【个题研究】(全国1卷)(理20)从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法_邓军民

等式 f（x）≤0 的解集为 {x|－1≤x≤3， x∈R}.
(1) 求函数 f（x）的解析式；
(2)
求函
数
g（x）＝
f（x） x
－4ln
x
的零
点
个数.
解析： (1) ∵ f（x）是二次函数， 且关于 x 的不等式 f（x）≤
0 的解集为 {x|－1≤x≤3， x∈R}，
∴ 设 f（x）＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a， 且 a>0.
调递增， 易知 φ（x）在 (0， ＋∞) 内至多有一个零点， 即 h（x）在
[0， ＋∞) 内至 多 有 两 个 零 点 ， 则 h（x）在 [0， ＋∞) 上 有 且 只 有
两个零点， 所以方程 f（x）＝g（x）的根的个数为 2.
题型二、 已知函数零点个数求参数的取值范围
与函数零点有关的参数范围问题， 往往利用导数研究函
解决问题的能力. 试题突出学科素养导向， 全面覆盖基础知
识， 凸显综合性、 应用性， 以反映我国社会主义建设的成果
和优秀传统文化的真实情境为载体， 贴近生活， 联系社会实
际， 在考试评价中落实立德树人根本任务. 今年全国Ⅰ卷的导
数压轴题也设置得很有特色， 考查了函数零点问题， 题目如下：
【2019 年高考全国Ⅰ卷第 20 题节选】 已知函数 f（x）=sinx-
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， f（x）=sin2x- | ln（x+1）|<0 显 然
恒成立，
此时 f（x）无零点；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
（3） 当 0<x≤ π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
令 g（x）=sin2x-x
（0<x≤
π 4
），
g′（x）=2（cos2x-
，
令 g′（x）＝0，
得 x1＝1，
x2＝3.
当 x 变化时， g′（x）， g（x）的取值变化情况如下表：
x g′（x） g（x）
（0, 1）
1
（0, 3）
3
（3, +∞）
+
0
-
0
+
坭
极大值
坨
极小值
坭
当 0<x≤3 时， g（x）≤g（1）＝－4<0，
当 x>3 时，
g（e5）＝e5－
1 e5
－20－2>25－1－22＝9>0.
二、 诊断报告 这道题目反映的是 “尊师重教” 的主题。 荀子的名言从 正面警示人们尊师重教的重要意义， 新闻材料用热点时事反 映了现实生活中某些学校和部门， 不敢为教师撑腰， 无视法 律法规， 打压教师、 甚至残害教师的现象。 两则材料一正一 反， 在对比中引人深思。 用 “诊断报告” 的形式写作本题， 可以先亮 “病症”， 揭示有些人的种种丑态， 再通过诊断分析 病因， 最后制定治病方案， 告诫人们如何 “尊师重教”。 文章 在形式上一定要符合 “诊断报告” 的要求， 要素齐全， 文体 特征明显。
【训 练 1】 已 知 函 数 f（x）＝ex－1， g（x）＝ 姨 x ＋x， 其 中 e 是 自然对数的底数， e＝2.718 28….
(1) 证明： 函数 h（x）＝f（x）－g（x）在区间 (1， 2) 上有零点； (2) 求方程 f（x）＝g（x）的根的个数， 并说明理由.
(1) 证明： 由题意可得 h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－1－ 姨 x -x，
得到有效的完全突破.笔者感觉这道高考题设置得非常漂亮，
在认真研究之余， 得到一个变式如下：
【2019 年高考全国Ⅰ卷第 20 题变式】 已知函数 f（x）=sin2x
-| ln（x+1）|， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【分析】 化简 f（x）=sin2x- | ln（x+1）|， 令 f（x）=0， 得 sin2x=
0， f′（ π ）<0， 2
所以存在 β∈（α,
π ）， 2
使得 f′（β）=0，
A： 外面传来脚步声。 秀才抬起头。 班长、 小尚上 B： 惊讶地 C： 考试又不只考作文 D： 小尚打断秀才 E： 终日明星崇拜， 失去自我 二、 诊断报告 ①没有性别。 添加 “性别： 男/女”。 ②无西医诊疗方法， 与 “中西医结合” 不对应。 可添加 “透视” “血样化验” “基因鉴定” 等方法。 ③治疗方法 1 太实， 且与病症不对应。 可改为 “由于患者体内的 ‘自负’ 血液与其他血液不容， 因 此必须换血， 在患者体内输入大量的 ‘纳谏’ ‘请教’ ‘商 讨’ 等血液”。 ④无医师签名。 补上。 【命题训练】 写作提示 一、 剧本 这是一道有关 “美丽乡村” 建设的写作命题， 重在引导 考生对 “美丽乡村” 建设中出现的问题进行思考。 习总书记 强调的是对 “传统村落、 民族村寨、 传统建筑” 保护的问题， 乡镇宣传标语表露出 “美丽乡村” 建设中整齐划一、 教条主
| ln（x+1）|， 画出两个函数的图像， 观察图像可知交点个数为2，
函数 f（x）有 2 个零点.
