【个题研究】(全国1卷)(理20)从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法_邓军民
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．2-B ．1-C 2D ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 55．若221m n >>,则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ,b ,满足(3=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）S ＝S ＋⎰i ＋1i1x d x开始否 i ＜m ？ 结束是i ＝1，S ＝0 i ＝i ＋1输出SA．6 7B．335C．1135D．019．9．已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x=-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．函数()y g x=的最小正周期是πB．函数()y g x=的一条对称轴是π8x=C．函数()y g x=的一个零点是3π8D．函数()y g x=在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F的抛物线2:8C y x=的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当MAMF 取得最大值时,直线M A的方程为（）A．2y x=+或2y x=--B．2y x=+C．22y x=+或22y x=-+D．22y x=-+12．定义在R上的函数()f x满足()()22f x f x+=,且当[]2,4x∈时,()224,232,34x x xf x xxx⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax=+,对[]12,0x∀∈-,[]22,1x∃∈-使得()()21g x f x=,则实数a的取值范围为（）A．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U B．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC．(]0,8D．11,,48⎛⎤-∞-+∞⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x x ⎛++ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________．15.知变量x ,y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图,在ABC △中,3sin2ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,43BD =,则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分） 如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =u u u r u u u r,ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的任意一点,求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=（其中a ,b ,c 为正实数）,求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题答案解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示；当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=故选C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可排除选项A ,B ；32m =,1n =时,可排除选项C , 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确,故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ,且：()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面向量模的计算公式可得：3-===a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 第二次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018,故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病,事件B 为72h 发病,由题意可知：()0055P A =．,()019P B =．,则()0945P A =．,()081P B =．, 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确；当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确；当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,MAF ∠必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+,所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥；当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,故选D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得：7n =,73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得：6r =,令72112r -=可得：407r =,不是整数解,据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()1,2cos x y zθ-⋅===,其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π,目标函数z=故选C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=, 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=整理可得：22216620z x y +--=．①在ABC △中,由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=,则：2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=, 故9xy ≤,当且仅当x =,y 时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+,3n n b =；（2）223n n n S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得：2d =或0d =（舍）,所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++．．．,21572133333n n n S -+=++++．．．, 所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．, 所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人,2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人． （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为： X0 1 2 P 27 47 17 ()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（213 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥， 又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ，∴||cos,||||n CAn CAn CA⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r∵二面角F BE D--为锐角，∴二面角F BE D--．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB=u u u r u u u r，所以F到准线的距离即为三角形ABC△的中位线的长，所以2AC p=，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p==，BC=，122ABCS p=⋅⋅=△解得2p=，所以抛物线的标准方程为24x y=．（2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y 联立241x yy kx=+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y得2440x kx--=，得124x x=-，24xy=，'2xy=，设()11,M x y，()22,N x y，111:22l y y xx+=，222:22l y y xx+=，()22212212112121121212442,22,12444p p px xy y x x x x x x x x y x yx x x x⎛⎫-⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P点坐标21,12x xP+⎛⎫-⎪⎝⎭，由111:22l y y xx+=，得1,02xQ⎛⎫⎪⎝⎭，12QFkx=-，221141222lxkx x-==⋅=-，所以2QF lk k=，即2PQ l∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x的定义域为R．由()'10f x=≥，知()f x是实数集R上的增函数．（2）令()()(33lng x f x ax x x ax=-=--，则()2131'axg x--，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ． 因为θ∈R，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
作者：邓军民
来源：《广东教育·高中》2019年第10期
2019年高考數学命题以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力. 试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务. 今年全国？玉卷的导数压轴题也设置得很有特色，考查了函数零点问题，题目如下：。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；当0a =时，(,)-¥+¥区间上单调递增；当0a >时，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以，若0a <，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立. 若0a =，(,)-¥+¥区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =ìí=-î. 若02a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+³，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f . 即322()()13321a a ab a b ì-+=-ïíï-+=î相减得32227a a -+=，即(33)(33)0a a a -+=，又因为02a <£，所以无解. 若23a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+£，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f . 即322()()1331a a a b b ì-+=-ïíï=î相减得3227a=，解得332x =，又因为23a <£，所以无解. 若3a >，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =ìí-+=-î解得41a b =ìí=î.综上得01a b =ìí=-î或41a b =ìí=î. 【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、最值问题，最值问题，最值问题，此类问题一般住现此类问题一般住现在第一问，在第一问，但但2019年高考3卷把该题放到第20题位置，难度也相应降低，因此，该题的第二问仍然这类问题，只不过多出一个参数。
