总体参数的假设检验
总体参数P的假设检验
在实际问题中，经常会遇到要对（0-1）总 体中参数 p 进行检验的问题。这时，一般是抽取 大容量（n>30）的样本，利用中心极限定理，对 参数 p 进行假设检验.
下面先用此方法对双边检验进行假设检验， 然后推广到单边检 p0
近似
~ N(0， 1）
p(1 p)
n
例1. 某药厂在广告上声称该药品对某种疾病的治愈率
为80%，一家医院对这种药品临床使用120例，治愈 85人，问该药品的广告是否真实(α=0.02)？
解： 由于n=120为大样本，设随机变量X为
1 抽查一位服用病该人药发品现的疾病 X0 抽查一位服用病该人药发品现的疾病未
则X~（0-1）分布.
若有诀窍，则 猜中的概率 p 应大于1/2.
x 600.61
100
2
原假设
H0
:
p
1， 2
备择假设
1 H1 : p 2
检验统计量为U Xp0
p0(1 p0)/n
拒绝域： W{Uzα}
α=0.05，
zα z0.051.645
W{Uzα}{U1.64}5
u xp0
0.6 0.5 2 1.645
则X~（0-1）分布.
原假设 H0 :p80%，备择假设 H1:p8% 0
检验统计量为U Xp0
p0(1 p0)/n
拒绝域：W{Uzα/2}
α=0.02， zα/2z0.012.33
W{Uzα/2} {U2.33}
x 85 0.7083 120
| u| | x p0 | | 0.70830.8| 2.51132.33
p0(1 p0)/ n
0.5 0.5
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
总体参数的假设检验
社会学研究数据分析
要点一
总结词
社会学研究中的假设检验主要用于探究社会现象、行为和 社会关系等。
要点二
详细描述
在社会学研究中，假设检验被广泛应用于社会调查、实验 研究和准实验研究中。研究者通过收集和分析数据，检验 关于社会现象、行为和社会关系的假设。例如，可以检验 教育程度与收入水平的关系、政策实施对居民生活的影响 等假设。这有助于深入了解社会现象，为政策制定和社会 发展提供科学依据。
P值是假设检验中的重要指标，表示观察到的数据或更极端情况出现的 概率。P值越小，表明观察到的数据越不可能发生，从而支持拒绝原假 设。
P值的解读
在解读P值时，应注意其与临界值的关系。通常，当P值小于显著性水 平（如0.05）时，我们拒绝原假设。
03
决策与P值
虽然P值提供了一定的决策依据，但不应过分依赖P值进行决策。在某
两个总体参数的假设检验
两个总体参数的假设检验的定义
对两个总体的参数提出假设，并利用样本数据对该假设进 行检验，以判断两个参数之间是否存在显著差异。
提出假设
根据研究目的或问题，提出关于两个总体参数的假设。
选择检验统计量
根据总体分布和假设，选择适当的统计量进行检验。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水平，确定临界值。
选择检验统计量
根据总体分布和假设，选择适当的统计量进行检验。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水平，确定临界值。
计算检验统计量的值
根据样本数据计算检验统计量的值。
做出决策
将计算出的检验统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝假设的决策。
非参数假设检验
03
符号检验
总结词
假设检验关于总体参数的假设提出与验证
假设检验关于总体参数的假设提出与验证假设检验是统计学中一种常用的方法，用于对总体参数的假设提出与验证。
在实际应用中，我们常常需要对某个总体进行推断，通过假设检验可以帮助我们判断某种观测结果是否支持或者反驳对总体参数的某种假设。
1. 假设的提出在进行假设检验之前，我们首先需要明确假设的提出。
根据研究的问题和目标，我们可以提出两类假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是指对总体参数的某种特定值或关系的假设，通常我们将其视为默认假设；备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 假设的验证假设的验证是通过收集样本数据进行统计分析来进行的。
首先，我们需要明确一个检验统计量，它是根据样本数据与原假设的偏离程度计算出来的一个统计量。
常用的检验统计量包括Z统计量和t统计量等。
我们可以根据假设的情况选择适当的检验统计量。
接下来，我们需要确定显著性水平（α），它表示在原假设成立的情况下，观测到的结果与原假设相差较大的概率。
通常情况下，我们选择显著性水平为0.05或0.01，表示在5%或1%的水平上进行显著性检验。
然后，我们计算出检验统计量的观测值，并根据观测值和显著性水平对其进行比较。
这一比较可以通过查找相应的分布表或使用统计软件进行计算得出。
最后，我们根据比较的结果得出结论。
如果观测值小于临界值，则我们无法拒绝原假设，即数据支持原假设；如果观测值大于临界值，则我们可以拒绝原假设，即数据不支持原假设，而支持备择假设。
3. 假设检验的错误在进行假设检验时，我们需要注意两种错误的可能性：第一类错误（α错误）和第二类错误（β错误）。
第一类错误是指在原假设为真的情况下，我们错误地拒绝了原假设；第二类错误是指在备择假设为真的情况下，我们错误地接受了原假设。
减小第一类错误的概率会增加第二类错误的概率，反之亦然。
在设计假设检验时，我们需要根据实际情况和问题的重要性来平衡两类错误的概率。
4. 常见的假设检验假设检验方法有很多，以下是一些常见的假设检验方法：- 单样本均值检验：用于检验一个总体均值是否等于某个特定值。
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
两个总体参数的假设检验
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test
正态总体参数的假设检验
578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
