勾股定理与旋转翻折例题习题
特殊四边形中的旋转、翻折问题
专题02 特殊四边形中的旋转、翻折问题题型一 菱形中的旋转、翻折问题1．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A Ð=°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C ¢处，则DEC Ð的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：连接BD ，如图所示：Q 四边形ABCD 为菱形，AB AD \=，60A Ð=°Q ，ABD \D 为等边三角形，120ADC Ð=°，60C Ð=°，P Q 为AB 的中点，DP \为ADB Ð的平分线，即30ADP BDP Ð=Ð=°，90PDC \Ð=°，\由折叠的性质得到45CDE PDE Ð=Ð=°，在DEC D 中，180()75DEC CDE C Ð=°-Ð+Ð=°．故选：D ．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，点D 是边BC 的中点，现将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D 的坐标为( )A ．9(2B ．9(2-，C ．9(2，D ．9(2-【解答】解：如图，连接OD ，过点C 作CH OB ^于H ，Q 四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，6OB \=，OC BC =，60BOC Ð=°，BOC \D 是等边三角形，6OC OB BC \===，Q 点D 是BC 中点，OD BC \^，3BD =，OD \==，CH OB ^Q ，60COB Ð=°，3OH BH \==，CH ==，\点(3,C -，Q 点D 是BC\点9(2D ，，Q 将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，\第1秒后，点1D 坐标为(0,-，第2秒后，点2D 坐标为9(2-，，第3秒后，点3D 坐标为9(2-，，第4秒后，点4D 坐标为(0，，第5秒后，点5D 坐标为9(2，第6秒后，点6D 坐标为9(2，，¼由上可知，点D 的坐标每6个为一组依次循环着，202163715\¸=¼，\第2021秒时，点D 的坐标为9(2，故选：A ．3．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 逆时针旋转105°至111OA B C 的位置，若2OA =，120C Ð=°，则点1B 的坐标为( )A ．(-B ．(3,C ．(D ．【解答】解：连接AC 与OB 相交于点E ，过点1B 作1BF x ^轴，垂足为F ，Q 四边形OABC 为菱形，120C Ð=°，OA OC =，60AOC \Ð=°，2OC OA AC ===，AC OB ^Q ，\在Rt OAE D 中，2OA =，112AE AC ==，OE \===，OB \=，又1302AOB AOC Ð=Ð=°Q ，1105BOB Ð=°，111801803010545B OF AOB BOB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，在Rt △1B OF 中，1OB OB ==，1OF B F =，22211OF B F OB \+=，可得1OF B F ==，Q 点1B 在第二象限，\点1B 的坐标为(．故选：C ．4．如图，在正方形ABCD 中，顶点A ，B ，C ，D 在坐标轴上，且(4,0)B ，以AB 为边构造菱形ABEF ，将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点164F 的坐标为( )A ．(4-，B ．(4,--C ．，4)-D ．(-，4)-【解答】解：Q 点(4,0)B ，4OB \=，4OA \=，AB \==，Q 四边形ABEF 是菱形，AF AB \==，\点F ，4)，由题意可得每次8旋转一个循环，1648204\¸=¼，\点164F 的坐标与点F 坐标关于原点对称，\点164F 的坐标(-，4)-，故选：D ．5．如图，已知菱形ABCD 的边长2，60A Ð=°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将AEF D 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，则EF【解答】解：延长CD ，过点F 作FM CD ^于点M ，连接GB 、BD ，作FH AE ^交于点H ，如图所示：60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60MDF \Ð=°，30MFD \Ð=°，设MD x =，则2DF x =，FM =，1DG =Q ，1MG x \=+，222(1))(22)x x \++=-，解得：0.3x =，0.6DF \=， 1.4AF =，10.72AH AF \==，sin 1.4FH AF A =Ð==g ，CD BC =Q ，60C Ð=°，DCB \D 是等边三角形，G Q 是CD 的中点，BG CD \^，2BC =Q ，1GC =，BG \=，设BE y =，则2GE y =-，222(2)y y \+=-，解得：0.25y =，1.75AE \=，1.750.7 1.05EH AE AH \=-=-=，EF \===．6．已知菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，12AB =，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将AEF D 沿着直线EF 折叠，使得点A 落在G 点．（1）如图1，若点G 恰好落在AC 上，且3CG =，求DE 的长；（2）如图2，若点G 恰好落在BD 上，且3BG =，求DE 的长．【解答】解：（1）连接BD ，交AC 于点O ，Q 四边形ABCD 是矩形，1602ABD ABC \Ð=Ð=°，90AOB Ð=°，2AC AO =，在Rt AOB D 中易得到AO =，AC =Q 菱形ABCD 中，AD DC =，DAC DCA \Ð=Ð，Q 点A 与点G 关于EF 轴对称，AE EG \=，DAC EGA \Ð=Ð，DCA EGA \Ð=Ð，//EG DC \，\DE CG AD AC =，\12DE =，DE \=．（2）Q菱形ABCD中，120ABCÐ=°，AD AB\=，60AÐ=°，ABD\D是等边三角形，60EDG FBGÐ=Ð=°，又由翻折可得60EGF AÐ=Ð=°，又EGB EGF FGB DEG EDG Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，FGB DEG\Ð=Ð．DEG BGF\D D∽，\DE DG EG BG BF FG==，设DE x=，则12EG AE x==-，\9123x xBF FG-==，27BFx\=，363x FGx-=，又12 AB AF BF FG BF=+=+=，\2736312xx x-+=，解得：215x=，即215 DE=．7．四边形ABCD为菱形，BD为对角线，在对角线BD上任取一点E，连接CE，把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，使得ECF BCDÐ=Ð，点E的对应点为点F，连接DF．（1）如图1，求证：BE DF=；（2）如图2，若2DFC DBCÐ=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于(BD BE和DE除外）．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）解：BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．8．如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ^，1AB =，BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（1）证明：当90AOF Ð=°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，AF 与CE 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AOF Ð度数．【解答】（1）证明：当90AOF Ð=°时，//AB EF ，//AF BE Q ，\四边形ABEF 是平行四边形．（2）证明：Q 四边形ABEF 是平行四边形，AO CO \=，//AF EC ，FAO ECO \Ð=Ð，在AOF D 和COE D 中，FAO OCE OA OCAOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AOF COE \D @D ，AF CE \=．（3）解：结论：四边形BEDF 可能是菱形．AOF COE D @D Q ，OE OF \=，EF \与BD 互相平分，\四边形BEDF 是平行四边形，\当EF BD ^时，四边形BEDF 是菱形，在Rt ABC D 中，2AC =，1OA AB \==，AB AC ^Q ，45AOB \Ð=°，45AOF \Ð=°，\当四边形BEDF 是菱形时，45AOF Ð=°．9．如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，//AD x 轴且4AD =，60A Ð=°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是( )A ．(0，B ．(2,4)-C ．0)D ．(0，或(0,-【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C 旋转到y 轴负半轴时，A 、B 、C 均在坐标轴上，如图，60BAD Ð=°Q ，4AD =，30OAD \Ð=°，2OD \=，AO OC \====，\点C 的坐标为(0,-，同理：当点C 旋转到y 轴正半轴时，点C 的坐标为，\点C 的坐标为或(0,-，故选：D ．10．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB Ð=°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB C D ¢¢¢，其中点C 的运动路径为 CC ¢，则图中阴影部分的面积为 342p +【解答】解：连接CD ¢和BC ¢，60DAB Ð=°Q ，30DAC CAB \Ð=Ð=°，30C AB Т¢=°Q ，A \、D ¢、C 及A 、B 、C ¢分别共线．AC \=\扇形ACC ¢4p =，AC AC =¢Q ，AD AB¢=\在OCD D ¢和△OC B ¢中，CD BC ACO AC D COD C OB ¢=¢ìïÐ=Т¢íïТ=ТîOCD \D ¢@△()OC B AAS ¢．OB OD \=¢，CO C O=¢60CBC Т=°Q ，30BC O Т=°90COD \Т=°1CD AC AD ¢=-¢=-Q 1OB C O +¢=\在Rt BOC D ¢中，222(1)1)BO BO +-=解得12BO =，32C O ¢=-，1324OC B S BO C O ¢\=¢=-V g \图中阴影部分的面积为：3242OC B ACC S S p¢¢-=+V 扇形．故答案为：342p+-题型二 矩形中的旋转、翻折问题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且5OA =，3OC =．