2019-年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
2019年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析【题目叙述】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得´1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得´1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0“0，p8“1，p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q.假设α“0.5，β“0.8.（i）证明：t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【题目分析】本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。
命题人在命题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。
2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国1卷参考版)【含答案及解析】
2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。
2019年高考全国卷Ⅰ“函数与导数”试题分析与备考建议
8 福建中学数学 2020年第4期2019年高考全国卷I “函数与导数”试题分析与备考建议王 瑜 林梦雷闽南师范大学数学与统计学院（363000）本文对2019年全国理科卷“函数与导数”试题进行评析，并分析了近三年来全国卷“函数与导数”的命题特点，明确备考方向，最后提出备考建议．根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，“函数及其导数”相关知识属于选择性必修课程，可见其在高中课程中占了比较重要的地位，目的是提升学生数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理等核心素养．2019年全国理科卷对于“函数与导数”相关知识的考查，万变不离其宗，与前几年考查方式类似，考查内容仍然是函数的性质（包括函数单调性、奇偶性、对称性、周期性等），极值点和零点问题，但每次考查都会出现新奇之处!事实上，“函数”始终贯穿高中数学的函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想的教学主线，与“导数”结合可以很好地考查学生的数学思维能力和计算能力， 特别是考查学生的数学思维的严谨性与发散性，是选拔人才的重要保证．1 2019年全国理科I 卷“函数与导数”试题评析 题目1 （2019年高考全国卷I ·理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x ′为()f x 的导数，证明：（1）()f x 在区间π(1)2−，存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．评析 “函数与导数”是压轴题，有“拉差距”的作用，予以重点解析．2019年的“函数与导数”压轴题的表述与往年类似，简明不啰唆，不在题目表述上做文章，但要求学生有较好的函数与导数基本功．第一问不难，往年考查含参函数的问题，而2019年干脆直接是熟悉的函数．以下对第二问进行解法分析．解法 由（1）知0π(0)4x ∃∈，，使得0()0f x ′′=． 故()f x ′在0(1)x −，上单调递增，在0π()2x ，上单调递减．0()(0)0f x f ′′∴>=，π1()00π212f ′=−<+，10π()2x x ∴∃∈，使得1()0f x ′=．(10)x ∴∈−，，()f x 单调递减． 1(0)x x ∈，，()f x 单调递增； 1π()2x x ∈，，()f x 单调递减． 又(0)0f =，ππ()1ln(1)022f =−+>． π(1)2x ∴∈−，时，()f x 仅有一个零点，又π[π]2x ∈，时，1()cos 01f x x x ′=−<+，π()02f >，(π)0ln(π1)0f =−+<， π[π]2x ∴∈，，()f x 仅有一个零点，当[π)x ∈+∞，时，ln(1)ln(π1)1x +>+>，sin 1x ≤， 故()f x 无零点．综上所述，()f x 有且仅有两个零点．题目2 （2019年高考全国卷I ·文20）已知函数()2sin cos f x x x x x =−−，()f x ′为()f x 的导数．（1）证明：()f x 在区间(0π)，存在唯一零点． （2）若[0π]x ∈，，()f x ax ≥，求a 的取值范围． 评析 文科卷“函数与导数”题，与往年一样，是在理科卷的基础上降低了一些难度，本题与理科20题相比没有对数函数，只留下了学生较为熟悉的三角函数，在一定程度上降低了难度．第一小问与理科类似，只需证明存在唯一零点即可，不需判断是否极值点．以下对第二问进行多种解法分析．解法1 构造函数，直接讨论 设()()2sin cos h x f x ax x x x x ax =−=−−−，则()cos sin 1h x x x x a ′=+−−， 由（1）知()h x ′在π(0)2，上单调递增， 在π(π)2，上单调递减， max ππ()()122h x h a ′==−−，(0)h a ′=−，(π)2h a ′=−−，2020年第4期 福建中学数学 9并且(0)(π)h h ′′>，当π()02h ′≤即π12a ≥−时，()h x 在(0π)，单调递减，且(0)0h =，即()(0)0h x h <=，不合题意；当π()02h ′>即π12a <−时，若(π)0h ′≥，即2a ≤−时，()0h x ′≥，()h x 在[0π]，上单调递增，即()(0)0h x h ≥=，符合题意；若(0)0h ′≥，(π)0h ′<即20a −<≤时， π()02h ′> ，即1π(π)2x ∃∈，使得1()0h x ′=， ()h x ∴在1(0)x ，单调递增，在1(π)x ，单调递减，故()min{(0)(π)}0h x h h ≥=，，符合题意； 若(0)h ′<0即0a <时，由于π()02h ′>， 即2π(0)2x ∃∈，使得2()0h x ′=，()h x ∴在2(0)x ，单调递减， ∴当2(0)x x ∈，，()(0)0h x h <= ，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围为(0]−∞，． 解法2 缩小范围，减少讨论 由题可知(π)0f =，可得0a ≤．又由（1）得'()f x 在(0π)，只有一个零点， 设为0x ，并且当0(0)x x ∈，时，()0f x ′>； 当0(π)x x ∈，时，()0f x ′<，()f x ∴在0(0)x ，单调递增，在0(π)x ，单调递减， 又(0)0f =，(π)0f =，∴当[0π]x ∈，时，()0f x ≥，又当0a ≤，[0π]x ∈，时，()f x ax ≥． 因此，a 的取值范围是(0]−∞，．评析 以上是解决恒成立问题的通解通法，解法1直接对参数进行全面的讨论，做到不重不漏；解法2通过借助一些特征，将参数的取值范围先缩小，减少讨论过程．当然我们还可以运用特殊值与端点的方法，以及将等号两边看作两个函数，通过数形结合的思想来解题，但是后两种方法一般多用于选择、填空题，对于解答题采用前两种方法更为严谨些．2 备考建议（1）基础是成功的保障紧抓函数与导数两条主线，构建其知识结构框架．对于“基本函数的概念与性质”，熟练掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、等基本知识以及求解方法，做到灵活应用；对于“基本函数的图象与性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，会利用导数探讨函数图象的形状、探讨函数的零点及其性质．（2）阅读是必备的能力常言道“读书破万卷，下笔如有神”，也就说，想要出口成章，阅读是最基础、最重要、最直接也是最有效的手段．而随着中、高考的改革，阅读的重要性也越来越凸显．在未来，阅读能力直接影响分数，如果阅读能力不过关，连卷子都做不完，考试更是会吃大亏！这可不是危言耸听，这是“部编本”教材总主编温儒敏在公开演讲中的原话．不仅仅是语文，从今年高考改革的形式来看，数学也同样需要较好的阅读能力．所以，想要学得好，考得好，一定要重视阅读能力的培养，尤其是多涉猎一些数学史相关的书籍．（3）素养是前进的动力近几年全国卷“函数与导数”的试题内容 充分体现高考命题强调“以素养立意”的指导思想，全国高考卷对“函数与导数”的考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，综合考查用函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想， 还综合考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，并且是多种素养同时考查．自从《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出六大核心素养以来，一直成为比较热的话题，素养的培养实际上外在表现就是学生能力的培养，因此，要始终围绕六大数学核心素养来备考，是永远不会偏离路线的，它是学生乃至教师前进的动力所在．参考文献 [1]冯海容．“函数与导数”高考复习专题[J]．中学教研（数学），2019（05）：42-47[2]舒华瑛．“导数与函数”高考题解题策略探析[J]．延边教育学院学报，2019，33（01）：128-130，134 [3]任冲．导数工具巧应用 函数零点妙解决——以一道高考题为例[J]．中学数学教学参考，2019（Z3）：135-136[4]李晓波，方德兰．2018年高考全国Ⅰ卷“函数与导数”试题分析与备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2018（17）：33-36[5]冯建国．2018年高考“函数与导数”专题命题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：20-25[6]周志国．2018年高考“函数与导数”专题解题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：26-32 [7]黄如炎，林晴岚．2018年高考函数与导数综合题探析和教考建议[J]．中10 福建中学数学 2020年第4期学数学杂志，2018（07）：50-54[8]李志敏．2017年高考函数与导数试题分析与2018年高考备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2017（17）：23-28 [9]黄玫婷．一道高考“函数与导数”压轴题的讲评[J]．福建中学数学，2017（08）：22-24[10]逄玲玲．高考函数与导数综合题的探究与教学构想[J]．数学学习与研究，2017（15）：136[11]龙正武．从一道高考真题谈函数导数压轴题的备考[J]．数学通报，2017，56（05）：48-51[12]李立美．高考函数导数压轴题分析及应对策略[J]．中学数学，2017（03）：82-84（本文系福建省教育教学科研项目《核心素养视角下大学生数学教学改革研究》（立项批准号：FBJG20180021）研究成果）厦门市2019年高一期末质检数学第10题的探究李若璕 福建省厦门实验中学（361000）1 试题呈现试题 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A B ，的距离之比为(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(20)A −，，(40)B ，，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 的轨迹为C ．下列结论正确的是（ ）．A ．C 的方程为22(4)9x y ++=B ．在x 轴上存在异于A B ，的两定点D E ，，使得||1||2PD PE = C ．当A B P ，，三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = 2 教材背景题目1 （人教A 版必修2第124页B 组习题）已知点M 与两个定点(00)O ，，(30)A ，的距离之比为12，求点M 的轨迹方程． 解析 设动点()M x y ，，由题意知||1||2||||2MO MA MO MA =⇒=，化简得22230x y x ++−=， 即22(1)4x y ++=．所以22(1)4x y ++=为点M 的轨迹方程， 是以(10)−，为圆心，2为半径的圆．题目2 （人教A 版必修2第140页[信息技术应用]）已知点(20)P ，，(80)Q ，，点M 与点P 的距离是它与点Q 的距离的15，用《几何画板》探究点M 的轨迹，并给出轨迹的方程．根据题意，在《几何画板》中作出点(20)P ，，(80)Q ，，以及点M ，测量点M 与点P 的距离以及点M 与点Q 的距离，使得||5||MQ MQ =．当点M 移动时，||5||MQ MQ =保持不变，点M 运动形成轨迹，猜想点M 的轨迹是圆，进而用“坐标法”证明猜想成立，点M 的轨迹方程为22725()416x y −+=．题目3 （人教A 版必修2第144页B 组习题）已知点()M x y ，与两个定点12M M ，距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）上述问题将前两个结论进一步推广到比值为m 的讨论，引导学生们发现，当1m ≠时，动点轨迹是圆．由此得到：在平面内，到A B ，两点距离之比等于常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是一个圆．此结论为古希腊数学家阿波罗尼斯发现，相应的轨迹称为阿波罗尼斯圆．图1 图23 阿波罗尼斯圆（1）从代数的角度探讨 题目4 动点()C x y ，到定点(0)(0)A c B c −，，，的距离之比为λ（c λ，为正常数），求()C x y ，的轨迹方程． ， 则2222222(1)(1)2(1)(1)0x y c x c λλλλ−+−+++−=，P AB QCP ABQC。