N (0,1) U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
2
2
2 0
2
2 0
2 0
2
(n 1)S 2
2 0
2
2 0
2
2 0
0
2
2 1
/
2
或
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验
统计学中的假设检验方法应用
统计学中的假设检验方法应用假设检验是统计学中一种常用的推断方法，用于检验关于总体参数的假设。
它基于样本数据，通过对比样本观察值与假设的理论值之间的差异，来确定是否拒绝或接受一些假设。
假设检验在实际应用中广泛使用，以下是一些常见的应用：1.平均值检验：平均值检验用于检验总体平均值是否等于一些特定值。
例如，一个医疗研究想要检验其中一种药物的疗效，可以控制一个实验组和一个对照组，然后收集两组患者的项指标数据（如血压）并计算均值，然后利用假设检验来判断两组是否存在显著差异。
2.方差检验：方差检验用于检验不同总体的方差是否相等。
例如，一个制造业公司想要比较两个供应商提供的原材料的质量是否一致，可以从这两个供应商中分别抽取样本，然后对比两组样本的方差，通过假设检验来判断两个供应商的方差是否有显著差异。
3.比例检验：比例检验用于检验两个总体比例是否相等。
例如，一个选举调查机构想要了解两个候选人在选民中的支持率是否相同，可以进行随机抽样并询问选民的偏好，然后利用假设检验来判断两个候选人的支持率是否存在显著差异。
4.相关性检验：相关性检验用于检验两个变量之间的相关关系是否显著。
例如，一个市场研究公司想要了解广告投入与销售额之间的关系，可以收集一定时间内的广告投入和销售额的数据，并进行相关性检验来判断两者之间是否存在显著的线性关系。
5.回归分析：假设检验在回归分析中也有广泛应用。
通过假设检验可以判断回归模型中的参数估计是否显著，进而判断自变量对因变量的影响是否存在统计学意义。
例如，一个经济学研究想要检验GDP（自变量）对于失业率（因变量）的影响，可以建立回归模型并通过假设检验来判断GDP系数是否显著。
在应用中，假设检验的步骤通常包括以下几个部分：明确研究问题、建立原假设和备择假设、选择适当的检验统计量、设定显著水平、计算检验统计量的观察值、根据观察值和临界值的比较结果进行决策、得出结论。
需要注意的是，假设检验的结果并不能确定假设是正确的或错误的，它只是根据样本数据提供了统计学上的证据。
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
§8.2 正态总体参数的假设检验
已
知
202 2>02 2 i1
2 0
202 2<02
H0的拒绝域 2 2 2 (n)
或 2
2 1
2 (n)
2 2(n)
2 12(n)
2 检验
2 2 2(n1)
未
知
2=02 202
2
(n
1)S2
02
202 2>02
或2
2 1
2(n1)
22(n1)
202 2<02
212(n1)
例2.1 用热敏电阻测温仪间接测量地热,
检验法 条件 H0 H1 检验统计量
Z检 验
已
知
=0 0
0 >0
Z
X
0
0 <0
n
T检 验
未
知
=0
0 0
0 >0
<0
T
X 0
Sn
H0的拒绝域 |Z|z/2
Zz Z–z |T|t/2(n–1) Tt(n–1) T–t(n–1)
检验法 条件 H0 H1 检验统计量
2 检验
2=02 202
n
(Xi )2
故t 11.2811.26 0.46592.4469 1.13587
所以接受原假设, 认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系 统偏差。
例2.2 某厂生产的某种型号的电池, 其
寿命长期以来服从方差2=5000(小时2)的
正态分布。现有一批这种电池, 从它的生 产情况来看, 寿命的波动性有所改变。现 随机取26只电池, 测出其样本方差 s2=9200(小时2), 试根据这一数据能否推 断这批电池的寿命的波动性较以往的有
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。
同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。
通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。
一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。
3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。
在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。
4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。
5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。
6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。
2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。
3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。
例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。
4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。
总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。
正态总体参数的假设检验
正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。
有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。