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为( )A ．9(5-，12)5B ．12(5-，95C ．16(5-，125D ．12(5-，16)5【解答】解：过点1C 作1C N x ^轴于点N ，过点1A 作1A M x ^轴于点M ，由题意可得：1190C NO A MO Ð=Ð=°，123Ð=Ð=Ð，则△1A OM ∽△1OC N ，5OA =Q ，3OC =，15OA \=，13A M =，4OM \=，\设3NO x =，则14NC x =，13OC =，则22(3)(4)9x x +=，解得：35x =±（负数舍去），则95NO =，1125NC =，故点C 的对应点1C 的坐标为：9(5-，12)5．故选：A ．12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A ¢、B ¢、D ¢，当A ¢落在边CD 的延长线上时，边A D ¢¢与边AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，3AB CD \==，4AD BC ==，90ADC Ð=°，90A DF CDF ¢\Ð=Ð=°，由旋转的性质得：3CD CD ¢==，4A D AD ¢¢==，90ADC A D C ¢¢Ð=Ð=°，5A C ¢\==，532A D A C CD ¢¢\=-=-=，在Rt CDF D 和Rt △CD F ¢中，CF CF CD CD =ìí¢=î，Rt CDF Rt \D @△()CD F HL ¢，DF D F ¢\=，设DF D F x ¢==，则4A F x ¢=-，在Rt △A DF ¢中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-，解得：32x =，32DF \=，CF \===．13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AD =，E 是CD 上一点，连结AE ，ADE D 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作FG AD ^，垂足为G ．若3AD GD =，则DE 的值为( )A B ．52C D 【解答】解：过点E 作EH FG ^，交FG 于点H ，如图，由题意：AEF AED D @D ，则6AF AD ==，DE EF =．6AD =Q ，3AD GD =，2GD \=．624AG AD DG \=-=-=．FG AD ^Q ，FG \===．Q 四边形ABCD 是矩形，90D \Ð=°，FG AD ^Q ，EH FG ^，\四边形GHED 为矩形．GH DE \=，2HE GD ==．设DE x =，则GH EF x ==，HF x =，在Rt HEF D 中，222HF HE EF +=Q ，\222)2x x -+=．解得：x =DE \=故选：C ．14．如图，点E 在矩形ABCD 边CD 上，将ADE D 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 上的点F 处，若2AB CF =，3CE =，连接DF ，与AE 交于H 点，连接BH ，则点F 到BH 的距离为【解答】解：根据折叠的性质知：AD AF BC ==，DE EF =，AE 是线段DF 的垂直平分线，H 是DF 的中点，设DE EF x ==，则3DC AB x ==+，11(3)22FC AB x ==+，在Rt EFC D 中，222FC EC EF +=，即2221[(3)]32x x ++=，解得：5x =或3x =-（舍去），538DC AB \==+=，4FC =，设AD AF BC y ===，则4BF y =-，在Rt ABF D 中，222AB BF AF +=，即2228(4)y y +-=，解得：10y =，6BF \=，过H 作HN BC ^于N ，过F 作FM BH ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，//HN CD \，142HN CD \==，122FN FC ==，8BN BF FN \=+=，由勾股定理得：BH ==，1122BHF S BF HN BH FM D =´=´Q ，BF HN FM BH ´\===15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )A ．2)-B ．3)-C ．3)-D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，Q 四边形AOCB 为矩形，90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，\=，OC AB12AC==，由折叠可知：30Ð=Ð=°，AD ABDAC BAC==，\Ð=°，OAE30OE\=，AE=，\=，ED//Q轴，DF y\Ð=Ð=°，30EDF EAODF=，\=，3EF\=+=，OF OE EF-，\点坐标为，3)D故选：B．16．如图，四边形ABCD中，//AD BC，AB BCBCDÐ=°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，^，45延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；AD=，3（2）若2BC=，求AE的长．【解答】（1）证明：//BCDÐ=°，^，45Q，AB BCAD BCBCD FDCÐ=Ð=°，\Ð=Ð=°，4590B BAFQ将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，Ð=°，EDCDE DC\=，90EDF FDC\Ð=°=Ð，45\^，DF CE\Ð=°，AFC90即90Ð=Ð=Ð=°，B BAF AFC\四边形ABCF是矩形；（2）解：Q四边形ABCF是矩形，\==，AF BC3\=-=，321DFQ，90Ð=°，DFEÐ=°45EDF\Ð=Ð=°，45DEF EDF\==，1DF EF在Rt AFED中，由勾股定理得：AE===．AB=，217．如图，矩形OABC中，1¢¢，则AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B CBB¢【解答】解：如图所示：Q矩形OABC中，1AB=，2AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B C¢¢，B D¢=，\=，13BD则BB¢==．．AB=，618．如图，在矩形ABCD中，4D沿AE折叠，使点B落在矩形BC=，点E为BC的中点，将ABE内点F处，连接CF，则CF的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．185【解答】解：连接BF ，6BC =Q ，点E 为BC 的中点，3BE \=，又4AB =Q ，5AE \==，由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）125AB BE BH AE ´\==，则245BF =，FE BE EC ==Q ，90BFC \Ð=°，185CF \==．故选：D ．19．已知，如图，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AB AC =，DAC B Ð=Ð，点E 是BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若8AD =，6CD =，点F 是AD 上的点，连接CF ，把D Ð沿CF 折叠，使点D 落在点G 处．当AFG D 为直角三角形时，求CF 的长度．【解答】解：（1）证明：AB AC =Q ,B ACB \Ð=Ð．DAC B Ð=ÐQ ,DAC ACB \Ð=Ð．//AD EC \．AB AC =Q ,E 是BC 的中点，AE BC \^．90AEC \Ð=°．18090EAD AEC \Ð=°-Ð=°．90D Ð=°Q ,\四边形AECD 为矩形．(2)当90AGF Ð=°时，G 在AC 上，如图，8AD =Q ,6CD =,10AC \==．CG CD =Q ,4AG AC CG \=-=．设DF x =,则8AF x =-,GF DF x ==,由勾股定理得：222AG GF AF +=．2224(8)x x \+=-．解得：3x =．\CF ===当90AFC Ð=°时，G 在CE 上，此时四边形CDFG 为正方形，如图：CF \=；当90FAG Ð=°时，G 在AB 上，此时6CG CD ==,而8CE AD ==,Q斜边大于直角边，\不可能在AB边上．G综上，CF=．20．矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E处，连BE．（1）求证：2Ð=Ð；BAE CBE（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，C CBA90CBE ABE\Ð+Ð=°，90Q将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，=，Ð=°，AE AB\=，90BC AGEAG\Ð=Ð，ABE AEBQ，Ð+Ð+Ð=°BAE ABE AEB180\Ð+Ð=°，ABE BAE2180Q，Ð+Ð=°CBE ABE90\Ð+Ð=°，CBE ABE22180\Ð=Ð．BAE CBE2（2）2=，AF MN证明：过B作BO AE^于O，连接EG，Q四边形AEFG是矩形，Ð=Ð=°，MAG BOM\=，90AF EG90C CBA Ð=Ð=°Q ，90AEB ABE CBE \Ð=Ð=°-Ð，90CEB CBE Ð=°-Ð，CEB OEB \Ð=Ð，在CBE D 和OBE D 中，90CBE OBE C BOE BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()CBE OBE AAS \D @D ，EC OE \=，BO BC AD AG ===，在BOM D 和GAM D 中，AMG BME BOM GAM BO AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BOM GAM AAS \D @D ，BM GM \=，Q 点N 为BE 的中点，12MN EG \=，EG AF =Q ，2AF MN \=．题型三 正方形中的旋转、翻折问题21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC于G ，连接AG ，则EAG Ð= 45 度．【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90ABE BAD ADG Ð=Ð=Ð=°，由翻折可知：AB AF =，90ABE AFE AFG Ð=Ð=Ð=°，BAE EAF Ð=Ð，90AFG ADG Ð=Ð=°Q ，AG AG =，AD AF =，Rt AGD Rt AGF(HL)\D @D ，GAF GAD Ð=Ð，1()452EAG EAF GAF BAF DAF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°．故答案为：45．22．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B 落在对角线CF 1- ．