溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法51页PPT
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水动力弥散方程
水动力弥散方程水体中的物质运移和扩散往往会受到水流的影响，因此涉及到水动力弥散方程。
水动力弥散方程是描述物质在水动力作用下在水体中弥散和扩散的方程。
在环境保护、污染防治、水资源利用和水力工程等领域中，水动力弥散方程非常重要。
弥散的基本概念在介绍水动力弥散方程之前，需要先了解一些基本概念。
弥散弥散是指物质在水中因为分子热运动而发生的无规则传递过程。
在水中，物质均呈现出弥散的现象，即物质会沿着水流的方向不断扩散。
扩散扩散是指物质在稳定均匀的介质中自发地运动，使得物质的浓度分布趋于均匀的传递过程。
对流对流是指流体中由于温度等差的非均匀性而引起的流动。
水动力域中，对流一般指水流的流动。
分子扩散分子扩散是指物质在介质中因分子热运动而发生的扩散过程。
水动力弥散方程的构建在水动力弥散方程中，要考虑物质的对流和扩散。
如果仅考虑扩散，则十分简单，其方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}=D\ abla^2c$$其中，c表示物质的浓度，t表示时间，D为扩散系数。
但实际上，流体内部还会存在对流影响，所以在含有对流的情况下，水动力弥散方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}+v\ abla c=D\ abla^2c$$其中，v表示水流的速度。
这个方程告诉我们随着时间的推移，浓度c会发生变化。
变化是由扩散和对流两种机制引起的，从而影响水体中物质的分布情况。
水动力弥散方程的本质意义是用数学语言描述了物质在水动力作用下如何弥散和扩散。
物理解释物理上，扩散作用是由分子的玻尔兹曼方程描述的，而对流作用是由沃滕变换描述的。
弥散过程是扩散和对流两种作用的综合体现。
在弥散过程中，对流所起的作用是将物质从一处地方迅速“输送”到其他地方，从而影响弥散的速率。
对流作用越强，同样的物质浓度分布会更快地发生变化；反之，扩散作用相对于对流影响变弱，则物质的浓度分布变化更缓慢。
溶质运移及其基本微分方程
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散
23土壤中的溶质运移现象十分复杂土壤水携带着溶质一起运移对流溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运移分子扩散溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙次小小不断被分散并占有越来越大的渗流区且每个细孔中运动速度的大小和方向均不同机械弥散
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
分子扩散和水动力弥散机理不同，但同时存在， 很难区分，二者综合称为水动力弥散。 土壤中的吸附 解析； 溶质的溶解 沉淀
化合 分解 离子交换 植物的吸收、释放 微生物的分解
∴土壤中的溶液处在一个物理、化学、生物
的相互联系、连续变化的系统中。由于化学和
生物作用的复杂性，目前多数情况只考虑溶质
迁移过程的物理作用，即 对流+水动力弥散 分子扩散 机械弥散
23土壤中的溶质运移现象十分复杂土壤水携带着溶质一起运移对流溶质在自身浓度作用下由高浓度处向低浓度运移分子扩散溶质在流动过程中从一个大孔隙进入小孔隙次小小不断被分散并占有越来越大的渗流区且每个细孔中运动速度的大小和方向均不同机械弥散
§2-3 非饱和带溶质运移 及其基本微分方程
● 溶质运移现象 ● 溶质运移的对流和水动力弥散
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
2. 溶质的分子扩散———Fick定律
溶质运移理论-水动力弥散系数的计算方法 46页PPT文档
则 则
弥散晕面积法优点：
1.不一定要求观测孔在主 流线上（但要求较多观测 孔）；
2.求弥散系数不需知道流 速且可求孔隙度
3.数据在时空上均有一定 延伸，代表性较好
34
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
5.lnC-t曲线拐点法 对式
两边取自然对数并求时间的二阶导再取二阶导为0，
得
x2 DL
y2 DT
27
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
28
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： （2）若流向不确定
计算方法改变，用（x1，y1）（x2,y2）两个观测孔
解得
29
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
前面已证
弥散晕为椭圆，圆心为（ut，0），以孔隙平均流速
向前移动，长轴a和短轴b之比
参数计算步骤： （1）若已知流向
在注入孔正下游设一取样孔（x1,0）,偏离正下游 设孔（x2，y2）
26
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： 1.作lgCD-lgt实测曲线； 2.与标准曲线拟合，得rD1和rD2； 3.根据（5-45）、（5-42）与（5-43），易知
若观测孔偏离流向，会出现弥散度偏低
(4-68)
以浓度C为等值线的椭圆面积为
(5-61)
30
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
表明t时刻的一系列浓度与对应的椭圆面积在半对数
坐标上为一直线，斜率为
联立，可得DL、DT
(5-62)
求出横轴截距d，有（5-61）得
可求有效孔隙度
由（5-60）得
求出浓度C等值线围成的椭圆面积随时间变化值，则 31
弥散晕面积法优点：
1.不一定要求观测孔在主 流线上（但要求较多观测 孔）；
2.求弥散系数不需知道流 速且可求孔隙度
3.数据在时空上均有一定 延伸，代表性较好
34
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
5.lnC-t曲线拐点法 对式
两边取自然对数并求时间的二阶导再取二阶导为0，
得
x2 DL
y2 DT
27
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
28
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： （2）若流向不确定
计算方法改变，用（x1，y1）（x2,y2）两个观测孔
解得
29