(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。
5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。
(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。
(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。
在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。
具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。
注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。
(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。
续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。
某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。
③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。
⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。
[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。
已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。
该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。
第9讲 一个总体参数的假设检验
2.
检验统计量
已知： z
2
x 0
n
~ N (0,1)
2 未知：t x 0 ~ t ( n 1) s n
总体均值的检验
(例题分析)
【例】一种汽车配件的平均长度要求为 12cm ，高于
或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在 购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提 供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一 个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供 货商生产的配件长度服从正态分布，在 0.05的显著性 水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？
决策:
拒绝H0
结论:
0
-2.33
z
新机床加工的零件尺寸的平均误 差与旧机床相比有显著降低
总体均值的检验( 2 未知)
(例题分析)
【 例 】 某 一 小 麦 品 种 的 平 均 产 量 为 5200kg/hm2 。一家研究机构对小麦品
种进行了改良以期提高产量。为检验改 良后的新品种产量是否有显著提高，随 机抽取了36个地块进行试种，得到的样 本平均产量为 5275kg/hm2 ，标准差为 120/hm2 。试检验改良后的新品种产量 是否有显著提高？ (=0.05)
右侧检验
总体均值的检验( 2 未知)
(例题分析)
5200 H1 ： > 5200 = 0.05
H0 ：
检验统计量:
z
5275 5200 120 36
3.75
= 36 临界值(c):
n
决策:
拒绝H0 0.05
拒绝H0 (P = 0.000088 < = 0.05)
5.1 总体参数的假设检验
用
, , 表示。
双侧检验和单侧检验 ㈠、双侧检验 双侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
H 0 : 0 ; H1 : 0
2
临界值
1
接受域 临界值
2
双侧检验示意图
㈡、单侧检验
单侧检验不仅考虑是否相等，在不等时 还要考虑方向。单侧检验有两种情况。
１．左侧检验 左侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
若
t t (n 1) 则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。而对于左侧检验 H 0 : 0 ; H1 : 0 若 t t (n 1)
则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。
单样本时总体均数比较总结
1.总体方差 如果已知,可以使用u检验
2
统计量u=
x-
x
，其中 x
,， n 且
n 1 n 1 2 d di , Sd 2 ( d d ) i n i 1 n 1 i 1
４．检验统计量
d d t ~t (df ), Sd / n 其中df 配对总数 1
两个总体均数比较的总结
1.单样本(已知一个总体均数0 ) (a).u检验(已知） (b).t检验( 未知） 2.两独立样本（两总体均数都未知） (a ).t检验(当 ， ， 未知)
n
2.总体方差 2如果未知,可以使用t检验 x- 统计量t= ，其中S x S ,自由度 n-1 n Sx
补充：单样本时的总体方差的假设检验例8
（1）H 0 : 2 0 2 ; H1 : 2 0 2 (双侧检验）
2 （ n-1)S 2 2 ~ (n 1) 2
三、假设检验中的小概率原理*
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
单个正态总体参数的假设检验
576.2 576 x 576 0.079 其中 | U | 8 / 10 8/ n
查表 z / 2 z0.025 1.96 0.079 故未落在拒绝域之内,故接受H0 ,即可以认为 576.