无数学不兄弟之2019全国高考数学理科压轴题解析
⇒
44π 100
≤
ωπ 10
+
π 5
<
69π 100
69π
而
>π
，结合
f
( x) = sin t 图像
∴（3）错误
100 2
再判断（1）（2）是否正确？
∵= f ( x)
sin
ω
x
+
π 5
= ∴ f ' ( x)
ω
cos
ω
x
+
π 5
令 g ( = x) cos t=,t ω x + π ∴ π ≤ t ≤ π + 2ωπ
0,
a 3
单调递减，在
a 3
,
+∞
单调递增
当
a
<
0
时，
f
(x)
在
−∞,
a 3
单调递增，在
a 3
,
0
单调递减，在 (0, +∞)
单调递增
（2）由（1）可知：当 a ≤ 0 ， f '( x) ≥ 0 恒成立，因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增
π 2
使得
h(m)
=
0
因此
f
'(x)
在
(0,
m)
单调递增，在
m,
π 2
单调递减，
因此
f
'(x)
在区间
−1, π 2
存在唯一极大值点；
2019年高考数学全国卷1(文理科试题及答案)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学2019年聊通高筲学枝IW 上全国统与试理科数学1. 善巻啊.蛊生务愛耨自已的蚪化、齐生号霁垃q 在善變节*1弑嘗搭电他*上.2. 阿巻就卄虺uh 迤出禅小町善丽，用樹笔把仔国鬥tlSJ ■貝曲唇塞标号找事，如蒂改圍”用 檢皮崔「浄后・再选涂其它袴索标号"凤祎非选择期时.特嘗案耳在答理卡匕耳左血试卷匕无牡・3-苇试姑柬斤，将事试卷和書岂卡一弁宦回°、业獎砸：本翹弍垃小SL 爼水粗占分.共⑷分.在毎小題箱出的四个选亚中.人有--助超胡倉饉 目贾康的"】.己如能會M ■徉4< JT 莖工｝, N = |x -r-6<o|» HA/nJV =(A. [.r|-4 < x <3. (r-4 < x < -2^C.[ .v -1 < J <D. (JL |2 < A <d 试耳烈：満足：一F| = l*匚料珏罪血内时咻的戌対(斗y)・确r 】A.(x-i) +3'： =1B (J -1 + >2 - IC t' +( i -l)J =i D.r +(.V + 1)3 = 1弘已刘iM = 】Qg ；0£ b 二 0 • e-o^1' ・剧 i JA,.ti<h<ce. < f < bCvai^bu.Zt <c<a朽一]4,古希雅时朗.人怕认为星类人井的齊哺至肚睛的绘度勺肚1ft 帘足底的氏度之比是七一吕首的-瞬嘗聲抽飓・便艮则此Jtt>K 摊羌人体的久3证1%1/5噸的快度与咽麻奇tt 席酋长嵐之比也呈坐二.拧卓人厲址h.ifffif 黄童井制比桝.105cm.AJMSIF f F 韻的叹度为Mcrm 则K 甘岳町施址(1A,]lKcm B.l 75cm 匚185cm5,i 炯柱小｝壬二町・屁訂的側粉打)ccs r +□ 190cm*： 0.611!.轧爲竝；：寸乩比隣.*"tty氐我岡古代典攜（周SP用H卄”推述打物的堂比邯一“直5K山从卜之1齐列的EG弦爼获.Jt分为團爻■■一 -•- ■■右圈就是M・也所有重計中融机取£幷’则谍啃料惜盯于个们爻的栅率¥（〕5 II 2\IIA.—&.—C,— D.—16 竝竝169.记旺为:字衣吐列仏｝的前』」1杷L1畑二=0・山二5.驅CA.叫= 2rt 5B. = 3n 10CS =2n:D.S =-ft-2nh °2ltt已如«•■<；的世点为^（-W） . FW 过珂的fL^'j C丸于礼H阳点雷|娠卜2|两国,\AH=2|占F，則亡的力糧为（>①丿足腾咕救②/|町任邂的|彳，用）单闊理增③f （x I住区间［一亿訂f：F个-匸?.i ④/V）的赧（伯X-j 22/5 三三A,—Uu b）-i・则：与石的夹甬沟<fiSMEB・图中空白框*■ I丄rL缶航朗是求二己知羊零向鐵：* &WM 22/711.艾干诵豹f ix）= sin J* |>in A'| f」下述四个馆论t匚①④埠巴如三检推F —川封匸的四牛I 加的用商上，PA^PB^PC, AX5CMlt£^2 rn 止-M t £尸介別兄加「祐的中九 ZCEF = 90 ’则球O 的休机为（ t34vf )zr二 填空嵐：本鹽找4「|咂.毎小駆S 井”其加分达曲凹7 = 3（屮7片在点（（｝期社儿•:叫川沟 ________________ .地记屯为等比栽手|｛叫｝的前萌项和,若納二y tr? = a..则员= _____________________ .Je.屮.乙洒賦诜恬槪球比賽.光用七场西胜制.幄捲訓期比赛成细，屮认的主客甬安排粮抚旳"主主客 峯L 客广.设甲阻主场即胜的柢率为06辉场駅胖的觀率肯血窑（1各场比赛靖黑梱互1M 則甲駅以4： 1塡腔的槪率 ________________ .J甲W 已知或曲険C:肴-舊 “BI" 0）的底右儒点分別为耳迅.迁片的血线二匸的两最潮瓦钱甘 ^TA y B^F [A = AB. FR 化 S 則卍的离也那肯 ________________________________ .三' 解善題：M7C^・聲笞应写出文字说明、证明过程亚演算步骑L 第E1锂为必考麵.毎『试饉 老生都必顼作啤 闕瞬” 口罚为选老題・老主喂西英求作?£• （一）叱老證匸別分"17. <12山I&C 的内ftX.JJ,C 的柑边分别是ng 设（sin£ —sinQ 『 =sin 2/I-sm ffsiuC,ti ）求右；2）?7 ^2a + 6 = 2c .求*nJ “IS. （12 *、 斗呃直网檢哇卫处Q-月風CD 的虑曲是菱器*.11, = 41 AB = 2 ・ £BAD =■ 6O P . E,M r N^\^BC.RH 、 J Q ；勺中止”丸①②④-Ci5 / 36i）旺明i .,WA P//2)求_i加傩卫一址气一用的止強值.19”〔12 分｝己却删为尸，期卓为斗的直教却C的蛉伪小总，S轴的仝山为"Xi11務|/<尸| + 0F卜£ 求*的力軒;2*越乔二［两.求\AU .30.(12^)dfti^Si/(r)=(mx-hi(l + T). f(x)^i/(r)的#敷就削：⑴『匕)杞皿’—】.亍存杞唯…的极人值点；⑵血工”相农有2卒毒丸21- C12 分〉为冷疗革种臥両”研制了甲、乙两种折科，需型知洞那种軒药更TT故・为此进打动梅实越真验收fill心毎轮逸取詡卿自臥对貞1效进荷对比试鑿.对F闊！！勺就・RI机选•射只施氐乙罚. M MB HINNIA ffiBI卜--轮试戦.当齐中--忡童称直的白嵐出另咐> i门二h、；.： a」一- 就碎止试驰丼从曲治倉只數命的荊史有玆・为了方便描述问臥的定*对于厘Flit魅・若itu甲药的白艮治載且16玖兀药的白損耒谢蠢惰甲蘇禅I分，二药斜-】血若施以乙药时口瞬泊JftlL施以屮葯的白亂走冶愈刚乙罚堺lih甲冊-】4h若欄治竈诚暮水治壷嘲两种眦均鮒0分耳、£两种拘闱治愈率廿别记如和". 熾试猫申甲的的咼灯记沖Y.1)哦JV的少舟列t⑵ 若甲药、乙t?孫试验幵始时都瞋"井.期"=0J,2…問老示存甲苟的當计得分知仇最终儿为屮知比乙热屯白％”的槻典刖地=0，仇=1+冏=即严如+甲⑴(：=】2 <7｝,儿中芒=尸(,丫=0), f) -P(.¥ -0), < = P( A J/7-0>.:i)hi小—瓦｝"二12…⑺为鼻比故処；门门求齐.井規揣円的您駢痒试种试誥方當的合證性.4/5(二)粧电瓯：it 10^.请弋生在察2叭為赣中作讐.如睾第妣・则按所憎的策一晅计分.22.［选悔V 坐标集与題數晒(10井】"为需歎)息堂标底成O为駆点.石轴在帆角坐标纂呦冲*曲爼C的辩数方押为f -1 ~止半稱为槻轴建立璇坐标系.的概生桩方租为2“顷旧 + JJpsin日+丨1・0,11)*匚与』的直箱坐栋方程I:空痕匚上财点到F跑寄的最小值.21[4iU-5t不芳氏注讲]10 5Z)已抑臥he为壬敕・且胃足nhc- I.证弗(1)丄4■丄+丄羞应『卜胪+『和a b c!2)(a + ^)J + (A+r)- +(c+<J)' >245/58 / 362019年査通爲零学校招化全国统一考试文科数学注卷車顶：1.售卷前・考牛•务感将口己的姓洛号空号黑填垢在割S卡铀试卷指建位胃匕.孔河答址择期i・h旌出毎小童答案冶*期铅里把菩匙轻对应題目鸚I■如需盘4h用也皮攥「-净后.再选洙其它答慕标h昇回霜4延择题时.瘙椁家写隹粹朗卡上.写芒本试卷L：无效"3.考试轴束已将体试程和剳冒卡一件交同―、选擇慙；本駆共12小怂"程小融弓分*共60分在毎小融绐出的四个进念中* 口右一砺星轩合豔目要求的=2B.V3 c. 41ai1L1知#0U =①狛从氐7}・A ={234・5；,Z?二h・3百・7}・A=(】A ；L6（B-{1J| C. {6.7} D. {1,6,7} 乱已知a = lo^r DN・h = 2a2, c = 0.2in. IM t )A.ii <h<f R.ti<c<hC.c<ti<hD.^ <4 一古乖聊时训”人心认为於兀人侏的义顶至肚M的山A乌丄情孚足呸的li哽之比兄"匚‘^5-1*0.618.林为黄金分割比榊人着呂的•斷惮醴抽斯”良足JU此,此外.扯k扎障的久顶至啥2喉的fei44i咽喉至It脐的怪度立比也昱｛口+若臬人涌匸丨述两个扯金分削比悯*巨腿圧为KScm’2张顼奎聆『卜-端的悅度为265・耻其身禹町能足（>^lGSem B.175cm CJBScm D.190em 去汝嚼数/｛巧二竺斗■理［饥厅］的轻|他为（-COS J + X立科軸学10 / 36氐某学栈为r 解1 Q00宕新生怕刖悻當际将这些学牛編弓为眞2+ -+ 1000.^^^＜k 屮用系统抽枠 的加i 等距抽9U00名手空进行测试.若輻号学牛被抽轧 则下面4名宁主中被抽取的址（）A.B :^^T. B 200 号学中- C 616 ^4^1：D 81S 号即上&己划 忤向施.匸祸斗：=平.11币一和丄乳则门示的夹旳,1LAXSC 的内脚扎鼠匸的时处务刑是鸟氏c LliuasiiM- bsia&-4ca\nC . e«j» J = - T M* =4 cA.6B.5C.d a.3区L 2掠瞬闘匚的囁点为林一 1、创・rtkOl ・过巧的起缕耳匚交：■-」/ 九忆苦I”； =2|/'；^・I 姐=2）昭|・则（7的方程为＜）11 T 丁*■* 1 x'2 .犷 y .工” y .匕 A ' v .A . — + r = I玫一 + J 匸】匚一+ — = I& - -+ — = I232435 4-＞才空题；本题共4小題，霽小題5井，共20分.= ^x~ +扌片件点（0X ）牡的切纯方出为 ________________ .皿记比为等比數时就｝的斛丹顷和.若坷丄・衬=毎.则乂二 _______________________ .17. un 255 =【Rg 号学生 B 200号学生 C616号供主0415 v^tB. - ? ■ v'?i€-2"D 2 + V3■右— 的程序帼用.圈屮空口框屮应塡入］■応础戟（？:二—吴三财＞0上M ）的一柚f 近线的幢料角为口0 .则匕的离心莘为＜ abA. 2 sin 4(}B. 2 cos 40sin 50D. ---------cos 502 + 4CA =1*2#甲2/515 医靈/(P v)=siml v 4-—)-Jcnsx 的瑕小恆为_______________________值已如ZJCB二90’・P为芈迪A&C外规FC = 2 ■点尸到^ACB两边"G AB的距离均A I J5.廉么P到辛祈冲占“的护离为 ______________________ .三i離答孤共7C^解答內写出文字说馭证明讨幻走洁草梅第1严21孤为必老黑.岛个试耶不生都必须件答“第2氛刀就为选青！L电生觸据聲求作答.C-)必书迩；60分*17.(1Z 时)臬南场为提1W务櫛孟驰机调查了和粕男贼客神疔「窑立顒罂毎忖蹊客村谨商场恂审务给出満总戍平满意的泮比眸到下列列联祐D分別估计职女岡客对谐商场服务满强的槪執C2)能否有95%的把握认為?b女陵第对谁斷炀服务的评价有館异? 附宀——凹」竺——(tj + h)(c^-ii )(/T-*-L')(/J +18 <12 ^f)记&为零龙:数列®」的前舟驷h曲0罠=—令*1> 阻％軒帆｝他通项公戌*(2)若>?0・頼購£ 土斗術I刀取苟小范鬧.立理數学13 / 3619. (12如& 豐四變柱ABCD -叫垃3的旳如辛菱厢-AA,= 4 (AH-2. r£4匚*分别晁/?「.11歇..4、D的中点.[D 证I则v.w/TmcDFi[?＞求点＜到平[tic,n£的距离,竹、Ml 朗数 f (x) - 2 sin v - .vcos x~x , f f(x)为f(x)的冷 ft.[|＞证罔：_f{-r)托IK间®.JT)存序吋-话点t⑵占上£[0卫]时，/(.r)＞ax T求“的収價小也囤20, ＜12 分)已姐山彳.F艾尸叶函:口。
