正弦型函数y=Asin(ωx+φ)

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高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2）答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式；（2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）．因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页共 11 页【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=．故答案为：4π9.。

高中数学必修四第一章 (三)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象

人大附中分校高一数学导学学案题目 1.3.1正弦型函数y =A sin (ωx +φ)的图象课型新授课教材数学B 版必修4§1.3.1学习要求 1．理解振幅、周期、频率、初相的定义；2．理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;3．会用“五点法”画出y =A sin(ωx +φ)的简图，明确A 、ω和φ对函数图象的影响作用；重点难点重点：熟练地对y ＝sin x 进行振幅、周期和相位变换。

难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。

导学学案一．自学课本P44~45，通过观察、考虑观缆车，得出振幅、周期、频率、初相的概念。

在函数)sin(φω+=t R y 中，点P 旋转一周所需要的时间ωπ2=T ，叫做点P 的转动周期。

在1秒内，点P 转动的周数πω21==T f ，叫做转动的频率。

0OP 与x 轴正方向的夹角φ叫做初相。

二．归纳总结：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中0,0>>ωA 表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数πω21==T f ，称为振动的频率； φω+x 称为相位； 0=x 时的相位φ称为初相。

三．例题：例1．在同一坐标系中，画出函数y =2sin x x ∈R ；y =21sin x x ∈R 的图象（简图）（比较它们的振幅的大小与A 的关系）y =sin x -112ππyxO结论：一般地，函数x A y sin =的值域是[],,A A -最大值是A ，最小值是A -，由此可知，A 的大小，反映曲线x A y sin =波动幅度的大小。

因此A 也称为振幅。

正弦型函数y=Asin(ωxφ)

课程教案课程名称：数学任课教师：邓芳所属院部：中南教学班级：中大连读1~13班（除12班）教学时间：2017 —2018 学年第1学期中南科技财经管理学校课程基本信息第一章三角计算及其应用1.2正弦型函数y=Asin(ψx+）一、本次课主要内容本节主要能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律,画出函数y=Asin(ωx+)的图象。

二、教学目的与要求（1）理解：理解振幅变换、相位变换和周期变换，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。

（2）掌握：正弦型函数性质,掌握“五点法”作图。

（3）应用：为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型三、教学重点难点（1）重点：考察参数ω、、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+)的图象变化过程，并熟记正弦型函数性质。

（2）难点：对y=Asin(ωx+)的图象的影响规律的发现与概括四、教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼；五、作业与习题布置课本19页习题 1.2 1（2）、2（2）1.2.1.正弦型函数的概念与性质复习引入通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+)图象的变换规律。

提出问题正弦型函数和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？导入新课学生思考，交流，正弦函数就是函数在A=1，ω=1，φ=0的特殊情况。

形如y=Asin(ωx+) (A>0，ω>0) 的函数称为正弦型函数.正弦型函数主要有以下性质：（1）定义域为 R （全体实数）；（2）周期为 ωπ2=T ；（3）值域为[-A ,A] ，即最大值为A ，最小值为-A . 例题讲解例求正弦型函数)6π2sin(+=x y 和)52π2sin(+=x y 的周期. 解根据正弦函数型函数的周期公式ωπ2=T ，可知)6π2sin(+=x y 的周期为 π2π2π2===ωT ； )52π2sin(+=x y 的周期为π421π2π2===ωT . 例2、例3（略）1.2.2.正弦型函数的图像例利用“五点法”作出正弦型函数)3π2sin(+=x y 在一个周期内的简图.解在函数)3π2sin(+=x y 中2=ω，因此周期为π2π2π2===ωT . 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令3π2+=x z ，分别取π2,2π3,π,2π,0=z ，找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x 的值与函数y 的值，见下表.以表中每组),(y x 为坐标描点，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点：)0,6π5(),1,12π7(),0,3π(),1,12π(),0,6π(--.1.2.3.正弦型函数的应用复习引入当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ωπ==，称为振动的频率。

