横截面上切应力分布规律

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横截面上切应力分布规律

F Fsmax 2
F
max

3 2
Fs A

32 2 bh
3 F 4 bh
h
Mmax

FL 4
FL
b
max

M max WZ

4 1 bh
2
6
max max
d z
t
b
工字形截面梁由腹板和翼缘组成（中间的矩形部分称为腹板；上下两矩形称为翼缘）。翼缘和腹板上均存在着竖向切应力，而翼缘上还存在着与翼缘长边平行的水平切应力。经理论分析和计算表明：横截面上剪力的（95～97）％由腹板分担，而翼缘仅承担了剪力的（3～5）％，并且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际工程计算和设计的需要，仅分析腹板上的切应力。
Iz1 Iz a2A
例1 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b
、c各点的正应力。
A
F
h6
a
B
z
C
b
h
l2
l2
h2
FL
c
b
a

M B ya IZ

1 FL h
2 bh
3
3
1.65MP（a拉）
b 0
简易的矩形竹结构桥
钢管混凝土拱桥中的混凝土小横梁
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
1.挑梁属于悬臂结构。 2.挑梁工作环境：常常处于室外，面对雨水、二氧化碳等的直接侵蚀，荷载存在不确定性。 3. 破坏形式：出现裂缝后极有可能进一步扩大，严重的将危及建筑物的安全。
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题

工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件

三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：
τ

FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力τ ，根据切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即
τ

FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。

梁横截面上的切应力

力学
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中间腹板组成（图a）。腹板是狭长矩形，所以腹板上的切应力可按矩形截面的切应力计算公式进行计算，最大切应力仍然发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀分布。在腹板与翼缘交接处，由于翼缘面积对中性轴的静矩仍然有一定值，所以切应力较大。腹板上的切应力接近于均匀分布，如图 b所示。翼缘上的切应力的数值比腹板上切应力的数值小许多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力

梁横截面上的应力

2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。由图可知，梁的最大正弯矩发生在截面C上，MC=2.5kNm; 最大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

1.5 10 6

MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax

WP
D23 1 4 16

6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面）边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

矩形弯曲应力计算公式

材料力学笔记之——弯曲切应力、梁的强度条件横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。

下面，讨论几种常见截面梁的弯曲切应力。

矩形截面从发生横力弯曲的梁上截取长度为dx的微段，该段梁上没有载荷作用，微段两侧截面上的剪力相等，但方向相反。

右侧截面上的弯矩相对左侧截面有增量，因为弯矩不等，因而两截面上的正应力也不相同。

对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力，根据切应力互等定理，截面上两侧边各点处的切应力与边界相切，即与边界平行，梁发生对称弯曲，对称轴y轴上的切应力一定沿着y方向，在狭长截面上切应力沿宽度方向变化不大。

于是，关于横截面上切应力的分布规律，作以下假设：横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力；切应力沿截面宽度均匀分布，即与中性轴平行的横线上各点的切应力大小相等。

截面高宽比大于2的情况下，以上述假定为基础得到的解与弹性理论的精确解相比，有足够的精确度。

根据切应力互等定理，横截面垂直的纵向截面上应存在与横截面上大小相等的切应力。

沿矩中性轴距离y的纵向面把微段截开，取纵向面下侧微元，受力如图所示。

左侧截面上正应力的合力为右侧截面上正应力的合力为显然这两个合力大小不等，纵向截面上必存在一个沿轴向的力使微段保持平衡，这个力为切应力的合力，这也证明了纵向截面上存在切应力，由于d x 是小量，则设纵向面的切应力均匀分布根据平衡条件即其中由切应力互等定理及剪力与弯矩之间的微分关系可得其中：b为截面上矩中性轴为y的横线的宽度，对于矩形截面为常数；I z为整个横截面对中性轴的惯性矩；S z*为横截面上矩中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩；F s为横截面上的剪力。

其中代入切应力计算公式切应力沿截面高度为抛物线分布，当y=0时，即中性轴处有截面上的最大切应力角应变为可见角应变大小沿截面高度也为抛物线分布，此时横力弯曲时横截面翘曲形状如下图，验证了横力弯曲变形不满足平面假设。

剪力不变的横力弯曲，相邻横截面上的切应力相同，翘曲程度也相同，纵向纤维的长度不因截面翘曲而改变，因此不会引起附加的正应力。

材料力学第三章答案

材料力学第三章答案材料力学第三章答案【篇一：材料力学习题册答案-第3章扭转】是非判断题二、选择题0 b 2t?d316?1?? ? b wp??d316?1?? ?2c wp??d316?1?? ? d w3p??d316?1?? ?46.对于受扭的圆轴，关于如下结论：①最大剪应力只出现在横截面上；②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；③圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。

现有四种答案，正确的是（ a ）a ②③对b①③对c①②对d 全对7.扭转切应力公式?mnp?i?适用于（d）杆件。

pa 任意杆件；b 任意实心杆件；c 任意材料的圆截面；d 线弹性材料的圆截面。

9.若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的（ d a 2倍； b 4倍； c 8倍； d 16倍。

