符号计算
第6讲 符号计算(2)
• • • •
C=triu(A) C= [ sin(x), cos(x)] [ 0, asin(x)]
三、符号导数
• •
1、符号函数的极限 limit(f, x, a)，计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的 极限值。 limit(f, a)，求符号函数f(x)的极限值，符号函数f(x)的 变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋 近于a。 limit(f)，系统默认变量趋近于0，即a=0的极限。 limit(f, x, a, 'right')，变量x从右边趋近于a时符号函数f(x) 的极限值。 limit(f, x, a, 'left')，变量x从左边趋近于a时符号函数的 极限值。
符号运算
• • • •
3、因式分解和展开 factor(S)，对S分解因式，S是符号表达式 或符号矩阵。 expand(S)，对S进行展开，S是符号表达 式或符号矩阵。 collect(S)，对S合并同类项，S是符号表 达式或符号矩阵。 collect(S, v)，对S按变量v合并同类项，S 是符号表达式或符号矩阵。
• d4=diff(f2)/diff(f1);
• f=x*exp(y)/y^2; • d5=diff(f,x) %z对x求偏导数 • d6=diff(f,y)
• • • •
d5 = exp(y)/y^2 d6 = x*exp(y)/y^2-2*x*exp(y)/y^3
• • • • • • •
f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=diff(f,x)/diff(f,z)%按隐函数求导 zy=diff(f,y)/diff(f,z) zx = x/z zy = y/z
Mathcad-数学运算-符号运算
(2)在左占位符中输入代数式，在右占 位符输入关键字expand；
(3)把光标移开并单击，便得： (x+1)3(x-1) expand →x4+2·x3-2·x-1
Mathcad-数学运算-符号运算
(c)代数式的 因式分解(Factor)
Mathcad-数学运算-符号运算
图 29
Mathcad-数学运算-符号运算
用户可在此框内输入浮点数的精度， 范围为1～4000之间的整数，当此数大于 255时将计算结果存入剪贴板中而不显示 在屏幕上。例：
解析解： 10
x2 dx
1000
0
3
10
实数解： x2dx floa,6t33.3333
(1)输入多项式； (2)指定展开变量或式子 (3)使用“Symbolics”菜单中的“Polynomial Coefficients”命令即可。 也可用指定代数符号运算符来返回含有指 定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步 骤是：
Mathcad-数学运算-符号运算
(1) 按 “ Ctrl+Shift+.” ， 出 现 指 定 代 数符号运算符；
0
复数解：e 2 in co m c2 o p n s l ) ( e isx 2 in n )(
Mathcad-数学运算-符号运算
(3)方程、不等式 的解析解
Mathcad-数学运算-符号运算
使用“Symbolics”菜单“Variable”命 令 的 子 命 令 “ Solve” 可 以 求 出 一 元 方 程 、 多元方程组、不等式的解析解，运用 given-find 求 解 模 块 也 可 以 求 得 多 元 方 程组的解析解。由于Mathcad2001在求解 方程时首先是对代数式进行因式分解， 因此对不能分解成基本因式的方程无法 求出解析解，但可以得到数值解。
第二章 符号计算
2.5 符号计算基本运算符 矩阵运算： + , - , * , / , \ , ^ , ' 数组运算： + , - , .* , ./ , .\ , .^, .‘
2.6 符号计算中函数指令 (表2.1-2) 三角、双曲函数：sin、cosh等 指数、对数函数：exp、expm、log(即ln) 复数函数：conj(共轭)、real、abs (模) 矩阵分解：eig 方程求解：solve 微积分函数：diff、int 绘图函数：ezplot
第二章 符号计算
—— matlab 不仅具有数值运算功能，还开 发了在matlab环境下实现符号计算的工具 包Symbolic Math Toolbox,通过调用Maple 软件实现符号计算。 Maple——强大的符号运算软件
介绍教材第二章内容
Matlab程序设计
符号运算的功能 • • • • • • 符号表达式、符号矩阵的创建 符号线性代数 因式分解、展开和简化 符号矩阵分析和代数方程解 符号微积分 微分方程符号解法
• 默认自变量为 ‘t‘,可任意指定自变量‘x‘, ‗u‘等 • 解中任意常数C的数目等于缺少的初始条件数 • 解存放在构架数组S中 • 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示
Matlab程序设计
dy dy 或 y的一阶导数—— Dy dt dx
d y d y 2 或 2 y的二阶导数—— D2y dt dx d y d y y 的 n 阶导数 —— Dny n 或 n dt dx
(4) syms a b c x;
f3= ax^2+bx+c
%二次三项式
Matlab程序设计
例2.1-5: 区分数值矩阵、字符矩阵、符号矩阵
