广西省梧州市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析

广西省梧州市2019-2020学年高考数学一模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=

-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．n

B ．1n +

C ．21n -

D ．21n + 【答案】C

【解析】

【分析】

利用()12n n n a S S n -=-≥证得数列21n a n ⎧⎫⎨

⎬-⎩⎭

为常数列，并由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】 由14121

n n S a n +-=

-，得1(21)41n n n a S +-=-，可得1(23)41n n n a S --=-（2n ≥）. 相减得1(21)(21)n n n a n a ++=-，则12121n n a a n n +=-+（2n ≥），又 由14121n n S a n +-=-，11a =，得23a =，所以12211211a a =⨯-⨯+，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

为常 数列，所以

1121211n a a n ==-⨯-，故21n a n =-. 故选：C

【点睛】

本小题考查数列的通项与前n 项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

2．若双曲线()22210x y a a

-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A ．)+∞

B ．[)2,+∞

C ．(

D ．(]1,2 【答案】C

【解析】

【分析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离d ≥

，由点到直线的距离公式可得a 的范

围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．

【详解】 双曲线()2

2210x y a a

-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，

由题意知，直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离，则

d =≥，

解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(

c e a ==. 故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

3．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r （ ）

A ．()4,6

B ．()4,6--

C ．1313⎛ ⎝⎭

D ．⎛ ⎝⎭

【答案】B

【解析】

【分析】 设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r 的坐标.

【详解】

设(),a x y =r ，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，

由//a m r u r 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r ，②，

所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩

，因此，()4,6a =--r . 故选：B.

【点睛】

本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

4．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,0)-∞

B ．(,1]-∞

C ．(0,)+∞

D ．[1,)+∞

【答案】B

【解析】

【分析】

转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +…，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研

究单调性，求函数最值，即得解.

【详解】

由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +…．

设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h

x x

'=

+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，

所以min ()(1)1h x h ==．

所以min ()1a h x =…． 故a 的取值范围是(,1]-∞．

故选：B

【点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

5．设不等式组030

x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ）

A ．524

B ．724

C ．1124

D ．1724

【答案】B

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，

因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34

π，6π， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224

πππ-=.