综合⑴与⑵,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异.
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 | t | t / 2 (n 1) s/ n 计算 | t | 2.6
| t | 2.6 t0.025 (35) 2.0301
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。 ⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
2 2 2 双边假设检验 H 0 : 2 0 , H1 : 0
拒绝域为
(n 1) s 2
2 0
12 / 2 (n 1) 或 f y
2 2
(n 1) s 2
2 0
2 / 2 ( n 1)
2 12 / 2 (n 1) / 2 ( n 1)
观测5台压缩机的冷却用水的升高温的平均值为 x 5.34,
样本方差为 s 2 0.631. ⑴ 在显著水平α=0.05下是否可以
认为冷却用水升高温度的平均值不多于5°？(2)求σ2的
置信水平为0.95的置信区间。
解: ⑴ 先提出假设 H 0 : 0 5, H1 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为
| x -0 | | u | z / 2 / n
2. σ2未知，检验μ （t 检验法）
n 1 2 可用样本方差 S 2 ( X X ) 代替σ2 k n 1 k 1
正态总体中参数的假设检验
正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。
下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。
一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。
在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。
其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。
然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。
通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。
二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。
通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。
2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。
3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。
4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。
5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。
6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。
7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。
三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。
我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。
正态总体参数假设检验公式
正态总体参数假设检验公式正态总体参数假设检验，这可是统计学里挺重要的一块知识呢！咱先来说说啥是正态总体。
简单来讲，就是一堆数据形成的分布，长得像个“钟形”，两边低中间高，挺对称的那种。
那为啥要对正态总体的参数进行假设检验呢？比如说，咱们想知道某个班级学生的考试成绩是不是符合某种预期，或者工厂生产的零件尺寸是不是在规定的范围内。
这时候，就需要用假设检验的公式来判断啦。
假设检验的公式有好几个，咱先来说说关于均值的。
比如说，有一个总体的均值我们假设是μ0，然后从这个总体里抽了个样本，算出样本均值是x，样本标准差是 s 。
这时候，就可以用 t 检验的公式：t = (x - μ0) / (s / √n) 。
这里的 n 是样本的数量。
我给您讲个我遇到的真事儿吧。
有一次，我去一个工厂，他们生产一种零件，标准的长度应该是10 厘米。
我随机抽了50 个零件来测量，算出来样本均值是 9.8 厘米，样本标准差是 0.5 厘米。
然后我就用这个t 检验的公式来算算，看这批零件的长度是不是跟标准的有显著差别。
再来说说关于方差的假设检验。
比如说，我们想知道一个总体的方差是不是等于某个值σ0² ，这时候就要用到卡方检验的公式啦。
假设检验可不是随便乱用的哦，得先搞清楚一些条件。
比如说，样本是不是独立的呀，是不是来自正态总体呀等等。
而且，在实际应用中，可不能光套公式，得理解背后的原理。
就像刚才说的工厂零件的例子，如果不理解为啥要这么做，就算算出结果来，也不知道到底意味着啥。
总之，正态总体参数假设检验公式是个很有用的工具，但要用好它，得下点功夫，多练习，多琢磨。