【解答】解：方法一：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，1EF CE \==，CF \=，1BF \=-，45BFE Ð=°Q ，\阴影部分的面积211111)122=´´-´=-；方法二：Q 过E 点作//MN BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP ，如下图所示，B Q 在对角线CF 上，45DCE ECF \Ð=Ð=°，1EC =，ENC \D 为等腰直角三角形，MB CN \===，又BC AD CD CE ===，且CP CP =，PEC D 和PBC D 均为直角三角形，Rt PEC Rt PBC(HL)\D @D ，PB PE \=，又45PFB Ð=°，45FPB MPE \Ð=°=Ð，MPE \D 为等腰直角三角形，设MP x =，则EP BP ==，MP BP MB +=Q ，\x +=x =，1BP \==-，\阴影部分的面积12211)12PBC S BC BP D ==´´´=´-=-．1．23．如图，将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AB C D ¢¢¢，则图中阴影部分面积为 9-【解答】解：连接AE ，如图所示：由旋转的性质可知：AB AB =¢．在Rt △AB E ¢和Rt ADE D 中，AE AE AB AD =ìí¢=î，Rt \△Rt ADE(HL)AB E ¢@D ．DAE B AE \Ð=Т，ADE AB E S S D ¢=V ．30BAB Т=°Q ，1(9030)302DAE \Ð=´°-°=°．又3AB =Q ，DE AB \==132ADE S D \==，又239ABCD S ==Q 正方形，929S \=-=-阴影．故答案为：9-．24．如图是一张正方形纸片ABCD ，将其对折使AB 与DC 重合，折痕EF 分别与BC ，AD 交于点E ，F ，再将点D 对折到线段AE 上，折痕AG 交DC 于点G ，则DC GC【解答】解：如图，连接EG ，设DG D G x ¢==，2AB a =，由折叠得：BE EC a ==，2AD AD a ¢==，2CG a x \=-，由勾股定理得：AE ==，2D E a ¢\=-，在Rt EGD ¢D 和Rt EGC D 中，2222(2)2)a a x x a +-=+-，解得1)x a =-，\DC GC =．．25．如图，将边长为12的正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G ，则DE 长度为 92 ，BG 与BC 的数量关系为 ．【解答】解：过A 作AH MG ^于H ，连接AG ，如图：设DE x =，则12AE ME x ==-，Rt DME D 中，162DM DC ==，222DM DE ME +=，2226(12)x x \+=-，解得92x =，92DE \=，Q 正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，MAB AMG \Ð=Ð，//DC AB Q ，DMA MAB \Ð=Ð，DMA AMG \Ð=Ð，在ADM D 和AHM D 中，90,D AHM DMA AMG AM AMÐ=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()ADM AHM AAS \D @D ，AD AH \=，6MH MD ==，AH AD AB \==，在Rt AHG D 和Rt ABG D 中，AH ABAG AG =ìí=î，Rt AHG Rt ABG(HL)\D @D ，HG BG \=，设BG y =，则HG y =，12CG y =-，Rt CMG D 中，162CM DC ==，6MG MH HG y =+=+，222CM CG MG +=，2226(12)(6)y y \+-=+，解得245y =，245BG \=，\2425125 BGBC==，25BG BC\=．故答案为：92，25BG BC=．26．如图，已知正方形ABCD的边长为6，以点C为直角顶点的等腰Rt CEFD绕C旋转一圈，且保持2CE=，过点C作CH DE^于H交直线BF于M，连AM，则AM的最小值为 1- ．【解答】解：如图1中，作//BT CF交CM分延长线于T．//BT CFQ，T FCM\Ð=Ð，CH DE^Q，ECFD是等腰直角三角形，90CHE ECF\Ð=Ð=°，90FCM ECH\Ð+Ð=°，90ECH DECÐ+Ð=°，DEC FCM T\Ð=Ð=Ð，90DCB DHCÐ=Ð=°Q，90BCT DCH \Ð+Ð=°，90DCH CDE Ð+Ð=°，TCB CDE \Ð=Ð，CB CD =Q ，()BCT DCE AAS \D @D ，BT EC CF \==，TMB CMF Ð=ÐQ ，T MCF Ð=Ð，()TBM CFM AAS \D @D ，BM FM \=，如图2中，取BC 的中点N ，连接AN ，MN ．Q 四边形ABCD 是正方形，6AB BC \==，90ABN Ð=°，3BN NC ==Q ，AN \===，BM MF =Q ，BN NC =，112MN CF \==，AM AN MN -Q …，1AM \…，AM \的最小值为1-．故答案为：1-．27．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AE 与BF 相交于点G ．（1）如图1，求证：AE BF ^；（2）如图2，将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，若4AB =，求QF 的值【解答】（1）证明：E Q ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，CF BE \=，在ABE D 和BCF D 中，AB BC ABE BCFBE CF =ìïÐ=Ðíï=îRt ABE Rt BCF(SAS)\D @D ，BAE CBF \Ð=Ð，又90BAE BEA Ð+Ð=°Q ，90CBF BEA \Ð+Ð=°，90BGE \Ð=°，AE BF \^；（2）解：Q 将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，FP FC \=，PFB BFC Ð=Ð，90FPB Ð=°，//CD AB Q ，CFB ABF \Ð=Ð，ABF PFB \Ð=Ð，QF QB \=，设QF x =，4PB BC AB ===，2CF PF ==，QB x \=，2PQ x =-，在Rt BPQ D 中，222(2)4x x \=-+，解得：5x=，QF=．即528．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当55Ð的度数；BEAÐ=°时，求HADÐ的大小；（2）设BEA aÐ=，试用含a的代数式表示DFAÐ有怎样的数量关系，并说明理由．（3）点E运动的过程中，试探究BEAÐ与FEA【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，90\Ð=Ð=°，EBA BAD\Ð=°-Ð=°-°=°，90905535EAB BAE\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；90453510HAD BAD EAF EAB（2）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=Ð=°，90EBA BAD ADF\Ð=°-Ð=°-，9090EAB BAE a\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，DAF BAD EAF EAB a a9045(90)45\Ð=°-Ð=°--°=°-；9090(45)135DFA DAF a aÐ=Ð，理由如下：（3）BEA FEA=，连接AI．延长CB至I，使BI DFQ四边形ABCD是正方形，\=，90AD ABÐ=Ð=°，ADF ABC90\Ð=°，ABIQ，又BI DF=\D@D，()DAF BAI SASÐ=Ð，\=，DAF BAIAF AIEAI BAI BAE DAF BAE EAF\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，45D的公共边，D与EAFQ是EAI又AEEAI EAF SAS\D@D，()\Ð=Ð．BEA FEA=，过D作DG EF29．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE EF^于点H，交AB边于点G．（1）如图1，求证：DE DG=；（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，EG．在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括)【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，DAG DCEÐ=Ð=°，AD BC，90AD DC\=，//\Ð=Ð，DEC EDFQ，DE EF=\Ð=Ð，EFD EDF\Ð=Ð，EFD DECQ于H，DG EF^\Ð=°，GHF90AGH AFH\Ð+Ð=°，180Q，Ð+Ð=°AFH EFD180DGA EFD DEC \Ð=Ð=Ð，在DAG D 和DCE D 中：DGA DEC DAG DCEDA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DAG DCE AAS \D @D ，DG DE \=．（2）KE EF ^Q ，DG EF ^，//KE DG \，且DG EF KE DE ===，\四边形KEDG 是平行四边形，且DG DE =，\四边形KEDG 是菱形，GK DG KE DE \===，DG EF ^Q ，H 是DG 的中点，EG DE \=，EG DE DG GK KE EF \=====．30．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，EAF m Ð=°，将EAF Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、CD 于点E 、F ，G 是CB 延长线上一点，且始终保持BG DF =．（1）求证：ABG ADF D @D ；（2）求证：AG AF ^；（3）当EF BE DF =+时：①求m 的值；②若F 是CD 的中点，求BE的长．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，2AB AD BC CD ====，90BAD C D ABC ABG Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°．BG DF =Q ，在ABG D 和ADF D 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，()ABG ADF SAS \D @D ；（2）证明：ABG ADF D @D Q ，GAB FAD \Ð=Ð，GAF GAB BAF\Ð=Ð+Ð90FAD BAF BAD =Ð+Ð=Ð=°，AG AF \^；（3）①解：ABG ADF D @D ，AG AF \=，BG DF =．EF BE DF =+Q ，EF BE BG EG \=+=．AE AE =Q，。
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，【典例2】P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为cm．。
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。
八年级数学勾股定理经典大题例题
