多元正态分布均值向量和协差阵检验
均值向量和协方差阵的检验讲解
§2.3.1 形象分析的基本思想
形象（profile）又称轮廓图，是将总体样本的均值绘制到
同一坐标轴里所得的折线图，每一个指标都表示为折线图上的 一点，若总体有 个指标，则其形象即由坐标轴里 个点连接 而成。注意这里的 个指标必须是同类可比指标，否则不能画 到一个坐标里面。
形象分析即是将两（多）总体的形象绘制到同一坐标下， 根据形象（轮廓图）的形状对总体的均值进行比较分析。
由§1.5，将 统计量乘上一个适当的常数后，便成为
F 统计量，也可用F分布表获得零假设的拒绝域。即
关于 、 的合理性及推证见参考文献[3] 在实际工作中，一元检验与多元检验可以联合使
用，多元的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的 检验容易发现各指标之间的关系和差异，能帮助我们找 出存在差异的侧重面，提供了更多的统计分析信息。
§2.1.4 多总体均值的检验
设有r个总体G1，…，Gr，它们的分布分别是一元正态
N（μ1，σ2），…， N（μr，σ2），现从各个总体中抽 取的样本如下：
假设r个总体的方差相等，要检验的假设就是
§2.1.4 多总体均值的检验
这个检验的统计量与下列平方和密切相关
§2.1.4 多总体均值的检验
将上述方法推广到多元，就是设有r个总体G1，…,Gr，从 这r个总体抽取独立样本如下：
其中
Text in here Text in here Text i here Text in here
Text in here
§2.3 形象分析
§2.3.1 形象分析的基本思想 §2.3.2 形象分析的基本理论 §2.3.3 多个总体的形象分析 §2.3.4 需要注意的问题
§2.3 形象分析
上面我们论述了多个遵从多元正态分布的总体的均值比较问 题，在实际研究中，人们常常需要对来自两正态总体的样本做 更细致的分析。比如，比较两总体各个指标之间变动的幅度是 否相等，进一步，如果两总体各指标之间的变量幅度相等，比 较两总体的均值是否相等，更进一步，当通过了两总体均值相 等的假设之后，检验两总体各个指标的取值是否相等。统计学 家将对这类问题的解决方法归结为本节所讲的形象分析 （Profile Analysis）。形象分析广泛地用于实验设计数据的 检验，同时，也可应用于其他领域对多个指标的比较研究。本 节主要讲述形象分析的基本思想，分析过程及用SPSS软件进行 形象分析的方法。
[理学]03_多元正态分布均值向量和协差阵的检验
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(n 1 ) p T1 2 ~ F (p n, p ) (n 1 )p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
检验统计量是单一变量检验情况的推广。
2．针对有共同的未知协差阵的情形 对假设
H0：μ1 μ2
进行检验。
H1：μ1 μ2
对此问题，假设 H 0 成立时，所构造的检验统计量为
F (n m 2) p 1T 2 ~ F ( p, n m p 1) (n m 2) p
为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出 HotellingT2分布的定义。
在单一变量的检验问题中，设 X1, X2, , Xn 来自总体
N ( , 2 ) 的样本，我们要检验假设
H0 : 0 ; H1 : 0
当 2 已知时，用统计量 z (X 0 ) n
假设 H 0 成立时，构造检验统计量为
F (n p)n ZS-1Z ~ F ( p, n p) p
（3.10）
2．针对 n m 的情形
在此，我们不妨假设 n m ，令
Z(i) X(i)
分 布 为 非 中 心 HotellingT2 分 布 ， 记 为
T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。当 μ 0 时，称 T 2 服从（中心） Hotelling T 2 分布。记为T 2 ( p, n) 。
由于这一统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出
第三章 多元正态分布均值向量和协方差的检验
第三章多元正态分布均值向量和协方差的检验
1.基本思想和步骤
2.均值向量的检验
（1）分布：设且X与S相互独立，，则称统计量的分布为非中心分布
当时，称服从（中心）分布，记为
（2）转换为F分布：若且X与S相互独立，令，则
3.一个正态总体均值向量的检验
（1）协差阵已知，检验统计量为
（2）协差阵未知，检验统计量为
4.两个正态总体均值向量的检验
设为来自p维正态总体的容量为n的样本，
为来自p维正态总体的容量为m的样本，且两组样本相互独立
①针对共同已知协差阵，检验统计量为
②针对共同未知协差阵，检验统计量为
（2）协差阵不等
①针对n=m的情形，检验统计量为
②针对n≠m的情形，检验统计量为
5.多个正态总体均值向量的检验
（1）单因素方差分析：设k个正态总体分别为，从k个总体中取个独立样本，，假设H0成立，检验统计量为
其中，组间平方和为，组内平方和为，总平方和为，其中，
（2）若，则为X的广义方差，为样本广义方差
（3）Wilks分布：若且二者相互独立，
为Wilks统计量，分布为Wilks分布，简记为
（4）多元方差分析：检验统计量为
其中，，A为组间离差阵，E为组内离差阵，T为总离差阵，且T=A+E
6.协差阵的检验
（1）一个正态总体协差阵的检验：构造检验统计量
（2）多个协差阵相等的检验：构造检验统计量。
多元统计分析期末复习
第一章、多元正态分布的参数估计二、判断题1.多元分布函数是单调不减函数，而且是右连续的。
（√ ）()x F 2.设是维随机向量，则服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合X p X 都是一元正态分布。
（X ）()p R X ∈'αα3.是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：μ（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B （√ ）4．若P 个随机变量X1，…XP 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X1，…XP 是相互独立的。
（√ ）5．一般情况下，对任何随机向量，协差阵是对称阵，也()'=p X X X ,,1 ∑是正定阵。
（X ）6．多元正态向量的任意线性变换仍然服从多元正态分布。
()'=p X X X ,,1 （√）7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。
（ X ）8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。
（√）9．多元正态总体参数均值的估计量具有无偏性、有效性和一致性。
（√）μX 10．是的无偏估计。
（ X ）S n 1∑11.Wishart 分布是分布在维正态情况下的推广。
（√）2χp 12.若，，且相互独立，则样本离差阵()()∑,~μαp N X n ,,1 =α。
（√）()()()()()∑-'--=∑=,1~1n W X X X X S n p ααα13．若，为奇异矩阵，则。
（ X ）()∑,~n W X p C ()c c n W C CX p '∑',~第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验二、判断题1．设，，，则称统计量的分布为()∑,~μp N X ()∑,~n W S p p n ≥X S X n T 12-'=非中心分布，记为。