2019年高考理科数学详解(全国一卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}24|<<-=x x M ，{}06|2<--=x x x N ，则N M = A.{}34|<<-x x B.{}24|-<<-x x C.{}22|<<-x x D.{}32|<<x x2.设复数z 满足1||=-i z ，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则 A.1)1(22=++y x B.1)1(22=+-y x C.1)1(22=-+y x D.1)1(22=++y x3.已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则A.c b a <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是215-（618.0215≈-，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm5.函数2cos sin )(x x xx x f ++=在[-π，π]的图像大致为6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.165B.3211C.3221D.16117.已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角为A.6πB.3πC.32πD.65π8.如图是求212121++的程序框图，图中空白框中应填入A.a A +=21B.a A 12+=C.a A 211+=D.a A 211+=9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。
2019年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案详细解析
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
解：（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得： ，即
或
且
考点：正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
解：
由 知 是 的中点， ，又 是 的中点，所以 为中位线且 ，所以 ，因此 ，又根据两渐近线对称， ，所以 ， .
考点： ，双曲线及其渐近线的对称性.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
A. B.
C. D.
解：由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又 ．故选D．
考点：本题考查函数的性质与图象，利用函数奇偶性和特殊点即可解决这类问题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
解： ， ．故选C．
考点：一元二次不等式解法，集合的交集.
2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科Word版含解析
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1- CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ）A ．2y x =+或2y x =--B ．2y x =+C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________．15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a==C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ； 32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-==a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯+= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量()3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 223ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin22ABC ∠=<可知：452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===； 故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u r r u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r ，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==， ()()224223BC p p -=，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --=，令())2131h x ax --，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a<<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x>，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=≥1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
专题05用好导数,破解函数零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)
”19高考勤学府由题命即区间探究与突破专题第一篇函数与导致专题05用好导数,破解函数零点问题一.方法综述近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找 到解题的突破口.利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题， 难度较大.本专题举例说明如何用女?导数，破解函数零点问题.[…二.解题策略・♦・在（1/（1））处的切线方程为： 2 ，化简得4x + 2y-5 = o .Q ）由（D 知，3 =”y一，因为工>。
「令尸（力=。
上得久=依所以郃豆9扬 时，有尸⑴《0,则9遍）是函数了㈤的单调递减区间； 当嵬£ （国一句 时,有尸但>0,则（34却是图翻,3的单调递游区间.当工已（工白）时J 函数fG ）在（1*可上单调递减，在—耳的上单调递增； 又因为凡D = pf （e ） = # 一 3 > oj （^） =;（l-ln3） < 0, 所以f 在区间（L P ）上有两个零点，【指点迷津】类型一讨论函数零点的个数/1（#） = 1/一 31rw 门 , …仆【例。
1】【吉林省通榆县第一中学 2019届高三上期中】已知函数r 上 .（1）求/（*）在处的切线方程；（2）.试判断网岑在区间（L*•上有没有零点？若有则判断零点的个数.【答案】（1）杀+ 2y-5 = 0； （2） 2.【解析】「⑴7f ⑴M,有2,1 y — =：— 2（x — 1）讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断(证明)零点的存在性，确定函数零点的个数1【举一反二】【2015局考新课标1,理21］已知函数f (x) =x ax —,g(x) In x.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y f (x)的切线；(n)用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x) min f(x),g(x) (x 0),讨论h (x)零点的个数.3 3 5 ........................... 3 5【答案】(i) a 一；(n)当a —或a —时，h(x)由一个零点；当a 一或a —时，h(x)有4 4 4 4 45 3两个零点；当一a —时，h(x)有三个零点.学&6 4【解析】X5 + QX. + — = 0《I)设曲线P二/00与工轴相切于点小◎，则二口二o,即y 4 ，解得十口= 013K.= —. £7 = —“ 2 4因此1当口二—时，工轴是曲j三,㈤的崩量 .......................... 5分4ln x 0 ,从而h(x) min{ f (x), g(x)} g(x) 0,(n)当x (1,)时，g(x)h(x)在(1, +8)无零点.5 5 ...................................... ....当x=1 时，若a —,则f(1) a —0, h(1) min{ f (1),g(1)} g(1) 0,故x =1 是h(x)的零点；4 44 5 5 一一 __________ 一一一一右a —，则 f ⑴ a - 0 , h(1) min{ f (1),g(1)} f (1) 0,故x=1 不是h(x)的零点.4 4当x (0,1)时，g(x) ln x 0,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.2 1(i)若a 3或a 0,则f(x) 3x a 在(0,1)无零点，故f(x)在(0,1)单调，而f(0)一,4 5f(1) a —,所以当a 3时，f (x)在(0,1)有一个零点；当a 0时，f (x)在(0, 1)无零点.46i)若3 a 0,则f(x)在(0, J"|)单调递减，在(『3,1)单调递增，故当x = J"a时，f(x)取的最小值，最小值为①若f(J a，>0，即:< a < 0，f(X)在0 0,l 无零点.②若f( a)=o,即a 3,则f(x)在(0,1)有唯一零点; ,3 4③若f(.1 a)<0,即3 a 3 一…、1—，由于f (0)—,4 4f (1) a 9,所以当45 3r「，、一、a 一时，f (x)在(0,1)4 4后两个零点；当 3 a 5■时,4f (x)在(0,1)有一一个零点.•・•1阴综上，当a 3 一一或a4 5时, 4h(x)由一个零点；. 3 T当a —或a45 ..................................... ........一时，h(x)司两个零点；当45 3-a 一时，h(x)有二个零点. ........ 12分学*4 4类型二已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数fW= / - 2工(1)求曲线) =北灯在点(。
2019各省高考导数压轴
1 x0 1 x0 x0 1
x0 x0
1 1
x0
1 x0
．
1
1
曲线 y=ex 在点 B( ln x0 , x0 ) 处切线的斜率是 x0 ，曲线 y ln x 在点 A(x0 , ln x0 ) 处切
1
线的斜率也是 ，
x0
所以曲线 y ln x 在点 A(x0 , ln x0 ) 处的切线也是曲线 y=ex 的切线．
综上， f (x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（2019 高考真题三卷理数）已知函数 f (x) 2x3 ax2 b .