符号运算参考答案讲解
符号运算参考答案讲解实验3 符号运算⼀、实验⽬的1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本⽅法；符号(symbol)运算的基本功能.2.掌握符号微积分、符号⽅程的求解的基本⽅法。
⼆、实验内容与要求1. 字符型变量、符号变量、符号表达式、符号⽅程的建⽴⽤单引号设定字符串变量>>a ='u+4'%定义a为字符型变量a =u+4⽤命令sym(‘’)创建单个符号变量、符号表达式、符号⽅程. >>x= sym('m+n+i') %定义x为符号型变量x=m+n+i>>y = sym（'d*x^2 + x – 4'）%定义y为符号表达式y=d*x^2 + x – 4>>e = sym(' a*x^2+b*x+c=0') %定义e为符号⽅程e=a*x^2+b*x+c=0⽤命令syms创建多个符号变量、符号表达式.>>syms a b x y %定义a，b，x，y为符号变量，字母间必须⽤空格>>s = a*x^4+b*cos(y)-x*y %定义s为符号表达式s=a*x^4+b*cos(y)-x*y基于MA TLAB的数学实验16注意：sym(‘’)中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不能⽤逗号，⽤syms不能建⽴符号⽅程.2. 复合函数计算格式：compose(f,g,x,y)%返回复合函数f [ g (y)]，f = f (x)，g = g (y).>>syms x y>>f = 1/(1 + x^2*y); g = sin(y);>>C = compose(f,g,x,y) % 结果为1/(1+sin(y)^2*y)2 合并同类项格式：collect(S) %是对S中的每⼀函数，按缺省变量x的次数合并系数.collect(S,v) %是对指定的变量v计算，操作同上.【例1.18】>> syms x y %定义x,y为符号变量>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2)); %结果为x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);%结果为y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1) 4.符号表达式的展开格式：R=expand(S) %展开符号表达式S中每个因式的乘积。
计算机符号计算
计算机符号计算
《计算机符号计算》
一、什么是符号计算
符号计算也称计算机符号化模型是一种以符号，而不是常规数值，表示计算机中问题的方法，它将常规的计算问题用符号抽象出来，使得计算机能够自动识别、处理和推理这些问题。
符号计算有两类：一类是符号逻辑计算，另一类是符号模拟计算。
符号逻辑计算是用逻辑表示（包括命题逻辑、概念逻辑、形式逻辑等）建立的符号模型来描述问题的，进而运用推理机制来求解问题；而符号模拟计算是模拟问题本身，通过符号表示和计算机编程等来求解问题。
二、符号计算的优势
1、易操作：符号计算的操作极其简单，因此在计算机中实现符
号计算非常容易，而传统的数值计算则比较复杂。
2、健壮性：符号计算在健壮性方面好于数值计算，能更好地抵
御不确定性和变化的环境。
3、易理解：符号计算能够直观地显示计算过程，被计算的对象
用字符符号表示，容易深入理解，更容易验证计算结果的正确性。
4、准确性：符号计算是通过计算机的模拟，使得能够考虑到计
算中的所有复杂性，从而达到更高的准确性。
三、符号计算的应用
符号计算的应用非常广泛，主要有以下几个方面：
1、模拟计算：符号计算是一种精确模拟，它能够将复杂的现实问题模拟出来，以满足精确模拟的要求。
2、控制系统设计：符号计算能够提供许多便利的方法来处理不确定性和复杂性，因此在控制系统设计中也有广泛应用。
3、智能推理：符号计算本身就是一种智能推理，它能够解决复杂的知识推理问题。
4、大数据处理：符号计算可以帮助处理大数据，它能够快速地处理巨大的数据集，从而得出数据模型和关联结构。
符号运算
4.5 符号积分变换
4.5.1 Fourier变换
F＝fourier(f,t ,w) %求以t为符号变量f的fourier变 换F
2. findsym函数
findsym(S,n) %确定符号对象S中的n个自由
符号变量
练习
4.3.2符号表达式的化简
多项式的符号表达式有多种形式，例如， f(x)=x3+6x2+11x-6可以表示为： 合并同类项形式：f(x)=x3+6x2+11x-6 因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
例：
>> syms x y t v n
>> f=x+y;
>> g=t*v; >> y1=compose(f,g)
%以x为符号变量求复合函数
y1 =
t*v+y >> y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求复合函数f(g(n))
y4 =
x+n*v
4.3.5 多项式符号表达式
1. 多项式符号表达式的通分 [N,D] = numden(s)%提取多项式符号表达式s的分子 和分母
6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。 7. simple函数 找出字符最少的简化表达式，simple 函数适用于 三角函数化简。 例：
第5章 符号运算
号变量a，因此系统不能进行f-a运算，给出了错误信息。