（ X ）2HotellingT ()μ,,~22n p T T 2．在协差阵未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵去代∑S n1替。
多元正态分布公式协方差矩阵条件分布
多元正态分布公式协方差矩阵条件分布在统计学中，多元正态分布是一种重要的概率分布，它描述了多个变量之间的关系。
协方差矩阵是用来表达多元正态分布中变量之间的相关性和方差的。
本文将探讨多元正态分布公式中的协方差矩阵条件分布。
1. 多元正态分布公式多元正态分布是指具有两个或两个以上连续型随机变量X1, X2, ..., Xk的联合概率分布服从正态分布的情况。
多元正态分布的概率密度函数如下：f(x) = (2π)^(-k/2)|Σ|^(-1/2)exp[-0.5(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)]其中，x是k维列向量，μ是k维列向量，Σ是k×k矩阵，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵。
2. 协方差矩阵条件分布在多元正态分布中，协方差矩阵Σ描述了随机变量之间的相关性和方差。
当我们对其中一些变量施加一些限制或条件时，我们可以通过计算条件分布来获得在这些条件下的概率分布。
对于多元正态分布X = (X1, X2, ..., Xk)'，设X = (X_1, X_2)'是其中的一组变量，X_2是X的互补。
给定条件X_2 = x_2时，X_1的条件分布可以表示为：X_1|X_2=x_2 ~ N(μ_1 + Σ_12Σ_22^(-1)(x_2 - μ_2), Σ_11 -Σ_12Σ_22^(-1)Σ_21)其中，μ_1是X_1的均值向量，μ_2是X_2的均值向量，Σ_11是X_1的协方差矩阵，Σ_22是X_2的协方差矩阵，Σ_12是X_1和X_2之间的协方差。
3. 实例分析为了更好地理解协方差矩阵条件分布的概念，我们以一个实际案例进行分析。
假设我们有一个样本包含身高和体重两个变量，并且我们认为这两个变量服从多元正态分布。
我们想要根据给定的体重条件，推断身高的条件概率分布。
首先，我们计算身高和体重的均值向量和协方差矩阵。
然后，根据协方差矩阵的公式，计算出给定体重条件下身高的条件分布。
假设体重的均值为μ_w，身高的均值为μ_h，体重的方差为σ_w^2，身高的方差为σ_h^2，体重和身高之间的协方差为σ_hw。
多元统计分析课后练习答案
2 p
1
2 1
1
Σ1
2 2
1
2 p
则 f ( x1,..., xp )
p
1
Σ
2
22 12
2 p
1/2
exp
1 (x
μ) Σ1
2
1
2 1
1
2 2
( x μ)
1
2 p
p
1
12
2
1
p exp
1 (x1 1 )2
2
2 1
1 ( x2 2
3) 2
2 2
...
1 (xp 2
p )2
2 p
p
1
exp
i1 i 2
( xi
计算： 边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据 .xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量 =45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
4、什么是逐步判别分析？ 答：具有筛选变量能力的判别方法称为逐步判别分析法。 逐步判别分析法就是先 从所有因子中挑选一个具有最显著判别能力的因子， 然后再挑选第二个因子， 这 因子是在第一因子的基础上具有最显著判别能力的因子， 即第一个和第二个因子 联合起来有显著判别能力的因子； 接着挑选第三个因子， 这因子是在第一、 第二 因子的基础上具有最显著判别能力的因子。 由于因子之间的相互关系， 当引进了 新的因子之后， 会使原来已引入的因子失去显著判别能力。 因此， 在引入第三个 因子之后就要先检验已经引入的因子是否还具有显著判别能力， 如果有就要剔除 这个不显著的因子；接着再继续引入，直到再没有显著能力的因子可剔除为止， 最后利用已选中的变量建立判别函数。
应用多元统计分析-第四章 均值向量和协差阵检验
假设检验的过程-以妇女身高为例
形式上，上面的关于总体均值的H0 相对 于H1的检验记为:
H 0 : 160cm H1 : 160cm
我们将 H1 : 160cm 的假设称为双 尾检验 ，即前面说述的假设检验。
假设检验的过程-以妇女身高为例
如果备选假设为： H1 : 160cm
第三，确定显著性水平 根据样本所得的数据来拒绝零假设的概 率应小于0.05，当然也可能是0.01， 0.005，0.001等等。 显著性水平就是小概率水平，但小概率 并不能说明不会发生，仅仅是发生的概 率很小罢了。拒绝正确零假设的错误常 被称为第一类错误（type I error）。
假设检验的过程
有第一类错误，就有第二类错误； 那是备选假设正确时反而说零假设正确 的错误，称为第二类错误（type II error）。 在一般的假设检验问题中，由于备选假 设往往不是一个点，所以无法算出犯第 二类错误的概率。
假设检验的过程
第四，根据数据计算检验统计量的实现 值（t-值）和根据这个实现值计算p-值； 这一步一般都可由计算机软件来完成。 第五，进行判断：如果p-值小于或等于a， 就拒绝零假设，这时犯错误的概率最多 为 ；如果p-值大于 ，就不拒绝零假 设，因为证据不足。
这就是双尾概率，p值为0.045,即p=4.5%
假设检验的过程-以妇女身高为例
首先要提出一个原假设，如妇女身高的 均值等于160cm（ 160cm ）。这种原假 设也称为零假设（null hypothesis），记 为H0。 与此同时必须提出对立假设，如妇女身 高均值不等于160cm（ 160cm ）。对立 假设又称为备选假设或备择假设 （alternative hypothesis）记为H1。
多元统计分析陈钰芬课后答案
多元统计分析陈钰芬课后答案第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
第2章多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1。
设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v,有 ，则称X 与Y 相互独立。
2。
多元分析处理的数据一般都属于 数据。
3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。
4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为pR 中某个随机向量的密度函数的主要条件是和 。
5．若p 个随机变量1X ，2X ， ,p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X , ,p X 是相互独立的。
6。
多元正态分布的任何边缘分布为 。
7。
若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵,d 为s 维常数向量，则~d AX + 。
8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 . 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。
10。
多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。
11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。
12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵,则~X ，X 和S 。