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
前面已证
弥散晕为椭圆，圆心为（ut，0），以孔隙平均流速
向前移动，长轴a和短轴b之比
参数计算步骤： （1）若已知流向
在注入孔正下游设一取样孔（x1,0）,偏离正下游 设孔（x2，y2）
26
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： 1.作lgCD-lgt实测曲线； 2.与标准曲线拟合，得rD1和rD2； 3.根据（5-45）、（5-42）与（5-43），易知
若观测孔偏离流向，会出现弥散度偏低
(4-68)
以浓度C为等值线的椭圆面积为
(5-61)
30
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
表明t时刻的一系列浓度与对应的椭圆面积在半对数
坐标上为一直线，斜率为
联立，可得DL、DT
(5-62)
求出横轴截距d，有（5-61）得
可求有效孔隙度
由（5-60）得
求出浓度C等值线围成的椭圆面积随时间变化值，则 31
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
故
式子变成
50
mM ml M
对应解为
15
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂 无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
16
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
' y 从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 处，宽 ' dy 度为 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 ' m dy 入量与前者的 相当，有 f
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令
则
同理 得
34
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标 令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
略去高阶变量
问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得
根据因次分析中的π定理设
和 对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）
7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
，流体密度为常数； （3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质； （4）瞬时点源位置为坐标原点；
2
一、基本解
溶质运移及其基本微分方程
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
第三章 水动力学基础 ppt课件
F y
Q( 2v2z 1v1z )
F z
11
ppt课件
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
水排
12
ppt课件
水排简介
东汉初（公元31年）杜诗制造的 “水排”，利用溪水流作原动力， 转动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利 用水流动量原理，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同 一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流 冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，再带动旁边的绳轮 和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动， 即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作 法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂 米、磨面、纺纱和提水扬水工具。
第三章 水动力学基础
本章学习基本要求：
了解描述流体运动的两种方法； 理解流动类型和流束与总流等相关概念； 掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用； 理解量纲分析法。
1
ppt课件
第三章 水动力学基础
3.1 描述液体运动的两种方法
3.2 液体运动的基本概念
3.3 恒定总流的连续性方程
3.4 恒定元流的能量方程
定。 18
ppt课件
弯管内水流对管壁的作用力
管轴竖直放置
1
管轴水平放置
1 2
V1 Rz
R
P1=p1A1 z
Fx V2
G
2
V1
P1=p1A1
x y
x y
P2=p2A·2
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程共34页
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
20
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
4
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
1
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
16
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
17
六、水动力弥散方程
18
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
水力学第三章水动力学基础PPT课件
斯托克斯定理
总结词
描述流体在重力场中运动时，流速与密 度的关系。
VS
详细描述
斯托克斯定理指出，在不可压缩、理想流 体中，流体的流速与密度之间存在一定的 关系。具体来说，流速大的地方密度小， 流速小的地方密度大。这个定理对于理解 流体运动的基本规律和解决实际问题具有 重要的意义。
06 水动力学中的流动现象与 模拟
设计、预测和控制等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
静水压强
静止液体内部压强的分布规律。
