2018届高三数学每天一练半小时(45)简单的线性规划问题(有答案)

训练目标

(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用．

训练题型

(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题．

解题策略 (1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几

何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注

意目标函数的变形应用.

1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(－1,1)

D ．(2，－3)

2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0，

则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0

3．设正数x ，y 满足－1

D ．(2，＋∞)

4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥2，x ＋y ≤4，

－2x ＋y ＋c ≥0，

若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．15

5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，

x ＋y ≥3，

若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k 等

于( ) A ．7 B ．5或13 C ．5或29

4

D ．13

6．(2016·贵州七校联考)一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( ) A ．16 B ．18 C ．20

D ．36

7．若不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，

x ≥m

表示的平面区域是面积为16

9

的三角形，则m 的值为( )

A.1

2 B.2

3 C ．－23

D.56

8．已知x ，y 满足约束条件⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －y －1≤0，

2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小

值25时，a 2＋b 2

的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2

二、填空题

9．已知实数x ，y 满足⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －2y ＋1≥0，

|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．

10．(2016·辽宁五校联考)已知A ，B 是平面区域⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －4≤0，x ＋y －2≥0，

x －2y ＋4≥0内的两个动点，向量n ＝(3，－2)，

则AB →

·n 的最大值是________．

11．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 12．已知函数f (x )＝x 2

－2x ，点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则M ∩N 所构成平面区域的面积为______.

答案精析

1．B [由x ＋y －1＝0，将点(1,2)代入得1＋2－1>0，故所选的点代入直线方程大于零在同侧，将点(－1,3)代入得，－1＋3－1>0成立．]

2．B [在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0

的区域，如图阴影部分所示，

由图可知，当z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，z 最小，z min ＝2，当z ＝2x ＋y 过点B (2,0)时，z 最大，z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为4和2.故选B.]

3．B [作出x ，y 所满足的条件所对应的可行域，如图所示，当目标函数z ＝x －2y 经过点(2,0)时，z ＝x －2y 取得最大值(不能取到)2，所以z ∈(－∞，2)，故选B.]

4．A [画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，

y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，所以c ＝5，当x ＝

4＋c 3＝3，y ＝8－c

3

＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10.]

5．C [作出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，

x ＋y ≥3

表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋ky (k >0)过点A (12，5

2

)