三、计算题1.试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩t，并作扭矩图2.图示圆轴上作用有四个外力偶矩me1 =1kn/m, me2 =0.6kn/m,）me3= me4 =0.2kn/m, ⑴试画出该轴的扭矩图；⑵若me1与me2的作用位置互换，扭矩图有何变化？(1)(2)解：me1与me2的作用位置互换后，最大扭矩变小。

3.如图所示的空心圆轴，外径d=100㎜，内径d=80㎜，m=6kn/m,m=4kn/m.请绘出轴的扭矩图，并求出最大剪应力解：扭矩图如上，则轴面极惯性矩id4?d4)(1004?804)(10?3)4p=?(32??32?5.8?10?6m4㎜，l=500tr4?103?50?103ip5.8?104．图示圆形截面轴的抗扭刚度为g ip，每段长1m,试画出其扭矩图并计算出圆轴两端的相对扭转角。

ab+ad=cdab=t1l?90?gipgipad=bc=t2l100gipgipcd=t3l40gipgip?90?100?4050?gipgip【篇二：《材料力学》第3章扭转习题解】[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速n?200r/min，轴上装有五个轮子，主动轮ii输入的功率为60kw，从动轮，i，iii，iv，v依次输出18kw，12kw，22kw和8kw。

一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。

即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。

这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

材料力学之四大基本变形

WZ

IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ

(D4 d 4)
64

D4
64
(1 4 )
WZ

D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB

M0 l
RA

M0 l
AC段 :
Q1

RA

M0 l
M1

RA x

M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA

9550
NA n

9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线重合。变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动

材料力学(第五版)扭转切应力

(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的最大切应力不能超过材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知：已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察：变形观察：
圆周线不变（大小、圆周线不变（大小、间距都不变）间距都不变）纵向线倾斜，纵向线倾斜，倾斜角相同表面矩形变成平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄，薄壁圆筒由于壁很薄，表面变形即为内部变形。面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系

第18讲梁横力弯曲时横截面上的切应力

第18讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件§7-3 弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力σ，又有剪应力 τ。

但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q 。

现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。

根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q 的方向一致。

由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。

根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。

又因截面高度h 大于宽度b ，剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。

基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。

2）剪应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。

从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图6-6b 所示。

梁的横截面尺寸如图6-6c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。

过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图6-6d ）。

根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。

微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中*1I 1**z zAzA S I M dA I My dA N ===⎰⎰σ （a ） *1II 2)()(**z z Az A S I dM M dA I y dM M dA N +=+==⎰⎰σ (b)式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，⎰=*1*A z dA y S 。

材料力学(土木类)第四章弯曲应力(4)

dM * Sz −F = Iz
* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物线规律变化；线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 )；； (3)上下边缘处（y=±h/2)，上下边缘处（ ± 上下边缘处，切应力为零。切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态，梁上任意点和H →平面应力状态，平面应力状态若这种应力状态的点需校核强度时不能分别按正应力和切应力进行，能分别按正应力和切应力进行，而必须考虑两者的共同作用（强度理论）。须考虑两者的共同作用（强度理论）。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件：横力弯曲梁的强度条件：
Ⅱ、梁的切应力强度条件发生在F 所在截面的中性轴处，一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处，该位置 σ=0。不计挤压，则τmax所在点处于纯剪切应力状态。所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态。不计挤压，
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS

工程力学第9章杆件横截面上的切应力分析

第 9 章弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１圆轴扭转变形特征－反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面９－１－２变形协调方程９－１－３物性关系－剪切胡克定律９－１－４静力学方程９－１－５圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为

薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式

径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力[t ] = 40 MPa，切
变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax =
(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j 角，这种
角位移称为相对扭转角。
(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是
不沿壁厚变化的，故有 g
均半径。
jr0
，此处r0为薄壁圆筒的平 l
扭转
Me
g
AD BC
Me
j
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T ) 与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线
其中 A 2 d A称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ

G

T GIp

T
Ip
T
t max
d T
t max
D
扭转
t max
t

T
Ip
横截面周边上各点处( r)的最大
切应力为
t max
d
t max

Tr Ip

T Ip r

T Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。
扭转
圆截面的极惯性矩 Ip 和扭转截面系数 Wp
实心圆截面：
d
Ip
2 d A
A

材料力学应力应变部分

材料力学（应力应变部分）→规定载荷作用下，强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。

刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。

→变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。

→沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材料。

→ 分布力表面力集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力）体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。

→动载荷，静载荷→应力p 应分解为正应力σ ，切应力τ 。

→应力单位pa ，1pa=1N/m 2；常用Mpa ，1Mpa=106pa 。

第二章拉伸、压缩与剪切2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力→习惯上，把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。

→用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。

→F N =σA ；σ(x)=F N (x)/A(x)2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力 α轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值。