正弦型函数应用

4π 向右平移个单位后得到 y1 ＝ 3 y 与 y1 的图象重
4π π π 4π sinω x－ 3 ＋3＋2＝sinωx＋3－ 3 ω＋2，又
4π 合，则－ 3 ω＝2kπ(k∈Z)． 3 ∴ω＝－2k.又 ω＞0，k∈Z， 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为2，故选 C. 答案 C
)．
1 π A．2，，－ π 4 1 π C．2，，－ π 8
ห้องสมุดไป่ตู้
A
2．已知简谐运动
π f(x)＝Asin(ωx＋ φ)|φ|＜2的部分图象如图所
示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(
)．
π A．T＝6π，φ＝6 π C．T＝6，φ＝6
π B．T＝6π，φ＝3 π D．T＝6，φ＝3
4π 3 故＋φ＝2kπ+ 2 ，k∈Z，所以 φ＝2kπ+ 6 (k∈Z)． 3 又
π φ∈0，2 ，所以
π φ＝ . 6
故 f(x)的解析式为
π f(x)＝2sin2x＋6 .
π π π π 7π (2)因为x∈12，2，所以2x＋6∈3， 6 .
作业：1.已知函数y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
2

Y
0

6
2
3
X
-2
二.典型例题
一作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例 1】►设函数周期为 π，且
π f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－2＜φ＜0 的最小正
π f 4＝
3 . 2

关于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中φ角确定的探究

关于正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中φ角确定的探究摘要：根据正弦型函数f（x）=asin（ωx+φ）的图象求其解析式是教学中的一个难点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，下面将介绍如何来确定φ角的值。

关键词：正弦型函数；φ角；确定问题：（苏教版高中数学必修4第48页）函数f（x）=asin（ωx+φ）（a>0，ω>0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，试求该函数的解析式。

■误解：由图象知：a=3，t=2[3-（-1）]=8，ω=■=■=■，所以函数f（x）=asin（ωx+φ）的解析式可设为f（x）=3sin（■x+φ），又点（3，0）在函数f（x）=asin（ωx+φ）的图象上，故有3sin（■×3+φ）=0即sin（■×3+φ）=0，所以■×3+φ=kπ，（k∈z），则φ=kπ-■×3，（k∈z）；又φ∈[0，2π），因此φ=■或■，所以函数f（x）=asin（ωx+φ）的解析式为f（x）=3sin （■x+■）或f（x）=3sin（■x+■）。

分析：本题的解题过程看上去似乎并无错误，但我们发现f（x）=3sin（■x+■）的图象并不是本题中的图象（其图象见图中虚线部分），这是为什么呢？根据正弦型函数的图象求其解析式是教学中的一个难点问题，难点在于如何根据图象准确地确定φ角的值，本文从另一个角度来研究这个问题。

首先对于任意一个形如y=asin（ωx+φ）的函数均可以转化为y=a′sin（ω′x+φ′），其中a′>0，ω′>0，-π0，则y=asin （ωx+φ）=-asin（ωx+φ）=asin（ωx+φ+π）.如果ω0，则y=asin（ωx+φ）=asin（ωx+φ）=asin[-（ωx-φ）]=-asin（ωx-φ）=asin（ωx-φ+π）.如果a0，ω′>0.由于正弦型函数y=asin（ωx+φ）中φ角是任意角，故转化后的函数y=a’sin（ω’x+β）（其中a’>0，ω’>0）中的β角的取值可能是正角也可能是负角还可能为0，不妨设φ’角的取值范围为（-π，π〕，β角在φ′角的取值范围（-π，π）内总能找到与其终边相同的角，即总有β=φ′+2kπ，（k∈z），又因为终边相同的角的三角函数值相等，所以上面y=a′sin（ω′x+β）=a′sin （ω′x+φ′+2kπ）=a′sin（ω′x+φ′），所以正弦型函数y=asin（ωx+φ）可转化为函数y=a’sin（ω’x+φ’），（其中a′>0，ω′>0，φ′∈（[-π，π]），并且函数y=a′sin（ω′x+φ′），（其中a′>0，ω′>0，φ′∈（-π，π〕）为其最简形式。

函数y=Asin(ωx φ)的图象

函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法：（1）用“五点法”作图（2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像