13。
若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα .14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =,且相互独立,则~21k S S S S +++= 。
二、判断题1。
多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。
2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是:它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布.3。
μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1)E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB)=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
2020/12/8
10
假设其中真有99个白球，摸 出红球的概率只有 1/100， 这是小概率事件。
➢小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能 不使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为 这个盒子应该不是装使用的推理方法，称为“带概率 性质的反证法”，或“概率反证法”。
假设0 。
n p (n 1) p
Y
T2
F
，n则(fX1接受 1μ备00择), ~f假2 N设p，(40否, 则)接受原
x
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28
例题：
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29
样本离差 阵
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30
三、两个正态总体均值向量的检验
（一）当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的 检验
设X(a) ( X a1, X a2 , , X ap )，a 1, 2, , n ，为来自p 维 正态总体 N p (μ1, Σ) 的容量为n的样本；
第三章 多元正态分布均值向 量和协差阵的检验
2020/12/8
1
第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验
第一节 均值向量的检验 第二节 协差阵的检验
2020/12/8
2
补充：
让我们先看一个例子
到底什么是假设检验？
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3
罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间。
生产流水线上罐装可乐不 断地封装，然后装箱外运。 怎么知道这批罐装可乐的 容量是否合格呢？
➢H0： 0 (0 355)
称H0为原假设（或零假设） ➢它的对立假设是：
生产正常
H1： 0
生产不正常
称H1为备选假设（或对立假设）。
2020/12/8
多元统计分析课后练习答案
第1章 多元正态分布1、在数据处理时,为什么通常要进行标准化处理数据的标准化是将数据按比例缩放,使之落入一个小的特定区间;在某些比较和评价的指标处理中经常会用到,去除数据的单位限制,将其转化为无量纲的纯数值,便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权;其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化;2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量,是一个通常采用的距离定义,它是在m 维空间中两个点之间的真实距离;在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离;缺点：就大部分统计问题而言,欧氏距离是不能令人满意的;每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的;当坐标表示测量值时,它们往往带有大小不等的随机波动,在这种情况下,合理的方法是对坐标加权,使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数,这就产生了各种距离;当各个分量为不同性质的量时,“距离”的大小与指标的单位有关;它将样品的不同属性之间的差别等同看待,这一点有时不能满足实际要求;没有考虑到总体变异对距离远近的影响;马氏距离表示数据的协方差距离;为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离;优点：它不受量纲的影响,两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关;由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同;马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰;缺点：夸大了变化微小的变量的作用;受协方差矩阵不稳定的影响,马氏距离并不总是能顺利计算出;3、当变量X1和X2方向上的变差相等,且与互相独立时,采用欧氏距离与统计距离是否一致统计距离区别于欧式距离,此距离要依赖样本的方差和协方差,能够体现各变量在变差大小上的不同,以及优势存在的相关性,还要求距离与各变量所用的单位无关;如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离;4、如果正态随机向量12(,,)p X X X X '=的协方差阵为对角阵,证明X 的分量是相互独立的随机变量;解： 因为12(,,)p X X X X '=的密度函数为 又由于21222p σσσ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Σ 则1(,...,)p f x x则其分量是相互独立;5.1y 和2y 是相互独立的随机变量,且1y ～）1,0（N ,2y ～）4,3（N ;（a ）求21y 的分布;（b ）如果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2/)3(21y y y ,写出y y '关于1y 与2y 的表达式,并写出y y '的分布; （c ）如果⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21y y y 且y ～∑），（μN ,写出∑-'1y y 关于1y 与2y 的表达式,并写出∑-'1y y 的分布;解：a 由于1y ～）1,0（N ,所以1y ～）1（2χ; b 由于1y ～）1,0（N ,2y ～）4,3（N ；所以232-y ～）1,0（N ；故2221)23(-+='y y y y ,且y y '～）2（2χ第2章 均值向量和协方差阵的检验1、略2、试谈Wilks 统计量在多元方差分析中的重要意义;3、题目此略多元均值检验,从题意知道,容量为9的样本 ,总体协方差未知假设H0：0μμ= , H1：0μμ≠ n=9 p=5检验统计量/n-1)()(0102μμ-'-=-X S X n T 服从P,n-1的2T 分布 统计量2T 实际上是样本均值与已知总体均值之间的马氏距离再乘以nn-1,这个值越大,相等的可能性越小,备择假设成立时,2T 有变大的趋势,所以拒绝域选择2T 值较大的右侧部分,也可以转变为F 统计量零假设的拒绝区域 {n-p/n-1p}2T >,()p n p F α-1/102T >F5,45μ0= 2972 ’样本均值 ’样本均值-μ0’=协方差矩阵降维——因子分析——抽取Inter-Item Covariance Matrix人均GDP元三产比重%人均消费元人口增长%文盲半文盲%人均GDP元三产比重%人均消费元人口增长%文盲半文盲%协方差的逆矩阵计算：2T=9s^-1 ’F统计量=> 拒绝零假设,边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与全国平均水平有显着差异;4、略第3章聚类分析1.