7磁场矢势A+和标势(ψ)的相容性分析
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电磁场的矢势和标势
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
经过例子可看到：
库仑规范旳优点是：它旳标势 描述库 仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它旳矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波旳两种独立
偏振。
洛仑兹规范旳优点是：它旳标势 构成旳势方程具有对称性。它旳矢势
A旳纵和向矢部势A
分和标势 旳选择还能够有任意性，即存在多出
2
2
A
0
1 2A c2 t 2
1 c2
t
( )
0 j
此时b，) 标采势用所洛满仑足兹旳规方范程(与 静A 电1场相 同 0。)
c 2 t
上述方程化为
2
2
A
1 c2
1 c2
2
t
2
2A
t 2
0
0 j
这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波旳势
尤其简朴旳对称形式。
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations
及
B=0H
D 0E
E
A
B A
t
出发推导2 A矢 势c12A和2t 2A标势(
所满足旳方程，得到：
A
1 c2
)
t
0 j
2
A
t
0
a) 采用库仑规范 ( A 0)
上述方程化为
方程旳关系，所以它 们之间旳关系不是一一相应
旳，这是因为矢势 A 能 够加上一种任意标量函数
旳旳将梯梯E度度，在成E果不影A响中B旳A，t而与中这此对个融E 任合要意也发标作生量相影函应响数旳，但
电磁场理论课件 第五章 第1节 电磁场的矢势和标势
但将
E
t
A
t
t
t
t
中的与此融合也作相应的变换，则仍
可使 E 保持不变
t
A ( ) ( A )
t
t t
( ) A ( )
t
t t
A E
t
即设任意的标量函数 (x,t)，作下述变换式：
A A A
t
于是我们得到了一组新的 A. ，满足
可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为
零，这里引入的矢势、标势（时间的函数）与静
电场（与时间无关）情况有很大的不同。
D
E
B t
B 0
H
J
D
t
? B A
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
种独立偏振。
洛仑兹规范的优点是：它的标势
和矢势
A
构成的势方程具有对称性。它的矢势 A 的纵向部
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余
的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变
性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
总结本次课的内容
1. 用势描述电磁场
B A
E
A t
2. 两种规范
1.库仑规范 A 0
potential)。
c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整体，必须把
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
14
1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A
0
若采用库仑规范
Α
2
Α 0
μ0 J
1 Α
2
c
2
t
2
1 c t
2
2
0
特点：
标势所满足的方程与静电场情形相同，解为库仑势。
解出后代入可解出A，因而可以确定辐射电磁场。
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
l 库仑规范 规范条件： A 0
E A t
E A
结论： 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述， 横场部分完全由 A 描述。
t 2 E
在库仑规范下，所满足的方程
/
51变化电磁场的矢势和标势直接解电磁场方程往往比较困难直接解电磁场方程往往比较困难时变电磁场的处理方法给变化电磁场引入势给变化电磁场引入势导出势满足的微分方程导出势满足的微分方程求出势方程的解求出势方程的解利用场与势的关系定量地确定场量利用场与势的关系定量地确定场量51变化电磁场的矢势和标势512规范变换和规范不变性引入势描述时变电磁场问题
辅助条件
研究用于确定势的两种
§5.1.2 规范变换和规范不变性
为什么引入辅助条件？ 使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 l 库仑规范
规范条件： A 0
A 为无散场
第1节矢势和标势
1 库仑规范：
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
取： 势方程：
A 0
2
1 A 1 2 A 2 2 2 0 j C t C t 条件 A 0