希望您在学习和使用这些公式的时候，能顺顺利利的，别被它们给难住啦！。
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。
而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。
单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。
在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。
下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。
1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。
假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。
我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。
如果总体标准差已知，可以使用Z检验。
计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
如果总体标准差未知，可以使用T检验。
计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。
卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。
假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。
总体参数的假设检验
多元统计分析——假设检验⏹如果一个人说他从来没有骂过人。
他能够证明吗？⏹要证明他没有骂过人，他必须出示他从小到大每一时刻的录音录像，所有书写的东西等等，还要证明这些物证是完全的、真实的、没有间断的。
这简直是不可能的。
⏹即使他找到一些证人，比如他的同学、家人和同事，那也只能够证明在那些证人在场的某些片刻，他没有被听到骂人。
⏹反过来，如果要证明这个人骂过人很容易，只要有一次被抓住就足够了。
⏹看来，企图肯定什么事物很难，而否定却要相对容易得多。
这就是假设检验背后的哲学。
⏹科学总往往是在否定中发展⏹在假设检验中，一般要设立一个原假设（上面的“从来没骂过人”就是一个例子）；⏹而设立该假设的动机主要是企图利用人们掌握的反映现实世界的数据来找出假设与现实之间的矛盾，从而否定这个假设。
⏹在多数统计教科书中(除理论探讨外)假设检验都是以否定原假设为目标。
⏹如否定不了，说明证据不足，无法否定原假设。
但不能说明原假设正确。
⏹就像一两次没有听过他骂人还远不能证明他从来没有骂过人。
假设检验的过程和逻辑⏹先要提出个原假设，比如某正态总体的均值等于5(m=5)。
这种原假设也称为零假设(null hypothesis)，记为H 0。
⏹与此同时必须提出备选假设(或称为备择假设，alternative hypothesis)，比如总体均值大于5（m>5）。
备选假设记为H 1或H a 。
形式上，这个关于总体均值的H 0相对于H 1的检验记为01:5:5H H μμ=⇔>⏹备选假设应该按照实际世界所代表的方向来确定，即它通常是被认为可能比零假设更符合数据所代表的现实。
⏹比如上面的H1为m>5；这意味着，至少样本均值应该大于5；⏹至于是否显著，依检验结果而定。
⏹检验结果显著(significant)意味着有理由拒绝零假设。
因此，假设检验也被称为显著性检验(significant test)。
⏹有了两个假设，就要根据数据来对它们进行判断。
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§6.1 假设检验的过程和逻辑
有了两个假设，就要根据数据来对它 们进行判断。
数据的代表是作为其函数的统计量； 它在检验中被称为检验统计量（test statistic）。
§6.1 假设检验的过程和逻辑
但小概率并不能说明不会发生，仅 仅发生的概率很小罢了。拒绝正确 零假设的错误常被称为第一类错误 （type I error）。
在备选假设正确时反而说零假设正 确的错误，称为第二类错误（type II error）。在本书的假设检验问 题中，由于备选假设不是一个点， 所以无法算出犯第二类错误的概率 数字媒体技术系 。
上，这个关于总体均值的H0相对于H1
的H检验0 :记为 5
H : 5 1
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§6.1 假设检验的过程和逻辑
备选假设应该按照实际世界所代表的 方向来确定，即它通常是被认为可能 比零假设更符合数据所代表的现实。
比如上面的H1为m>5；这意味着，至少 样本均值应该大于5；
至于是否显著，依检验结果而定。
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反过来，如果要证明这个人骂过人很 容易，只要有一次被抓住就足够了。
看来，企图肯定什么事物很难，而否 定却要相对容易得多。这就是假设检 验背后的哲学。
科学总往往是在否定中发展
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在假设检验中，一般要设立一个原假 设（上面的“从来没骂过人”就是一 个例子）；
而设立该假设的动机主要是企图利用 人们掌握的反映现实世界的数据来找 出假设与现实之间的矛盾，从而否定 这个假设。