字符串、表达式或字符表达式等等。
【例6-1】使用sym函数创建符号变量和符号表达式。 分别输入以下语句：
x=sym('x') y=sym('hello') z=sym('(1+sqrt(5))/2') f= sym ('a*x^2+b*x+c') f-a 返回结果依次为：
5.1 符号变量的创建
符号变量和符号表达式的创建
sym函数 定义单个符号变量
>>f1=sym(‘ax^2+bx+c’) %创建符号变量f1和一个符号表达式
>>a=sym(‘a’)
syms函数 一次定义多个符号变量
>> clear
>> syms a b c x
>> whos
Name Size
Bytes Class Attributes
例 反函数
>>clear >>syms x y >>finverse(1/tan(x)) ans =
atan(1/x) >>f = x^2+y; >>finverse(f,y) ans =
符号计算与数值计算的结合方法研究
符号计算与数值计算的结合方法研究符号计算与数值计算是计算机科学中两个重要的研究领域。
符号计算主要处理符号表达式，能够精确地求解代数方程、微积分问题等数学问题，是高级数学、科学与工程领域不可缺少的工具。
数值计算主要处理离散数据的计算问题，其应用范围非常广泛，包括科学计算、工业计算等。
符号计算和数值计算都有其独特的优缺点，它们之间的结合方法可以充分发挥它们的优势，解决更加复杂的数学问题。
一、符号计算和数值计算的优缺点符号计算和数值计算有各自的优缺点。
符号计算具有高精度、高可靠性和通用性等优点，它能够对代数方程、微积分问题等数学问题进行完全的符号化处理，获得闭合的解析式。
符号计算的缺点是其处理速度较慢，且对于复杂的数学问题难以进行符号化处理。
数值计算具有处理速度快、适用范围广等优点，其模拟了许多现实世界中的问题，能够提供数字解，而不是解析解。
数值计算的缺点是处理的数据是离散的，其精度始终受到数据离散程度的限制。
二、符号计算和数值计算的结合方法符号计算和数值计算之所以能够结合起来，是因为它们既有各自的优势和特点，又有互补的作用。
在实际应用中，符号计算和数值计算常常配合使用，以在不同场景下获得更好的计算效果。
1. 符号计算和数值计算的计算优化符号计算和数值计算的结合方法可以优化计算过程。
符号计算能够将数学问题转换为更加简洁的表达式，使得计算过程更加高效。
数值计算则能够将符号计算得到的表达式对应转化为算法，使得计算结果更加准确。
符号计算通过化简、代数替换等技术，将原本复杂的数学公式转换为更为简单的形式，从而降低计算难度。
数值计算则通过数值模拟、优化算法等技术，加速计算，提高并行化效率，增强数值计算的可靠性。
2. 符号计算和数值计算的数据在表达上的转换符号计算和数值计算的结合方法可以进行数据在表达上的转换。
符号计算的处理结果是高度抽象、形式上的，包括如多项式代数、超几何显式公式等数学结构，在特定场景下能够提供通用性的形式化解。
符号计算
定义符号矩阵
>>syms a b c d; >>A=[a b; c d]; >> B=[a b; c d]; >>A*B ans= a^2+b*c a*b+b*d a*c+c*d b*c+d^2
solve指令用法
例： • syms a b c x; solve(‘a*x^2 + b*x + c’) • 当没有指定变量的时候，matlab默认求解的 是关于x的一元二次方程的解，求解的结果 为： • ans = • -(b + (b^2 –4*a*c)^(1/2))/(2*a) • -(b -(b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
%sym的输入量为科学记述数
精准符号数字或数 字表达式的创建 R3=sin(sym(3/10))
R3=
sin(3/10) %sym的输入量为有理分数
R4=sin(sym(‘3/10’)) R4=
%sym的输入量为“整数构 成的有理分数”字符串数字
sin(3/10)
精准符号数字或数 字表达式的创建 disp(*‘R1属于什么类别？答：’,class(R1)+) R1属于什么类别？答：1 disp(*‘R1与R4是否相等？（是为1，否为0） 答：’,int2str(logical(R1==R4))+) R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：1
第四章 符号计算
定义
所谓符号计算，是指在运算时,无须事 先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符 号形式来表示。 例如，在符号变量运算过程中pi就用pi 表示，而不是具体的近似数值3.14或 3.14159。 使用符号变量进行运算能最大限度减 少运算过程中因舍入造成的误差。符号变 量也便于进行运算过程的演示。
第3章 符号计算(3)
syms x y; %定义两个符号变量 a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %积分 b=simple(a) %化简 c=vpa(b,4) %得到4位近似解
2014-5-12
NoБайду номын сангаас12
九、微分方程的符号解法P72 P89一般代数方程组对比
• 求微分方程符号解的一般指令： S=dsolve(‘eq1,eq2,eq3’,’cond1,cond2,cond3’,’v’) S=dsolve(‘eq1’,’eq2’,’eq3’,’cond1’,’cond2’,’cond3’,’v’)