(每日一练)八年级数学勾股定理经典大题例题单选题1、若△ABC三边长a，b，c满足√a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答．解：∵√a+b−25+|b-a-1|+(c-5)2=0，∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，∴a=12，b=13，c=5，∵a2+c2=b2=169，∴△ABC是直角三角形．故选C．小提示：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键．2、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，，则BC的长是（）折痕现交于点F，已知EF=32A．3√22B．3√2C．3D．3√3答案：B解析：折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12AB,所以AB=AC,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，∴EF=12AB，∵EF=32，∴AB=2EF=32×2=3，在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，∴BC=√AB2+AC2=√32+32=3√2,故选B.小提示：本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．3、如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16√2，则CE的长度为（）A．2√2B．4C．3√2D．6答案：C解析：设DC＝3x，CB′=2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC ＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案．解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD+DB＝8x＝16√2，∴x＝2√2，∴CD＝6√2，BD＝10√2，B'C＝4√2，∴BC＝√BD2−CD2＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，∵CE2+B'C2＝B'E2，∴a2+32＝（8√2﹣a）2，解得a＝3√2，∴CE＝3√2，故选：C．小提示：本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ．解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab +12ab +12c 2=12(a +b )2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故4×12ab +c 2=(a +b )2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，4×12a (a +b )+b 2=c 2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab +a 2+b 2=(a +b )2 ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D ．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AB =5，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．3答案：A解析：作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，根据勾股定理可求AC ，根据角平分线的性质可得DE =DF ，再根据三角形面积公式即可求解．解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵CD是角平分线，∴DE=DF，∴12AC⋅DE+12BC⋅DF=12AC⋅BC，即12×4×DE+12×3×DE=12×4×3，解得DE=127．故点D到AC的距离是127．故选：A．小提示：本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6答案：B解析：试题分析：设CH＝x，因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3，由折叠知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：(9−x)2=32+x2，解得：x＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理7、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．填空题9、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米．则旗杆的高度______．答案：12米解析：设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：(x+1)2=x2+52，解得：x=12，答：旗杆的高度为12米．所以答案是：12米．小提示：本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．10、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____．答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．答案：29解析：如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得AB2=30,BC2=16,CD2=17，再利用勾股定理可得AD2的值，由此即可得出答案．如图，连接AC，由题意得：AB2=30,BC2=16,CD2=17，∵在△ABC中，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2=46，∵在△ACD中，∠ADC=90°，∴AD 2=AC 2−CD 2=29，则正方形丁的面积为AD 2=29，所以答案是：29．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．12、正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三角形，则腰长为________．答案：2√5或52或√652 解析：分情况讨论：(1)当PB 为腰时，若P 为顶点，则E 点与C 点重合，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P 是AD 的中点，∴AP=DP=2，根据勾股定理得：BP=√AB 2+AP 2=√42+22=2√5；若B 为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD 中点，此时腰长PB=2√5；(2)当PB 为底边时，E 在BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E ；①当E 在AB 上时，如图2所示：则BM=12BP=√5，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP ，∴△BME ∽△BAP ，∴BE BP =BM BA ，即2√5=√54，∴BE=52；②当E 在CD 上时，如图3所示：设CE=x ，则DE=4−x ，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，PE 2=DP 2+DE 2，∴42+x 2=22+(4−x)2，解得：x=12，∴CE=12，∴BE=√BC 2+CE 2 =√42+(12)2=√652；综上所述：腰长为：2√5，或52，或√652； 故答案为2√5，或52，或√652. 点睛：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键.13、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．答案：4.8cm.解析：根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．∵直角三角形的两条直角边分别为6cm ，8cm ，∴斜边为√62+82 =10(cm)，设斜边上的高为h ，则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h ， 解得：h=4.8cm ，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.小提示：此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.解答题14、如图，把一块直角三角形（△ABC ，∠ACB =90°）土地划出一个三角形（△ADC ）后，测得CD =3米，AD =4米，BC =12米，AB =13米．（1）求证：∠ADC=90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．答案：（1）见解析；（2）24解析：（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；（2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可．解：（1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，∴AC=√AB2−BC2=5，∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）S阴影=S△ABC-S△ACD=1 2×AC×BC−12×CD×AD=1 2×5×12−12×3×4=24．小提示：本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力．15、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b>a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2=c2．答案：见解析．解析：首先连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−a，根据RtΔABC≅RtΔDAE，易证∠DAB=90°，再根据S四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE，S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB，两者相等，整理即可得证．证明：连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−aS四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE=12ab+12ab+(b−a)⋅b =ab+b2−ab=b2∵RtΔABC≅RtΔDAE ∴AB=AD=c∴∠ADE=∠BAC∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠BAC+∠DAE=90°即∠DAB=90°，∴AD⊥AB∴S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB=12c2+12(a+b)⋅(b−a) =12c2+12b2−12a2即有：b2=12c2+12b2−12a2∴a2+b2=c2小提示：本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．。