液柱压力计
利用静止液体的压强测量压力的方法。
帕斯卡原理
静止液体中任意封闭曲面所受外力之和为零。
浮力原理
浸没在液体中的物体受到一个向上的浮力， 其大小等于物体所排液体的重量。
03 水流运动的基本方程
连续性方程
总结词
描述水流在流场中连续分布的特性
详细描述
连续性方程是水力学中的基本方程之一，它表达了单位时间内流场中某一流体 的质量守恒原理。对于不可压缩流体，连续性方程可以简化为：单位时间内流 出的流量等于该时间内流体的减少量。
湍流
水流呈现不规则状态，流线曲折、交 叉甚至断裂，流速沿程变化大，有强 烈的脉动现象。
均匀流与非均匀流
均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向保持一致，过水断面形状和尺寸沿程保持不变 。
非均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向发生变化，过水断面形状和尺寸沿程也发生变 化。
一维、二维和三维流动
一维流动
水流只具有一个方向的流动，如 管道中的水流。一维流动的研究 可以通过建立一维数学模型进行。
水力学第三章水动力学基础ppt课 件
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水动力弥散方程PPT文档48页
谢谢！
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
水动力弥散方程
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风景澈。来自7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
8
一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
水力学系统讲义课件第三章水动力学基础
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4
a du du(x, y, z,t) u u dx u dy u dz
z p C
g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA /
pB /
压强势能（压能）： p
测压管高度(压强水头) ： g
zA
O
zB
O
单测位压势管能水：头：z
p
g
35
恒定总流的能量方程
理想液体恒定微小流束能量方程推导
动能定理：某物体在运动过程中动能的改变等于其在同 一时间内所有外力所做的功。
解：ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
4y 6x 4y 6xt 6t 6y 9xt 4t
4y 6x 1 6t2 6t2
将t 2, x 2, y 4代入得，ax 4m / s2 同理可得， ay (6 y 9x) (4 y 6x)9t 2 (6 y 9t)6t 2
Q A
49 60
umax
24
（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
1/ 7
溶质运移理论-水动力弥散系数
三、尺度效应-分形特征
基准尺度是研究区大小的尺度，一般用污染物运移到观 测孔的最大距离表示，或研究区的近似最大内径长度代 替。
三、尺度效应-分形特征
综合上述图表知纵向弥散度尺度效应的变化特征： （1）数值模型所计算出的尺度效应较解析模型变弱了， 即由数值模型所得到的纵向弥散度随研究尺度增加而增 大的速度小于用解析模型所求出的值； （2）随着模型维数的增加，分维数减少，即随着维数的 增加纵向弥散度随尺度效应增加而增大的速度渐小； （3）利用解析模型和数值模型所求出的非孔隙介质中尺 度效应分维数与孔隙介质中相应的值不同
Taylor 弥散系数表达式
缺点：过于简单 Bear和Bachmat
将多孔介质钙化为相互连通的空间毛管网 络，假定水流为层流运动
3
毛管网络模型
二次平均法： （1）先在毛管截面上求平均，并将所得的平
均值放在毛管横截面轴心上； （2）沿毛管轴在典型单元体上进行平均；
（3-2）
4
毛管网络模型
机械弥散系数
第I区：纯分子扩散状态；速度 较少
等径的球状颗粒组成的均质介质，曲折率近似地等于0.6713
二、实验研究：一维水动力弥散实验
第Ⅱ区：机械弥散于分子扩散重叠状态， 随着 Pc 增加，机械弥散明显起来；
第Ⅲ区：机械弥散优势状态，但分子扩散 不能忽略；相互控制，横向分子扩散将导 致纵向物质迁移减弱；
二、实验研究：一维水动力弥散实验
在充满均质砂的砂柱中预先用不含示踪剂的 流体饱和，并将其控制在某个流速水平上，
在砂柱的一端引入定浓度示踪剂，以驱替原 有的不含示踪剂的液体，并在另一端测量示 踪剂浓度，或在中间插入若干个浓度传感器 测出流体的示踪剂浓度，
根据公式求出 D L
[理学]3第三章-水动力学基础PPT课件
![[理学]3第三章-水动力学基础PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/534803d8581b6bd97e19ea71.png)
《水力学》
第三章 水动力学基础 §1 描述液体运动的两种方法
1 描述液体运动的两种方法
拉格朗日法
z
以研究单个液体质点的运动过程作为基 础，通过对每个液体质点运动规律的研 究来获得整个液体运动的规律性。
t
（x，y，z）
（t0）
O M （a，b，c）
x
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
方程应用的注意点：
z1p 12 1V g12z2p 22 2V g22hw
选取高程基准面； 选取两过水断面；
所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之
间，水流可以不是渐变流。
选取计算代表点；
选取压强基准面；
动能修正系数一般取值为1.0。
Yangzhou Univ
-
19
《水力学》
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
例题：采用直径d=350mm的虹吸管将河水引入堤外供给灌溉。已知H=4m， h=3m，若不计损失，试确定该虹吸管的输水量，并计算图中1、2、3、4各 点的位置水头z、压强水头p/γ、流速水头V2/2g及总水头。
-
27
《水力学》 能量方程（伯努利方程）应用的拓展
恒定总流的能量方程（又称为伯努利方程）是 应用最广的流体动力学基本方程。它不仅可以 用于液体运动，还可以应用于气体运动。
特别提醒
伯努利方程式是对不可压缩
液体导出的，而气体是可压缩流体，因此，将
伯努利方程式应用于气流时，要求流速不很大
（V＜50m/s），压强变化不很大，密度的变
溶质运移理论-水动力弥散方程的数值解法