2
0
讨论： 1） 的方程与静电势方程相同，有无界解
( R' , t ) ( R, t ) dV ' V ' 4 r 0
Sபைடு நூலகம்S L
对每一时刻，A 沿闭合回路的线积分，与
以此回路为边界的曲面上的磁通量相等。
A 的旋度，没有确定 A 4）由定义只确定了 的散度，因此 A 以至于 都具有不确定性。
2
B 0 j 0 0 E t 2 0 j 0 0 ( 2 A) A ( A) 2 A t t 2 1 1 2 整理得： A C 2 t 2 A ( A C 2 t ) 0 j E 0 ( t A) 0
t 0E 1）真空情况：D B 0 H
2）迅变场是定态波。
因为 B 是无源场： B 0
B A
代入方程2式：
E( R, t ) B( R, t ) ( A) A t t t 改写为： ( E A t ) 0
i ( k R t ) A A0e
i ik A 2 C
代入洛仑兹规范
C2 0 k A0
是平面电磁波情况下的场方程
B A ik A 2 E A ik (C k A) iA t 2 i C k (k A) A(k k ) 2 i i C k (k A) ( A) 0 0 i ( B) 0 0 At A
电磁场的矢势和标势
f (t r c) 1 Q(t r c)
4 0
1 f (t r c) 1 Q(t r c)
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
c2
k•
A横
0
E
A
ik
iA
iA
t
B ik A
由库仑规范，势方程为：
2 0
2 A
1 c2
2A t 2
1 c2
t
0
且：
•
A
ik •
A
0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
2
t 2
0
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 增大时 减小 令
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
b)在时变场中，磁场和电场是相互作用的整体，必须 把 和 作为一个整体来描述电磁场
思考？当 与时间无关时，电磁场的特点？
已自动成立
规范变换和规范不变性 规范变换
规范不变性 当势作规范变换时，所有物理量和物理规 律都保持不变，这就是规范不变性。
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学练习题
2.真空中静电场的电势为：
ax ax ( x 0) ( x 0)
求产生该电场的电荷分布。
第三章 静磁场
一、选择题
1.静磁场中可以建立矢势 A
的理由是:
A、静磁场是保守场； B、静磁场 B 0 J ，即静磁场是有旋场； C、静磁场 B 0 ，即静磁场是无源场； D、静磁场与静电场完全对应。 2.静磁场中矢势 A : A.在场中每一点有确定的物理意义； B 只有在场中沿一个闭合回路的积分 A d l 才 有确定的物理意义； C.只是一个辅助量，在任何情况下无物理意义； D.其值代表场中每一点磁场的涡旋程度。
n D 2 D1
, n (E E ) 2 1
。
在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒 电流的情况下，电流的边值关系为
n (J 2 J1 ) 和 。
7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密 度 S =_________。
9.电荷分布 ( x ) 的电偶极矩 P = 。 10.电荷分布 ( x ) 的电四极矩 D = 。 11.极矩为 P 的电偶极子在外电场 E 中的能量W= 。 12.极矩为 P的电偶极子在外电场E 中受的力 F = 。 13.极矩为 P 的电偶极子在外场 E 中受的力矩 L = 。
4.在无限大均匀介质 中，某区域存在自由电荷分布
( x ) ，它产生的静电场的能量为
。
5.长为L的均匀带电导线，带电量为q，若以线段为z 轴，以中点为原点，电四极矩分量D33= 。
6.在两介质的分界面处，静电场的电势满足的边 值关系为 ， 。 7.已知静电场的电势=A(x2+y2) ，则其电场强度 为 。 8.在z轴上分布有四个电荷，两正电荷分布在z=±b 处，两个负电荷分布在z=±a处，则该体系总的 电偶极矩为____，电四极矩的分量D33= 。
ax ax ( x 0) ( x 0)
求产生该电场的电荷分布。
第三章 静磁场
一、选择题
1.静磁场中可以建立矢势 A
的理由是:
A、静磁场是保守场； B、静磁场 B 0 J ，即静磁场是有旋场； C、静磁场 B 0 ，即静磁场是无源场； D、静磁场与静电场完全对应。 2.静磁场中矢势 A : A.在场中每一点有确定的物理意义； B 只有在场中沿一个闭合回路的积分 A d l 才 有确定的物理意义； C.只是一个辅助量，在任何情况下无物理意义； D.其值代表场中每一点磁场的涡旋程度。
n D 2 D1
, n (E E ) 2 1
。
在绝缘介质与导体的界面(或两导体的界面处)稳恒 电流的情况下，电流的边值关系为
n (J 2 J1 ) 和 。