A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
解析由图象的平移得 g(x)＝cosx＋2π＝－sin x.
答案 A
4．设 ω＞0，函数 y＝sinωx＋π3＋2 的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )．
2 A.3
4 B.3
3 C.2
D．3
解析 y＝sinωx＋π3＋2 向右平移43π个单位后得到 y1＝sinωx－43π＋π3＋2＝sinωx＋π3－43πω＋2，又 y 与 y1 的图象
;
6
*10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线 x= 对称，则 φ 的最小值是
.
6
三. 解答题
11.写出函数 y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)
12.已知函数 log0.5(2sinx-1), (1)写出它的值域. (2)写出函数的单调区间. (3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.
(k∈Z)
π 3π C. [kπ-8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
D.
3π 7π [kπ+ 8 , kπ+ 8 ]
(k∈Z)
3．函数
3π y=sin(x+ 2
)的图象是（
A. 关于 x 轴对称
C. 关于原点对称
）
B. 关于 y 轴对称
D.
关于
3 x=-2
π 对称
4．函数 f（x）=cos（3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（）
故43π＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以 φ＝2kπ－116π(k∈Z)．

正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。

例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。

揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。

一、新知探究提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。

如图1是大观览车的示意图。

设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。

在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。

在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。

OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。

例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。

正弦函数公式

正弦函数公式
正弦函数，又称曲线极值函数、周期函数，是数学分析中的一种函数，
在物理、工程学等领域也都有着广泛的应用。

它的函数图像是一种圆周上的
曲线（也称涟漪），因此也被称为sin曲线。

正弦函数函数表达式为：
y=Asin(ωx+φ)，其中A、ω、φ分别表示正弦函数的振幅、角频率和相位差。

A代表振幅，是一个正实数，表示正弦函数图像中横跨波峰高低之间的
差距。

例如：y = 3sin x，其中A=3，表明波峰与波谷之差。

ω代表角频率，是一个正实数，表示正弦函数的周期与x的关系。

例如：y = 3sin x，ω=1，说明正弦函数的周期是2π。

φ代表相位差，是一个实数，表示函数图像的偏移量，以弧度为单位的量。

例如：y = 3sin x，φ=π/2，表示正弦曲线从原点向右移动了π/2弧度（即90°）。

正弦函数应用广泛，它在物理、工程学中都有着重要的位置。

在物理学中，正弦函数可以用来描述物体在某特定节奏下振动的情况，例如音乐中的
旋律、波浪的传播、心脏的跳动等。

在工程学中，正弦函数可用来描述电子
振荡器、定时器、转换器等装置的运转状态。

正弦函数的函数公式式对科学
家来说非常重要，它可以帮助我们更好地了解和研究物质振动特性，并为物
理学和工程学的应用提供依据。

函数y=Asinωxφ的图象

2023函数y=asinωxφ的图象pptcontents •函数y=asinωxφ的简介•函数y=asinωxφ的图象•函数y=asinωxφ的应用•其他类型的三角函数图象•对于学习函数的建议目录01函数y=asinωxφ的简介1asinωxφ的定义与性质23asinωxφ是正弦型函数，其中ω和φ是常数。

asinωxφ的定义域为x ∈ (-∞,+∞)，值域为y ∈ [-1,1]。

函数y=asinωxφ的周期为2π/ω。

数学表达式为y=asin(ωx+φ)，其中a为振幅，ω为角频率，φ为初相。

表达式中的ωx+φ表示将自变量x乘以角频率ω，再加上初相φ。

函数y=asinωxφ的数学表达式当a>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较大的正弦型曲线。

当a<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较小的正弦型曲线。

当a=1时，函数y=asinωxφ的图象呈现标准的正弦型曲线。

当ω>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较小的正弦型曲线。

当0<ω<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较大的正弦型曲线。

函数y=asinωxφ的图象及性质02函数y=asinωxφ的图象图形描述函数$y=asin\omega x\varphi$的图象是一个正弦曲线，随着$\omega$的增大，曲线的振幅逐渐增大，周期逐渐减小。

变化趋势当$x$逐渐增大时，$y$的值先逐渐增大，到达最大值后逐渐减小，当$y$达到最小值时，$x$的值也达到最大值。

函数y=asinωxφ的图象及变化趋势周期性定义函数$y=asin\omega x\varphi$的图象呈现周期性变化，周期是$\frac{2\pi}{\omega}$。

