,1)到R的双射函数。从而证明了(0,1)≈R 。
等势集合的实例(5)
（5）[0,1]≈(0,1)。 其中(0,1)和[0,1]分别为实数开区间和闭区间。
f : Z N,
x0 2x f ( x) 2 x 1 x 0
则f是Z到N的双射函数。 从而证明了Z≈N。
等势集合的实例(2)
（2） N×N≈N。
双射函数
f : N N N,
f ( m, n )
(m n 1)(m n) m 2
等势集合的实例(3)
(1) 设x[0,1)，0.x1x2…是x的二进制表示。 为了使表示唯一，规定表示式中不允许出现连续无数个1。 例如 x＝0.1010111，应按规定记为0.1011000。 对于x，如下定义f：[0,1)→{0,1}N，使得
f(x) = tx，且tx：N→{0,1}， tx(n) = xn+1，n = 0,1,2,…
复习
B={x| x∈A∧g(x)=1}
则BA，且B=g，即B∈P(A)，使得f(B)=g。 所以 f 是满射的。 由等势定义得P(A)≈{0,1}A。
等势的性质
定理1 设A，B，C是任意集合， （1）A≈A。
（2）若A≈B，则B≈A。
（3）若A≈B，B≈C，则A≈C。
证明 （1） IA是从A到A的双射，因此A≈A。
（3）N≈Q。 把所有形式为p/q (p,q为整数且q>0) 的数排成一张表。 以0/1作为第一个数，按照箭头规定的顺序可以“数遍”表中 所有的数。计数过程中必须跳过第二次以及以后各次所遇到的 同一个有理数。
… -3/1 … … … -3/2 -3/3 -3/4
[16] [18]
-2/1 -2/2 -2/3 -2/4
[5]
-1/1 -1/2 -1/3 -1/4
[4]
0/1 0/2 0/3 0/4
[0]
1/1 1/2 1/3 1/4
[1]
2/1 2/2 2/3 2/4
[10]
3/1 … 3/2 … 3/3 … 3/4 …
[13] [12]
[11]
[17]
[3]
[2]
[6]
[7]
[8]
[9]
[15]
[14]
等势集合的实例(4)
后继
定义3 设a为集合，称a∪{a}为a的后继，记作a+，即 a+=a∪{a}。 例3 考虑空集的一系列后继。
+
= ∪ { } ={}
++
= { }+ = {}∪{{}}
+++ ={,{}}+ = {,{}}∪{{,{}}} = {,{},{,{}}}
= {,{}}
所以， g：{0,1}N→[0,1) 是单射的。
根据定理9.3，有{0,1}N≈[0,1)。
总结
N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N R ≈ [a,b] ≈ (c,d) ≈ {0,1}N ≈ P(N) 其中[a,b]，(c,d)代表任意的实数闭区间和开区间。 {0,1}A ≈ P(A)
N ＜·R
自然数n和自然数集合N的定义
定义5 自然数 （1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。
（2）自然数集N是所有归纳集的交集。
说明：根据定义9.5得到的自然数集 N 恰好由, +, ++, +++,…等集合构成。而这些集合正是构造性方法所定义的 全体自然数。 例如：自然数都是集合，集合的运算对自然数都适用。 2∪5＝{0,1}∪{0,1,2,3,4}＝{0,1,2,3,4}＝5 3∩4＝{0,1,2}∩{0,1,2,3}＝{0,1,2}＝3 4-2＝{0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 2×3＝{0,1}×{0,1,2}＝{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
N ≤·N
N ≤·R A ≤·P(A)
N ＜·R
A ＜·P(A)
R ≮·N
N ≮·N R≤· N
优势的性质
定理3 设A, B, C是任意的集合，则 （1）A≤· A。 （2）若A ≤·B且B ≤·A，则A≈B。 （3）若A ≤·B且B ≤·C, 则A ≤·C 。 证明： （1）IA是A到A的单射，因此A≤· A。 （2）证明略。 （3）假设A ≤·B且B ≤·C，那么存在单射 f:A→B，g:B→C， 于是 fg：A→C也是单射的，因此A ≤·C 。
= { , +}
说 明
= {, +, ++ }
前边的集合都是后边集合的元素。 前边的集合都是后边集合的子集。
自然数的定义
利用后继的性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自 然数的定义，即 0= 1=0+＝+ ＝{}＝{0}
2=1+＝{}+ ＝{}∪{{}}＝{,{}}＝{0,1}
说 明
该定理为证明集合之间的等势提供了有力的工具。 构造两个单射f：AB 和 g：BA函数容易集合等势。
例题
例题：证明[0,1]与(0,1)等势。
证明：构造两个单射函数
f: (0,1)→[0,1]，f(x)＝x g: [0,1]→(0,1)，g(x)＝x/2+1/4
证明 {0,1}N≈[0,1)
即f不是满射的。 所以，N ≈ R。
康托定理
假设A≈P(A)，则必有函数 f : A→P(A)是双射函数。
如下构造集合B：
B＝{x| x∈A∧x f (x)} 可知 B∈P(A)。 于是存在唯一一个元素b∈A，使得 f(b)＝B。 若b∈B，则由B的定义知，b f (b)，即 bB，矛盾。
பைடு நூலகம்
若bB，则b f (b)，于是由B的定义知， b∈B，矛盾。
康托定理
（2）设g：A→P(A)是从A到P(A)的任意函数， 如下构造集合B： B＝{x| x∈A∧xg(x)} 则B∈P(A)。 但是对任意x∈A，都有 x∈B xg(x) 所以，对任意的x∈A都有B≠g(x)，即Bran g 即P(A) 中存在元素B，在A中找不到原像。 所以，g不是满射的。 所以， A ≈ P(A)。
（2） 假设A≈B ，存在 f : AB是双射， 那么 f1 : BA是从B到A的双射，所以B≈A。 （3） 假设A≈B，B≈C，存在 f :AB，g:BC是双射， 则fg : AC是从 A 到 C 的双射。 所以A≈C。