现代控制理论基础图文 (5)

第4章 控制系统的稳定性分析
定理4-2 若V(x)正定，V ( x) 负半定，且在非零状态不恒 为零，则原点是渐近稳定的。
V ( x)负半定表示在非零状态存在V ( x)=0，但在从初态 出发的轨迹x(t；x0，t0)上，不存在V(x)=0的情况，于是系统 将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而 不会维持在该状态。
2 1 1 x1
V ( x) xT Ax x1
x2
x3 1
3
0Байду номын сангаас
x2
1 0 1 x3
利用赛尔维斯特准则，可得
2 1
2 1 1
2 0,
5 0, 1 3 0 2 0
1 3
1 01
因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以V(x)是正定的。
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4.2.2 李雅普诺夫第二法稳定性定理 李雅普诺夫稳定性判据有第一法和第二法。 第一法基本思路是： 首先将非线性系统线性化，然后计
判断二次型V(x)的负定性可用－V(x) 同样利用赛尔维斯 特准则来判断。如果－V(x)是正定的，则V(x)是负定的。如果 －V(x)是正半定的，则V(x)是负半定的。
例4-2 试证明二次型V(x)=2x21+3x22+x23－2x1x2+2x1x3是正 定的。
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解： 二次型V(x)可写为
(4-2)
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4.1.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1. 李雅普诺夫稳定性
如果对于任意小的实数ε>0，均存在一个实数δ(ε，t0)>0，
当初始状态满足‖x0－xe‖≤δ时，系统运动轨迹满
足 lim t
x(t) x e
，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下的
稳定，简称稳定。其中，‖x0－xe‖表示状态空间中x0点至xe点
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6. 二次型函数 二次型函数如下所示：
V ( x) xTPx [x1 x2
p11 p12
xn
]
p21
p22
p1n
p2n
p1n x1
p2n
x2
n i 1
pij xi x j
pnn
xn
j1
(4-5)
注意，这里的x为实向量，P为二次型各项系统构成的实对称
E
x1,
x2
Cx2 x2
Lx1x1
Cx2
(1 C
x1 )
Lx1(
R L
x1
1 L
x2
)
Rx12
说明在电阻R≠0的情况下，能量总是衰减的，直到能量消耗完，
稳定在状态零点。
从例4-3可看出，渐近稳定系统的系统能量总是衰减的。为
此，李雅普诺夫虚构一个能量函数来表征这一过程，称为李雅
普诺夫函数。在李雅普诺夫第二法中，能量函数V(x，t)和其对
x1 x2
0 0
0 0
在任意时刻，系统的总能量E(x1，x2)包括电容的存能和电感 的存能，即
E
x1,
x2
1 2
Lx12
1 2
Cx22
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显然当x1，x2=0时，E(x1，x2)=0，当x1，x2≠0时，E(x1，x2)>0。 也就是说，除原点外系统能量总大于零，而能量随时间的变化
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5. 不稳定性
对于任意的实数ε>0，存在δ(ε，t0)>0，不论δ值取得多
么小，在满足不等式‖x0－xe‖≤δ的所有初始状态中，至少存
在一个初始状态x0，由此出发的状态轨迹x(t)，
不满足不等式
lim
t
x(t) x e
，则称xe为李雅普诺夫意义下
的不稳定，简称不稳定。可以用平面几何解释为： 只要在
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例4-1 假设x为二维向量，判断以下标量函数的正定性：
(1) V(x)=x21+x22 (2) V(x)=(x1+x2)2 (3) V(x)=－4x22－(x1+x2)2 (4) V(x)=x1x2+x22 解： (1)当x1, x2≠0时, 均有V(x)>0，所以V(x)是正定的。 (2) 当x1，x2=0，x1=－x2时，有V(x)=0，其余时候V(x)>0， 所以V(x)是正半定的。 (3) 当x1，x2≠0时，均有V(x)<0，所以V(x)是负定的。 (4) 对不同的x，可能为V(x)<0，也可能为V(x)>0，所以 V(x)是不定的。
远停留在平衡状态。
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对于线性定常系统 x Ax ，其平衡状态满足Axe=0，如 果A非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空
间原点的平衡状态。至于非线性系统，f(xe，t)=0的解可能 有多个，也可能没有，由系统状态方程决定。
系统的状态稳定性是针对系统的每个平衡状态的。对于
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2. 一致稳定性 通常δ与ε、t0都有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是 一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳 定，则一定是一致稳定的。 3. 渐近稳定性 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性， 且有
lim
t
x(t) x e
0
(4-4)
之间的距离，称为向量(x0－xe)的范数，其数学表达式为
x0 xe ( x10 x1e )2 ( xn0 xne )2
(4-3)
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按照范数的定义，‖x0－xe‖≤δ可相应地看做以xe为中心，δ为 半径的一个闭球域，可用点集S(δ)表示。因此，李雅普诺夫 意义下稳定的平面几何解释为：
定理4-1 若V(x)正定，V ( x) 负定，则原点是渐近稳定的。 V负( x定, t ) 表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性 定义叙述一致。 例 4-4 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的 稳定性。
x1 x2 x2 (x1 x2 )
解: 令 x 0 ，解得原点xe=0是系统的惟一平衡状态。
矩阵。
二次型V(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指
出，二次型V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式
均为正值，即
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p11 0,
p11 p12 0, , p12 p22
p11 p12 p1n
p21
p22
p2n
0
p1n p2n pnn
如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则 V(x)=xTPx是正半定的。
时间的导数 V (x,t) 的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定 性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解。