周期性变化每个周期内的图形完全相同，只是相位相差$\frac{\pi}{\omega}$，随着$x$增大，相位逐渐增大，新的周期逐渐开始。

函数y=asinωxφ的周期性变化函数$y=asin\omega x\varphi$的最大值是$1$，最小值是$-1$。

函数y=asin(ωx+φ)的图像课件和性质

相位角控制正弦曲线的左右移动，增大相位角会使图像左移，缩小则右移。
周期和振幅
振幅
振幅a是曲线顶端到中心线的距离，也是曲线顶端到底端距离的一半。
周期
正弦函数的周期是指曲线上相邻两个正弦波峰或波谷之间的距离。
周期函数的性质
1 周期性质
函数y=asin(ωx+φ)是周期函数，其周期为2π/ω。
2 奇偶性质
平移和伸缩
1
水平平移
如果在正弦函数的x值上加上常数c，则图像会水平向左移动c。如果在x值上减去常数c，则会向右移动c。
2
垂直平移
如果在正弦函数的y值上加上常数c，则图像会垂直上移c。如果在y值上减去常数c，则会向下移动c。
3
水平伸缩
对正弦函数x值乘以常数c可以使图像水平伸缩。如果c>1，则会左右压缩，如果0<c<1，则会左右拉伸。
纵坐标解释
a为正数
代表正弦的波峰为正值，用于描述物体的正向位移或正向摆动。
a为负数
代表正弦的波谷为负值，用于描述物体的反向位移或反向摆动。
参数改变对图像的影响
振幅a
增大振幅会使正弦函数的波峰和波谷变高，缩小振幅则有相反效果。
角频率ω
增大角频率会让正弦函数的周期变短，缩小角频率则相反。相位 Nhomakorabeaφ4
垂直伸缩
对正弦函数y值乘以常数c可以使图像垂直伸缩。如果c>1，则会上下收缩，如果0<c<1，则会上下拉伸。
正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)的函数。
3 单调性质
正弦函数一般不单调，其在每一个周期内既有单调递增的区间，也有单调递减的区间。
对称性