中考数学折叠,旋转问题专题含答案
【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。
勾股定理典型分类练习题
勾股定理典型分类练习题题型一：直接考查勾股定理例１.在ABCC∠=︒．∆中，90⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并用例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41那么 △DEF 是直角三角形吗？为什么题型四：旋转中的勾股定理的运用：例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.题型五：翻折问题例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.PAPCBCA BD E 1015题型6：勾股定理在实际中的应用：例6、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到 公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉 机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响， 已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？变式：如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？关于最短性问题例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处， 它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不 引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行 突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路 程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）选择题1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.5，12，13 B.4，5，7 C.2，3，5 D.1，2，32.在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、103.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A 、5组； B 、4组； C 、3组； D 、2组 4.下列结论错误的是（ ）A 、三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；B 、三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；C 、三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；D 、三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。
专题 利用勾股定理解决折叠问题(三大题型)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 利用勾股定理解决折叠问题【例题1】（2021•西城区校级模拟）如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10【变式1-1】（2023•滕州市校级开学）如图，有一张三角形纸片Rt△ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，将△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为FE，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．8【变式1-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC 于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1-4】（2021•鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）A．7B．8C．11D．14【变式1-5】（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E 分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（ ）A．0B．2C．4D．6【变式1-6】（2022秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（ ）A．20B．22C．24D．26【变式1-7】（2022•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（ ）A ．3B ．53C ．3或53D ．3或154【变式1-8】（2023•从化区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在AC 上，并且CF ＝2，点E 为BC 上的动点（点E 不与点C 重合），将△CEF 沿直线EF 翻折，使点C 落在点P处，PE 的长为83，则边EF 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．4【变式1-9】（2022春•鲤城区校级期中）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上．将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处．PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP ＝OF ．则AF 的长为（ ）A ．2B ．85C ．175D ．135【变式1-10】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 折叠得到△AED ，连接EC ，若DE ＝5，EC ＝6，AB ＝AD 的长是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式1-11】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（ ）A．252B．152C．254D．154【变式1-12】如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．【例题2】（2023春•新市区期中）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．3【变式2-1】（2023春•越秀区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 翻折，C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．53B ．32C ．43D ．2【变式2-2】（2022秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝25，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【变式2-3】（2022秋•胶州市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A．12B．20C．16D．40【变式2-4】（2022•斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ．【变式2-5】（2022秋•历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．【变式2-6】（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（ ）A．10B．9.8C．D．【变式2-7】如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝12，点M在BC边上，且CM＝4，将矩形纸片折叠使点D落在点M处，折痕为EF，则AE的长为 ．【变式2-8】（2023春•武汉期末）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的中点，将△ABE折叠得到△AFE，点F在矩形内部，AF的延长线交CD于点G，若AD＝12，CG＝4，则AB的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【变式2-9】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（ ）A．420B．360C．D．【变式2-10】（2022秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．A．2B．3.4C．4D．5.1【变式2-11】（2022秋•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．【变式2-12】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【例题3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【变式3-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式3-2】（2022春•桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）A．3B．158C．1D．2【变式3-3】（2022春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、EF ，将△ABE 沿EF 折叠，使点A 恰好落在CD 边上的A ′处，若A ′D ＝2，则B ′E 的长度为（ ）A ．2714B ．137C ．2514D ．2【变式3-4】（2023•南京一模）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，将△ADE 沿AE 翻折至△AD ′E ，延长ED ′交BC 于点F ．若AB ＝15，DE ＝10，则BF 的长是 ．【变式3-5】（2022春•社旗县期末）如图，点E 和点F 分别在正方形纸片ABCD 的边CD 和AD 上，连接AE ，BF ，沿BF 所在直线折叠该纸片，点A 恰好落在线段AE 上点G 处．若正方形纸片边长12，DE ＝5，则GE 的长为（ ）A ．4913B ．5013C ．4D ．3【变式3-6】（2022春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF 如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，AD ＝4，则CH 的长为（ ）A ．52B ．65C ．34D ．54【变式3-7】（2022秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD 面积为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A B ．2C ．8D ．【变式3-8】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果DM ：MC ＝3：2，则DE ：DM ：EM ＝（ ）A ．7：24：25B ．3：4：5C ．5：12：13D ．8：15：17【变式3-9】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长；（3）求△FGC的面积．。
