角平分线模型的构造
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第二讲角平分线模型的构造 3月
角平分线
(l)定义:如图2-1,如果∠AOB =∠BOC ,那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ,像OB 这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线.
(2)角平分线的性质定理
①如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,
②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(3)角平分线的判定定理 ①在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线, ②在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,
与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,
已知P 是∠MON 平分线上一点, (l)若PA ⊥OM 于点A ,如图2-2(a),可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.
(a)
O
(b)
(2)若点A 是射线OM 上任意一点,如图2-2(b),可以在ON 上截取OB=OA ,连接PB ,构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对
折看,对称以后关系现”.
(3)若AP ⊥OP 于点P ,如图2-2(c),可以延长AP 交ON 于点B ,构造△AOB 是等腰三角形,P 是底边AB 的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.
(c)
O
(d)
O
(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ,如图2-2(d),可以构造△POQ 是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”. 例1
(1)如图2-3(a),在△ABC 中,∠C=90。,AD 平分∠CAB ,BC=6cm ,BD=4cm ,那么点D 到直线AB 的距离是( )cm.
图2-3
(a )
(2)如图2-3(b),已知:∠1=∠2,∠3=∠4, 求证:AP 平分∠BAC .
图2-3(b )
例2
如图2-4(a),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D. AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
⑴求证:CE= CF.
图2-4(a)
⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A,D,E,的位置,使点E,落在BC边上,其它条件不变,如图2-4(b)所示.试猜想:BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
图2-4(b)例3
阅读下列学习材料:
如图2-5(a)所示,OP平分∠MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB
=OA,连接BC(如图2-5(b)),易证△AOC ≌△BOC.
图2-5(a)
图2-5(b)
请根据上面的学习材料,解答下列各题:
(l)如图2-5(c)所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点
A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
图2-5(c)
B
(2)如图2-5(d)所示,AD是△ABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由.
图2-5(d )
例4
如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,AB=AC ,BD 平分∠ABC ,CE ⊥BD ,垂足为点E ,
求证:BD=2CE.
图2-6(a )
B
(1)如图2-7(a),BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点A 作AD 上BD 、AE ⊥CE ,垂足分别为D 、E ,连接DE.
求证:DE ∥BC ,DE=2
1
(AB+BC+AC);
图2-7(a )
D
(2)如图2-7(b),BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线,其它条件不变;
图2-7(b )
(3)如图2-7(c),BD 为△ABC 的内角平分线,CE 为△ABC 的外角平分线,其它条件不变,
则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下,DE 与BC 还平行吗?它与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
图2-7(c
)
变式
如图2-8,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=DE
例6
如图2-9(a),AB=AC,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB.问:
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形?
图2-9(a)
B
图2-9(
b)
B
(2)过D点作EF∥BC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?(3)如图2-9(c),若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
(4)如图2-9(d),BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE∥BC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系?并说明理由.
B
(5)如图2-9(e),BD、CD为外角∠CBM、∠BCN 的平分线,DE∥BC交AB延长线于点E,交AC 延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
图2-9(e)
例7如图2-10(a)所示,已知△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠CAB,
求证:AB=ACD
图2-10(a)
变式1
如图2-11所示,已知△ABC中,AB=AC,
∠A=108°,BD平分∠ABC.
求证:BC=AB+CD.
B
变式2
如图2-12,已知△ABC中,AB=AC,∠A=IOO°,BD平分∠ABC,
求证:BC=BD+
AD. 例8
如图2-13(a),OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,
图2-13(a)
O
请你参考上图构造全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图2-13(b),在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD 之间的数量关系;