7.真空中电磁场的能量密度w =_____________，能流密 度 S =_________。
9.电荷分布 ( x ) 的电偶极矩 P = 。 10.电荷分布 ( x ) 的电四极矩 D = 。 11.极矩为 P 的电偶极子在外电场 E 中的能量W= 。 12.极矩为 P的电偶极子在外电场E 中受的力 F = 。 13.极矩为 P 的电偶极子在外场 E 中受的力矩 L = 。
4.在无限大均匀介质 中，某区域存在自由电荷分布
( x ) ，它产生的静电场的能量为
。
5.长为L的均匀带电导线，带电量为q，若以线段为z 轴，以中点为原点，电四极矩分量D33= 。
6.在两介质的分界面处，静电场的电势满足的边 值关系为 ， 。 7.已知静电场的电势=A(x2+y2) ，则其电场强度 为 。 8.在z轴上分布有四个电荷，两正电荷分布在z=±b 处，两个负电荷分布在z=±a处，则该体系总的 电偶极矩为____，电四极矩的分量D33= 。
电磁场矢量分析讲解
例 电位场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
u r
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中 ( , , ) x y z
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
工程电磁场
主讲：孙惠娟 hjsun@
电磁场
updated date 2008.2.21
思维方法
分析和处理问题的方法： 引入基本物理量（场量），
考虑这个物理量的旋度，散度，边界条 件。
矢量分析
难点
分析和处理问题的方法 ——数学处理过程
矢量分析
主要教学内容概述
第一章 矢量分析
l x y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
方向导数解决了标量场中的标量函数(x,y,z)在给 定点P沿着某一方向变化的问题。 但是，标量函数(x,y,z)从给定点出发有无穷个变化的 方向，其中哪个方向变化的最快？
0.2 标量场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu
u x
eˆx
u y
eˆy
u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu
u r
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中 ( , , ) x y z
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
工程电磁场
主讲：孙惠娟 hjsun@
电磁场
updated date 2008.2.21
思维方法
分析和处理问题的方法： 引入基本物理量（场量），
考虑这个物理量的旋度，散度，边界条 件。
矢量分析
难点
分析和处理问题的方法 ——数学处理过程
矢量分析
主要教学内容概述
第一章 矢量分析
l x y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
方向导数解决了标量场中的标量函数(x,y,z)在给 定点P沿着某一方向变化的问题。 但是，标量函数(x,y,z)从给定点出发有无穷个变化的 方向，其中哪个方向变化的最快？
0.2 标量场的梯度
磁场的矢势及其微分方程
通过曲面s的磁通量把b对任一个以回路l为边界的曲面s积分个有共同边界l的曲面则包围的区域内没有磁感应线发出也没有磁感应线终止b线连续的通过该区域因而通过曲面s的磁通量必须等于通过曲面s的磁通量
第三章 静磁场
恒定电流所激发的静磁场
1
主要内容
矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效应 超导体的电磁性质
Wi J Ae dV .
34
例1 无穷长直导线载
电流I，求磁场的矢势 和磁感应强度。
35
解
得
设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的 距离为
利用
R z
2
2
' J ( x )dV ' A( x ) r . 4
I Az 4
dz R z
2 A J
若取A满足规范条件A=0 ， 得矢势的微分方程
( A 0)
20
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2
形式与静电场的方程相同
2
21
对比静电场的解得矢势方程的特解
' ' J ( x )dV A( x ) . r 4
的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接 的物理意义。
11
例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场
Bx By 0
其中B0为常量。
Bz B0 ,
12
由定义式
Ay
Ax B0 , x y Az Ay Ax Az 0 y z z x
第三章 静磁场
恒定电流所激发的静磁场
1
主要内容
矢势及其微分方程 磁标势 磁多极矩 阿哈罗夫－玻姆(Aharonov-Bohm)效应 超导体的电磁性质
Wi J Ae dV .
