常微方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程-简介
用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，解 决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基 本的微分方程问题。 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习后续课 程打下基础。
通过这门课的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法。 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为将来从事相关领域的科学研究工作打下坚实的基础。
常微分方程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象的运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融
领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程， 如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发 展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场 均衡价格的变化等。
对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分
方程模型的研究。
常微分方程最早出现在数学家们彼此的通信和 一些刊物中 荷兰数学家、物理学家、天文学家 惠更斯(Christiaan Huygens,1629.4—1695.7) 在1693年的《教师学报》中明确提出了微分方程
雅各布〃伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705) 是利用微积分求常微分方程问题解析解的 先驱者之一。在1695年提出了伯努利方程
约翰.伯努利（雅科布之弟，巴塞尔大学医学博士) 在1694年的《教师学报》中对齐次方程的解法 作了更加完整的说明，并首先提出了全微分方程 的概念
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年，德国数学家）在1694年 利用变量替换法给出了一阶线性方程的解。 1696年给出证明：利用变量替换,可以把 贝努利方程化为线性方程。
常微分方程的基本概念
esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
常微分方程pdf
常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。
例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。
常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出$y=y(x)$的解。
这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。
通常我们使用分离变量法。
具体步骤如下：1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。
二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。
我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
2.变系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程，通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解，这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。
3.非齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解，从而得到方程的通解。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
常微分方程基本概念
)
0
如果把 z, z, z, , z(n1)都理解为未知函数，并作变换
y
取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜 线,再在每条等斜线上适当选取若干个 点画出对应的向量，即可得方向场 （如图示），并可以进一步大体描绘 出其积分曲线。
o
x
考察方程
dy y dx x
的方向场和它的积分曲线。
除坐标原点（０，０）外，原方程在整个（x,y）平面上定
义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式
F(x,
y, dy dx
,,
dn dx
y
n
)
0
的左端为y及 dy , dx
,
dn dx
y
n
的一次有理整式,
则称其为n阶线性方程.
如 (1) dy 2x (2) xdy ydx 0
dx
(4) d 4 x 5 d 2 x 3x sin t dt 4 dt 2
是线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性方程
x
2
3x sin t
;
(5) z z z ; x y
2u 2u (6) x y uz 0 .
x2 y 2
1.常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程.
如 (1) dy 2x; (2) xdy ydx 0 ; dx
(3)
d2x dt 2
注：
1. 满足初始条件 y0 (x0 ) 的特解就是通过点(x0 , y0 ) 的一条积分曲线。
2.
方程的积分曲线的每一点
(x,
y)
上的切线斜率
dy dx
微分方程中的常微分方程与偏微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它是描述自然现象和工程问题的数学模型。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程描述的是只涉及一个自变量的函数的导数关系，而偏微分方程描述的是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系。
常微分方程即只包含一个自变量的导数的方程。
它可以描述一维变量的变化情况，比如物体在时间轴上的运动。
以牛顿第二定律为例，当只考虑一个物体在直线上的运动时，可以得到一个常微分方程： $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$，其中 $m$ 是物体的质量，$\frac{d^2x}{dt^2}$ 表示物体在时间 t 上的加速度，$F$ 是物体所受的力。
常微分方程的解是一个函数，描述了物体在时间轴上的位置随时间的变化。
偏微分方程是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系方程。
与常微分方程不同，偏微分方程描述的是多维变量的变化情况，比如物体在空间中的传热过程。
以热传导方程为例，假设物体的温度分布是一个函数 $u(x, y, z, t)$，可以得到三维空间中的偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \nabla^2 u$，其中 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 表示温度随时间的变化率，$k$ 是热传导系数，$\nabla^2 u$ 表示温度的二阶空间导数。