、聚类分析的基本思想和功能是什么聚类分析的基本思想是研究的样品或指标之间存着程度不同的相似性,于是根据一批样品的多个观测指标,具体找出一些能够度量样品或指标之间的相似程度的统计量,以这些统计量作为划分类型的依据,把一些相似程度较大的样品聚合为一类,把另外一些彼此之间相似程度较大的样品又聚合为另外一类,直到把所有的样品聚合完毕,形成一个有小到大的分类系统,最后再把整个分类系统画成一张分群图,用它把所有样品间的亲疏关系表示出来;功能是把相似的研究对象归类;2、试述系统聚类法的原理和具体步骤;系统聚类是将每个样品分成若干类的方法,其基本思想是先将各个样品各看成一类,然后规定类与类之间的距离,选择距离最小的一对合并成新的一类,计算新类与其他类之间的距离,再将距离最近的两类合并,这样每次减少一类,直至所有的样品合为一类为止; 具体步骤：1、对数据进行变换处理；不是必须的,当数量级相差很大或指标变量具有不同单位时是必要的2、构造n个类,每个类只包含一个样本；3、计算n个样本两两间的距离ijd；4、合并距离最近的两类为一新类；5、计算新类与当前各类的距离,若类的个数等于1,转到6；否则回4；6、画聚类图；7、决定类的个数,从而得出分类结果;3、试述K-均值聚类的方法原理;K-均值法是一种非谱系聚类法,把每个样品聚集到其最近形心均值类中,它是把样品聚集成K个类的集合,类的个数k可以预先给定或者在聚类过程中确定,该方法应用于比系统聚类法大得多的数据组;步骤是把样品分为K个初始类,进行修改,逐个分派样品到期最近均值的类中通常采用标准化数据或非标准化数据计算欧氏距离重新计算接受新样品的类和失去样品的类的形心;重复这一步直到各类无元素进出;4、试述模糊聚类的思想方法;模糊聚类分析是根据客观事物间的特征、亲疏程度、相似性,通过建立模糊相似关系对客观事物进行聚类的分析方法,实质是根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵,在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系;基本思想是要把需要识别的事物与模板进行模糊比较,从而得到所属的类别;简单地说,模糊聚类事先不知道具体的分类类别,而模糊识别是在已知分类的情况下进行的;模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面;它有两种基本方法:系统聚类法和逐步聚类法;该方法多用于定性变量的分类;5、略第4章判别分析1、应用判别分析应该具备什么样的条件答：判别分析最基本的要求是,分组类型在两组以上,每组案例的规模必须至少在一个以上,解释变量必须是可测量的,才能够计算其平均值和方差;对于判别分析有三个假设：1每一个判别变量不能是其他判别变量的线性组合;有时一个判别变量与另外的判别变量高度相关,或与其的线性组合高度相关,也就是多重共线性;2各组变量的协方差矩阵相等;判别分析最简单和最常用的的形式是采用现行判别函数,他们是判别变量的简单线性组合,在各组协方差矩阵相等的假设条件下,可以使用很简单的公式来计算判别函数和进行显着性检验;3各判别变量之间具有多元正态分布,即每个变量对于所有其他变量的固定值有正态分布,在这种条件下可以精确计算显着性检验值和分组归属的概率;2、试述贝叶斯判别法的思路;答：贝叶斯判别法的思路是先假定对研究的对象已有一定的认识,常用先验概率分布来描述这种认识,然后我们取得一个样本,用样本来修正已有的认识先验概率分布,得到后验概率分布,各种统计推断都通过后验概率分布来进行;将贝叶斯判别方法用于判别分析,就得到贝叶斯判别;3、试述费歇判别法的基本思想;答：费歇判别法的基本思想是将高维数据点投影到低维空间上来,然而利用方差分析的思想选出一个最优的投影方向;因此,严格的说费歇判别分析本身不是一种判别方法,只是利用费歇统计量进行数据预处理的方法,以使更有利于用判别分析方法解决问题;为了有利于判别,我们选择投影方向a应使投影后的k个一元总体能尽量分开同一总体中的样品的投影值尽量靠近;k要做到这一点,只要投影后的k个一元总体均值有显着差异,即可利用方差分析的方法使组间平方和尽可能的大;则选取投影方向a使Δa达极大即可;4、什么是逐步判别分析答：具有筛选变量能力的判别方法称为逐步判别分析法;逐步判别分析法就是先从所有因子中挑选一个具有最显着判别能力的因子,然后再挑选第二个因子,这因子是在第一因子的基础上具有最显着判别能力的因子,即第一个和第二个因子联合起来有显着判别能力的因子；接着挑选第三个因子,这因子是在第一、第二因子的基础上具有最显着判别能力的因子;由于因子之间的相互关系,当引进了新的因子之后,会使原来已引入的因子失去显着判别能力;因此,在引入第三个因子之后就要先检验已经引入的因子是否还具有显着判别能力,如果有就要剔除这个不显着的因子；接着再继续引入,直到再没有显着能力的因子可剔除为止,最后利用已选中的变量建立判别函数;5、简要叙述判别分析的步骤及流程答：1研究问题：选择对象,评估一个多元问题各组的差异,将观测个体归类,确定组与组之间的判别函数;2设计要点：选择解释变量,样本量的考虑,建立分析样本的保留样本;3假定：解释变量的正态性,线性关系,解释变量间不存在多重共线性,协方差阵相等;4估计判别函数：联立估计或逐步估计,判别函数的显着性;5使用分类矩阵评估预测的精度：确定最优临界得分,确定准则来评估判对比率,预测精确的统计显着性;6判别函数的解释：需要多少个函数;评价单个函数主要从判别权重、判别载荷、偏F值几个方面；评价两个以上的判别函数,分为评价判别的函数和评价合并的函数;7判别结果的验证：分开样本或交叉验证,刻画组间的差异;6、略第5章主成分分析1、主成分的基本思想是什么在对某一事物进行实证研究时,为更全面、准确地反映事物的特征及其发展规律,往往考虑与其有关的多个指标,在多元统计中也称为变量;一方避免遗漏重要信息而考虑尽可能多的指标看,另一方面考虑指标的增多,又难以避免信息重叠;希望涉及的变量少,而得到的信息量有较多;主成分的基本思想是研究如何通过原来的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法;研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性,必然存在着支配作用的公共因素;通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究,利用原始变量的线性组合形成几个无关的综合指标主成分来代替原来的指标;通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合,作为新的综合指标;最经典的做法就是用F1选取的第一个线性组合,即第一个综合指标的方差来表达,即VarF1越大,表示F1包含的信息越多;因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的,故称F1为第一主成分,如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