34
例1 无穷长直导线载
电流I，求磁场的矢势 和磁感应强度。
35
解
得
设P点到导线的垂直距离 为R,电流元Idz到P点的 距离为
利用
R z
2
2
' J ( x )dV ' A( x ) r . 4
I Az 4
dz R z
2 A J
若取A满足规范条件A=0 ， 得矢势的微分方程
( A 0)
20
A的每个直角分量Ai满足泊松方程
Ai J i , (i 1,2,3)
2
形式与静电场的方程相同
2
21
对比静电场的解得矢势方程的特解
' ' J ( x )dV A( x ) . r 4
的任一曲面的磁通量。只有A的环量才
有物理意义，而每点上的值没有直接 的物理意义。
11
例：设有沿 Z 轴方向的均匀磁场
Bx By 0
其中B0为常量。
Bz B0 ,
12
由定义式
Ay
Ax B0 , x y Az Ay Ax Az 0 y z z x
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0
k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2
k A) iA
2
c
2
t
2
0 J
2
1
2
c
2
t
2
0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：
2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2
5.1电磁场的失势和标势解析
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
电动力学第9讲24讯变电磁场的矢势和标势
Maxwell方程组
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
山东大学物理学院 宗福建
1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
山东大学物理学院 宗福建
16
用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
山东大学物理学院 宗福建
37
推迟势
• 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ 的达朗贝尔方程为
2 1 2
c2 t2
0
• 式中ρ =ρ（x，t）是空间电荷的密度。
山东大学物理学院 宗福建
38
推迟势
• 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。 由于场的叠加性，可以先考虑某一体元 内的变化电荷所激发的势，然后对电荷 分布区域积分，即得总的标势。
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
山东大学物理学院 宗福建
E B t
B
0
J
0 0
E t
E
0
B0
山东大学物理学院 宗福建
1
Maxwell方程组
B
l
E
dl
s
t
dS
l
B
d l 0I 00
s
E t
dS
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的
表示式必然包含矢势A在内。
•把
B A.
• 代入 E B , t
• 得 (E A ) 0 t
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16
用势描述电磁场
• 该式表示矢量 E+∂A/∂t 是无旋场，因
此它可以用标势φ描述，
山东大学物理学院 宗福建
37
推迟势
• 现在我们求达朗贝尔方程的解。标势φ 的达朗贝尔方程为
2 1 2
c2 t2
0
• 式中ρ =ρ（x，t）是空间电荷的密度。
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38
推迟势
• 该式是线性方程，反映电磁场的叠加性。 由于场的叠加性，可以先考虑某一体元 内的变化电荷所激发的势，然后对电荷 分布区域积分，即得总的标势。
J
(x')
1 R
x'
1 R
1 x'x' : 2!
1 R
... dV
'
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磁场的矢势方程和边值关系
根据（1）式，由矢势可以完全确定磁场，但是，由磁场却不
能唯一地确定矢势。
设 A A
A A A B
B A
所以，对应确定磁场 B 它的矢势可以有 A ，A …无穷多个。
在静磁场问题中，通常规定
A 0
(2)
第四章 静磁场