偏微分方程的解也是一个函数，描述了物体在空间中的温度分布随时间的变化。
常微分方程和偏微分方程在理论和应用上都有重要的意义。
在理论上，它们为数学分析提供了丰富的对象和工具，丰富了数学的研究领域。
在应用上，常微分方程和偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和求解问题。
无论是描述天体运动、传热过程、生物动力学，还是分析控制系统、优化问题，微分方程都起到了重要的作用。
常微分方程和偏微分方程的研究方法各不相同。
对于常微分方程，传统的求解方法主要包括分离变量法、变量代换法、级数法等。
常微分方程的分类及其解法
常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科，它涉及到的领域很广，如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。
常微分方程的分类及其解法，是常微分方程学习的重要内容，下面本文将就此做出一定的阐述。
一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数，可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。
按照变量的个数，可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。
按照系数的定性，可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法（1）可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程，如果能将变量x和y分离到等式两端，即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分，得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
这里需要注意的是，$g(y)$不能为0，如果出现$g(y)$为0的情况，需要特别处理。
（2）积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程，如果能找到一个函数$\mu(x)$，使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程，可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式，于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程，可以积分得到原方程的解。
（3）直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程，可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
2. 二阶常微分方程的解法（1）常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程，如果其系数不随自变量x的变化而变化，即p、q为常数，那么称为常系数齐次线性方程。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程的格式
常微分方程的格式随着科学技术的不断发展，微分方程在各个领域中得到了广泛应用。
微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述物理、化学、生物等领域中的很多现象。
其中，常微分方程是一种最为基本和重要的微分方程，它的解法和应用都十分广泛。
在本文中，我们将介绍常微分方程的格式及其相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是指只包含一个自变量和其导数的一阶或高阶微分方程，即形如y' = f(x,y) 或y'' = f(x,y,y')的微分方程。
其中，y表示未知函数，x表示自变量，f(x,y)表示已知函数。
常微分方程是一种描述自然现象的数学模型，它可以用来描述很多物理、化学、生物等领域中的现象。
二、常微分方程的基本形式常微分方程可以写成一般形式y^(n) =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。
根据方程的阶数，可以将常微分方程分为一阶和高阶两类。
1、一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为y' = f(x,y)，其中y'表示y对x 的一阶导数，f(x,y)表示已知函数。
一阶常微分方程可以进一步分类为可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等几种类型。
（1）可分离变量方程可分离变量方程的一般形式为dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。
这种类型的方程可以通过分离变量的方法解出。
（2）齐次方程齐次方程的一般形式为dy/dx = f(y/x)，其中f(y/x)是已知函数。
这种类型的方程可以通过变量代换的方法解出。
（3）一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
这种类型的方程可以通过积分因子的方法解出。
2、高阶常微分方程高阶常微分方程的一般形式为y^(n) =f(x,y,y',y'',...,y^(n-1))，其中y^(n)表示y的n阶导数。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程
●凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
●未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。
未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程。
●微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
●在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数(解微分方程)，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫该微分方程的解。
●如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
●设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x=x0时，y=y0,或写成y|x=x0=y0,其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x=x0时，y=y0,y′=y0′,或写成y|x=x0=y0,y′|x=x0=y0′，其中x0，y0和y0′都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。
●确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。
●求微分方程y′=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作{y′=f(x,y);y|x=x0=y0}●可分离变量方程。