上 述 解 法 对 解 答 题 y= | ln（x+1）| y
来说， 并不严谨， 仅仅
适 合 做 客 观 题 找 答 案 用 ， y=sin 2x
如果要把这个题目研究
Oπ
x
透彻， 探求严谨的解法，
那就得以上图为参考， 分段讨论， 严谨地证明零点的个数.
义思想的偏差， 媒体新闻稿件说的是 “美丽乡村” 建设中缺 乏专业规划， 盲目跟风模仿方面的政策和行为偏差。 材料的 立意角度很多， 如 “科学合理规划” “求真务实创新” “长 效管理机制” “保护文化传统” 以及 “发展理念” “责任担 当” “形式主义” “铭记乡愁” 等。 写作时一定要以剧本的 形式表达自己的观点， 表现主题。
2
2
零点.
（4） 当 x∈( π , π] 时， f′（x）=cosx- 1 <0 显然成立，
2
1+x
所以 f（x）在
(
π 2
,
π）
单调递减，
而
f（
π 2
）>0，
f（π）<0，
所以 f（x）在 ( π , π] 有且仅有唯一零点. 2
（5） 当 x∈(π, +∞） 时 ， ln（x+1）>1， f（x）<0 显 然 恒 成 立 ，
1 2
），
显然当 x∈（0,
π 6
）
时，
g′（x）>0，
当
x∈（
π 6
,
π 4
）
时，
g′（x）<0.
而 g（0）=0， g（ π ）>0， ∴ g（x）>0， ∴ sin2x>x （0<x≤ π ），
4
4
而熟知： ln（x+1）≤x， 所以 f（x）=sin2x-ln（x+1）>x-x=0，
此时 f（x）无零点.
此时 f（x）无零点.
综上所述： 函数 f（x）有 2 个零点.
对于这道题， 数形结合是找到解题的基本突破口， 只要
能够利用数形结合的思想， 画出函数 y=sinx 与 y=ln（x+1） 的草
图， 即可找到分类讨论的依据， 然后再结合求导的方法以及
零点存在原理， 问题即可慢慢地化难为易、 化繁为简， 直至
因为 ln（x+1）>1， f（x）<0 显然恒成立， 此时 f（x）无零点；
综上所述： 函数 f（x）有 2 个零点.
从近几年全国各地的高考题来看， 对函数零点的考查加
大 了 力 度 ， 今 年 的 高 考 题 就 是 典 型 的 例 子 ， 解 决 函 数 y=f（x）
的零点问题， 可通过求导判断函数图像的位置、 形状和发展
（3） 当 x∈(0, π ] 时， f′（x）=cosx- 1 ，
2
1+x
f
″（x）=-sinx+
1 （1+x）2
，
f
苁（x）=-cosx-
2 （1+x）3
<0，
此时 f ″（x）
递减，
而 f ″（0）>0，
f
″（
π 2
）<0，
所以存在唯一
的 α∈（0, π ）， 使得 f ″（α）=0， 2
所以 f′（x） 在 （0, α） 递增， 在 （α, π ） 递减， 而 f′（0）= 2
广东教育·高中 2019 年第 10 期 21
应考方略 语 数文学揭有秘数
又因为 g（x）在 (3， ＋∞) 上单调递增， 因 而 g（x) 在 (3， ＋∞) 上 只 有 1 个 零 点 ， 故 g（x) 仅 有 1 个零点. 点评： 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1) 构建函数 g（x) (要求 g′（x) 易求， g′（x) ＝0 可解)， 转 化确定 g（x) 的零点个数问题求解， 利用导数 研 究 该 函 数 的 单 调性、 极值， 并确定定义区间端点值的符号 (或变化趋势) 等， 画出 g（x) 的图像草图， 数形结合求解函数零点的个数. (2) 利用零点存在性定理： 先用该定理判断函数在某区间 上有零点， 然后利用导数研究函数的单调性、 极值 (最值) 及 区间端点值符号， 进而判断函数在该区间上零点的个数.
