柯西不等式求最值

柯西不等式求最值

１. 设a 、b 、ｃ为正数，求4936

()()a b c a b c

++++的最小值 【答案】121

２.设x ，ｙ,z ∈ Ｒ,且满足x 2 + y ２

+ z 2 = 5,则x + 2y ＋ 3z 之最大值为

解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z ２

)（12 ＋ ２2 + ３2) = ５．14 = 7０ ∴ x ＋ 2y + 3z 最大值为70

3．设ｘ，y,z ∈ R ，若x 2 ＋ y 2 ＋ z ２

＝ ４,则ｘ - ２y + 2z 之最小值为 时，(ｘ,y ，z) ＝

解(x - 2ｙ ＋ 2z)2 ≤ (x 2 + ｙ２ + z 2)[1２ + ( － 2） 2 ＋ 2２

] ＝ ４．9 = 36 ∴ ｘ - ２y + 2z 最小值为 - 6

此时

3

22)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=

x ,34=y ,3

4

-=z 4.设,,x y z R ∈，2

2

2

25x y z ++=，试求22x y z -+的最大值M 与最小值ｍ。

答：根据柯西不等式

)](2)2(1[)221(2

2

2

2

2

2

2

z y x z y x +++-+≤⋅+⋅-⋅ 即259)22(2

⨯≤+-z y x 而有152215≤+-≤-z y x

故z y x 22+-的最大值为15，最小值为–15。

5．设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求2

22z y x ++之最小值

)]()2()1(2[])2()1(2[2222222z y x z y x ++-+-+≤-+-+即

)(9)22(2222z y x z y x ++≤-- 将622=--z y x 代入其中,得 )(9362

22z y x ++≤ 而有

42

22≥++z y x 故2

2

2

z y x ++之最小值为4。

变形:．设x,y,z ∈ R ，2ｘ + ２y + z + 8 = ０，则(x - 1）2 + (y + ２)2 + （z - 3)２

之最小值为 [2（x - 1) + 2(y ＋ ２) + (z － 3）]２

≤ [(x － 1)２

+ (y + 2) 2 + (z － ３) 2].(22 + 22 + 12) ⇒ (ｘ - 1)２

+ (ｙ + ２) 2 + (z - ３) 2 ≥

9

)9(2

-= 9

6．设x, y, z ∈R ，若332=+-z y x ，则2

2

2

)1(z y x +-+之最小值为_＿______,又此时=y ____＿___

1436])1([)332(]1)3(2][)1([2222222222≥

+-+++-≥+-++-+z y x z y x z y x ∴最小值7

18

1, 233,2(2)3(31)3231x y z

t x y z t t t -===-+=∴--++=-

∴73=t ∴7

2

-=y

7.设a, b, c 均为正数，且232=++c b a ，则

c

b a 3

21++之最小值为_______＿，此时=a ______＿_。 解: 22222

22)321(])3()2()1][()3()2()[(++≥++++c

b a

c b a

∴18)321(

≥++c

b a ,最小值为1８ 等号发生于 v u // 故 c

c b

b a

a 33221=

=

∴c b a == 又232=++c b a ∴3

1=a

8．设x, y ， z ∈R ，若4)2()1(2

22=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为何?又z y x 23--发生最小值时，=x ? 答案:2

222222)2233(])2()1(3][)2()1[(z y x z y x ----≥-+-++++-

14

25231425142523142)523()14(42

+≤--≤-≤---≤----≥z y x z y x z y x

若142523-=--z y x 又t z

y x =-=-+=-2

1231∴1425)2(2)2()13(3-=-----+t t t

∴714-=t ∴17

14

3+-

=x 9．设x ，y ，ｚ ∈ R 且

14

)3(5)2(16)1(2

22=-+++-z y x ，求x + y + z 之最大值,最小值。 Ans 最大值7;最小值 - ３

【解】ﻫ∵

14

)3(5)2(16)1(2

22=-+++-z y x 由柯西不等式知ﻫ[４2 + (5)２

+ ２2]⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++-2

22)23()52()41(

z y x ≥ ．．．2)52(5)41(4++⎢⎣⎡

+-y x 2

)23(⎥⎦

⎤

-z ⇒ 25 ⨯ １ ≥ （ｘ + y + z - ２)2 ⇒ 5 ≥ |x + y + ｚ - 2|ﻫ⇒ － 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7ﻫ故ｘ + ｙ + z 之最大值为7，最小值为 - ３

11．（200８南开)设,,a b c 为正数，且1a b c ,++=求222111

()()()a b c a b c +++++的最小值.

【答案】由柯西不等式

222111()()()a b c a b c +++++22111119100

()(1)333a b c a b c a b c ≥+++++≥+=++

12.如果1a b c ++=

【答案】解:

(

)()

2

2

131131*********+⨯++⨯++⨯=+++++c b a c b a

≤)111(2

2

2++()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++2

2

2

131313c b a ()1833333=+++=c b a

∴131313+++++c b a 23≤