Chapter 4 Static Magnetic Field
1.在静磁场理论中引入矢势 A，建立有关的微 分方程，并通过求解矢势 A 而得到磁场 B 。
2.使用与解静电场相似的方法—磁标势法来求解 静电场问题。
3.介绍矢势 A 的多极展开式。
1
基本内容
§4.1 磁场的矢势方程和边值关系
8
§4.1 磁场的矢势方程和边值关系
四、矢势 A 的边值关系
n • (B2 B1) 0
n (H2 H1)
B A
B H
介质分布均匀，各向同性线性介质
n • ( A2 A1) 0
(7)
n
(
1
2
A2
1
1
A1 )
(8)
9 边值关系(7)式也可以用较简单的形式代替。
§4.1 磁场的矢势方程和边值关系
l n
A2
2
H
1
A1
在分界面两侧取一狭长回路，计算
A• dl A• dS B • dS
H 0
( A2t A1t )l 0
10
A2t A1t
(9)
§4.1 磁场的矢势方程和边值关系
n
h
• AdV A dS S
磁场的矢势与标势
磁场的矢势与标势在物理学中，我们经常听到“磁场”的概念，它是描述磁力作用的一种物理量。
然而，磁场并不是直接可观测的，我们只能通过测量它对其他物体的作用来间接了解磁场的存在。
那么，如何描述磁场的特性呢？这就引出了磁场的矢势与标势的概念。
矢势是用来描述磁场的一种物理量，它与电磁场的矢势有些类似。
我们知道，对于电场，有一个标量量叫做电势，可以通过取负的电场的梯度得到。
类似地，对于磁场，也可以引入一个矢量量叫做磁势，它是磁场的旋度。
磁场的矢势被定义为磁场的旋度。
旋度是一个向量，描述了矢量场在空间中旋转的程度。
在数学上，我们可以通过取磁场的旋度来获得矢势。
矢势的具体计算公式依赖于磁场的具体分布情况，通常需要通过数值计算或者近似解来求得。
与矢势相对应的是磁场的标势，它是一个标量量，描述了磁场的势能分布情况。
标势是磁场的散度，可以通过取磁场的散度来获得。
磁场的标势在很多情况下比矢势更容易计算，因为散度运算相对来说比旋度运算简单。
可以将矢势和标势结合起来，得到一个统一的矢量场，描述了磁场的所有特性。
磁场的矢势与标势在物理学中有重要的应用。
首先，它们可以帮助我们更好地理解磁场的本质。
通过矢势和标势，我们可以对磁场的分布、强度和方向等方面有更深入的了解。
其次，矢势和标势也可以用来解决一些实际问题。
例如，在电磁感应现象中，我们可以利用矢势和标势的计算来描述电磁场的变化，从而分析感应电流的大小和方向。
除了磁场的矢势与标势，我们还可以通过它们来推导出其他一些重要的物理量，例如磁感应强度和磁通量。
磁感应强度是描述磁场强度的量，可以根据矢势和标势的关系推导出来。
磁通量是磁场通过一个封闭曲面的总量，可以通过对矢势和标势积分得到。
磁场的矢势与标势是描述磁场的一种数学工具，通过它们可以更好地理解磁场的特性和作用。
与电磁场的电势一样，矢势和标势可以提供比磁场更直观，更容易计算和解析的量。
矢势和标势的引入丰富了我们对磁场的认识，为解决一些实际问题提供了重要的工具和方法。
5-1电磁波的矢势和标势
2009/12/3
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
第五章:电磁波的辐射
——高频交变电流辐射电磁波的规律 高频交变电流辐射电磁波的规律
① 无线电波 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射 发射天线上的高频交变电流辐射 出来的; 出来 ② 天线上的交变电流和其所辐射的电磁场是相互 作用的——复杂边值问题 ③ 本章的讨论仅限于:给定电流分布 给定电流分布,如何计算 辐射电磁波. 辐射电磁波
r A ( 为无源场) t
3)洛伦兹规范 辅助条件: ① 洛伦兹规范: r 1 A+ 2 =0 c t
r r A E = t
r r B = × A
② 若采用洛伦兹规范,关于势的微分方程可以 简化为简单的,对称形式 简单的,对称形式; ③ 由于其在处理实际问题的方便之处,下面将 要讨论的辐射问题采用的是洛伦兹规范.
——达郎贝尔方程 达郎贝尔方程(非齐次的波动方程)
μ0 J 1 A1 μ J 2 1 2 A2 2 2 = 0 2 μ0 J 3 c t A3 ρ ε 0
波 动 方 程
r r μ0 J 2 1 2 A 2 2 = c t ρ ε 0
辅 助 r 条 A + 1 = 0 件 c 2 t
① 在洛伦兹规范下,电荷产生标势波动 电流 电荷产生标势波动;电流 产生矢势波动; 产生矢势波动 ② 离开电荷和电流分布的区域以后,矢势和标 势都以波动形式在空间传播; ③ 由它们导出的电场和磁场也以波动的形式在 空间传播; ④ 电场和磁场的性质与这里所选的规范无关.