息,再考虑选取F2即选第二个线性组合,为了有效地反映原来信息,F1已有的信息就不需要再出现在F2中,用数学语言表达就是要求CovF1,F2=0则称F2为第二主成分,依此类推可以构造出第三、第四······,第P个主成分;2、主成分在应用中的主要作用是什么作用：利用原始变量的线性组合形成几个综合指标主成分,在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的作用,使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾;通过主成分分析,可以从事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分,从而能有效利用大量数据进行定量分析,解释变量之间的内在关系,得到对事物特征及其发展规律的一些深层次的启发,把研究工作引向深入;主成分分析能降低所研究的数据空间的维数,有时可通过因子载荷aij的结论,弄清X变量间的某些关系,多维数据的一种图形表示方法,用主成分分析筛选变量,可以用较少的计算量来选择,获得选择最佳变量子集合的效果;3.由协方差阵出发和由相关阵出发求主成分有什么不同1由协方差阵出发设随即向量X=X1,X2,X3,……Xp’的协方差矩阵为Σ,1≥2≥……≥p为Σ的特征值,γ1,γ2,……γp为矩阵A各特征值对应的标准正交特征向量,则第i个主成分为Yi=γ1iX1+γ2iX2+……+γpiXp,i=1,2,……,p此时VARYi=i,ＣＯＶＹｉ,Ｙｊ＝０,ｉ≠ｊ我们把X1,X2,X3,……Xp的协方差矩阵Σ的非零特征根1≥2≥……≥p＞0向量对应的标准化特征向量γ1,γ2,……γp分别作为系数向量,Y1=γ1’X, Y2=γ2’X,……, Yp=γp’X分别称为随即向量X的第一主成分,第二主成分……第p主成分;Y的分量Y1,Y2,……,Yp依次是X的第一主成分、第二主成分……第p主成分的充分必要条件是：1Y=P’X,即P为p阶正交阵,2Y的分量之间互不相关,即DY=diag1,2,……,p,3Y的p个分量是按方差由大到小排列,即1≥2≥……≥p;2由相关阵出发对原始变量X进行标准化,Z=Σ^1/2^-1X-μ covZ=R原始变量的相关矩阵实际上就是对原始变量标准化后的协方差矩阵,因此,有相关矩阵求主成分的过程与主成分个数的确定准则实际上是与由协方差矩阵出发求主成分的过程与主成分个数的确定准则相一致的;λi,γi 分别表示相关阵R的特征根值与对应的标准正交特征向量,此时,求得的主成分与原始变量的关系式为：Yi=γi’Z=γi’Σ^1/2^-1X-μ在实际研究中,有时单个指标的方差对研究目的起关键作用,为了达到研究目的,此时用协方差矩阵进行主成分分析恰到好处;有些数据涉及到指标的不同度量尺度使指标方差之间不具有可比性,对于这类数据用协方差矩阵进行主成分分析也有不妥;相关系数矩阵计算主成分其优势效应仅体现在相关性大、相关指标数多的一类指标上;避免单个指标方差对主成分分析产生的负面影响,自然会想到把单个指标的方差从协方差矩阵中剥离,而相关系数矩阵恰好能达到此目的;4、略第6章因子分析1、因子分析与主成分分析有什么本质不同答：1因子分析把诸多变量看成由对每一个变量都有作用的一些公共因子和一些仅对某一个变量有作用的特殊因子线性组合而成,因此,我们的目的就是要从数据中探查能对变量起解释作用的公共因子和特殊因子,以及公共因子和特殊因子的线性组合;主成分分析则简单一些,它只是从空间生成的角度寻找能解释诸多变量绝大部分变异的几组彼此不相关的新变量2因子分析中,把变量表示成各因子的线性组合,而主成分分析中,把主成分表示成各变量的线性组合3主成分分析中不需要有一些专门假设,因子分析则需要一些假设,因子分析的假设包括：各个因子之间不相关,特殊因子之间不相关,公共因子和特殊因子之间不相关;4在因子分析中,提取主因子的方法不仅有主成分法,还有极大似然法等,基于这些不同算法得到的结果一般也不同;而主成分分析只能用主成分法提取;5主成分分析中,当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征根唯一时,主成分一般是固定；而因子分析中,因子不是固定的,可以旋转得到不同的因子;6在因子分析中,因子个数需要分析者指定,结果随指定的因子数不同而不同;在主成分分析中,主成分的数量是一定的,一般有几个变量就有几个主成分; 7与主成分分析相比,由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子,在解释方面更加有优势;而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量新的变量几乎带有原来所有变量的信息来进行后续的分析,则可以使用主成分分析;2、因子载荷ij a 的统计定义是什么它在实际问题的分析中的作用是什么答：1因子载荷ij a 的统计定义：是原始变量i X 与公共因子j F 的协方差,i X 与j F ),...,2,1;,...,2,1(m j p i ==都是均值为0,方差为1的变量,因此ij a 同时也是i X 与j F 的相关系数;（2）记),,...,2,1(...222212m j a a a g pjj j j =+++=则2j g 表示的是公共因子j F 对于X 的每一分量),...,2,1(p i X i =所提供的方差的总和,称为公共因子j F 对原始变量X 的方贡献,它是衡量公共因子相对重要性的指标;2j g 越大,表明公共因子j F 对i X 的贡献越大,或者说对X的影响作用就越大;如果因子载荷矩阵对A 的所有的),...,2,1(2m j g j =都计算出来,并按大小排序,就可以依此提炼出最有影响的公共因子;3、略第7章 对应分析1、试述对应分析的思想方法及特点;思想：对应分析又称为相应分析,也称R —Q 分析;是因子分子基础发展起来的一种多元统计分析方法;它主要通过分析定性变量构成的列联表来揭示变量之间的关系;当我们对同一观测数据施加R 和Q 型因子分析,并分别保留两个公共因子,则是对应分析的初步;对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来;它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上,将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来,具有直观性;另外,它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程,可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类,而且能够指示分类的主要参数主因子以及分类的依据,是一种直观、简单、方便的多元统计方法;特点：对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来;它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上,将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来,具有直观性;另外,它还省去了因子选择和因子轴旋转等复杂的数学运算及中间过程,可以从因子载荷图上对样品进行直观的分类,而且能够指示分类的主要参数主因子以及分类的依据,是一种直观、简单、方便的多元统计方法;2、试述对应分析中总惯量的意义;总惯量不仅反映了行剖面集定义的各点与其重心加权距离的总和,同时与2x 统计量仅相差一个常数,而2x 统计量反映了列联表横联与纵联的相关关系,因此总惯量也反映了两个属性变量各状态之间的相关关系;对应分析就是在对总惯量信息损失最小的前提下,简化数据结构以反映两属性变量之间的相关关系;3、略 