函数y=Asin(ωx φ) 期末复习测试题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版含答案

第6节函数y ＝Asin(ωx+φ) 期末复习测试题一、单选题（12题）1．为了得到函数πsin(2)3y x =+的图象，可以将函数2πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位2．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（） A ．π12 B ．π4C ．3π4D ．11π123．设0ω>，将函数()sin 43f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数y g x 的图象.若()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（）A ．362k -，k ∈NB ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．(,1)4π5．要得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点（） A ．先向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B ．先向左平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） C ．先向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）6．已知函数()2sin f x x =，为了得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需（）A ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单位 B ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移6π个单位 C ．先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，再将点的横坐标变为原来的12 D ．先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍7．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（）A π2B ，πC π2D8．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（） A ．直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得到cos 2y x =的图象D ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-10．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()(01)4f x x πωω=+<<在区间()2ππ，内没有零点，则ω的取值范围是（）A ．308⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．3370848⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．3748⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．3370848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，， 12．已知函数()2sin22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论（）①函数()f x 的最小正周期是2π； ①函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；①函数()f x 的图象关于直线π8x =对称；①函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位得到.其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（4题）13．若函数π()sin(2)0,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则函数()f x 的图像可由sin 2y A x =的图像向左平移___________个单位得到.14．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.15．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为__________．16．将函数3sin(2π)y x =-上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式是______．三、解答题（4题）17．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值；（3）若2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为1-，求θ的最大值18．函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图像如图所示.（1）写出图中0x 、0y 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的13倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图像，求方程1()2g x =在区间[,]-ππ上的解.19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数()g x 的图像，求当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的值域．20．已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】2ππππcos 2cos 2sin 23626y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数向左平移π4个单位得：πππsin 2sin(2).463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 2．C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ． 3．C【分析】由图象变换知识得到()()sin g x x ω=，根据3x π=时取得最大值得到362k ω=+，由单调区间长度小于等于半个周期，求出ω的范围，从而确定ω的值.【详解】由题意知，()()sin g x x ω=.当3x π=时，函数()g x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，Z k ∈.解得362k ω=+，N k ∈.因为()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 4．D【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项．【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z ππ=+∈，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 5．A【分析】利用两角和的余弦公式化简为4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，再由函数()cos ωϕ=+y A x 的图象变换规律得出结论．【详解】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，将函数y x 的图象上所有的点向右平移8π个单位长度得到284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，故选：A . 6．B【分析】直接利用三角函数图像变换可得.【详解】对于A ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 2y x =，故A错误；对于B ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，得到2sin 2y x =，再右移6π个单位，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即为2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C: 先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的12，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D: 先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误；【点睛】：关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a . 7．D【分析】根据差角正弦公式展开，再由辅助角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求振幅与周期.【详解】3()sin(2)cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2cos 226662f x x x x x x x xπππ=-+=-+=)3x π=-周期为T=22π=π.故选：D 8．D【分析】先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项. 【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致. 9．C【分析】先求得ϕ的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意ππcos 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π0,2336ϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππcos cos π11266f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项说法正确. ππππ0,26662x x ≤≤≤+≤，所以函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项说法正确.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到πππ6cos 2cos 266y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项说法错误.πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，所以当π5π2π,612x x +==时， ()f x 取得最小值为1-，D 选项说法正确.故选：C 10．C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C 11．D【分析】根据题意若要函数()f x 在区间()2ππ，内没有零点，由2444x ππππωωωπ+<+<+，又因为01ω<<，所以24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，化简即可得解.【详解】由2x ππ<<，且01ω<<，所以2444x ππππωωωπ+<+<+，由题意可得24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得83ω≤或7834ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，因为01ω<<，所以308ω<≤或者3748ω≤≤，故选：D 12．B【分析】由题意知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此即可判断出答案.【详解】()2πsin22sin 1sin2cos224f x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，①因为2ω=，则()f x 的最小正周期πT =，结论错误.①当π8π,85x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,422x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确.①因为π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线π8x =对称，结论正确.①设()g x x ，则()πππ2442g x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误，故选：B. 13．π12【分析】根据图像可确定π()2sin(2)6f x x =+，进而根据平移即可求解. 【详解】由图最高点可知2A =,周期2π2πT ==,所以可得最高点5π15πππ--1241246A x T ===,故π,26A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入πππ()2sin(2)=2=2π632f x k ϕϕ=⨯+⇒++，由于π02ϕ<<，故π=6ϕ，所以π()2sin(2)6f x x =+，故可由sin 2y A x =的图像向左平移π12个单位得到. 故答案为：π1214．3【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差π的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解．【详解】将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后，得到sin[()]sin(6)666y x x ππωππωω=+-=+-，sin[()]2sin(6666)y x x ππωππωω=--=--，因为两个函数图象的对称轴重合，所以()66663()k ωππωππωππ----==，k ∈Z ，所以3k ω=，k ∈Z ，因为0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值为3．故答案为：3． 15．π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==. 又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =. 因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以π3ϕ=. 所以，函数的解析式为π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.16．π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2π)3sin 2y x x =-=-．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sin y x =-，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式为π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.17．（1）12；（2）3m π=；（3）6π-. 【分析】先对函数解析式化简，（1）直接代入求解；（2）利用图形变换和诱导公式求出m 的最小值；（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出θ的最大值.【详解】()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos sin 2sin33x x x ππ=-++12cos 22x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1sin 2sin 66662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，得到sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，与cos 2y x =重合，所以2262m k πππ-=+，由m >0,所以当k =0时，3m π=；（3）当2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，522666x πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，因为()f x 的最小值为1-，所以26πθ-可以取到2π-，即262ππθ-≤-，所以6πθ≤-，即θ的最大值为6π-. 18．（1）076x π=，03y =；（2）5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）根据正弦型函数图象性质直接可求0x 、0y 的值；（2）根据函数伸缩平移变换可得()g x ，进而可求方程的解. 【详解】（1）由正弦型函数的对称轴性质可知：2262x k πππ+=+，Z k ∈，解得：6x k ππ=+，Z k ∈，故076x π=； ()max 3f x =，故03y =；（2）由（1）及题意可得()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由1()2g x =可得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2266x k πππ∴-=+或52266x k πππ-=+，k ∈Z ，解得6x k ππ=+或2x k ππ=+，k ∈Z ，[,]x ，①方程1()2g x =的解为5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19．(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像得到A =1，741234T πππ=-=，进而求得ω，再由点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭在图像上求解；（2）利用伸缩变换得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：由图像知：A =1，741234T πππ=-=，则T π=，22T πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图像上，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以732,Z 62k k ππϕπ+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由题意得()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则27,3336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，当2332x ππ+=，即4x π=时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1；当27336x ππ+=，即54=x π时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最小值12-所以()21sin ,1332g x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1,22⎡⎢⎣⎭【分析】（1）结合图象和2πT ω=，求得ω的值，再根据3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数图象的变换求出()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解. 【详解】（1）由图可得：7π3π288T =-，即2π=πT ω=，则2ω=，故()()2f x x ϕ+，①3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πsin 218ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则3πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①3ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，则π2π,Z 4k k ϕ=-+∈，又①π2ϕ≤，则π4ϕ=-，故()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）根据题意：将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，得到ππππ224444y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ①()20g x m -=，则()2g x m =，由题意可得：直线2y m =与函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，又①0πx ≤≤，则ππ5π444x ≤+≤，①πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ42x +=，即π4x =时，πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()g x ⎡∈⎣，则可得：12m ≤<122m ≤<，故m 的取值范围为12⎡⎢⎣⎭.。