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）是否存在 a, b ，使得 f (x) 在区间[0,1] 的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出 a, b 的所有值；若不存在，说明理由.
（iii）当
0<a<3
时，由（1）知，
f
(x)
在[0，1]的最小值为
f
a 3
a3 27
b ，最大值
为 b 或2ab．
若 a3 b 1 ，b=1，则 a 33 2 ，与 0<a<3 矛盾. 27
若 a3 b 1 ， 2 a b 1，则 a 3 3 或 a 3 3 或 a=0，与 0<a<3 矛盾． 27
由（1）知， f (x) 在 (0, π) 只有一个零点，设为 x0 ，且当 x 0, x0 时， f (x) 0 ； 当 x x0, π 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 0, x0 单调递增，在 x0, π 单调递减.
又 f (0) 0, f (π) 0 ，所以，当 x [0, π] 时， f (x) 0 .
范围.
2019年全国卷I理科20题探析①
2019年全国卷I理科20题探析①作者：易华龙光鹏来源：《学习周报·教与学》2020年第12期1.试题呈现试题：已知函数，是函数的导函数.（1）证明：在区间存在唯一极大值点;（2）证明：有且仅有两个零点.这是2019年全国卷I的理科第20题，本题考查利用导数求函数的极值、判断函数的零点，考查数形结合、分类讨论与化归转化思想。
2019年高考全国卷I的理科和文科的导数综合题都融合了三角函数，高考改卷时发现很多学生基本没有解题思路。
学生的困惑在哪里？2.解法揭秘因为，所以，则绘制函数的图像，如图1所示：由图1知，能清晰地看出在区间存在唯一极大值点。
分别绘制函数与函数图像，如图2所示：由图2知函数与函数图像有两个交点，则有且仅有两个零点。
故该试题的解题思路如下：解析：（1）因为，所以，设，则，所以，当时，单调递减，单调递减，所以单调递减，又因为，，所以在上存在唯一的零点，则当时，，所以在上单调递增;当时，，所以在上单调递减，所以在区间存在唯一极大值点，即在区间存在唯一极大值点。
（2）因为，所以函数的定义域为，①当时，，，所以，则没有零点;②当时，，则是函数的一个零点;③当时，因为，即在上存在唯一的零点，则，如图3，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，又因为，，如图4，所以在上，，则没有零点.④当时，，所以函数在上单调递减，又因为，，所以函数存在一个零点;⑤当时，，，所以，则没有零点;综上，有且仅有两个零点。
评析：试题主要要求学生具备以下三个方面的解题处理策略：①当一个函数的导函数不“透彻”时，采用继续求导的方式研究函数的导函数性质;②利用零点存在定理时，要密切关注函数值的正负;③函数零点存在，但不可求时，应采用设而不求的思想处理。
3.突破瓶颈面对上述的解析，学生很困惑，主要有两个方面：①在测试的时候学生没有作图工具，没办法准确地画出图1和图2的图像，所以没办法直观地感知，故没有解题思路;②第二问中的分类讨论中，为什么以和为界限呢？在教学时，笔者认为应该关注学生的认知特征，对学生学习中出现的困难不回避，面对困惑应进行详细讲解。
素养导向下高考导数解答题的备考之道——2019年高考全国I卷第20题的试题分析及备考启示
素养导向下高考导数解答题的备考之道—–2019年高考全国I卷第20题的试题分析及备考启示广东省佛山市南海区石门中学刘伟摘要作为研究函数性质的一个重要工具,导数是高中数学教学中的重点与难点,也是高考中的重难点.在高考中,导数题具有考查能力要求高、难度大、区分度强的特点,从而常处于压轴题的位置.2019年全国I卷的导数题题目形式新颖,考查方式大胆创新,素养导向十分明显,具有很高的研究价值!本文主要结合笔者对该题的研究报告,浅谈素养导向下导数压轴题的备考之道.关键词导数压轴题;数学核心素养;数形结合;分段放缩在2019届高考备考中,笔者任教实验班,承担了学校尖子生培养的重任.高考备考中应如何突破导数解答题,一直是笔者教学及备考过程中不断思考的问题.本文中,笔者将结合对2019年高考全国I卷理科数学第20题的研究,谈谈自己在导数题备考中的一些思考与体会.1试题呈现已知函数f(x)=sin x−ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明：(1)f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点.2静观其“变”该题的题干十分简洁,给出一个不带参数的函数解析式,题目设置两问,都是零点问题(第一问本质就是二阶导函数的f′′(x)变号零点问题).题干十分简洁,因为不带参数,给人的第一印象不会太难.但仔细一看,该题还是有很多“与众不同”的特点：创新点1—–函数形式新：纵观近十年全国I卷的导数题,基本都是由超越函数或与多项式函数的组合或复合而成的,几乎没有出现超越函数与正余弦函数组合而成的高考题,因此该题中出现的函数f(x)=sin x−ln(1+x)会让学生们感到十分陌生,不知如何下手.创新点2—–考查方向新：2016年起,广东省恢复使用全国1卷的试题,2016年及2018年均考查了二元不等式,备考老师很容易形成一种备考的思维定势,过分关注二元不等式的相关问题,甚至把它放在导数备考中的首要地位,2019年各地模拟题中层出不穷的二元(含x1,x2)不等式问题足以反映这种思维定势.此题考查的方向也与“预估”的不同,有较明显的反押题反刷题的味道,符合高考的公平性及选拔性要求.创新点3—–设问形式新：本题两个小问均为证明题,这在近十年的全国卷中也是绝无仅有的.证明题是很多考生较薄弱的一种题型,该题设问形式的创新对考生来讲无疑是一种全新的挑战.综上,这道题有诸多创新,必然成为学生通往高分路上的拦路虎!对数学知识的理解、拓宽解决数学问题的方法和视野,增强学生对知识的灵活运用,以及提高学生数学能力和数学素养具有重要意义.参考文献[1]杜石然,孔国平.世界数学史[M].吉林:吉林教育出版社,2009.[2]M.克莱因.古今数学思想(第一册)[M].北京大学数学系翻译组译.上海科学技术出版社.2002:20-22.[3]李文林.数学史概论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2011:21-22.[4]梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史[M].辽宁:辽宁教育出版社,1995:164.[5]梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史[M].辽宁:辽宁教育出版社,1995:406-407.[6]杜石然,孔国平.世界数学史[M].吉林:吉林教育出版社,2009.[7]M.克莱因.古今数学思想(第一册)[M].北京大学数学系翻译组译.上海科学技术出版社.2002:208-215.[8]杜石然,孔国平.世界数学史[M].吉林:吉林教育出版社,2009.[9]卡尔•B.博耶,尤塔•C.梅兹巴赫.数学史(上修订版)[M].秦传安译.北京:中央编译出版社,2012:242-243.[10]梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史[M].辽宁:辽宁教育出版社,1995:344-357.3素养导向该题的命制符合高考评价体系中的“一核四层四翼”.从考查目的开看,该题能体现高考的选拔功能,也能很好地引导教学,引导中学数学教学回归到本质,即学科素养和关键能力的培养；从考查内容来看,同时考查了四层即“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”；从考查要求来看,该题主要体现了高考的综合性和创新性.证明定理是科研尤其是数学研究中最重要的工作之一,要求证明者具备较强的创新探索精神、分析推理能力及符号表达能力.本题设置两问,均为证明题,其用意是十分明显的——淡化对计算能力的考查,着重考查学生的分析能力和推理能力.因此,本题能力素养导向明显,考查学生分析问题、解决问题的能力,从数学学科核心素养来看,本题主要考查了逻辑推理、直观想象及数据分析三大核心素养.4试题分析4.1第一问4.1.1审题分析题干中出现了“极大值点”的关键词,不难想到该命题可化归为研究f′(x)的导数即f(x)的二阶导数f′′(x)的变号零点问题(由正到负),因此首先要正确求出f′′(x)；题干中的另一关键词“存在”,则意味着要从零点存在性定理入手,所以需要用到取点的技巧[1].“唯一”的证明则需要借助f′′(x)的单调性进行证明,所以在解决第一问的过程实际上需要求三阶导数f′′′(x).不难得到第一问的具体解题思路：f′(x)的定义域为(−1,+∞),求出f′(x)的导函数f′′(x),进一步求导,得到f′′(x)在(−1,π2)上为减函数,结合f′′(0)=1,f′′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数f′′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0,结合单调性可得,f′(x)在(−1,x0)上单调递增,在(x0,π2)上单调递减,可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点.4.1.2难点突破(1)取点的“初体验”：在“唯一性”的证明中,涉及到取点分析的技巧,对于此类函数,应该取什么点?取点赋值时,要结合函数的结构及给定的区间确定取什么点.题干给出了区间(−1,π2),实际上也就给出了取点的范围,取点的原则是方便计算,尽量“甩掉”复杂结构,由f′′(x)=−sin x+1(1+x)2,不难找到f′′(0)=1,f′′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0.