通用置换指令： fn=subs(f,old,new) fn=subs(f,new)
• 例 2.2-4 • （1）产生符号函数 syms a x; f=a*sin(x)+5
• （2）符号表达式置换，将sinx用y来置换使表达式变成f=ay+5 f1=subs(f,sin(x),sym('y'))
2014-5-12 No.3
2014-5-12
No.15
九、微分方程的符号解法
• 课堂习题4 求 的解。
y=dsolve('Dy+a*y=0','y(0)=1','x')
y=dsolve('Dy+a*y=0','y(0)=1',‘t')
答案
2014-5-12
答案
No.16
第3章 符号计算
• 随堂作业,完成课后习题P116 24、25
• 课堂习题3 求
x 2 x 5 x 0的解。
• x=dsolve('D2x+2*Dx-5*x=0')
第四讲符号运算
-5-
1 ans = 1 （5）利用 whos 观察内存变量的类别和其它属性 >> whos Mn Mc Ms % 观察三个变量的类别和属性 Name Size Bytes Class Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 408 sym object Grand total is 21 elements using 458 bytes
-3-
例 4.1.3 用符号计算验证三角等式 sin ϕ1 cos ϕ 2 − cos ϕ 1 sin ϕ 2 = sin(ϕ1 − ϕ 2 ) 。 >> syms fai1 fai2; >> y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y= sin(fai1-fai2)
4.1.2 符号计算中的算符和基本函数
由于新版 MATLAB 采用了重载技术，使得用来构成符号计算表达式的算符和基本函 数，无论在形状、名称上，还是在使用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全 相同。这无疑给编程带来极大的便利。 下面就符号计算中的基本算符和函数作简单的归纳。 （1） 基本运算符 算符“+”，“-”，“*”，“\”，“/”, “^”分别实现矩阵的加、减、乘、左除、右除、求 幂运算。 算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现“元素对元素”的数组乘、除、求幂。 算符“’”，“.’”分别实现矩阵的共轭转置、非共轭转置。 （2） 关系运算符 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念， 而只有是否“等于”的概念。 算符“= =”，“~ =”分别对算符两边的对象进行“相等”、“不等”的比较。当事实 为“真”时，比较结果用 1 表示；当事实为“假”时，比较结果则用 0 表示。 （3） 三角函数、双曲函数及它们的反函数 除 atan2 仅能用于数值计算外，其余的三角函数（如 sin） 、双曲函数（如 cosh） 及它们的反函数（如 asin,acosh） ，无论在数值计算还是符号计算中，它们的使 用方法相同。 （4） 指数、对数函数 在数值、符号计算中，函数 sqrt,exp,expm 的使用方法完全相同。至于对数函 数，符号计算中只有自然对数 log(即一般教材中用 ln)，而没有数值计算中的 log2,log10。 （5） 复数函数 涉及复数的共轭 conj、求实部 real、求虚部 imag 和求模 abs 函数，在符号、数 值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB 没有提供求相 角的命令。
MatLab教程第 2 章符号计算
第 2 章 符号计算所谓符号计算是指：解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，力求获得解析结果。
这种计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，因此所得结果是完全准确的。
本书之所以把符号计算内容放在第2章，是出于以下考虑：一，相对于MATLAB 的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。
二，在相当一些场合，符号计算解算问题的指令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。
三，大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。
在编写本章时，作者在充分考虑符号计算独立性的同时，还考虑了章节的自完整性。
为此，本章不但全面地阐述符号计算，而且在最后一节还详细叙述了符号计算结果的可视化。
这样的安排，将使读者在阅读完本章后，就有可能运用MATLAB 的符号计算能力去解决相当一些具体问题。
2.1符号对象和符号表达式2.1.1 符号对象的创建和衍生 一 生成符号对象的基本规则 二符号数字【例2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。
a=pi+sqrt(5) sa=sym('pi+sqrt(5)') Ca=class(a) Csa=class(sa) vpa(sa-a)a =5.3777 sa =pi+sqrt(5) Ca = double Csa = sym ans =.138223758410852e-16三 符号参数 四符号变量【例2.1-2】用符号计算研究方程02=++w vz uz 的解。