数学正弦型函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用

数学正弦型函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用第三章第4讲第1页不同寻常的一本书，不可不读哟！第三章第4讲第2页1.了解函数y=Ain(ω某+φ)的物理意义，能画出函数y=Ain(ω某+φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.第三章第4讲第3页1个必记提醒在用“代点法”求φ时，若条件中既有最值点，也有零点，应代入最值点，这样可得到一个确定的φ值.2点必知变换1.平移变换：①沿某轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则.2.伸缩变换：①沿某轴伸缩时，横坐标某伸长(0<ω<1)或缩短1(ω>1)为原来的ω倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标某不变).第三章第4讲第4页3项必须注意1.要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象.2.要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.3.由y=Ainω某的图象得到y=Ain(ω某+φ)的图象时，需平φ移的单位数应为||,而不是|φ|.ω第三章第4讲第5页课前自主导学第三章第4讲第6页1.y=Ain(ω某+φ)的有关概念y=Ain(ω某+振相位ω某+φ初相φφ)(A>0,ω>0),某幅∈[0,+∞)表示一个振动量时A周期频率1f=T=____T=____第三章第4讲第7页函数y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图，试写出函数的解析式________,它的振幅为________,周期为________,初相为________.第三章第4讲第8页2.用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示某ω某+φy=Ain(ω某+φ)______________________________00π2Aπ03π2-A2π0第三章第4讲第9页π用五点法作函数y=in(某+)在一个周期内的图象时，6主要确定的五个点是________,________,________,________,________.第三章第4讲第10页π(2)如图是y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图2象，则函数f(某)的解析式为__________.第三章第4讲第11页3.由函数y=in某的图象变换得到y=Ain(ω某+φ)的图象的步骤第三章第4讲第12页(1)y=in(某-π3)是由y=in某的图象向________平移________个单位得到的.(2)y=in(2某+π3)是由y=in2某的图象向____平移________个单位得到的.(3)y=co某图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到yπ=________,然后再向右平移个单位得到y=________.6第三章第4讲第13页2πω1.ω2π22填一填：y=2in(2某+3π)2π3ππ-φ2φ2.-ωωπ-φω3π-φ2ω2π-φω第三章第4讲第14页ππ54填一填：(1)(-,0)(,1)(π,0)(π,-1)6363113π(6π,0)(2)y=in(3某-4)ππ11π3.填一填：(1)右(2)左(3)co某co(某-)362212第三章第4讲第15页核心要点研究第三章第4讲第16页例1[2022·无锡模拟]f(某)=in(2某+φ)(-π<φ<0),y=πf(某)图象的一条对称轴是直线某=8.(1)求φ;(2)画出函数y=f(某)在区间上[0,π]的图象.第三章第4讲第17页[审题视点](1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0,π].同时注意列表时要列端点值.[解]π(1)∵某=是函数y=f(某)的图象的对称轴，8π∴in(2某8+φ)=±1,ππ∴+φ=kπ+,k∈Z.42第三章第4讲第18页3π∵-π<φ<0,∴φ=-4.3π(2)由y=in(2某-4)知某π83π805π817π80π2-22-1y-2第三章第4讲第19页。