根据零假设（不是备选假设！），可
得到该检验统计量的分布；再看这个 统计量的数据实现值（realization） 属不属于小概率事件。
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§6.1 假设检验的过程和逻辑
也就是说把数据代入检验统计量, 看其值是否落入零假设下的小概 率范畴；
如果的确是小概率事件，那么就 有可能拒绝零假设，或者说“该 检验显著，”
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John Morrell有限公司
研究问题：消费总体中是否有50%以上的人偏爱 Morrell生产的炖牛肉这种方便食品。
令p表示偏爱Morrell产品的总体比率，研究中 的假设检验为
H0 : p 0.50 H0 H : p 0.50
比原率假小设H于等0 于50表%。示如，果偏样爱本Mo数rr据el支l产持品样的本总拒H体绝0
§6.1 假设检验的过程和逻辑
在零假设下，检验统计量取其实现值 及（沿着备选假设的方向）更加极端
值的概率称为p-值（p-value）。 如果得到很小的p-值，就意味着在零
假设下小概率事件发生了。
如果小概率事件发生，是相信零假设， 还是相信数据呢？
当然多半是相信数据，拒绝零假设。
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§6.1 假设检验的过程和逻辑
先要提出个原假设，比如某正态总体
的均值等于5(m=5)。这种原假设也称
为零假设(null hypothesis)，记为H0。
与此同时必须提出备选假设(或称为
备择假设，alternative
hypothesis)，比如总体均值大于5
（m>5）。备选假设记为H1或Ha。形式
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John Morrell有限公司
Morrell市场部对公司各种产品的最新信息 进行管理，并将这些产品与同类品牌进行 对比。
最近对Morrell生产的炖牛肉这种方便食品 进行消费者喜爱程度的调查，与其他两种 竞争产品的类似牛肉制品进行了比较。在 这三种对比检验中选择一些消费者组成样 本并据此说明从口味、外观、香味和整体 偏好上对该产品的喜爱程度。
从而接受备择假设H
，则Morrell会得
出结论：通过三种产品的比较，消费者总体中
超过50%以上的人偏爱该公司的产品。
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在一项与这项调查独立的口味检验的研究中， 来自辛辛那提、密尔沃基和洛杉矶的224名消
费者组成一个样本，其中有150名选择Morrell
生产的炖牛肉方便食品为自己最喜爱的产品。
根据统计假设检验方法，拒绝原假设
研究提供统计证据支持H
。
H0
。Байду номын сангаас
得出结论认为：超过50% 以上的消费者偏爱
Morrell公司的产品。
总体比率的点估计 p 150 / 224 0.67
因此，样本数据支持食品杂志的广告，认为在 三种产品的口味比较中，Morrell生产的炖牛
肉方便食品“在竞争中受欢迎程度为二比一”。
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在多数统计教科书中(除理论探讨 外)假设检验都是以否定原假设为 目标。
如否定不了，说明证据不足，无 法否定原假设。但不能说明原假 设正确。
就像一两次没有听过他骂人还远 不能证明他从来没有骂过人数字。媒体技术系
John Morrell有限公司
John Morrell有限公司1827年创建于英国， 是历史最悠久的连锁运营的肉类制造商。 它的产品包括13个品牌：John Morrell、
E-Z-Cut \Tobin's First Price\ Dinner Bell \Hunter\Kretschamer\Rath\Rodeo\Shenso n\Farmers Hichory Brand\Iowa Quality\ Peyton's 每种品牌都在消费者中拥有很 高的品牌认知度和忠诚度。
统计学
─从数据到结论
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第六章 总体参数的假设检验
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如果一个人说他从来没有骂过人。 他能够证明吗？
要证明他没有骂过人，他必须出示他从小到大 每一时刻的录音录像，所有书写的东西等等， 还要证明这些物证是完全的、真实的、没有间 断的。这简直是不可能的。
即使他找到一些证人，比如他的同学、家人和 同事，那也只能够证明在那些证人在场的某些 片刻，他没有被听到骂人。
否则说“没有足够证据拒绝零假 设”，或者“该检验不显著。”
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§6.1 假设检验的过程和逻辑
注意：在我们所涉及的问题中，零假 设和备选假设在假设检验中并不对称。
因检验统计量的分布是从零假设导出 的，因此，如果发生矛盾，就对零假 设不利了。
不发生矛盾也不能说明零假设没有问 题。
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