判断函数零点的个数问题， 解题的基本思想是 “数形结
合”， 即通过研究函数的性质 (单调性、 极值、 函数值的极限
位置等)， 作出函数的大致图像， 然后通过函数图像得出其与
x 轴交点的个数， 或者两个相关函数图像交点的个数， 基本步
骤是 “先数后形”.
【例 1】 已知二次函数 f（x）的最小值为 －4， 且关于 x 的不
趋势， 观察图像与 x 轴的位置关系， 利用数形结合的思想方
法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. 通过等价变形，
可 将 “函 数 F（x）＝f （x）－g （x） 的 零 点 ” 与 “ 方 程 f （x）＝g （x） 的
解” 问题相互转化. 高考对函数零点的考查主要有下面几种
题型.
题型一、 判断零点的个数
所 以 h（1）＝e－3<0， h（2）＝e2－3－ 姨 2 >0， 所 以 h（1）h（2）< 0，
所以函数 h（x）在区间 (1， 2) 上有零点.
(2) 解析： 由(1) 可 知 h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－1－ 姨 x -x. 由
g（x）＝ 姨 x ＋x 知 x∈[0， ＋∞)， 而 h（0）＝0， 则 x＝0 为 h（x）的 一
∴ f（x）min ＝f（1）＝－4a＝－4， a＝1. 故函数 f（x）的解析式为 f（x）＝x2－2x－3.
(2) 由 (1) 知 g（x）＝ x2－2x－3 －4ln x＝x－ 3 －4ln x－2， ∴ g（x）
x
x
的定义域为 (0， ＋∞)，
g′（x）＝1＋
3 x2
－
4 x
＝
(x-1)(x－3) x2
数的单调区间和极值点， 并结合特殊点， 从而判断函数的大 致图像， 讨论其图像与 x 轴的位置关系， 进而确定参数的取 值范围； 或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点 问题.
应考方略 语 数文学揭有秘数
从 2019 年高考理科导数压轴题 看函数零点问题的解题方法
■ 广州市第二中学 邓军民
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2019 年 高 考 数 学 命 题 以 全 国 教 育 大 会 精 神 为 指 引 ， 认 真
贯彻 “五育并举” 教育方针， 突出数学学科特色， 着重考查
考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、
ln（x+1）， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， g（x）=f′（x）=cosx- 1 ， 1+x
g′（x）=-sinx+
1 （1+x）2
>0，
而 g（0）=0，
此时 g（x）=f′（x）<0；
此时
f（x）无 零 点 ；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
（4）
当
π 4
<x≤
3π 4
时，
f（x）=sin2x-ln（x+1），
f
′（x）=2cos2x-
1 x+1
<0，
所以 f（x）递减，
而 f（ π ）>0， f（ 3π ）<0， 此时 f（x）有且仅有 1 个零点；
4
4
（5） 当 x> 3π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
责任编辑 廖宇红
20 广东教育·高中 2019 年第 10 期
且当 x∈（0, β）
时，
f′（x）>0；
当 x∈（β,
π） 2
时，
f′（x）<0.
故 f（x）在
（0, β）
单调递增，
在
（β,
π 2
）
单调递减. 又 f（0）
=0，
f（
π 2
）=1-ln（1+
π 2
）>0，
所 以 当 x∈(0, π ] 时 ， f（x）>0. 所 以 f（x）在 (0, π ] 没 有
个零点. 又 h（x）在 (1， 2) 内有零点，
因此 h（x）在 [0， ＋∞) 上至少有两个零点.
h′（x）＝ex－
1
-
x
1 2
－1，
记
φ（x）＝
ex－
1
-
x
1 2
－1，
则 φ′（x）＝ ex＋
2
2
1
-
x
3 2
.
4
当 x∈(0， ＋∞) 时 ， φ′（x）>0， 因 此 φ（x）在 (0， ＋∞) 上 单