2
一、有限差分法-导数的有限差分近似
图中，去x轴上任意一点i，其坐标为 xi ix 在改点左右相聚为 x处分别取（i-1）和
（i+1），其坐标分别为 xi-1i-1x和xi1i1 x
以i为中心，泰勒展开C(x)
3
一、有限差分法-导数的有限差分近似
整理并略去余项
（6-1）-（6-2），再除以 2x 略去余项
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
二维水动力弥散方程
（4-56）
（1）显格式
式（4-56）中的对流项取中心差分
C i,jn , 1 tC i,j,nD LC i 1 ， j,n2 C x i,j2 ,n C i 1 ,j,n D TC i， j 1 ,n 2 C y i,j2 ,n C i,j 1 ,n-u C i 1 ， j,2 n x C i,j 1 ,n
式中仅有一个未知数
10
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
化简后，有
C i,j,n 1 D L x 2 t-2 u x t C i 1 ,j,n 1 2 D L x 2 t 2 D T y 2 t C i,j,n D L x 2 t-2 u x t C i-1 ,j,n D T y 2 tC i,j 1 ,n D T y 2 tC i,j-1 ,n
涉及以（i，j）为中 心的5个网格点在tn 时刻的已知浓度
11
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
（2）隐格式
式（4-56）中右端的对流项取中心差分， 右端个C的时阶均取n+1水平
C ij,n , 1 tC i,j,n D LC i 1 ， j 1 ,n 2 C ix ,j 2 1 ,n C i 1 ,j,n 1 D TC i， j 1 ,n 2 C i,y j,n 2 1 C i,j 1 ,n 1-u C i 1 ， j,n 2 1 x C i,j,n 1
一、有限差分法-导数的有限差分近似
图中，去x轴上任意一点i，其坐标为 xi ix 在改点左右相聚为 x处分别取（i-1）和
（i+1），其坐标分别为 xi-1i-1x和xi1i1 x
以i为中心，泰勒展开C(x)
3
一、有限差分法-导数的有限差分近似
整理并略去余项
（6-1）-（6-2），再除以 2x 略去余项
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
二维水动力弥散方程
（4-56）
（1）显格式
式（4-56）中的对流项取中心差分
C i,jn , 1 tC i,j,nD LC i 1 ， j,n2 C x i,j2 ,n C i 1 ,j,n D TC i， j 1 ,n 2 C y i,j2 ,n C i,j 1 ,n-u C i 1 ， j,2 n x C i,j 1 ,n
式中仅有一个未知数
10
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
化简后，有
C i,j,n 1 D L x 2 t-2 u x t C i 1 ,j,n 1 2 D L x 2 t 2 D T y 2 t C i,j,n D L x 2 t-2 u x t C i-1 ,j,n D T y 2 tC i,j 1 ,n D T y 2 tC i,j-1 ,n
涉及以（i，j）为中 心的5个网格点在tn 时刻的已知浓度
11
一、有限差分法-二维水动力弥散的差分解法
（2）隐格式
式（4-56）中右端的对流项取中心差分， 右端个C的时阶均取n+1水平
C ij,n , 1 tC i,j,n D LC i 1 ， j 1 ,n 2 C ix ,j 2 1 ,n C i 1 ,j,n 1 D TC i， j 1 ,n 2 C i,y j,n 2 1 C i,j 1 ,n 1-u C i 1 ， j,n 2 1 x C i,j,n 1
《水动力学基础》课件
介绍一些应用液体静压力的案例，如水力扬机、液体封堵等。
流体动力学方程
连续性方程
解释连续性方程的意义和应 用，如质量守恒定律。
动量守恒方程
揭示动量守恒方程的重要性， 以及它在流体流动研究中的 应用。
能量守恒方程
介绍能量守恒方程的基本原 理，以及在流体热力学和能 源转换中的应用。
流体静力学
1 压力分布
讲解黏性和粘度的概念，以及 在工程和自然现象中的影响。
边界层
探索边界层的特性和作用，以 及它在流体力学中的重要性。
应用领域
1
水力发电
介绍水力发电的原理和技术，以及它在可再生能源中的重要性。
2
航海
探讨流体力学在航海中的应用，如船舶稳性和水动力设计。
3
城市排水系统
解释城市排水系统的原理和设计，以及流体力学在此领域的应用案例。
《水动力学基础》PPT课 件
水动力学基础的介绍提供了关于流体力学的基本知识。涉及流体的静态和动 态性质，以及它们在应用领域中的重要性。
液体静压力
1 作用原理
讲解液体静压力的作用原理和公式，以及在不同场景中的应用。
2 实验演示
通过实验演示液体静压力的原理，使观众更直观地理解它在实际中的应用。
3 应用案例
总结和关键要点
主要概念
总结课程中涉及的主要概 念和重要原理，以加深观 众对水动力学基础的理解。
实际应用
强调水动力学基础在各个 工程和科学领域中的实际 应用，并鼓励观众继续深 入研究。
下一步
提供一些学习水动力学进 一步的资源和参考资料， 以激发观涉及到应变、杨氏模量等重要概念。
2 巴什卡拉定理
详解巴什卡拉定理的背景和应用，以及对流体静力学的贡献。
流体动力学方程
连续性方程
解释连续性方程的意义和应 用，如质量守恒定律。
动量守恒方程
揭示动量守恒方程的重要性， 以及它在流体流动研究中的 应用。
能量守恒方程
介绍能量守恒方程的基本原 理，以及在流体热力学和能 源转换中的应用。
流体静力学
1 压力分布
讲解黏性和粘度的概念，以及 在工程和自然现象中的影响。
边界层
探索边界层的特性和作用，以 及它在流体力学中的重要性。
应用领域
1
水力发电
介绍水力发电的原理和技术，以及它在可再生能源中的重要性。
2
航海
探讨流体力学在航海中的应用，如船舶稳性和水动力设计。
3
城市排水系统
解释城市排水系统的原理和设计，以及流体力学在此领域的应用案例。
《水动力学基础》PPT课 件
水动力学基础的介绍提供了关于流体力学的基本知识。涉及流体的静态和动 态性质，以及它们在应用领域中的重要性。
液体静压力
1 作用原理
讲解液体静压力的作用原理和公式，以及在不同场景中的应用。
2 实验演示
通过实验演示液体静压力的原理，使观众更直观地理解它在实际中的应用。
3 应用案例
总结和关键要点
主要概念
总结课程中涉及的主要概 念和重要原理，以加深观 众对水动力学基础的理解。
实际应用
强调水动力学基础在各个 工程和科学领域中的实际 应用，并鼓励观众继续深 入研究。