第8章 典型相关分析1、试述典型相关分析的统计思想及该方法在研究实际问题中的作用;答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法;用于揭示两组变 量之间的内在联系;典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系;将两z |Uz |V 组变量相 关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系;基本思想：1在每组变量中找出变量的线性组合,使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数;即：X X 1, X 2, , , X p 、XX 1, X 2, , , X q 是两组相互关联的随机变量,分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量 U i 、Vi,使是原变量的线性组合;U i a 1X 1 a 2 X 2..... a P X P ≡ a ‘XV i b 1Y 1 b 2 Y 2 .... b q Y q ≡ b‘Y 在 D aX D bX 1 的条件下,使得 aX , bX 达到最大;2选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合,使其配对,并选取相关系数最大的一对;（3）如此继续下去,直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此;其作用为：进行两组变量之间的相关性分析,用典型相关系数衡量两组变量之间的相关性;2、简述典型相关分析中冗余分析的内容及作用;答：典型型冗余分析的作用即分析每组变量提取出的典型变量所能解释的该组样本总方差的比 例,从而定量测度典型变量所包含的原始信息量;第一组变量样本的总方差为 t r R 11 p ,第二组变量样本的总方差为 t r R 22 q ;*A ˆz和*B ˆz 是样本典型相关系数矩阵,典型系数向量是矩阵的行向量, Z z z **A ˆU ˆ=,Z z z **B ˆV ˆ=前 r 对典型变量对样本总方差的贡献为则第一组样本方差由前 r 个典型变量解释的比例为：第二组样本方差由前 r 个典型变量解释的比例为：3、典型变量的解释有什么具体方法实际意义是什么答：主要使用三种方法：1典型权重标准相关系数：传统的解释典型函数的方法包括观察每个原始变量在它的典型变量中的典型权重,即标准化相关系数StandardizedCanonical Coefficients 的符号和大小;有较大的典型权重,则说明原始变量对它的典型变量的贡献较大,反之则相反;原始变量的典型权重有相反的符号说明变量之间存在一种反面关系,反之则有正面关系;但是这种解释遭到了很多批评;这些问题说明在解释典型相关的时候应慎用典型权重;（2）典型载荷结构系数：由于典型载荷逐步成为解释典型相关分析结果的基础;典型载荷分析,即典型结构分析Canonical Structure Analyse,是原始变量自变量或者因变量与它的典型变量间的简单线性相关系数;典型载荷反映原始变量与典型变量的共同方差,它的解释类似于因子载荷,就是每个原始变量对典型函数的相对贡献;（3）典型交叉载荷交叉结构系数：它的提出时作为典型载荷的替代,也属于典型结构分析;计算典型交叉载荷包括每个原始因变量与自变量典型变量直接相关,反之亦然;交叉载荷提供了一个更直接地测量因变量组与自变量组之间的关系的指标;实际意义：即使典型相关系数在统计上是显着的,典型根和冗余系数大小也是可接受的,研究者仍需对结果做大量的解释;这些解释包括研究典型函数中原始变量的相对重要性;4.、略。
均值向量和协方差估计、均值分析和协差阵检验
武夷学院实验报告课程名称：多元统计分析项目名称：均值向量和协方差估计、均值分析和协差阵检验姓名：专业：信息与计算科学班级：1班学号：同组成员：无协差阵。
下面通过一个实例来说明多元正态分布参数估计的SPSS实现过程。
这里以海峡西岸经济区的20个城市为研究对象，选取海峡西岸经济区的主要经济指标进行均值向量和协差阵的估计。
主要经济指标包括：地区生产总值、固定资产投资额、社会消费品零售总额、货物进出口总额、实际利用外商直接投资，规模以上工业总产值以及公共财政预算收入等7个指标。
表2.2数据来源于2013年《中国城市统计年鉴》和2013年《中国区域经济统计年鉴》。
将表2.2数据输入到SPSS的数据编辑窗口中得到如下图（一）计算样本均值向量的步骤（1）点击分析→描述统计→描述,进入描述性主对话框，将待估计的7个变量选入变量列表框中。
（2）点击主对话框选项。
选择Mean选项，即可计算样本均值向量。
（3）点击继续返回主对话框。
点击确定按钮，执行操作。
（二）输出结果解释下表是描述统计（Descriptive Statistics）的内容，该表给出了样本均值向量。
由上表可得地区生产总值的样本均值向量估计为16830963.10万元；固定资产投资额的样本均值向量为10152282.35万元；社会消费品零售的样本均值向量为6857594.05万元；货物进出口总额的样本均值向量估计为1059096.20万美元；实际利用外商直接投资的样本均值向量估计为46204.65万美元；规模以上工业总产值的样本均值向量为24937870.25万元；公共财政预算收入135.3055亿元。
2、协方差的估计（1）样本协方差阵的步骤（1）点击分析→相关→双变量,进入双变量相关主对话框。
将7个变量选入右边的变量列表框中。
（2）点击主对话框选项。
选择叉积偏差和协方差选项，即可计算样本离差阵和样本协差阵。
（3）点击继续,返回主对话框。
点击确定按钮，执行操作。
第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验一、填空题1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。
2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则~12T np p n +- 。
3.若()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为 分布，记为 。
4．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。
二、判断题1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W Sp ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T 。
2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵S n 1去代替∑。
3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。
4．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT 分布。
5．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2χ分布。
6．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量服从多元正态分布。
7．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等, 在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT分布。
三、简答题1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。