r r A ②可以引入标势 标势描述矢量场: + = E t r r A E = t
r r A ①E + 是无旋场; t
r r A =0 ×E + t
4)电磁场的势描述:
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万方数据
将（５）式两端取旋度再代入Ｂ＝卢Ｈ得：
Ｖ×Ｖ×Ａ＝∥Ｖ×Ｈ
（８）
将（８）式代入（２）式，并代入Ｄ＝￡Ｅ，得：
Ｖ×Ｖ×Ａ＝力＋肛巷
（９）
利用矢量旋度的旋度公式： Ｖ×Ｖ×Ｋ＝ Ｖ（ｖ·Ｋ）一Ｖ２Ｋ，并将（７）式代入（９）式，得：
Ｖ（Ｖ．Ａ）一Ｖ２Ａ＝彬叩莹（Ｖ≯）一肛繁
即Ｖ２Ａ＝一力＋Ｖ∽謇）＋
Ｖ（Ｖ．Ａ）堆警ａｆ
第２５卷第２期
Ｖ０１．２５ Ｎｏ．２
菏泽师专学报 Ｊｏｕｍａｌ Ｏｆ Ｈｅｚｅ ＴｅａｃｈｅｒＳ ＣＤｌｌｅｇｅ
２００３年５月。 Ｍａｖ． ２００３
文章编号：１００３—６３１８（２００３）０２—００６７一０２
电荷守恒原理与均匀介质中电磁场矢势 ４ 和标势缈的相容性分析
邵珠玉
（菏泽师范专科学校，山东菏泽２７４０１５）
Байду номын сангаас
摘要：从介质中麦克斯韦方程组导出均匀介质中电磁场矢势Ａ和标势妒所满足的非齐次波动方程，分析证明该波
动方程与电荷守恒原理是相容的．
关键词：电荷守恒原理；矢势；标势；麦克斯韦方程组；相容性
中图分类号：０ ４４
文献标识码：Ａ
１麦克斯韦方程组简介
麦克斯韦方程组是电磁场的基本运动方程．其 方程组为
ｆ ｖ×Ｅ：一挈铡
Ｖ２Ａ一丢警一力 勘‘ｄ￡‘
’。
Ｖ２妒一丢挚一詈
（１５） （１６）
介质中的矢势Ａ和标势９的达朗贝尔非齐次波动方 程，从此方程可以导出电荷守恒原理，说明电荷守恒 定律与矢势Ａ和标势妒是相容的．
（１５）、（１６）式方程正是达朗贝尔方程式，其特 解的物理意义是推迟势．即场点势的变化滞后于场 源的变化．滞后的时间正是电磁作用从场源所在点 传到场点所需的时间．真空中可＝Ｃ，电磁波等于光 速［２·３】．
３ 波动方程与电荷守恒原理的相容性分析 证明
将方程（１５）式两边取散度得：
参考文献：
［１］梁灿彬，等．电磁学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００． ５９８—６３８．
［２］阚仲元．电动力学［Ｍ］．济南：山东教育出版社，１９９８． １７４—２００．
［３］梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
（１０）
＊收稿日期：２００２一ｌＩ一０３ 作者简介：邵珠玉（１９５４一），男，助理工程师
６７
万方数据
２００３年
菏泽师专学报
第２期
将（７）式代入（３）式得：
Ｖ·Ｄ＝ｅ Ｖ·Ｅ—ｅ Ｖ·（Ｖ妒＋警）＿１０
Ｖ彬Ａ—Ｖ·口丢。ｄｒ。警一Ｖ哳）
即
即
一Ｖ２Ｐ—Ｖ·警＝詈
（１ １）
由于介质中，肛＝丢，（１０）、（１１）式就可改写成
＝一 巳ｅ
３
势妒满足洛仑兹条件：
将（１６）式代入（１８）式得：
一口丢２ ａ莹￡＼（－詈￡／）一户Ｐ。 Ｖ。Ｊｏ
州
ｖ．歹：宝 …。Ｊ—ａｆ
（¨１刊 ９）
‘ Ｖ·Ａ＋杀謇＝ｏ
‘，
ｖ‘
（１４） （１９）式正是电荷守恒原理的微分表达式．
那么（１２）、（１３）就可简为非齐次波动方程：
总之，从电磁场的基本方程组就可以推出均匀
Ｂ＝Ｖ×Ａ
（５）
将（５）式代人（１）得 Ｖ×（Ｅ＋警）＝ｏ （６）
由（６）式成立，Ｅ＋警的旋度为零，可引入标势Ｐ，
使得Ｅ＋警＝一Ｖ Ｐ，故得：
Ｅ一（Ｖ Ｐ＋警）
（７）
（５）和（７）式就是普通情况下电磁场矢量与矢势、标
势间关系．电场矢量Ｅ不仅与标势ｐ有关，也与矢势 Ａ有关，相当于电荷电场和感生电场两部分．
流，它们也激发电磁场，反过来影响原来的电磁场，
介质和磁场相互影响，相互作用［１，２Ｉ．
２ 电磁场矢势和标势所满足的非齐次波动 方程
由于麦克斯韦方程是一组联立的偏微分方程，
直接求解这组方程是比较困难的，但是利用电磁场 的一些基本特性，可以使处理简化，在普通情况下引