（1）syms u v w z Eq=u*z^2+v*z+w;result_1=solve(Eq) % findsym(Eq,1)result_1 =-u*z^2-v*zans =w（2）result_2=solve(Eq,z)result_2 =1/2/u*(-v+(v^2-4*u*w)^(1/2))1/2/u*(-v-(v^2-4*u*w)^(1/2))【例2.1-3】对独立自由符号变量的自动辨认。
数值计算和符号计算
for i=2:length(t)
if ysign(i)~=ysign(i-1) >> n,yzero
n=n+1;yzero(n)=i-1; n =
%与前一函数值符号相反，则表示有一零点
end
6 %yzero(n)存放第n个零点对应的下标
end
yzero =
220 523 852 1146 1488
010
100
Adet=det(A)
%求矩阵的行A列de式t =
Aroots =
Arank=rank(A)
%求矩阵的秩 -82
10.8570
Anorm=norm(A) P=poly(A) Aroots=roots(P)
%求矩阵的范数Ara，nk通= 过带不同的参数可以求不同的-2.范677数6
%求矩阵特征多An项o3rm式=
2.8207 Aroots2 =
%求特征根 11.9378
10.8570
Aroots2=eig(A)
%特征根的又一P 种= 求法
-2.6776
%线性方程组求解
1.0000 -11.0000 -6.0000 82.0000
2.8207
x=A\b
%求方程组AX＝b的解
x=inv(A)*b 方程组为：
解为：
1
五
两种计算的特点
、
数
数值计算
值
计
符号对象和符号表达式
算
和
符号计算
符 号
符号函数的可视化
计 算
Maple函数的使用
5.1 两种计算的特点2来自数值计算特点：1）以数值数组作为运算对象，给出数值解；
2）计算过程中产生误差累积问题，影响计算结果的精确性；
基础篇-第3章-符号运算
3.1.4 符号运算中的运算符
MATLAB中为符号运算提供了多种多样的运算符，如表3-2所示 表3-2 符号运算中的运算符
符号 + .* * ^ .^ \ / .\ ./ kron ， ； 符号用途说明 加 减 点乘 矩阵相乘 矩阵求幂 点幂 左除 右除 点左除 点右除 张量积 分隔符 (a)写在表达式后面时运算后不显示计算结果 (b)在创建矩阵的语句中指示一行元素的结束，例如m=[x y z;i j k] 创建向量的表达式分隔符，如x=a:b:c a(:,j)表示j列的所有行元素；a(i,:)表示i行的所有列元素 创建数组、向量、矩阵或字符串(字母型)
>> [n，d]=numden(k)
n=
[3， 2*x+1] [4， 3*x+4] d=
[ 2，3]
[x^2，1] 这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母 数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。
findsym(x+i*y-j*z,3)
syms x a y z b; %定义5个符号变量 %定义两个符号表达式 s1=3*x+y;s2=a*y+b
findsym(s1)
findsym(s2,2) syms x y; s=2*x+3*y; findsym(s) ans = x, y
>>
【例3-2】创建符号变量，求复数表达式z=x+i*y的共轭复数
>> x=sym('x','real'); >> y=x+i*y; >> x=sym('x','real'); >> y=sym('y','real'); >> z=x+i*y; >> conj(z)
五 数值计算和符号计算
syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 D; A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]; IA=inv(A); [IAS,D]=subexpr(IA,D) syms a b c d D IA=inv([a b;c d]) [IAS,D]=subexpr(IA,D)
3
五 数值计算和符号计算
[例5-1] 矩阵常见运算 例 A=[1 2 3; 4 7 2;7 4 3 ]; b=[2; 4; 5;]; %矩阵的分解 矩阵的分解 [L U P]=lu(A)%矩阵的 LU 分解，分解成上三角和下三角阵 分解， 矩阵的 [Q,R]=qr(A) %矩阵的 QR 分解 矩阵的 %矩阵的特征参数 矩阵的特征参数 Adet=det(A) %矩阵行列式 矩阵行列式 Arank=rank(A) %矩阵的秩 矩阵的秩 Anorm=norm(A) %矩阵的范数 矩阵的范数 P=poly(A) %矩阵特征多项式 矩阵特征多项式 Aroots=roots(P) %特征根 特征根 Aroots2=eig(A) %特征根另一种求法 特征根另一种求法 %线性方程组求解 线性方程组求解 x=A\b %求方程组 AX=b的解 X 求方程组 的解 4
9
五 数值计算和符号计算
符号计算的步骤： 符号计算的步骤： 1) 定义基本的符号对象，syms, sym 定义基本的符号对象， 2) 构造符号表达式 3) 进行符号计算 例如： 例如：
a = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi ]; % 数值数组 a1 = sym( ‘[1/3, 0.2+sqrt(2), pi]’ ); % 符号数组 a2 = sym( ‘2*sin(x)*cos(x)’ ); % 符号表达式 a3 = simple( a2 ); % 符号表达式化简
符号计算
1.符号矩阵运算
数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比 较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ； A=2*a^2+3*a-5等。 符号运算中，很多方面在形式上同数值计 算都是相同的，没必要重新学习新的规则。
2. 任意精度的数学运算
在symbolic中有三种不同的算术运算：
1. 2. 3.
数值类型
这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 Matlab数值矩阵的
一个重要区别。
用字符串直接创建矩阵
模仿Matlab数值矩阵的创建方法 需保证同一列中各元素字符串有相 同的长度。
例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
符号积分变换
ztrans(f) —— Z变换 Invztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换 注意 ：上述函数均缺省了部分参数
符号常量
当数值常量作为sym( )的输入参量时，就 建立了一个符号对象——符号常量。
虽然看上去是一个数值量，但已经是一 个符号对象了。 例：a=3/4; b='3/4'; c=sym(3/4); d=sym('3/4'); whos 查看变量类型 a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类 型；c和d都是符号对象类型。
由符号变量构成的符号函数和符 号方程
符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函 数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
python 无穷大符号 符号计算
Python 无穷大符号符号计算随着科技的不断发展，计算机科学和数学领域的结合越来越紧密。
Python作为一门被广泛应用的编程语言，不仅可以用来进行普通的程序设计和开发，还可以进行符号计算。
在符号计算中，无穷大符号是一个十分重要的概念。
本文将介绍Python中的无穷大符号和符号计算的相关内容。
一、Python中的无穷大符号在Python中，使用sympy库可以进行符号计算。
sympy库是一个强大的计算机代数系统，它可以进行符号数学运算、解方程、微积分和线性代数等操作。
在sympy库中，有一个特殊的符号表示无穷大，即oo。
这个符号用来表示正无穷大。
二、无穷大符号的应用无穷大符号在符号计算中具有重要的意义。
在实际的数学问题中，经常会涉及到极限的计算。
而在极限的计算中，无穷大符号通常会出现在被极限操作的函数中。
在计算函数f(x) = 1/x在x趋近于0时的极限时，可以写为lim(x->0) 1/x = oo。
这里的oo就表示当x趋近于0时，函数1/x的值会趋于正无穷大。
除了极限的计算，无穷大符号在解方程和不等式、级数求和等方面也有重要的应用。
在这些应用中，无穷大符号可以帮助我们更直观地理解数学问题，并进行更加高效的符号计算操作。
三、Python中的符号计算在Python中，使用sympy库进行符号计算非常方便。
首先需要导入sympy库，然后就可以使用其中的符号计算功能。
可以定义符号变量并进行符号运算。
另外，sympy库还提供了求导、积分、方程求解等功能，可以方便地进行各种数学运算。
在符号计算中，可以直接使用无穷大符号进行计算。
可以用oo表示正无穷大，-oo表示负无穷大。
这样可以更加方便地进行符号计算。
在一些特殊的数学问题中，无穷大符号的使用可以简化问题的求解过程，并获得更加清晰的数学表达式。
四、结语Python中的无穷大符号和符号计算为我们在数学问题中提供了强大的工具。
通过sympy库，我们可以方便地进行符号计算，并直观地理解数学问题。
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符号对象与符号表达式
在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是 符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据 结构。
含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部 把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。
b 是符号常量
>> c=sym('[1 ab; c d]')
c 是符号矩阵
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式
为：
syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n
例： >> syms a b c
>> a=sym('a'); >> b=sym('b'); >> c=sym('c');
>> subs(f2,'u',a+2)