2．试述多元统计分析中2HotellingT分布和一元统计中t分布的关系。
第四章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验
1.当
已知时，检验用的统计量为
2、当
未知时，检验用的统计量为
（二）两个正态总体均值的比较检验 设从总体 中抽出一个样本 中抽出一个样本 ，从总体
，要进行的假设检验为
1.两个正态分布总体方差
和
已知时，检验用的统计量
2.两个正态分布总体方差
和
未知，但
（三）多个正态总体均值的比较检验 设有k个正态总体分别为 本：各总体的样本如下： 从k个总体中各自独立的抽取一个样
经计算得
拒绝原假设
甲和丁存在显著差别
第二节 协方差阵的检验 一、检验
设
要检验
是来自
的样本
是已知的正定矩阵，
检验用的统计量是
对于方阵A =
，将它对角线的所有元素相加所得的和，称为矩阵A的迹，记为trA=
当
及
时
的
分位点表
二、检验
检验用的统计量是
当
不大且
时，
的上
分位点
330
203 150 205 190 200 250 240 270 200 200 270 190
82
65 40 67 38 42 113 80 76 94 60 55 65
45
65 51 54 50 45 40 55 60 33 51 40 48
403
312 477 481 468 351 390 520 507 260 429 390 481
210
280 280 293 210 190 310 200 189 280 190 295 177
100
65 117 114 55 64 110 60 110 88 73 114 103
34
厦门大学《应用多元统计分析》习题第03章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
1
4
4
1
2
14
2
1
2
5
2
3
2
15
4
1
1
6
4
0
2
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2
2
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3
2
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17
3
3
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8
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0
1
18
3
2
2
9
2
1
1
19
3
1
1
10
3
1
2
20
4
0
2
假定三组都服从多元正态分布，检验这三组的总体均值是否有显著性差异
（α = 0.05 ）。
3.7 某医生观察了 16 名正常人的 24 小时动态心电图，分析出早晨 3 个小
2 LF HF 4.29 3.03 4.69 4.77 5.28 4.41 5.05 3.28 4.94 3.56 4.54 3.28 4.26 3.11 5.56 5.36
3 LF HF 4.77 3.57 4.58 3.04 5.37 4.79 4.65 2.86 4.68 3.97 4.61 4.40 5.27 3.88 5.55 5.00
3 LF HF 4.16 2.70 3.30 3.10 4.64 3.87 5.54 4.89 5.21 3.88 5.26 3.84 5.43 4.50 4.57 2.32
3.8 根据习题 3.5 中的数据，检验男性婴幼儿与女性婴幼儿的协差阵是否
相等（α = 0.05 ）。
3.9 根 据 习 题 3.6 中 的 数 据 ， 检 验 三 位 候 选 人 的 协 差 阵 是 否 相 等
多元正态分布均值向量和协差阵的检验
2
在一元统计中，若 t ~ t (n 1) 分布， 2 则 t ~ F (1, n 1) 分布，即把t分布转化为F分 布来处理，在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1：设X ~ N p (0, ), S ~ W p (n, )，且X与S相互独立， 令 T 2 nX T S 1 X n p 1 2 则 T ~ F ( p, n p 1) np
其中，T 2 (n 1)[ n ( X 0 )T S 1 n ( X 0 )] 再由样本值计算出 F，比较 若F F，则拒绝H 0，否则，接受H 0。
给定检验水平，查F分布表，使PF F ＝，确定出临界值 F。
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量的检 验可以联合使用，多元的检验具有概括和全面的特点， 而一元的检验容易发现各变量之间的关系和差异，能给 人们提供更多的统计分析的信息。
这个公式在后面检验中经常用到。
2、一个正态总体均值向量的假设检验
设X ,X ,，X 来自于p维正态总体N p ( , )，容量为n的样本，n p，且 （1） （2） （n） 1 n X＝ X i , n i 1 S ( X i X )( X i X )T
i 1 n
而 故
Y n ( X 0 ) ~ N p (0, )
T02 n( X 0 )T 1( X 0 ) ~ 2 ( p)
(2)协差阵未知时，均值向量的检 验 H 0：＝（ H1： 1 0 0为已知向量）， 假设H 0成立，检验统计量为 F (n 1) p 1 2 T ~ F ( p, n p ) (n 1) p
• 例1：对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半 臂围进行测量，得样本数据如表所示：
第2章多元正态分布均值向量和协差阵的检验m资料
N p , 的样本，且 X
1n n 1
X ，
n
S
X X
X X 。
1
8
1.协差阵∑已知时均值向量的检验
H0： 0 0为已知向量
H1： 0
假设H0成立，检验统计量为：
T02 n X 0 1 X 0 ~ 2p
给定检验水平 ，查 2分布表使 P T02 ，
T
2
F，则否定H
0，否则H
相容。
0
12
2.协差阵∑未知时均值向量的检验
当 未知时，要用样本协差 阵 1 S去代替 ， n -1
因为n -1S 1是 1的无偏估计量。
n
S
X X
X X ~ Wp n 1,
i 1
n X 0 ~ N p 0,
则 T 2 n 1 n X 0 S 1 nX 0 ~ T 2 p, n 1
可确定出临界值 ，再用样本值计算出 T02，若
T02
，则否定
H
，否则
0
H
相容。
0
9
1.协差阵∑已知时均值向量的检验
一元统计中，当 2已知时，作均值检验所取
的统计量为：
U X 0 ~ N 0，1
n
显然
U 2
n
X 0 2
2
n
X
0
2
1
X
0
与前面给出的检验统计量T02形式相同。
10
一、霍特林（Hotelling）T2分布 这一统计量的分布是由Harold Hotelling
首先提出来的，因此称为HotellingT2分 布。 我国的统计学家许宝騄先生1938年用不同 方法也导出了T2分布的密度函数，但表达 式很复杂。
多元正态总体均值向量与协差阵的假设检验
,Yp )
下述假设检验统计量的选取和前面的思路是一样的，只给出统计量 和分布。
4 协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验
设 X ( ) ( X1, , X p ) N p (1, ) ＝１， ，ｎ Y( ) (Y1, ,Y p ) N p (1, ) ＝１， ，ｍ
似表示。
⑶ 多个正态总体均值向量检验
设有k个p元正态总体 N p (1, ), ,?N p (k , ?),从每个总体
抽取独立样品个数分别为n1, , nk , n1 ?nk n,?每个样品观 测p个指标得观测数据：