这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统。这样可得
到以下定理。
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设系统状态方程为x f (x)，其平衡状态满足f(0)=0，设 系统在原点邻域存在V(x)对x的连续的一阶偏导数。
称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅 不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于xe或其附近，其平面几何 表示如图4-1(b)所示。
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4. 大范围稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称 此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，δ→∞， S(δ)→∞，x→∞。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必 具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。 非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常 只能在小范围内稳定。
S(δ)内有一条从x0出发的轨迹跨出S(ε)，则称此平衡状态是不 稳定的，见图4-1(c)。
第4章 控制系统的稳定性分析 在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与李 雅普诺夫意义下的稳定性概念是有一定区别的。例如，在经 典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。按李 雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动 时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε)，则认 为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的 稳定极限环。
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定理4-3 若V(x)正定，V ( x) 负半定，且在非零状态恒为 零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。
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4.2 李雅普诺夫第二法
在李雅普诺夫第二法中，用到了一类重要的标量函数， 即二次型函数。因此在介绍李雅普诺夫第二法之前，先介绍 一些有关二次型函数的预备知识。 4.2.1 预备知识
1. 标量函数的正定性 如果对所有在域Ω中的非零状态x≠0，有V(x)>0，且在 x=0处有V(0)=0，则在域Ω(域Ω包含状态空间的原点)内的标 量函数V(x)称为正定函数。
例4-5 试运用定理4-2判断例4-4中系统平衡状态的稳定 性。
解： 选V(x)=x21+x22，正定。求导后得V ( x) =－2x22，对 于非零状态(如x2=0，x1≠0)存在 V ( x=) 0，对于其余非零状态， <0，V故( x) 负半定V (。x)根据定理4-2，原点是渐近稳定的，且 是大范围一致渐近稳定。
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2. 标量函数的负定性 如果－V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。 3. 标量函数的正半定形 如果标量函数V(x)除了原点以及某些状态等于零外，在域 Ω内的所有状态都是正定的，则V(x)称为正半定标量函数。 4. 标量函数的负半定性 如果－V(x)是正半定函数，则标量函数V(x)称为负半定函 数。 5. 标量函数的不定性 如果在域Ω内，不论域Ω多么小，V(x)既可为正值，也可 为负值时，标量函数V(x)称为不定的标量函数。
第4章 控制系统的稳定性分析 例4-3 若初始条件不为零，分析图4-2所示电路的能量 变化过程。
图4-2 RLC电路
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解：取状态变量x1=i，x2=uc。设加电后，输入ur=0，则 该系统的状态方程为
x1 x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
,
系统矩阵A非奇异的线性定常系统，xe=0是系统的唯一平衡 状态。当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别
进行讨论。如果各平衡状态彼此是孤立的，则可以通过线性
变换，将非零的平衡状态转移到状态空间坐标原点。所以对
于这些系统，我们一般笼统地用状态空间原点的稳定性代表
系统稳定性。即
xe f ( xe ,t) f (0, t) 0
4.1 李雅普诺夫稳定性定义
4.1.1 系统的平衡状态 设控制系统的齐次状态方程如下：
x f (x,t)
x(t) t t0
x0
式中，x为n维状态向量；t为时间变量；f(x，t)为n维函数。
如果对于所有t，满足
xe f ( xe ,t) 0
(4-1)
的状态xe称为平衡状态(又称为平衡点)。也就是说，平衡状态 的各分量不再随时间变化，如果系统不加输入，则状态就永
设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、半径为δ 的闭球域S(δ)内，如果系统稳定，则状态方程的解x(t，x0， t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域 S(ε)内，见图4-1(a)。
第4章 控制系统的稳定性分析
图4-1 稳定性的平面几何表示 (a) 李雅普诺夫意义下的稳定性；(b) 渐近稳定性；(c) 不稳定性
算线性化方程的特征值，最后判定原非线性系统的稳定性。经 典控制理论中关于线性定常系统稳定性的各种判据，均可视为 李雅普诺夫第一法在线性系统中的工程应用。
李雅普诺夫第二法的特点是不必求解系统的微分方程式， 就可以对系统的稳定性进行分析判断。它是建立在能量观点基 础上的，即认为系统趋于稳定的过程就是能量衰减的过程。如 果系统有一个渐近稳定的平衡状态，当其运动到平衡状态附近 时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态 达到极小值为止。
第4章 控制系统的稳定性分析
第4章 控制系统的稳定性分析
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第二法 4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.4 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 非线性系统的稳定性分析 4.6 MATLAB在系统稳定性分析中的应用
第4章 控制系统的稳定性分析
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取李雅普诺夫函数为
V
(x)
1 2
( x1
x2
)2
x12
1 2
x22
若x≠0，V(x)>0；若x=0，V(x)=0，即V(x)正定。将V(x)代入原
式有
V ( x) (x1 x2 )(x1 x2 ) 2x1x1 x2x2 (x12 x22 )
显然 V (x) 负定，根据定理4-1，原点是渐近稳定的。因为只有 一个平衡状态，该非线性系统是大范围渐近稳定的。又因为 V(x)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。