入矢势Ａ和标势Ｐ．即由（４）式成立可引入矢势Ａ， 并令
】９９９．】３３—２４２．
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｃｈａｒｇｅ ＣｏｎｓｅｒＶａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｖｅｃｔｏｒ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ａ ａｎｄ Ｓｃａｌａｒ Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ缈
ｉｎ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｍｅｄｉａ
ＳＨＡＯ Ｚｈｕ—ｖｕ
（Ｈｅｚｅ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃ。１ｌｅｇｅ，Ｈｅｚｅ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ ２７４０１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｉｒｓｔ ｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｍｎｈｏｒｎｏｇｅｎｅＯｕｓ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｖｅｃｔｏｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ａ ａｎｄ ｓｃａＩａｒ ｐｏ— ｔｅｎｔｉａｌ Ｂ ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒ。ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｈｏｍｏｇｅｎｅＯｕｓ ｍｅｄｉａ ｆｒｏｍ Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｅｄｉａ，ｔｈｅｎ ａｎａｌｙｚｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ。ｆ ｃｈａｒｇｅ∞ｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ． Ｉ（ｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｃｈａｒｇｅ ｃ。ｎｓｅｒｖａｔｉ（）ｎ；ｖｅｃｔｏｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｓｃａｌａｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
（１）
｛Ｖ×Ｈ＝歹＋挈
（２）
Ｖ·Ｄ＝１０
（３）
【Ｖ·Ｂ＝０
（４）
其中Ｊ０、．ｉ分别表示自由电荷和传导电流的体密度， Ｄ表示电位移，Ｈ表示磁场强度，Ｂ表示磁感应强
度，
方程组揭示了普通情况下电荷、电流激发电磁
场的规律以及电磁场内部矛盾运动的规律：电流能
激发磁场，变化的电场也能激发磁场；电荷能激发电
场，变化的磁场也能激发电场．电场增加激发的磁场 是右旋的，磁场增加激发的电场是左旋的．左旋和右 旋反映出电磁场的内部矛盾运动的相互制约关系， 电磁场相互激发形成电磁波．电磁波在介质中传播， 介质在电磁场的作用下也会产生极化电荷和诱导电
ＶｚＡ一丢警一Ｖ（Ｖ·Ａ＋丢害卜历
２
Ｖ２（Ｖ·Ａ）一丢嘉（儿Ａ）一∥儿Ｊ（１７）
将洛仑兹条件（１４）式代人（１７）式得：
Ｖ２（一丢謇）一丢要（一胆謇）一∥Ｖ·歹 即一丢暑（Ｖ２Ｐ一丢窘）＝一Ｆ Ｖ·Ｊ（，８）
芸２薹譬躲杂的一日果选择矢势Ａ和标即 Ｖ 妒
上铲 铲一乱 翌２ ＋ ａ一乱 Ｖ
Ａ ｝ 上护 盈乱望０