X 第一个总体： X
(1) 11
(1) 21
X
(1) n11
X (1) 12
X (1) 22
检验统计量：
F n(n p) Z S 1Z F ( p, n p) p
5 多个正态总体均值向量的检验
复习一元方差分析 Wilks 分布 多个正态总体均值向量的检验
5 多个正态总体均值向量的检验
⑴ 复习一元方差分析（单因素方差分析） 多元方差分析是一元方差分析的推广 ， 先复习一元方差分析。
3 协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验
设 X ( ) ( X1, , X p ) N p (1, ) ＝１， ，ｎ
Y( ) (Y1, ,Y p ) N p (1, ) ＝１， ，ｍ
且两组样本相互独立，X
（1）有共同协差阵时
1 n
n i 1
X (i)
,Y
1 ｍ
ｍ
Y( i )
H0： =0 H1: 0
检验统计量：
(n-1)-p 1T 2 (n 1) p
F
(
p,
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当 2 未知时，用
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
（3.2）
作为 2 的估计量，用统计量：
t (X 0) n
S
（3.3）
来做检验。当假设成立时，统计量 t 服从自由度为 n 1的 t 分布，
从而否定域为| t | t /2 (n 1) ，t /2 (n 1) 为自由度为 n 1的 t 分布 上的 / 2 分位点。
T02 n( X μ0 )Σ 1( X μ0 ) n ( X μ0 )Σ 1 n ( X μ0 )Y Σ 1Y
其中，Y n(X μ0) ~ Np (0, ) ，因此，
T02 n( X 0 )Σ 1( X μ0 ) ~ 2 ( p) 。
这里需要解释的是，当 Σ 未知时，自然想到要用样本协差阵 1 S 取代 n 1
这里我们应该注意到，（3.3）式可以表示为
t2
n(X )2
S2
n( X
)(S 2 )1( X
)
（3.4）
对于多元变量而言，可以将 t 分布推广为下面将要介绍的
Hotelling T 2 分布。
定义 3.1 设 X ~ N p ( μ , Σ ) ，S ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 S 相互独立， n p ，则称统计量 T 2 nX S-1X 的
设 X(a) ( X a1, X a2 , , X ap ) ，a 1,2,, n ，为来自 p 维
正 态 总 体 N p (μ1, Σ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ；
国著名统计学家许宝禄先生在 1938 年用不同方法也
导出T 2 分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。
在 单 一 变 量 统 计 分 析 中 ， 若 统 计 量 t ~ t(n 1) 分 布 ， 则 t 2 ~ F (1, n 1) 分布，即把 t 分布的统计量转化为 F 统计量来
处理，在多元统计分析中T 2 统计量也具有类似的性质。
给定检验水平 ，查 2 分布表使 P T02 2 ，可确定
出临界值
2
，再用样本值计算出
T02
，若
T02
2
，则否定 H 0
，
否则接受 H 0 。
这里要对统计量的选取做一些解释，为什么该统计量服从
2 ( p) 分布。根据二次型分布定理知道，若 X ~ N p (0, Σ ) ， 则 X Σ 1X ~ 2 ( p) 。显然，
本，且
X
1 n
n
X ( )
1
，S
n
( X (a)
a 1
X )( X (a)
X ) 。
（一） 协差阵 Σ 已知时均值向量的检验
H0：μ μ0 （ μ0 为已知向量） H1：μ μ0
假设 H 0 成立，检验统计量为
T02 n( X μ0 )Σ 1( X μ0 ) ~ 2 ( p) （3.6）
替 Σ ，因 (n 1)S1是 Σ1 的无偏估计量，而样本离差阵
n
S (X(a) X)(X(a) X) ~ Wp (n 1, Σ) a 1
n(X μ0 ) ~Np 0( Σ, )
由定义 3.1 知
T 2 (n 1)[ n(X μ0)S 1 n(X μ0)] ~ T (2 p, n p) 再根据 Hotelling T 2 分布的性质，所以
分 布 为 非 中 心 HotellingT2 分 布 ， 记 为
T 2 ~ T 2 ( p, n, μ) 。当 μ 0 时，称 T 2 服从（中心） Hotelling T 2 分布。记为T 2 ( p, n) 。
由于这一统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出
来的，故称为 Hotelling T 2 分布，值得指出的是，我
N ( , 2 ) 的样本，我们要检验假设
H0 : 0 ; H1 : 0
当 2 已知时，用统计量
z (X 0 ) n
（ 3.1）
其中，X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值。当假设成立时，统计量 z
服
从正态分布 z ~ N (0,1) ，从而否定域为| z | z / 2 ， z / 2 为
定理 3.1 若 X ~ N p (0, Σ ) ， S ~ Wp (n, Σ ) 且 X 与 S 相互
独立，令T 2 nX S 1X ，则
n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
np
（3.5）
在我们后面所介绍的检验问题中，经常会用到这一性质。
二、一个正态总体 均
值向量的检验
设 X (1) , X (2) , , X (n) 是 来 自 p 维 正 态 总体 N p ( μ , Σ ) 的 样
第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验
第一节 引言 第二节 均值向量的检验 第三节 协差阵的检验
第一节 引言
在单一变量的统计分析中，已经给出了正
态总体N（ ， 2） 的均值和方差2的各 种检验。对于多变量的正态总体Np（ ， ∑ ） ，各种实际问题同样要求对和∑进行
统计推断。
例如，我们要考察全国各省、自治区和直辖市 的社会经济发展状况，与全国平均水平相比较 有无显著性差异等，就涉及到多元正态总体均 值向量的检验问题等。
其基本思想和步骤均可归纳为：
第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布；
第三，给定检验水平，查统计量的分布表， 确定相应的临界
值，从而得到否定域；
第四，根据样本观测值计算出统计量的值， 看是否落入否定
域中，以便对待判假设做出决策（拒 绝或接受）。
第二节 均值向量的检验
一 单一变量检验的回顾及HotellingT2分布 二 一个正态总体均值向量的检验 三 两个正态总体均值向量的检验 四 多个正态总体均值向量的检验
顾及Hotelling
T2分布
为了对多元正态总体均值向量作检验，首 在先单需一要变给量 的出检H验ot问el题lin中gT，2设分X布1,的X 2定, 义, X。n 来 自 总 体
(n 1 ) p T1 2 ~ F (p n, p ) (n 1 )p
在处理实际问题时，单一变量的检验和多变量检验可以联合使用，多元 的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验容易发现各变量之间 的关系和差异，能给人们提供更多的统计分析信息。
三、两个正态总体均值
向量的检验
（一）当协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验