一阶可分离变量方程：dy/dx=f(x)/g(y),可分离变量为：∫g(y)dy=∫f(x)dx,设g(y)、f(x)的原函数分别为G(y)、F(x),则可解出方程的通解：G(y)=F(x)+C。
●例：求微分方程dy/dx=2xy的通解。
解：方程是可分离变量的，分离变量后得dy/y=2xdx,两端积分∫dy/y=∫2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±e C1e x2。
因±e C1仍是任意常数，把它记作C，便得方程的通解y=Ce x2。
●齐次方程。
如果一阶微分方程dy/dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成y/x的函数，即f(x,y)=φ(y/x),则称这方程为齐次方程。
什么叫做常微分方程
什么叫做常微分方程导论：在数学中，方程是研究数学问题最基本的工具之一。
所谓方程，就是包含未知数的等式或不等式，通过求解方程，我们可以找到满足条件的未知数的值。
常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是一类描述自然和科学现象中变化率的数学方程。
本文将介绍常微分方程的定义、特点以及一些解法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数和它的导数之间关系的方程。
通常，常微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
这个方程就是一个一阶常微分方程。
如果方程中含有更高阶的导数，那么它就是高阶常微分方程。
常微分方程的求解目标是找到满足方程的函数。
二、常微分方程的特点1. 未知函数与导数之间的关系：常微分方程是通过已知函数和它的导数来描述未知函数与其自身的变化关系。
换句话说，通过已知的输入和输出值，我们可以推断未知函数的变化规律。
2. 存在多个解：与代数方程不同的是，常微分方程往往具有多个解。
这是因为常微分方程描述的是函数的变化规律，而同一个变化规律可以对应不同的函数形式。
3. 初始条件：为了确定常微分方程的解，需要给出初始条件。
初始条件通常是未知函数在某个点的函数值和导数值。
通过给出初始条件，我们可以唯一确定一个解。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法众多，常见的解法包括分离变量法、常数变易法、齐次方程法等等。
以下是其中两种常用的解法：1. 分离变量法：分离变量法适用于可以将方程中的变量分开的情况。
首先将方程两边的变量分开，变成一个只包含y的方程和一个只包含x的方程，然后对两个方程进行积分，最后解出y的表达式。
2. 常数变易法：常数变易法适用于一些特殊形式的常微分方程。
首先假设待解方程的解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)和v(x)都是关于x 的函数，然后将y及其导数带入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程组，通过求解该方程组，最后解出u(x)和v(x)，再将它们代入y= u(x) * v(x)，得到方程的解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
常微分方程 (Linear Ordinary Differential Equation) 是一类描述物理量随时间变化的线性微分方程，其一般形式为:
$$y"=f(t,y)$$
其中，$y$ 表示物理量，$t$ 是时间变量，$y"=dy/dt$ 表示物理量随时间的变化率，$f(t,y)$ 是与 $y$ 相关的函数。
常微分方程的分类可以根据 $f(t,y)$ 的特征进行。
具体来说，可以根据 $f(t,y)$ 的构成分为以下几类:
1. 常数变易法 (Constant Variation Method):适用于
$f(t,y)$ 是常数。
2. 变量替换法 (Variable Substitution Method):适用于
$f(t,y)$ 是线性函数。
3. 特征值法 (Eigenvalue Method):适用于 $f(t,y)$ 具有特
征值。
4. 谱方法 (Series Expansion Method):适用于 $f(t,y)$ 具有谱性质。
求解常微分方程的方法包括数值求解和解析求解两种方法。
数值求解是通过数值计算的方法求解常微分方程的解，而解析求解则是通过数学方法直接求解常微分方程的解。
解析求解的方法包括分离变量法、特征值法、积分法等。
常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用，例如求解物体的运动轨迹、反应扩散方程、财务分析等。
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程的解法及应用
常微分方程的解法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，例如物理学、生物学、经济学等。
本文将介绍常微分方程的解法和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程是描述物理现象和自然现象的重要数学工具，例如天文学、电子学、量子力学、流体力学、热力学、生物学、化学等。
常微分方程主要分为初值问题和边值问题两种。
1.初值问题初值问题是指在某个初始时刻$t_0$，系统的状态已知，求在此后的任意时间$t$内该系统的状态。
其一般形式如下：$$\frac{dy}{dt}=f(y,t), \ \ \ \ y(t_0)=y_0$$其中，$y$是未知的函数，$f$是已知的函数，$y_0$是已知的常数。
2.边值问题边值问题是指在某个区间$[a,b]$内，系统的状态已知，求满足某个条件的函数$y(t)$。
其一般形式如下：$$\frac{d^2y}{dt^2}=f(y,t), \ \ \ \ y(a)=y_A, \ \ \ \ y(b)=y_B$$其中，$y_A$和$y_B$是已知的常数。
3.解法常微分方程的解法有多种方法，下面介绍比较常用的两种方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。
（1）欧拉法欧拉法是常微分方程求解的一种最简单的数值方法，它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，利用差分方程求解。
假设在时间t时，y的值为$y(t)$，而在时间$t+h$时的y的值可以用下式计算：$$y(t+h)=y(t)+h\times f(y(t),t)$$其中，$f(y,t)$是微分方程的右端函数，$h$是每次迭代的步长。
（2）四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是常微分方程求解的一种较为精确的数值方法，其基本思想是采用区间加权平均法对微分方程进行求解。
四阶龙格-库塔法是由四个步骤组成，分别为：1）计算斜率$k_1=f(y_i,t_i)$2）计算斜率$k_2=f(y_i+\frac{h}{2}k_1,t_i+\frac{h}{2})$3）计算斜率$k_3=f(y_i+\frac{h}{2}k_2,t_i+\frac{h}{2})$4）计算斜率$k_4=f(y_i+hk_3,t_i+h)$将这四个斜率加权平均后即得到四阶龙格-库塔法的解式：$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$二、常微分方程的应用常微分方程广泛应用于各个领域，本节将介绍三个常微分方程的应用：自然增长模型、振动模型和物理模型。
常微分方程的基本概念
第十三章 常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。
因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。