(2)借助高阶导函数解决问题时应注意什么?笔者认为,函数题的作答用的是代数语言,但分析问题的过程中用得更多的却是“图像语言”.由于此题的证明过程中涉及到不同阶导数之间的联系,解题时需要借助各阶次导数的图象,画图分析的能力显得格外重要!一般的,解决函数问题的一个关键能力就是“画图”,借助函数图象可以打开解题思路,还能避免在抽象的代数分析中犯错.这是在平时教学中必须教会学生的一种关键能力,需要不断灌输,不断强化.以此题为例,借助几何画板可得f′(x)、f′′(x)、f′′′(x)的图象,可帮助直观理解问题：图1f′(x)=cos x−11+x图2f′′(x)=−sin x+1(1+x)2图3f′′′(x)=−cos x−2(1+x)3此外,从答题规范的角度来看,不建议考生在作答时使用高阶导数f′′(x)及f′′′(x)的符号,要求学生有清晰的思路和较强的符号表达能力.综上,第一问考查了求导运算,利用导数研究单调性,零点存在性定理等知识；考查了考生取点的技巧,本质是考查了数值分析的数学素养；考查了转化与化归及数形结合的数学思想.4.2第二问4.2.1审题分析第二问题干中的关键词是“有且仅有”,所以在证明的过程中就必须把2个零点找到,而且还要证明不存在其他的零点.注意到第2问与第1问一个明显的差异是研究的范围变了,即在整个定义域而不是在一个有限的区间内研究零点的个数,而这是题目的困难之处!4.2.2难点突破—–复杂问题的拆解难点1：存在性—–“有2个零点”如何证明?根据函数解析式f(x)=sin x−ln(1+x)的结构,可直接看出f(0)=0,因此x=0是其中一个零点.由第f′(x0)>f′(0)=0一问可得f′(x)=cos x−1x+1在(0,π2)内有唯一极大值x0,不难发现f′(0)=0,又因为f′(π2)<0,f′(x)在(x0,π2)单调递减,所以在(x0,π2)存在唯一实数x1,使得f′(x1)=0,所以在(x1,π2)上f′(x)<0,又因为(π2,π)上cos x<0且11+x<0,所以f′(x)<0.综上,f (x )在(−1,0)及(x 1,π)上递减,在(0,x 1)递增.又因为f (π2)>0,f (π)=−ln (1+π)<0,所以在(π2,π)上有唯一零点x 2.至此,我们找到了两个零点0及x 2.解题技巧1—–取点(赋值)分析法以上的分析中仍然要用到取点的技巧,第一个零点0是直接看出来的,第二个零点的发现则是借助零点存在性定理及函数的单调性找到的.取点需要一定的敏感度,遵循的基本原则是方便计算,尽量“甩掉”复杂结构.平时教学中需要让学生学会代特殊点如0,±π2,±π4,±π3,±π等,这是由解析式的结构决定(本题中f (x )解析式包含了sin x ).对于其他形式函数的取点,也要遵循这一基本原则,比如解析式中带有ln x 的,则需要考虑到1,e,1e ,e 2,1e2等.在存在性的证明过程中,我们可进一步体会到函数图象的重要性：任何函数难题的切入都应该把握函数的图象,应该借助函数的图象打开解题思路.函数f (x )在(0,π)的图象如下：图4f (x )在(0,π)的草图难点2：证明在(x 2,+∞)不存在零点,一定要单调吗?分析：对于零点0的左侧,可借助单调性证明即可.f ′(x )=cos x −1x +1<0,从而证明f (x )>f (0)=0在(−1,0)恒成立；对于零点x 2的右侧能否用同样的方法呢?思维误区分析很多考生会有这样的思维惯性,只要找到两个零点,再结合函数的单调性说明函数f (x )在零点x 1,x 2两侧是单调的就可以了,二次函数就是一个典型的例子.一旦进入这一思维误区,在第二问的证明中将会陷入一种困境：出现了单调性“解图5思维误区中“理想模型”决不了”的问题!这是因为考生脑海中预期的理想模型图象如图5.事实上,单调性只是一个充分条件(条件太强),而不是充要条件,这就是该题的难点所在.分析f (x )图象变化趋势的2个角度：(i)不难发现f (x )的零点即sin x =ln (1+x )图象交点的横坐标,结合这两个函数的图象,也不难发现第二个交点后f (x )的图象并非单调.(ii)事实上,f (x )的图象在零点x 2后有无限多个增减区间,图象必然是“飘”的,借助几何画板画出f (x )=sin x −ln (1+x )的图象,可验证我们的分析,但在考场上,学生要分析到这一点是非常不容易的.图6函数f (x )的图象因此证明f (x )在(x 2,+∞)内没有零点,利用单调性的思路是行不通的!这里需要另辟蹊径—–分段放缩法!解题技巧2—–分段放缩法[1]由于正余弦函数是有界的,在含有sin x 或cos x 的超越函数的符号时,经常使用分段放缩法,这是处理这种形式的函数的一种通性通法.一方面,f (x )在(x 2,π)上单调递减,从而f (x )<0；另一方面,由sin x 的有界性和−ln (1+x )的单调性得：x ∈[π,+∞)时,f (x )=sin x −ln (1+x )<1−ln (1+π)<1−ln 3<0注意到,这里依然需要使用到取点的技巧.至此,本题解题思路及方法分析到此结束.4.3详细解答证明：(1)f (x )的定义域为(−1,+∞),f ′(x )=cos x −11+x ,f ′′(x )=−sin x +1(1+x )2,令g (x )=−sin x +1(1+x )2,则g ′(x )=−cos x −2(1+x )3<0在(−1,π2)恒成立,∴f ′′(x )在(−1,π2)上为减函数,又∵f ′′(0)=1,f ′′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数f ′′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0,结合单调性可得,f ′(x )在(−1,x 0)上单调递增,在(x 0,π2)上单调递减,可得f ′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知,当x ∈(−1,0)时,f ′(x )单调递增,f ′(x )<f ′(0)=0,f (x )单调递减；当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )单调递增,f ′(x )>f ′(0)=0,单调递增；由于f ′(x )在(x 0,π2)上单调递减,且f ′(x 0)>0,f ′(π2)=−11+π2<0,由零点存在定理可知,函数f ′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1,结合单调性可知,当x ∈(x 0,x 1)时,f ′(x )单调递减,f ′(x )>f ′(x 1)=0,f (x )单调递增；当x ∈(x 1,π2)时,f ′(x )单调递减,f ′(x )<f ′(x 1)=0,f (x )单调递减.当x ∈(π2,π)时,cos x <0,−11+x<0,于是f ′(x )=cos x −11+x <0,f (x )单调递减,其中f (π2)=1−ln (1+π2)>1−ln (1+3.22)=1−ln 2.6>1−ln e =0,f (π)=−ln (1+π)<−ln 3<0.于是可得下表：x (−1,0)0(0,x 1)x 1(x 1,π2)π2(π2,π)πf ′(x )-0+0----f (x )减函数增函数大于0减函数大于0减函数小于0结合单调性可知,函数f (x )在(−1,π2],上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知,f (x )在(π2,π)上有且只有一个零点x 2,当x ∈[π,+∞)时,f (x )=sin x −ln (1+x )<1−ln (1+π)<1−ln 3<0,因此函数f (x )在[π,+∞)上无零点.综上,f (x )有且仅有2个零点.5深度挖掘5.1命题者的意图思考：若题干中的ln (1+x )如果是被其他的函数所替代,例如函数的解析式变成f (x )=sin −x 2或f (x )=sin −x 3或f (x )=sin x −12x ,零点个数的证明方法是否有差异?由此可得变式题组：变式训练1：证明函数f (x )=sin −x 2有且仅有2个零点.变式训练2：证明函数f (x )=sin −x 3有且仅有3个零点.变式练习3：证明函数f (x )=sin x −12x 有且仅有3个零点.通过以上3个变式练习的解决,我们可以体会到变式1与变式2的解决方法与变式3的差异：变式1及变式2的证明方法是类似的,直接用单调性即可解决；变式3则是f (x )=sin x −ln (1+x )的“降级处理”,证明方法相同,但难度略低.借助这3个函数的图象,我们更能理解命题者的意图：为了使图象“飘起来”,需要恰当控制f (x )=sin x −g (x )中g (x )的增长速度!命题者选中增长较慢的ln (1+x )与具备无限多个增减区间的sin x 组合,原因就在于此!图7变式1∼3的函数图象5.2寻根溯源取点赋值技巧实际上是解决函数零点问题的一种常用技巧,在证明零点存在时最严谨的做法也是取点赋值(极限法并非最佳选择),在以往的高考题中不乏设计到取点技巧的题目.在此,仅列出两道高考题,作为横向比较：题组1涉及放缩及取点技巧的高考题(1)(2015.全国高考数学新课标卷(1)文21)设函数f (x )=e 2x −a ln x .(i)讨论f ′(x )零点的个数；(2(2016.全(1)理21)已知函数f (x )=(x −2)e x +a (x −1)2有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围；再新的题目也有迹可循,今年全国一卷引入了含sin x 的超越函数,是一种新的尝试.