北现大版八年级上册第一章勾股定理-折叠问题专题练习题
2019-2020勾股定理折叠问题（含答案）知识点睛1.折叠问题处理思路：（1）找折痕；（2）设未知数，表达线段、转移线段；（3）利用勾股定理列方程．一、单选题1．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A．5 B．4 C．6 D．102．如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边中点D重合,若BC=8,CD=6,则CF长为（）A．1.5 B．5C．2 D．133．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3.2D ．3.64．如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A 与B 重合,折痕为DE,则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A ．2：5B ．14：25C ．16：25D ．4：215．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=5CM ，BC=10CM ，CD 上有一点E ，ED=2cm ，AD 上有一点P ，PD=3cm ，过点P 作PF ⊥AD ，交BC 于点F ，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q ，则PQ 的长是( ).A.413 cmB.3cmC.2cmD.27cm 6．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）A ．53B ．35C ．43D ．347．如图，有一块Rt △ABC 的纸片，∠ABC=900,AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿AD 折叠，使点B 落在AC 上的E 处，则BD 的长为( )A.3B.4C.5D.68．将宽为1cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．33cmD ． 233cm 9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积（ ）cm 2.A ．8B ．10C ．15D ．2010．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A．53B．52C．4 D．511．如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（）A．5 B．4 C．3 D．212．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，若折痕DE的长是cm，则BC的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空题13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长为____．14．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线M折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_____．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为_____．16．如图，纸片中，，，，点在边上，以为折痕折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长是____．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝3，BC＝4，则EF的长为______．18．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是_____．19．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE 折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____．20．如图，矩形纸片ABCD中，，，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△沿EF折叠，使点在BC边上，当折痕EF移动时，点在BC边上也随之移动则的取值范围为______．21．如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=5，点E为DC边上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D 的对应点D’落在矩形ABCD的对称轴上时，DE的长为____________.22．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是____cm．三、解答题23．小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：操作一：如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长.（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数.操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE重合，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt △ABC 纸片，将纸片折叠，折痕CD ⊥AB 。
八年级勾股定理典型练习题含答案
4、如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的大小为（）
A.45°B.50°C.55°D.60°
题型二勾股定理中的网格问题
5、如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（）
∴AB= ，
选C.
15、答案：B
解答：先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC= =2π≈6cm，
在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB= = =10cm．
16、答案：B
解答：将长方体展开，连接A、B，
A.5 B.25C.10 +5D.35
17、如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A出发，沿长方体表面到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米？
18、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km，现要在河边上建一个水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/km，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出铺设水管的总费用．
勾股定理中的常见题型
题型一勾股定理与翻折问题
1、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE 面积为（）
A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2
2、如图所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积．
专题勾股定理培优版(综合)
专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是ABPCBCPADPED C C将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.D C CD C C长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．图① 图②DB C图2图1A'PPA ABCBC5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）6.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数. BAC图3CABP变式1：∆ABC 中， ∠ACB=90º，AC=BC ，点P 是∆ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数变式2：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3CBAPCA BEF MN图① 7. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．变式1：如图，在Rt ABC ∆中, 90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒ 且3BD =,4CE =,则DE =变式2：如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕 点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（ ） CABE F MN 图②BCDEFA（三）其它应用7. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图．．法．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．。
勾股定理翻折问题12种类型例题
勾股定理翻折问题12种类型例题勾股定理翻折问题12种类型例题引言在数学领域中，勾股定理是一个非常基础但又十分重要的定理。
它主要描述了直角三角形中三条边之间的关系，这一定理在几何学中应用广泛。
而勾股定理的翻折问题则是对勾股定理的一种延伸和拓展，涉及到更多的变数和复杂的计算。
今天，我将以深度和广度兼具的方式来探讨这一问题，并给出12种类型的例题，希望能够给大家带来一些启发和帮助。
1. 直角三角形的性质我们来回顾一下直角三角形的性质。
在一个直角三角形ABC中，有一个直角，记作∠C=90°。
根据勾股定理，我们知道a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别代表三角形中的两条短边，c代表斜边。
这是我们解决翻折问题的基础。
2. 翻折问题的定义接下来，我们需要了解翻折问题的定义。
翻折问题是指在平面直角坐标系上，已知一个单一的点A(x,y)，通过某种方法，将该点按照直角三角形的勾股定理进行“翻折”，得到一个点B，使得点B满足勾股定理的条件。