由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。
那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。
本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。
§1 常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。
1.1 两个实例例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。
解 平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dxdy2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。
另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。
从而得到 12(1.1)|2(1.2)xdyx dxy ，。
为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得⎰+=+==C x C x xdx y 22222，我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。
再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即 C +=2121=⇒C 。
故所求曲线的方程为12+=x y 。
再看一个例子：例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。
求质点运 动的位移与时间t 的关系。
解 这是一个物理上的运动问题。
设质点运动的位移与时间的关系为)(t s s =。
则由二阶导数的物理意义，知a td s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。
武忠祥常微分方程公式
武忠祥常微分方程公式：
武忠祥常微分方程公式是指常微分方程领域的专家武忠祥教授提出的一系列公式和结论。
由于武忠祥教授在常微分方程领域的突出贡献，他的名字被应用于命名相关的公式和定理。
以下是一些常见的武忠祥常微分方程公式：
1. 武忠祥公式：对于常微分方程y' = f(x, y)，若存在函数F(x, y) 满足F'(x) = f(x, F(x, y)), 则称F(x, y) 为原方程的一个特解。
武忠祥公式给出了求解常微分方程的一个方法，即通过寻找特解来解决原方程。
2. 武忠祥定理：若函数y = y(x) 满足y'(x) = f(x, y(x)), 则称y(x) 为原方程的一个解析解。
武忠祥定理给出了常微分方程存在唯一解析解的条件，即函数y = y(x) 满足L[y] = f(x, y(x)), 其中L[y] 表示y(x) 的微分。
3. 武忠祥变换：对于常微分方程y' = f(x, y)，武忠祥变换是一种将原方程转化为易解形式的方法。
通过引入一个新的变量，将原方程化为一个更容易求解的形式。
以上是武忠祥常微分方程公式的一部分，这些公式和结论对于常分方程领域的研究和应用具有重要的意义。
常微分方程公式大全
常微分方程公式大全1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y′)=0 。
如果可以解出y'，可表示为： dydx=f(x,y)2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：形如 dydx=M(x)·N(y) ：若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： 1N(y)dy=M(x)dx 然后两边同时积分：∫1N(y)dy=∫M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： dydx=φ(yx) ，则称此类方程为齐次方程。
4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=yx ，就可以把它化成可以分离变量的方程！（1）由u=yx得到 y=ux（2）两边取x的微分得到 dydx=xdudx+u ，并代入dydx=φ(yx)（3）得到 u+xdudx=φ(u) 再换一下位置 duφ(u)−u=dxx（4）两边积分，得到∫duφ(u)−u=∫dxx（5）设Φ(u) 是 1φ(u)−u 的一个原函数，则得通解：Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=yx 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。
5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：形如 dydx=ax+by+ca1x+b1y+c1 ，其中 aa1≠bb1 （原因是只有这样才可以解出h和k）当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。
在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。
（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。
所以方程代换后变成：dYdX=aX+bY+(ah+bk+c)a1X+b1Y+(a1h+b1k+c1) ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a1h+b1k+c1=0联立这两个方程就可以解出h和k。
（3）求 dYdX=aX+bYa1X+b1Y 的通解后，把x-h代X，y-k 代Y，就得到原方程的通解。
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分类3: 线性与非线性微分方程.
2
y P ( x ) y Q ( x ), x( y) 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
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不含有任意常数的解，称为特解.
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例 y y, 通解 y ce ; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
x
解的图象:微分方程的积分曲线.
通解的图象:积分曲线族. 初始条件:用来确定任意常数的条件.
微分方程的特解
如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相同，则称这样的解为通解. 不含有任意常数的解，称为特解.
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例如
y xy,
y 2 y 3 y e ,
x
( t x )dt xdx 0,
2
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
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线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各 阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.
