11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第八章 李雅普诺夫稳定性理论
x
sin2
et
t
et
cos2t
x
令
sin2 t et
et
cos2t
x
0
得
x0
（2） 在x1,x2平面的一、三象限内 V(x1,x2)etx1x20
而在同一区域内 V e tx 1 x 2 e tx 1 x 2 e tx 1 x 2x12 x22 0
所以系统不稳定
❖推论. 1：当 V(x,t) 正定，V ( x, t ) 半正定， 且 V[x(t; x0,t),t]在非零状态不恒为零时,则
例
xx21
kx2 x1
k 0
V (x ,t)x 1 2 k2 2x(k 0 )
V ( x , t ) 2 x 1 x 1 2 k 2 x 2 x 2 k 1 x 2 x 2 k 1 x 2 x 0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
定理四 设系统的状态方程为 xf(x,t) f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：
定理一 设系统的状态方程为xf(x,t)
f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x，t)为正定； 2) V ( x, t ) 为负定 则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果随 x 有 V(x,t)，则在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如果 由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
李雅普诺夫稳定性分析
⑥ V(x)函数只表示了平衡状态附近的某领域内的局部 运动稳定状况。不能提供域外的运动信息。 ⑦ V(x)的构造需要较多技巧，可通过计算机来完成， 人力难以估测。因此，此方法常用于难以判定的复 杂问题。例如高阶时变非线性系统。
李雅普诺夫稳定性在线性系统中的应用
线性系统中的应用
线性连续定常系统稳定性分析 线性离散定常系统稳定性分析 线性连续时变系统稳定性分析 线性离散时变系统稳定性分析
V ( x) 0,V ( x) 0,V ( x) 0
李雅普诺夫函数讨论
⑤ V ( x) 0 V ( x) 0 V ( x) 0
能量的趋近速度是负的，所以能量最 终为0，趋向于原点，系统是渐进稳 定的。 能量最终为可能0，趋向于原点，也 有可能停止在ε内的某处。 能量是递增的，因此是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性
上述定理的标量函数V(X,t)称为李亚普诺夫函数． 李亚普诺夫稳定性定理是判定系统稳定的充分条件， 但非必要条件。 一般李亚普诺夫函数对某个系统来说不止一个，即不 唯一。
状态 系统 能量函数
寻找的
？
系统 稳定
李雅普诺夫稳定性
示例有一个非线性状态方程，Xe=0为一个平衡状态
是否就一定不稳定呢？是否标量函数不合适呢？需要另外判断。 从李雅普诺夫第一方 法来看，解特征方程
s 1 1 2 sI A 1 s 1 s 2s 2 0
李雅普诺夫函数讨论
李雅普诺夫第二方法关键在于寻找一个满足条件的李 雅普诺夫函数。 ① V(x)是满足稳定性盘踞条件的一个正定标量函数，具 有连续一阶偏导。 ② 对于一个给定系统，如果V(x)能找到，那么通常是非 唯一的，但是不影响结论一致性。 ③ V(x)最简形式是二次型，但未必都是。 ④ 如果V(x)是标准二次型，V(x)可表示为从原点到x的 距离。V (x) 表征了系统相对原点运动的速度。
稳定性与李雅谱诺夫方法
（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心 为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 位于球 ， 则意味着 域 内，便有： 同 理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P， 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；
11.4 绾挎
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
所以，对任意的t，下式均成立:
At e (P P )e 常数 1 2 ATt
令 t=0 和 t=T(0), 则有
P 1 -P 2 e
ATT
AT (P P )e 常数 1 2
由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方 程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析线性定常系统的Lyapunov稳定性分析发布时间：2007-02-084.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中，。
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。
因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。
为了判断n′n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由确定的P是否也是正定的。
这可归纳为如下定理。
定理4.8 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。
此时，Lyapunov函数为，特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：(1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
李亚普诺夫稳定性分析
x1x1
0 x2
x23
0
的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。
0 xe,1 0
0 xe,2 1
0 xe,3 1
对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对 于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对 于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同 的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提 某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。
令
x 所 0求得的解 x ,便是平衡状态。
李亚普诺夫稳定性分析
➢ 由于导数表示的状态 的运动变化方向,因此 平衡状态即指能够保 持平衡、维持现状不 运动的状态,如图所示。
平衡态 平衡态
平衡态
李亚普诺夫稳定性分析
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0
当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态 xe=0;
李亚普诺夫稳定性分析
4 大范围(全局）渐近稳定性
当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态具有渐近稳定性时，
称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时 ,S() 。
对于线性定常系统,因为线性系统稳定性与初始条件的 大小无关，所以如果其平衡状态是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的。
✓ 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性 的概念,而非全局性的概念。
不定性:V ( x ) 在域S内可正可负，则称V ( x ) 不定。如 V(x)x1x2 是不定的。
二次型函数 是一类重要的标量函数，记
p11 p1nx1
V(x)xTP xx1 xn
其中，P 为对称矩阵，有 pij p ji 。 pn1 pnnxn
11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
结论正定0该平衡态渐近稳定正定0对任意非零的初始状态的解该平衡态渐近稳定正定0对某一非零的初始状态的解该平衡态稳定但非渐近稳定正定0正定0该平衡态不稳定正定0半正定0且不恒为0对任意非零的初始状态的解该平衡态不稳定类似于线性定常连续系统对于线性定常离散系统有如下简单实用的渐近稳定判据
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫关于稳定性的定义
定性，而是通过定义一个叫Lyapunov函数(Lyapunov function)的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二 种方法称为直接法，也称为Lyapunov第二法。
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t)
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统
转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用，但是难以适用于一般系统。
在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t)
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统
转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用，但是难以适用于一般系统。
在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析常微分⼤作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪⼀洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论⼀直指导着关于稳定性的研究和应⽤。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第⼆⽅法作了⼀些新的发展。
⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被推⼴到研究⼀般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫⽅法⽤于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等⼜对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进⾏了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分⽅程或差分⽅程，运动平衡状态已采⽤不变集合表⽰，李雅普诺夫函数是在更⼀般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射⽔平上的系统建⽴了李雅普诺夫第⼆⽅法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，⽽是在有序定义的半格上取值。
另⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被⽤于研究⼤系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推⼴为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
⽤这种⽅法可建⽴⼤系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输⼊后，⾮线性时变系统的状态⽅程如下),(t x f x= （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定⽅程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态如果对于所有t ，满⾜0),(==t x f xe e （2）的状态x e 称为平衡状态（⼜称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态⽅程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满⾜0=e Ax ，如果A ⾮奇异，系统只有惟⼀的零解，即存在⼀个位于状态空间原点的平衡状态。
⾄于⾮线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态⽅程决定。
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
第5章李雅普诺夫稳定性分析本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。
主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab 计算与程序设计。
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。
系统的这种性能,叫做稳定性。
例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力、电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。
具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。
也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是ε≤Δ∞→)(Lim t x t 式中，)(t x Δ为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;ε为任意小的规定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。
在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多线性定常系统的稳定性判据,如劳斯-胡尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的稳定性判别及设计方法。
但这些稳定性判据仅限于讨论SISO 线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。
再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。
李雅普诺夫稳定性理论
稳定性就可以了。 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线 性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。对有多个平衡点的系统来说，要讨论该 系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
第一讲 李雅普诺夫稳定性理论
目录
非线性系统相关基本概念 李雅普诺夫关于稳定性的定义
及李雅普诺夫第一，第二方法 拉塞尔不变集理论 Barbalat引理 类李雅普诺夫引理 稳定性分析方法概述 一致最终有界
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的定义： 含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。
(t; x0 , t0 ) xe , t t0
表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况：李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近 稳定、不稳定。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的运动形式 （1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时 很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的自振 非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在， 不会由于参数的一些变化而消失。
1.1 非线性系统相关基本概念 几 种 典 型 的 非 线 性 特 性
t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常
的非线性函数.。
设(1-1)在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
第一讲 李雅普诺夫稳定性理论
目录
非线性系统相关基本概念 李雅普诺夫关于稳定性的定义
及李雅普诺夫第一，第二方法 拉塞尔不变集理论 Barbalat引理 类李雅普诺夫引理 稳定性分析方法概述 一致最终有界
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的定义： 含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。
(t; x0 , t0 ) xe , t t0
表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况：李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近 稳定、不稳定。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的运动形式 （1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时 很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的自振 非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在， 不会由于参数的一些变化而消失。
1.1 非线性系统相关基本概念 几 种 典 型 的 非 线 性 特 性
t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常
的非线性函数.。
设(1-1)在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
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11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
不难看出, 原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则
0 0 0 Q 0 0 0 0 0 1
由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态 轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的 Q，Lyapunov代数方程和相 应结论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入Lyapunov方程, 可得
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
不难看出, 原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则
0 0 0 Q 0 0 0 0 0 1
由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态 轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的 Q，Lyapunov代数方程和相 应结论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入Lyapunov方程, 可得
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1