下一步
提供一些学习水动力学进 一步的资源和参考资料， 以激发观涉及到应变、杨氏模量等重要概念。
2 巴什卡拉定理
详解巴什卡拉定理的背景和应用，以及对流体静力学的贡献。
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利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
2
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
3
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
4
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得 根据因次分析中的π定理设
和
对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
16
一、基本解-有限空间（平面）问题
对于边界简单的情况，可用反映法转化为y无' 限空
间问题在叠加求解
C n
0
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)
对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
17
二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
31
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
假定（1）示踪剂的注入不改变地下水渗流状态 或（2）取样点离注入井足够远 数学模型为
32
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令 则
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
5
一、基本解
（4-11）6
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
对于式（4-11），令
7
一、基本解
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
（4-15）
8
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
12
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令
解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
13
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：
线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则
进一步求解 得
29
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm
余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
30
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
一、基本解
基本解
将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。
三维空间瞬时点源
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）均质各向同性；
（2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
，流体密度为常数；
（3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质；
1
（4）瞬时点源位置为坐标原点；
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
9
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点
随时间增加，原点处浓度减少
由于
或
，浓度为原点的1%
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
10
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬
时注入示踪剂，求浓
映射
度时空分布规律
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε=1/2，表示 ε=1/2的点与u同速度推进。
25
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
式（4-3）通解为
越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
21
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω为砂柱横截面积
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 dmf C•n•dx'的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
ml
mM M
对应解为
14
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂
无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
15
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 y ' 处，宽 度为dy ' 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 入量与前者m的f dy' 相当，有
对于式
18
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
19
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
20
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0； 随着Dl或者t的增大，浓度
三维空间一条无 限长瞬时线源
11