但此类函数题在其他省份的高考题也早已出现,解题时使用到的取点技巧和放缩技巧也早已出现在高考中,在此,列出几道旧题以备参考：题组2含sin x 或cos x 的超越函数的经典问题(1)(2017年北京理)已知函数f (x )=e x cos x −x .(i)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(ii)求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值.(2)(2017年山东理)已知函数f (x )=x 2+2cos x,g (x )=e x (cos x −sin x +2x −2),其中e ≈2.71828...是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y =f (x )在点(π,f (π))处的切线方程；(Ⅱ)令h (x )=g (x )−af (x )(a ∈R ),讨论h (x )的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.(3)(2014年辽宁理)已知函数f (x )=(cos x −x )(π+2x )−83(sin x +1)g (x )=3(x −π)cos x −4(1+sin x )ln (3−2xπ)证明：(Ⅰ)存在唯一x 0∈(0,π2),使f (x 0)=0；(Ⅱ)存在唯一x 1∈(π2,π),使g (x 1)=0,且对(Ⅰ)中的x 0,有x 0+x 1<π.充分预留思考切口,真实测评数学素养广东省中山市坦洲实验中学(528467)邓凯摘要2019年广东省初中学业水平考试数学卷第23题的第(3)小题是一道看似平常的题,但笔者抽查考生该题的答题情况后回头琢磨该题的图形结构及已知数据,才体会到命题者编制这道题时下足了功夫,这道题不失为一道好题.抽查的考生对该题的答题可归纳为四类六种解法,根据考生的解法建议教学时应引导学生实现“思维突破”,激发学生坚持“思维优化”,鼓励学生追求“思维创新”.关键词思考切入口;数学素养;思维突破;思维优化;思维创新2019年广东省初中学业水平考试数学卷第23题的第(3)小题是一道看似平常的题,但笔者抽查考生该题的答题情况后回头琢磨该题的图形结构及已知数据,才体会到命题者编制这道题时下足了功夫,这道题不失为一道好题.该题考查考生根据已知面积关系建立数学模型的能力,进而测评考生的数学建模、直观想象、数学推理以及数学计算等数学核心素养.考生解答时能否找到思考的切入口?能否根据试题搭建的模板建立模型?能否在推理比较中优化思维进而寻求最优解?这些都能体现考生之间数学素养的差异.就本题而言,命题者为考生预留了多个思考的切入口,搭建了多个数学模型的模板,提供了充足的思考空间,为学生展示其数学素养提供了充足的条件,因此能保证测评考生数学素养的信度和效度,从而更真实地测评出学生数学素养的发展情况. 1试题呈现(2019年广东省初中学业水平考试数学卷第23题)如图1,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(−1,4),点B的坐标为(4,n).(1)根据图象,直接写出满足k1x+b>k2x的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且S∆AOP:S∆BOP=1:2,求点P的坐标.图1图2(3)(2013年辽宁高考数学卷，理)已知函数f(x)=(1+x)e−2x,g(x)=ax+x32+1+2x cos x当x∈[0,1]时,(i)求证：1−x f(x)11+x；(ii)若f(x) g(x)恒成立,求实数a的取值范围.6总结及反思纵观整份2019年高考数学试题(尤其是第4题,第21题,第22题),有很浓的扭转应试教育的倾向,即反押题、反刷题,题目背景新颖,注重考查学生的核心素养和学科能力.试题充分体现了高考的公平性、选拔性,对中学的数学教学有很强的导向性—–素养培养比机械刷题更重要!笔者是十分欣赏今年的全国卷试题的,也希望命题者能够扛住压力,继续命出如此高质量的好题!如此,才能更有利于高校选拔人才,更科学引导中学的课堂教学,回归到数学能力和素养的培养,而不是疯狂搞“题海战术”.如此,才是真正的利国利民,才能真正实现“减负”!然而,导数题应如何备考?导数题的解题教学应该以什么为导向?教师应该注重教什么?成为我们必须要认真思考的一个问题!笔者认为,备考中让学生熟悉往年的高考题十分必要,但其目的不是押题.导数题备考的正确方向应该首先回归到关注学科研究的本质、关注考查的数学素养(如直观想象及数据分析的素养),关注考查的数学思想(如数形结合、转化与化归、分类讨论),其次才是处理问题的种种技巧.具体到函数与导数模块的备考,教学中应该教会学生：研究函数的问题要回归函数图象的变化,借助函数的图象打开解题思路,一切的解题技巧都只是由图象衍生出来的.而这才是真正的跳出题型看到问题的本质,这才是导数压轴题的备考之道!参考文献[1]张永兵.导数求函数零点存在区间取点探析[J],中学教学,2018,(23):14-17.。
2019年高考全国Ⅰ卷理数试题答案解析
2019年高考全国Ⅰ卷理数试题1.已知集合，则=A. B. C. D.【答案】C本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【解析】由题意得，，则．故选C．2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.【答案】C本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【解析】则．故选C．3.已知，则A. B. C. D.【答案】B运用中间量比较，运用中间量比较【解析】则．故选B．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 【答案】B理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【解析】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．5.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.【答案】D先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.【答案】A本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【解析】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．7.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为A. B. C. D.【答案】B本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【迁移】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．8.如图是求程序框图，图中空白框中应填入A. A=B. A=C. A=D.A=【答案】A本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【解析】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，，是，因为第二次应该计算=，=3，循环，执行第3次，，否，输出，故循环体为，故选A．【迁移】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．9.记为等差数列的前n项和．已知，则A. B. C. D.【答案】A等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【解析】由题知，，解得，∴，故选A．10.已知椭圆C的焦点为，过F 2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A. B. C. D.【答案】B由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【迁移】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C化简函数，研究它性质从而得出正确答案．【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【迁移】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A. B. C. D.【答案】D先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D. 13.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【解析】解析：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【迁移】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14.记S n为等比数列{a n}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【迁移】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【迁移】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．（一）必考题：共60分。
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责任编辑 廖宇红
20 广东教育·高中 2019 年第 10 期
且当 x∈（0, β）
时，
f′（x）>0；
当 x∈（β,
π） 2
时，
f′（x）<0.