最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。

此外，α=90°时，σα=τα=0 ，这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。

（应力，p=F/A ，45°斜截面上，力→√22，面积→√22。

） 2.7 安全因数许用应力和安全因数的数值，可以在有关部门的一些规范中查到。

目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取n s =1.2～2.5。

脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取n b =2～3.5，甚至取到3～9。

2.8 轴向拉伸或压缩时的变形→胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。

σ=Eε ，弹性模量E 的值随材料而不同。

∆l l=ε=σE =F AE ；∆l =FLAE即，对长度相同，受力相等的杆件，有EA 越大则变形Δｌ越小，所以称EA 为杆件的抗拉/压刚度。

第三章杆件横截面上的应力应变分析

第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。

如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。

这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。

本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。

一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。

当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。

p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。

称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。

由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。

若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。

把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。

变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。

变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。

相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。

当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。

材料力学(华东交通大学)智慧树知到答案章节测试2023年

绪论单元测试1.在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。

A:玻璃B: 松木C:铸铜D:铸铁答案:B2.根据均匀性假设，可认为构件的（）在各处相等。

A:应力B:弹性常数C:位移D:应变答案:B3.研究变形体构件的平衡时，应按照变形后的尺寸计算。

A:对B:错答案:B4.小变形假设认为（）。

A:构件不变形B:构件不破坏C:构件仅发生弹性变形D:构件的变形远小于其原始几何尺寸答案:D5.各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的（）。

A:力学性质B:位移C:内力D:变形答案:A6.下列不属于杆件变形基本形式的是（）。

A:挤压B:扭转C:轴向拉伸（压缩）D:弯曲E:剪切答案:A7.构件的强度、刚度和稳定性（）。

A:与上述两者均无关B:与上述两者均有关C:与构件的形状尺寸有关D:与材料的力学性质有关答案:B8.材料力学研究的对象几何特征是（）。

A:块体B:杆件C:板壳D:构件答案:B9.材料力学的三个基本假设是（）。

A:各向同性、连续性和弹性假设B:弹性、小变形和平面假设C:各向同性、连续性和均匀性假设D:弹性、均匀性和平面假设答案:C10.下列结论中正确的是（）。

A:材料力学主要研究各种材料的力学问题B:材料力学主要研究各种材料的力学性质C:材料力学主要研究各种材料中力与材料的关系D:材料力学主要研究杆件受力后变形与破坏的规律答案:D第一章测试1.结构中有三根拉压杆，设由这三根杆的强度条件确定的结构许用荷载分别为，且，则结构的实际许可荷载为（）。

A:B:C:D:答案:A2.图示拉伸（压缩）杆1－1截面的轴力为（）。

A:B:C:D:答案:C3.用截面法求一水平杆某截面的内力时，是对（）建立平衡方程求解的。

A:整个杆B:该截面右段C:该截面左段D:该截面左段或右段答案:D4.一般而言，我们采用材料的强度极限指标作为极限应力。

A:错B:对答案:A5.轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（）。

A:分别是横截面、45°斜截面B:都是45°斜截面C:都是横截面D:分别是45°斜截面、横截面答案:A6.轴向拉伸（压缩）作用下，杆件破坏一定发生在横截面上。

材料力学知识点总结

材料力学知识点总结材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科，它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。

以下是对材料力学主要知识点的总结。

一、拉伸与压缩拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。

在拉伸或压缩时，杆件横截面上的内力称为轴力。

轴力的正负规定为：拉伸时轴力为正，压缩时轴力为负。

通过实验可以得到材料在拉伸和压缩时的应力应变曲线。

低碳钢的拉伸应力应变曲线具有明显的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。

弹性阶段内应力与应变成正比，遵循胡克定律；屈服阶段材料出现明显的塑性变形；强化阶段材料抵抗变形的能力增强；局部变形阶段试件在某一局部区域产生显著的收缩，直至断裂。

对于拉伸和压缩杆件，其横截面上的正应力计算公式为：＄＼sigma ＝＼frac{N}｛A}＄，其中$N$为轴力，＄A$为横截面面积。

而纵向变形量$＼Delta L$可以通过公式$＼Delta L ＝＼frac{NL}｛EA}＄计算，其中$E$为材料的弹性模量，＄L$为杆件长度。

二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。

在剪切面上的内力称为剪力。

剪切面上的平均切应力计算公式为：＄＼tau ＝＼frac{Q}｛A}＄，其中$Q$为剪力，＄A$为剪切面面积。

挤压是在连接件与被连接件之间，在接触面上相互压紧而产生的局部受压现象。

挤压面上的应力称为挤压应力，其计算公式为：＄＼sigma_{jy} ＝＼frac{F_{jy}｝｛A_{jy}｝＄，其中$F_{jy}＄为挤压力，＄A_{jy}＄为挤压面面积。

三、扭转扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动。

圆轴扭转时，横截面上的内力是扭矩。

扭矩的正负规定：右手螺旋法则，拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。

应力与应力状态分析

应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。

更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。

§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。

根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。

2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。

3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。

根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。

二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。

由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。

沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。

应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。

几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。

K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。

横截面上切应力分布规律