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 示踪剂质量为 mldz'，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
2
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
3
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
4
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得 根据因次分析中的π定理设
和
对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
16
一、基本解-有限空间（平面）问题
对于边界简单的情况，可用反映法转化为y无' 限空
间问题在叠加求解
C n
0
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)
对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
17
二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
31
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
假定（1）示踪剂的注入不改变地下水渗流状态 或（2）取样点离注入井足够远 数学模型为
32
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令 则
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
5
一、基本解
（4-11）6
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
对于式（4-11），令
7
一、基本解
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
（4-15）
8
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
12
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令
解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
13
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：
线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则
进一步求解 得
29
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm
余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
30
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
一、基本解
基本解
将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。
三维空间瞬时点源
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）均质各向同性；
（2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
，流体密度为常数；
（3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质；
1
（4）瞬时点源位置为坐标原点；
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
9
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点
随时间增加，原点处浓度减少
由于
或
，浓度为原点的1%
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
10
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬
时注入示踪剂，求浓
映射
度时空分布规律
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε=1/2，表示 ε=1/2的点与u同速度推进。
25
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
式（4-3）通解为
越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
21
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω为砂柱横截面积
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 dmf C•n•dx'的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
ml
mM M
对应解为
14
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂
无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
15
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 y ' 处，宽 度为dy ' 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 入量与前者m的f dy' 相当，有
对于式
18
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
19
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
20
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0； 随着Dl或者t的增大，浓度
三维空间一条无 限长瞬时线源
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一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 示踪剂质量为 mldz'，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度