(完整版)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)打印版

正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωAy ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。

5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用

[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ，＝4，故T＝＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故＋φ＝＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)；， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)．， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x∈[－6,0]上的值域．

高中数学-正弦型函数y=Asin(ωx+φ)练习

高中数学-正弦型函数y ＝Asin(ωx＋φ)练习(限时：10分钟)1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D解析：将x ＝－π2代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝32＞0，排除B ，D.将x ＝π6代入得y ＝sin0＝0，排除C.答案：A2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式应为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1D ．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析：振幅A ＝12[2－(－4)]＝3，故A 、B 应被排除．又－π6与π3的中点为x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝π12，此时取得y max ＝2，而2x ＋π3＝π2，正好x ＝π12.∴选C.答案：C3．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．左移π3个单位 B ．右移π3个单位C ．左移π6个单位D ．右移π6个单位解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.所以把y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位，就得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．答案：D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝π3，∴T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π， ∴ω＝3. 答案：35．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解析：因为－π6≤x ≤π4所以－π6≤x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(限时：30分钟)1．函数y ＝sin x －1的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0 B ．(π，－1)。

(完整word版)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质

函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及性质韩忠刚考试目标1．考查正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象变换．2．考查y＝A sin（ωx＋φ)的性质及应用．考点梳理1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω〉0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，错误!,π,错误!,2π，得对应的五点为－错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ）在一个周期内的图象．（3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ）在R上的图象．2、定区间的“五点法”作图。

2．三角函数图象的变换3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0,x∈［0，＋∞）)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝错误!叫做周期，f＝错误!叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．注意点:1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为错误!，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中,一般采用先平移后伸缩的方法．3、(1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象;(2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数；(3）由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象时，需平移的单位数应为错误!，而不是|φ|.考点自测1．函数y＝（sin x＋cos x）2＋1的最小正周期是（)．A.错误! B．π C.错误! D．2π2。

已知简谐运动f（x）＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝错误!C．T＝6，φ＝错误! D．T＝6，φ＝错误!3．要得到函数y＝cos(2x＋1）的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象（）．A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位 D．向右平移错误!个单位4．将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位,得到的函数的一个对称中心是( ）．A。

正弦型函数y=Asinωx φ的图象及应用教案理

正弦型函数y=2sin （GX +。

）的图象及应用【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y=/sin （3x+0）的图象的“五点〃作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题.根底梳理1.用五点法画y=/lsin （Gx+0）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示X0—0 3 n 2-C L )n 一（1）33"〃 2OC L )2五一O3 3>+6 0 JIn3n 2 2人 y=/sin(3才+0)A-A2.函数y=sinx 的图象变换得到y=/sin （3x+0）的图象的步骤3 .当函数y=/sin （3才+0）（4>0,3>0,才£[0,+8））表示一个振动时，力叫做振幅， 9JT 17=二7叫做周期，做频率，3才+0叫做相位，0叫做初相. 4 .图象的对称性函数y=/sin （GX +0）（4>0,口>0）的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：n（1）函数y=/sin （Gx+。

）的图象关于直线其中/必+0=4兀+7,4£Z ）成轴对称图形.⑵函数y=4sin （（^x+6）的图象关于点（M ,O ）（其中3四+6= ,AO 成中心对称图形.^助学微博 =一种方法01KAOJIZIZHUDAOXUE考基自主导学必考必记：教学相长在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M,最小值为力，那么力=丁，k=F，3由周期7确定，即由"=7求出，。

由特殊点确定.G ）一个区别由y=sinx 的图象变换到尸/sin （GX +0）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是㈤个单位；而先周期变换（仰缩变换）再相位变换，平移的量是S （3>0）个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对不而言，即x 本身加减多.....3 ...............................................................................................................................少值，而不是依赖于3X 加减多少值. 两个注意件正弦型函数/三叁1。