3. 常见类型的例题现在，让我们来看一下翻折问题中的一些常见类型的例题，以便更好地理解这一概念。
第一种类型：已知直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。
在这种类型的例题中，我们已知直角三角形的斜边长度c，需要求出点B的坐标。
这需要我们运用勾股定理来解决问题，具体的计算过程可能会涉及到一些代数运算和方程求解。
第二种类型：已知直角三角形的两条短边a和b，求翻折后的点B的坐标。
这种类型的例题相较于第一种类型来说更为简单，因为我们已知直角三角形的两条短边a和b，可以直接套用勾股定理来求解点B的坐标。
第三种类型：已知点A的坐标(x,y)，求其翻折后的点B的坐标。
在这种类型的例题中，我们已知点A的坐标(x,y)，需要根据这一坐标来求解点B的坐标。
这个过程需要我们巧妙地运用勾股定理和坐标的计算方式，是一个比较灵活和有趣的问题。
第四种类型：已知点A的坐标(x,y)和直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。
勾股定理题型很全面
典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题例题：水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海二、与勾股定理有关的图形问题1．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是．2．如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形如图,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1＋S2＋S3＋S4＝______ ___．4．如图,△ABC中,∠C＝90°,1以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形如图①,探究S1＋S2与S3的关系；2以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形如图②,探究S1＋S2与S3的关系；3以直角三角形的三边为直径向形外作半圆如图③,探究S1＋S2与S3的关系．图①图②图③5．如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an＝___ _____记正方形AB－CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n n为正整数,那么S n＝____ ____．6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为．三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕对角线BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得折痕DG,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC与AD相交于点F.1求证：△FAC是等腰三角形；2若AB=4,BC=6,求△FAC的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好点处,已知cmCE6=,cmAB16=,求BF的长．4、如图,一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝;;求折叠后BE的长和折痕EF的长;5、矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2．将矩形纸片沿EF折叠,使点着色如图,求着色部分的面积;6、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,CD边上的点G处,求BE的长.7如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点’的长.五、四、关于最短性问题1：如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm,一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行,问：爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少2、如图壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫3：如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟4.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环,你一定会发现其中的奥妙6、有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间 盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含πA 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间 盒的,结果可含π 的半圆,一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行,问：12当爬行路程最短时,求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．2,母线PB 的长为6,D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为五、关于勾股定理判定三角形形状1、已知,△ABC 中,AB=17cm,BC=16cm,BC 边上的中线AD=15cm,试说明△ABC 是等腰三角形; 2：已知△ABC 的三边a 、b 、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC 是否是直角三角形你能说明理由吗 3、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h ． 试说明：1；2a+b ＜c+h ；3判断以a+b 、h 、c+h 为边的三角形的形状,并说明理由．4、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n;试判断以x,m,n 为边长的三角形的形状;六、关于旋转中的勾股定理的运用： 1、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△AC P ′重合,若AP=3,求PP ′的长;变式1：如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=求△ABC 的边长. 分析： 利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形. 七、关于勾股定理的相关证明1、如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 上任意一点,求证:22AB AP PB PC -=⋅ 分析：考虑构造直角三角形,能利用勾股定理.2,如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC 上的点．求证： BD 2+CD 2= 2AD 2.．八、综合题1、已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C旋转,且直线CE,CF 分别与直线AB 交于点M,N ．Ⅰ当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时,如图1,求证：MN2=AM2+BN2； 思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．Ⅱ当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由．2、如图,已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b 的图象交于A,B 两点,A1,n, B-,-2． 1求反比例函数和一次函数的解析式； 2在x 轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形若存在,请你直接写出P 点的坐标；若不存在,请说明理由．。
中考数学复习：专题4-14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用
专题14 例谈勾股定理在图形翻折问题中的应用【专题综述】翻折问题是近年来各地中考中的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力、空间想象能力，以及所学有关知识的灵活应用能力．一般翻折问题中，图形中往往会出现直角三角形，此时，若灵活运用勾股定理，可能使问题迎刃而解，本文通过几道中考题来说明这一解题技巧。
【方法解读】一、直接解题例1 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【举一反三】（2015•牡丹江）矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B 与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．二、间接解题例2 如图，把一个矩形纸片O ABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置上．若OB=5,12BCOC,则点A′的坐标．【举一反三】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕E N，EN交AD于点M，求EM的长．【来源】江苏省徐州市2017年中考信息卷数学试题【强化训练】1.（2017•昌乐县模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，现将纸片折叠压平，使点A与点C重合，折痕为EF，如果sin∠BAE=，那么重叠部分△AEF的面积为（）A．B．C．D．2.（2017•枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（）A．2 B．C．D．13.（2015•本溪一模）如图，在等边三角形纸片△ABC中，将纸片折叠，点A落在BC边上的点D处，MN为折痕，当DN⊥NC时，CN=1，则A、D两点之间的距离为．4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF 沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为．5.（2015秋•宁德校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC 上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（5，4），则点E的坐标为．6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在的直线的解析式为y=﹣x+3，把△AOC沿对角线AC折叠，使O点至D点，且AD交BC于F，求△ACF的面积．7.（2014•潮阳区模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部．