(2)
1 d( x ) 1 2 arcsin x C 2 2 1 x4 1 ( x2 )2
xdx
2
ln x 1 2 (3) dx ln xd( ln x) ln x C x 2
1 1 2 3 (4) (2 x 3) dx (2 x 3) d(2 x 3) (2 x 3) C 2 6
dy 2 3x y dx
的通解.
ln y x C1
即
y
x C1 e
x3
3
e e
C1
C1 x 3
令C e
ln y x 3 ln C
y Ce
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( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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为二阶微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解，并求该方程满 足初始条件 y (0) 0, y (0) 1的特解．
x 2x y C e C e , y ( 0 ) 0 由初始条件 代入 1 2
得 C1 C2 0 x 2x y C e 2 C e , y ( 0 ) 1 由初始条件 代入 1 2 得 C1 2C2 1.
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例1
验证函数 y C1e x C2 e 2 x ( C1 , C2 为任意常数)
为二阶微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解，并求该方程满 足初始条件 y (0) 0, y (0) 1的特解．
x 2x x 2x x 2x y C e C e , y C e 2 C e , y C e 4 C e , 解： 1 2 1 2 1 2
(6) (7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
(8)
e dx
x
ex C
ax C ln a
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(9)
a d x
x
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例(1)
x 1 1 1 2 2 1 x2 dx 2 1 x2 d(1 x ) 2 ln 1 x C
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例4 求 y ' xy 0 的通解． dy xy 解 方程变形为 dx dy xdx y 0 分离变量得
y dy xdx 两边积分得 y
求积分得 所以
方程通解为 y Ce
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y | | e c 1 x
2
1 2 ln | y | x ln c 2 1
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微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程 称为微分方程．
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数
的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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微分方程的解有两种形式：
常微分方程的通解
（3）计算上述不定积分，得通解.
G ( y ) F ( x) C
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例2. 求微分方程
解: 分离变量得 d y 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 dy 2 变形, 因此可能增、 3 x dx 两边积分 y 减解. 3 或 得
(C为任意常数)
o
x
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x 2 1 .
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第六章
第一单元
常微分方程
常微分方程的基本概念与 分离变量法
第二单元 一阶线性微分方程
第三单元 二阶常系数线性微分方程
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即
y x 1 C
y
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2
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
x
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2
1 1
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内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 初始条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据初始条件定常数 .
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可分离变量方程的解法：
（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ，
f ( x)dx （2）两边积分： g ( y )
dy f ( x )dx 其中g ( y) 0 g ( y ) dy
而另一边只含变量 x 的形式，即
例3 求方程 2x yy y +1 通解 .
2 ' 2
解
分离变量
y 1 dy dx, 2 2 y 1 2x
两端积分 解得
y dy 2 y 1
1 dx, 2 2x
y 1 ce
2
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1 1 2 ln y 1 ln c 2 1 2x
x
为所求通解.
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（ 6）
arccos x dx .
x arccos x xd arccos x
=
x arccos x
,
x 1 x
2
dx
1 2
x arccos x x arccos x
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1 (1 x 2 ) d(1 x 2 ) 2
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第一单元 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程
称为微分方程．
特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数
时的微分方程就称为常微分方程.
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数
的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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微分方程的分类
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 分类2: 一阶微分方程
F ( x , y , y ) 0, F ( x, y, y, , y ) 0,
( n)
高阶(n)微分方程
y f ( x , y ); y( n ) f ( x, y, y, , y( n1 ) ).
1 x C
2
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
2
y
① ②
(1, 2)
由 ① 得 y 2x d x x C
将 y , y , y 代入方程 y 3 y 2 y 0 左端，得
C1e x 4C2e2 x 3(C1e x 2C2e2 x ) 2(C1e x C2e2 x ) (C1 3C1 2C1 )e x (4C2 6C2 2C2 )e2 x 0
k1 y1 k2 y2 0
成立
则称函数 y1 ( x), y2 ( x) 在(a, b) 内线性相关， 否则称为线性无关． y1 y1 , y2 线性相关的充分必要条件是 在区间(a, b)内恒为常数 y
y1 若 y 不恒为常数，则 y1 , y2线性无关． 2