故 f（x）在
（0, β）
单调递增，
在
（β,
π 2
）
单调递减. 又 f（0）
=0，
f（
π 2
）=1-ln（1+
π 2
）>0，
所 以 当 x∈(0, π ] 时 ， f（x）>0. 所 以 f（x）在 (0, π ] 没 有
义思想的偏差， 媒体新闻稿件说的是 “美丽乡村” 建设中缺 乏专业规划， 盲目跟风模仿方面的政策和行为偏差。 材料的 立意角度很多， 如 “科学合理规划” “求真务实创新” “长 效管理机制” “保护文化传统” 以及 “发展理念” “责任担 当” “形式主义” “铭记乡愁” 等。 写作时一定要以剧本的 形式表达自己的观点， 表现主题。
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， f（x）=sin2x- | ln（x+1）|<0 显 然
恒成立，
此时 f（x）无零点；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
（3） 当 0<x≤ π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
令 g（x）=sin2x-x
（0<x≤
π 4
），
g′（x）=2（cos2x-
（3） 当 x∈(0, π ] 时， f′（x）=cosx- 1 ，
2
1+x
f
″（x）=-sinx+
1 （1+x）2
，
f
苁（x）=-cosx-
2 （1+x）3
<0，
此时 f ″（x）
递减，
而 f ″（0）>0，
f
″（
π 2
）<0，
所以存在唯一
的 α∈（0, π ）， 使得 f ″（α）=0， 2
所以 f′（x） 在 （0, α） 递增， 在 （α, π ） 递减， 而 f′（0）= 2
ln（x+1）， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， g（x）=f′（x）=cosx- 1 ， 1+x
g′（x）=-sinx+
1 （1+x）2
>0，
而 g（0）=0，
此时 g（x）=f′（x）<0；
此时
f（x）无 零 点 ；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
所 以 h（1）＝e－3<0， h（2）＝e2－3－ 姨 2 >0， 所 以 h（1）h（2）< 0，
所以函数 h（x）在区间 (1， 2) 上有零点.
(2) 解析： 由(1) 可 知 h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－1－ 姨 x -x. 由
g（x）＝ 姨 x ＋x 知 x∈[0， ＋∞)， 而 h（0）＝0， 则 x＝0 为 h（x）的 一
0， f′（ π ）<0， 2
所以存在 β∈（α,
π ）， 2
使得 f′（β）=0，
A： 外面传来脚步声。 秀才抬起头。 班长、 小尚上 B： 惊讶地 C： 考试又不只考作文 D： 小尚打断秀才 E： 终日明星崇拜， 失去自我 二、 诊断报告 ①没有性别。 添加 “性别： 男/女”。 ②无西医诊疗方法， 与 “中西医结合” 不对应。 可添加 “透视” “血样化验” “基因鉴定” 等方法。 ③治疗方法 1 太实， 且与病症不对应。 可改为 “由于患者体内的 ‘自负’ 血液与其他血液不容， 因 此必须换血， 在患者体内输入大量的 ‘纳谏’ ‘请教’ ‘商 讨’ 等血液”。 ④无医师签名。 补上。 【命题训练】 写作提示 一、 剧本 这是一道有关 “美丽乡村” 建设的写作命题， 重在引导 考生对 “美丽乡村” 建设中出现的问题进行思考。 习总书记 强调的是对 “传统村落、 民族村寨、 传统建筑” 保护的问题， 乡镇宣传标语表露出 “美丽乡村” 建设中整齐划一、 教条主
应考方略 语 数文学揭有秘数
从 2019 年高考理科导数压轴题 看函数零点问题的解题方法
■ 广州市第二中学 邓军民
2019 年 高 考 数 学 命 题 以 全 国 教 育 大 会 精 神 为 指 引 ， 认 真
贯彻 “五育并举” 教育方针， 突出数学学科特色， 着重考查
考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、
趋势， 观察图像与 x 轴的位置关系， 利用数形结合的思想方
法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. 通过等价变形，
可 将 “函 数 F（x）＝f （x）－g （x） 的 零 点 ” 与 “ 方 程 f （x）＝g （x） 的
解” 问题相互转化. 高考对函数零点的考查主要有的个数
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
（4）
当
π 4
<x≤
3π 4
时，
f（x）=sin2x-ln（x+1），
f
′（x）=2cos2x-
1 x+1
<0，
所以 f（x）递减，
而 f（ π ）>0， f（ 3π ）<0， 此时 f（x）有且仅有 1 个零点；
4
4
（5） 当 x> 3π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
2
2
零点.
（4） 当 x∈( π , π] 时， f′（x）=cosx- 1 <0 显然成立，
2
1+x
所以 f（x）在
(
π 2
,
π）
单调递减，
而
f（
π 2
）>0，
f（π）<0，
所以 f（x）在 ( π , π] 有且仅有唯一零点. 2
（5） 当 x∈(π, +∞） 时 ， ln（x+1）>1， f（x）<0 显 然 恒 成 立 ，
| ln（x+1）|， 画出两个函数的图像， 观察图像可知交点个数为2，
函数 f（x）有 2 个零点.
上 述 解 法 对 解 答 题 y= | ln（x+1）| y
来说， 并不严谨， 仅仅
适 合 做 客 观 题 找 答 案 用 ， y=sin 2x
如果要把这个题目研究
Oπ
x
透彻， 探求严谨的解法，
那就得以上图为参考， 分段讨论， 严谨地证明零点的个数.
1 2
），
显然当 x∈（0,
π 6
）
时，
g′（x）>0，
当
x∈（
π 6
,
π 4
）
时，
g′（x）<0.
而 g（0）=0， g（ π ）>0， ∴ g（x）>0， ∴ sin2x>x （0<x≤ π ），
4
4
而熟知： ln（x+1）≤x， 所以 f（x）=sin2x-ln（x+1）>x-x=0，
此时 f（x）无零点.
判断函数零点的个数问题， 解题的基本思想是 “数形结
合”， 即通过研究函数的性质 (单调性、 极值、 函数值的极限
位置等)， 作出函数的大致图像， 然后通过函数图像得出其与
x 轴交点的个数， 或者两个相关函数图像交点的个数， 基本步
骤是 “先数后形”.
【例 1】 已知二次函数 f（x）的最小值为 －4， 且关于 x 的不
得到有效的完全突破.笔者感觉这道高考题设置得非常漂亮，
在认真研究之余， 得到一个变式如下：
【2019 年高考全国Ⅰ卷第 20 题变式】 已知函数 f（x）=sin2x
-| ln（x+1）|， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【分析】 化简 f（x）=sin2x- | ln（x+1）|， 令 f（x）=0， 得 sin2x=
个零点. 又 h（x）在 (1， 2) 内有零点，
因此 h（x）在 [0， ＋∞) 上至少有两个零点.
h′（x）＝ex－
1
-
x
1 2
－1，
记
φ（x）＝
ex－
1
-
x
1 2
－1，
则 φ′（x）＝ ex＋
2
2
1
-
x
3 2
.
4
当 x∈(0， ＋∞) 时 ， φ′（x）>0， 因 此 φ（x）在 (0， ＋∞) 上 单
广东教育·高中 2019 年第 10 期 21
应考方略 语 数文学揭有秘数
又因为 g（x）在 (3， ＋∞) 上单调递增， 因 而 g（x) 在 (3， ＋∞) 上 只 有 1 个 零 点 ， 故 g（x) 仅 有 1 个零点. 点评： 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1) 构建函数 g（x) (要求 g′（x) 易求， g′（x) ＝0 可解)， 转 化确定 g（x) 的零点个数问题求解， 利用导数 研 究 该 函 数 的 单 调性、 极值， 并确定定义区间端点值的符号 (或变化趋势) 等， 画出 g（x) 的图像草图， 数形结合求解函数零点的个数. (2) 利用零点存在性定理： 先用该定理判断函数在某区间 上有零点， 然后利用导数研究函数的单调性、 极值 (最值) 及 区间端点值符号， 进而判断函数在该区间上零点的个数.