《高等代数》学习笔记

《高等代数(上)》：学习笔记

这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正

差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。

第一章 行列式

§1.1 定义

D =|

2314|=2×4−3×1=5 A =[2

31

4]≡(23

14

) 这是行列式（或写为|D|）

这是矩阵，注意区别

{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1

a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=

b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3

这是三元线性方程组

=|11

a 12a 13

a 22a 23a 3233

|

=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32

−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31

§1.2 逆序数

τ

§1.3 n 阶行列式的代数和

D =|

a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n

⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=(j 1,j 2,⋯,j n )j 1a 1j 1a 2j 2⋯a nj n

§1.4 行列式性质

1、行列式转置值不变： D T =D

2、k 可以乘上某行(列)： kD row i

3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)

4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D

5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =0

6、某行乘以k 加到另一行：值不变

D k×row i +row k =D

右下斜线为正 左下斜线为负

代数和

n 阶排列，有n!个

逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号

阶排列

§1.5 代数余子式

=ij

|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)

§1.6 范德蒙行列式

|D|=

|

1

11

⋯

1a 1a 2a 3⋯a n a 1

2a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1

n−1a 2n−1a 3

n−1|

=∏(a i −1≤j

a j )

第二章 线性方程组

§2.1 克莱姆法则

D 1=|b 1

a 12a 13

b 2

a 22a 23

b 3a 32a 33

| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D

(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=

D 1D

,x 2=

D 2D

,x 3=

D 3D

.(D ≠0)

§2.2 消元法

初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组D ≠0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。

§2.3 数域 P ：包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P 。如实数R ，有理数Q ，复数C

§2.4 n 维向量

α=(a 1,a 2,a 3,⋯,a n ) (ε1,ε2,ε3,ε4,)=

1

000010000100

1

数量乘积：k α 零向量：0

负向量：−α

行向量与列向量：αrow(column)

余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n -1阶行列式

(同等于逆序数τ)

表示所有可能的差 i>j

如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)

只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则

系数行列式 (b 在1列)

该解法适用于n 阶

n 维基本向量组

n 阶行列式

§2.5 线性相关

=k

线性相关充要

↔ k 有解充要

↔

可线性表出充要

↔ 系数矩阵r

=增广矩阵

r

向量组等价：(α1,α

2,⋯,αn )互相线性表出

↔ (β1,β2,⋯,βn )

k 1α1+k 2α2+⋯+k s αs =0

极大线性无关组：每个向量αi 都不能被前面某些向量线性表出

例(α

§2.6 秩

rank=极大线性无关组的向量个数

行秩＝列秩＝行列式秩(D 最高阶子式≠0)

§2.7 求全部解和基础解系的步骤

第一步：求梯阵 增广矩阵A 初等变换

→ 梯阵 第二步：求一般解 求x 1,x 2,⋯,x r 的一般解

第三步：求特解γ0

设自由x =0，求γ0

第四步：求齐次的一般解 使常数b =0，求一般解x 1,x 2,⋯,x r 第五步：求基础解系 将εi 代入自由x ，求基础解系η1,η2,⋯,ηn−r

第六步：答：得全部解

=+k

由向量组

rank=n ，有唯一解 rank

3≠k 1α1+k 2α2

n -r 个

详见书P154-155页 例6

注：如果是求矩阵化和求特征值，

只需求基础解系η i ，又称特征向量

εi 即n 维基本向量组

常数项为0即x r+1,x r+2,⋯,x n−r