如果将BG延长交DC于点F．（1）则FG FD（用“＞”、“=”、“＜”填空）（2）若BC=12cm，CF比DF长1cm，试求线段AB的长．8.（2017春•鄂州期末）把长方形AB′CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，（1）求∠AOC和∠BAC的度数；（2）若AD=3，OD=，求CD的长．9.（2010•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、C E和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若，△ABF的为面积12cm2，求△ABF的周长．10.（2015•路南区二模）操作：已知矩形ABCD中，AB=5cm，AD=2cm．作如下折叠操作：如图①和图②所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P，连结MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．探究：（1）如图①，若AM=4cm，点P在AD上，点A′落在DC上，求∠MA′C的度数；（2）如图②，若AM=2.5cm．①点P在DC上，点A′落在DC上，求线段DP的长；②若点P由A开始，沿A→D→C方向，在AD、DC边上运动．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为ts，当边MA′与线段DC有交点时，直接写出t的取值范围 1.25≤t≤3.5．发现：（3）若点M在线段AB上移动，点P为线段AD或DC边上的任意点，随着点M位置的不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：①不会落在线段DC上；②只有一次落在线段DC上；③会有两次落在线段DC上．求：在②③的情况下，AM的取值范围．。
勾股定理与折叠问题实例解析
勾股定理与折叠问题实例解析1.如图，在△ABC 中，∠B=90°,AB=3,BC=4, 将△ABD 沿 AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处，则CD 的长是 解：根据题意得：将△ABD 沿AD 折叠，使点B 落在边AC 上的点E 处∴BD=DE,AB=AE,∠B=∠DEA=DEC=90°设DE=BD=x, ∵AB=3,BC=4,∠B=90°∴AC=5CE=AC-AE=AC-AB=5-3=2在Rt △CDE 中，由勾股定理得：DE ²+CE ²=CD ²即x ²+2²=(4-x)²,解得:x=32∴CD=BC-BD=BC-DE=4-32 =522.如图，长方形纸片ABCD 中，已知BC=8,折叠纸片使AB 边与 对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE,且EF=3,求AB 的长.解：由折叠可知，△ABE ≌△AFE,∴AB=AF,BE=EF=3,∴CE=BC-BE=8-3=5.在Rt △CEF 中，由勾股定理得，CF= √CE 2−EF 2=4设AB=AF=a,则AC=AF+CF=a+4.在Rt △ABC 中，∵AB ²+BC ²=AC ²,∴a ²+8²=(a+4)²解得a=6,∴AB 的长是6。
3.如图，在矩形ABCD 中 ，AB=8,BC=4, 将矩形沿AC 折叠， 点B 落在点B 处，则重叠部分△AFC 的面积为解：由旋转的性质及长方形可得：∠D=∠B ′=90°,AD=CB ′,在△AFD 和△CFB ′中，{∠D =∠B ′=90°∠AFD =∠B′FC AD=CB ′ △AFD ≌△CF B ′∴DF=B ′F设 DF=x,则AF=8-x,在Rt △AFD 中，(8-x)²=x ²+4²解 得 ：x=3,∴AF=AB-FB ′=8-3=5,∴S △AFC=12×AF ×B ′C=12×5×4=104. 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上.(1)试说明△ABE≌△C′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF的面积；解：(1)∵四边形ABCD 是长方形，∴AB=CD,∠A=∠D=90°∴BC′=AB,∠A=∠C′=90°∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠∴BC′=CD,∠D=∠C′,∠DEF=∠BEF∵AD//BC∴∠DEF=∠EFB∴∠BEF=∠BFE∴BE=BF在Rt△ABE与Rt△C′BF中{AB=B C′BE=BF∴△ABE≌△C′BF5. 如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上.(1)试说明△ABE ≌△C ′BF;(2)若AB=4,AD=8,求△BEF 的面积；( 2 ) 设AE=x,根据翻折不变性，BE=DE=AD-AE=8-x在Rt △ABE 中，x ²+4²=(8-x)²解得：x =3, 即AE=3,则 D E = 5∵BE=BF=5,∴CF=3, 则S △BEF=S 长方形ABCD-S △ABE-S 梯形CDEF=4×8-12×3×4-12×(5+3)×4=106.如图，在长方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE,将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE, 连接CF.若AB=4,BC=6,则CF 的长为 解：连接BF, 交AE 于点G, 如下图,由折叠的性质可得，AE 垂直平分BF即AE ⊥BF,BG=FG,∵AB=4,BC=6,E 为BC 的中点，∴BE=CE=BC=3,∴在Rt △ABE 中 ，AE=√AB 2+BE 2+=√42+32 =5∵AE 垂直平分BF,∴S △ABE=12 AB ×BE=12 AE ×BG 即12×4×3=12×5×BG 解得BG=2.4∴BF=2BG∵AE 垂直平分BF∴BE=FE∴BE=CE=FE∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF,∠BFC=∠EFB+∠EFC=12180°= 90°∴在Rt △BFC 中，CF=√BC 2−BF 2=√62−4.82=3.67.如图，在长方形ABCD中，AD=13,AB=24,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为解：分两种情况：①如图1,当点F在长方形内部时，∵点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN =12;∵AF=AD=13,由勾股定理得FN=5,∴FM=8,设DE为y,则EM=12-y,FE=y,在△EMF 中，由勾股定理得：y2 =(12-y)2+82∴y=263。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
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3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
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武汉龙文教育学科辅导教案
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一、翻折问题
例1 在平面直角坐标系中，已知直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于
A、B 4
两点，点C（0，n）是y 轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C的坐标是（）．
（A）（0，43）（B）（0，43）（C）（0 ，3）（D）（0 ，4）43
练习：如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x
轴、y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，
若点B的坐标为（1 ，2），则点D的横坐标是___ ．
例 2 如图2，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点 A 与点C
重合，
则折痕EF的长为____ cm．
练习：
1.如图，折叠长方形的一边AD，点D
AB=8cm,B C=10cm, 落在B A C边的点F处，已知D
求EC的长.
2.如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的
A．20 B．22 C．24 D．
P点处，若∠FPH 90o，PF 8，PH 6，则矩形ABCD的边BC长为（）
例 3 如图4，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G．
(1) 求证：AG＝C'G；
(2) 如图5，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点
M，
求EM的长．
练习：1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE 交AD
E
于点 F ，连结 AE ．证明：（1） BF DF ．（2） AE ∥ BD ．（3）若 AB=6，BC=10， 分别求 AF 、BF 的长, 并求三角形 FBD 的周长和面积
练习：2 在矩形纸片 ABCD 中， AB=3 3，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边 上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处， AD 与 PQ 相交于点 H ，∠BPE=30°．（ 1）求 BE 、QF 的长；（ 2）求四边形 PEFH 的面积．
练习 3. 如图，四边形 ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD
边的中点 E 处，折痕为 AF ．若CD 6，求 AF
的值
、勾股定理与旋转
例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠ APB
的度数
练习：如图：设P 是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，
APB的度数是
例 2. 如图P 是正方形ABCD内一点，点P 到正方形的三个顶点A、
C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD面积。
练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠ APB 的度数
例 3．如图（ 4-1 ），在Δ ABC 中， ACB =900，BC=AC ，
P 为Δ ABC 内一点，且
BPC 的度数
练习. 如图，在 Rt △ABC 中，AB AC ，D 、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE =45°，
将△ ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到△ AFB ，连接 EF ，下列结论：①△ AED ≌△ AEF ；②△ ABE ≌△ ACD ；
PA=3，PB=1，PC=2。
求
③ BE DC DE ；④ BE2 DC2 DE2其中正确的是（）A．②④； B ．①④； C ．②③；
D．①。