ans=14
>> subs(f2,'u','a+2') >> syms x y
ans=2*((a+2)+2)
>> f3=subs(f,'u',x+y)
f3=2*x+2*y
>> subs(f3,[x,y],[1,2]) ans=6
下面的命令运行结果会是什么？
>> subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])
Matlab 符号运算采用的运算符和基本函数，在形状、名称 和使用上，都与数值计算中的运算符和基本函数完全相同
基本运算符 普通运算：+ 、- 、* 、\ 、/ 、^ 数组运算：.* 、.\ 、./ 、.^ 矩阵转置：' 、.'
例：>> X=sym('[x11,x12;x21,x22;x31,x32]');
若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。
subs 举例
例：指出下面各条语句的输
f=2*u
>> subs(f,'u',2)
ans=4
>> f2=subs(f,'u','u+2') >> a=3;
f2=2*(u+2)
上机作业
指出下面的 M1，M2，M3 分别是什么，并上机验证。 >> a=1; b=2; c=3;d=4; >> M1=[a,b;c,d]; >> M2='[a,b;c,d]'; >> M3=sym('[a,b;c,d]');
下面语句计算出来的 c1，c2 相等吗，为什么？上机验证。
>> a1=1e10; b1=1e-10; >> c1=(a1+b1-a1)/b1; >> a2=sym(a1); b2=sym(b1); >> c2=(a2+b2-a2)/b2;
>> Y=sym('[y11,y12,y13;y21,y22,y23]'); >> Z1=X*Y; Z2=X'.*Y;
符号对象的基本运算
基本函数
三角函数与反三角函数、指数函数、对数函数等
sin、cos、tan、cot、sec、csc、… asin、acos、atan、acot、asec、acsc、… exp、log、log2、log10、sqrt abs、conj、real、imag rank、det、inv、eig、lu、qr、svd diag、triu、tril、expm
补充：class(x) 查看指定变量 x 的类型
符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A)
参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
例： >> a=sym('a')
a 是符号变量
>> b=sym(1/3)
查找符号变量
查找符号表达式中的符号变量
findsym(expr)
按字母顺序列出符号表达式 expr 中的所有符号变量
findsym(expr, N) 列出 expr 中离 x 最近的 N 个符号变量
若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等，
则ASCII 码大者优先。
常量 pi, i, j 不作为符号变量
Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算 功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、 化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代 数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支 持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。
Matlab 符号运算特点
计算以推理方式进行，因此不受计算误差累积所带来的 困扰。 符号计算可以给出完全正确的封闭解，或任意精度的数 值解（封闭解不存在时）。
符号表达式的建立
符号表达式的建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >> y=sym('sin(x)+cos(x)')
>> x=sym('x'); >> y=sin(x)+cos(x)
符号对象的基本运算
Matlab 符号运算 (一)
Matlab 符号运算介绍
Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能 强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时， 它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。
findsym 举例
例： >> f=sym('2*w-3*y+z^2+5*a')
>> findsym(f) >> f=sym(f,3)
>> f=sym(f,1)
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
符号计算指令的调用比较简单，与数学教科书上的公式 相近。
符号计算所需的运行时间相对较长。
Matlab 符号运算举例
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 >> solve('a*x^2+b*x+c')
求 f (x) = (cos x)2 的一次导数 >> x=sym('x'); >> diff(cos(x)^2)