能量法能量法

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第3章能量法

V
V F
l
l
0
M 2 ( x)dx 2 EI
F 0
l M 2 ( x) 1 M ( x) 1 dx 2M ( x) F 0 dx 0 0 F 2 EI F F 0 2 EI
V 1 即： F EI

l
0
M ( x) F 0
M ( x) dx F F 0
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。
因积分后Vε为Δi 的函数，所以有：
V dV d i i
目录
18
I、卡氏第一定理
当第i 个荷载相应的位移Δi有一增量dΔi时，外力的功
dW dV Fi d i
故：
V Fi d i d i i
说明：
线弹性、单向应力状态：

1
0
1 2 d E1 2 2E
2 1
线弹性、纯剪应力状态：

1
0
1 2 d G 1 2 2G
2 1
9
目录
例题3-1
弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，试求 q 梁内的应变能
A B
w
解：梁的弯矩方程：
1 1 2 M qlx qx 2 2
25
目录
II、卡氏第二定理
同样，对于同时作用有n个荷载F1，F2，…，Fn 的梁，外力的余功为：
Wc Vc i df i
Fi i 1 0 n
其中fi、δi为加载过程中荷载及位移的瞬时值。积分后Vc 为fi 的函数。当第i 个荷载Fi 有一改变量dFi时，外力的余功增量：
dW c dVc i dFi
目录
II、卡氏第二定理

材料力学第三章能量法

三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)

第十三章 - 能量法.ppt-结构力学

三利用功能原理计算位移
第十三章能量法/三利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章能量法/三利用功能原理计算位移
例题图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章能量法/二变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI

mo l 3EI
第十三章能量法 /一外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章能量法/二变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n

第10章能量法

M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上做的功等于j 力在 i 力引起的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′

材料力学13能量法

1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =

13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列例求简支梁外力P作用点C的挠度。弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P

第十三章能量法

BC段：(0 x1 a)
M (x1) FB x1
F
F
B
C
A
EI
a
a
F FB F
AC段：(a x2 2a)
B
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
M ( x1
PFBB
)
x1 , MP(FBxB2
)
x2
C
x1
EI
x2
a
A
a
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1
W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*
1 2
F11原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
l GI p
Fi
l EI
Fi
例桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D 点的垂直位移。

弹簧弹性势能公式的六种推导方法(4页)

弹簧弹性势能公式的六种推导方法一、基本概念与公式弹簧弹性势能是指弹簧在发生形变时所储存的能量。

根据胡克定律，弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \frac{1}{2} k x^2 \]其中，\( E \) 表示弹簧的弹性势能，\( k \) 表示弹簧的劲度系数，\( x \) 表示弹簧的形变量。

二、推导方法一：能量守恒法假设弹簧原长为 \( l_0 \)，形变量为 \( x \)，则弹簧在形变过程中的弹性势能为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。

将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]三、推导方法二：积分法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。

将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]四、推导方法三：微分法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。

将 \( F \) 代入上式，得到：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} kx dx = \frac{1}{2} kx^2 \]五、推导方法四：动能定理法弹簧的弹性势能可以表示为：\[ E = \int_{l_0}^{l_0+x} F dx \]根据胡克定律，弹簧的弹力 \( F \) 与形变量 \( x \) 成正比，即 \( F = kx \)。

理论力学第十三章能量法

F3 F2
F1
3
F4
1 1 F1δ1 F2 δ2 2 2
（2）在结构上再作用有力
F3 ,F4
2
1
4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3 , 4
1 1 F3 和 F4 完成的功应为 F3 δ3 F4 δ4 2 2
31
（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移
1´和 2´
av
图b
23
av av
1 - av 2 - av
图c
av
图b
3 - av
1 2 所示的单元体的三个主 ( 1 2 3 ) E 应力之和为零
0
图C单元体的应变能为 :
v vV vd 0 vd 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 vd 6E
BA :
V
L b
②、变形能： T ( x2 ) Fb. M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx L 2GI 2 EI P
2 2 a ( Fx ) dx a ( Fb) dx ( Fx1 ) 2 dx 2 0 0 2 EI 2 EI 2GI p

0
F 2 (a 3 b 3 ) F 2 ab2 6 EI 2GI p
F1 和 F2 在 1´和 2´上完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
F3
F2 F1
2 1 1
2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
1 1 1 1 ' ' Vε1 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F1δ1 F2 δ2 32 2 2 2 2

材料力学第12篇能量方法

(
2 x
2 xy
2 xz
)dV
V 2E 2G 2G
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) F N (x)
dx 图12.9
组合变形时的应变能
M T(x) M (x)
FN (x)
MT(x) M (x) FN (x)
dx
图12.9
dV
dW
1 2
FN (x)d(l)
1 2
M T (x)d
dF1l EA
F 2l 2EA
1 2
Fl
V
1 2
F l
FN2l 2EA
F
(a)
如果杆件的轴力 FN 分段为常量时
V
n FN2i li i 1 2Ei Ai
△l
l
F
F1
dF1
F A
B △l
O
△ l1 d(△ l1)
△l
(b)
图12.1
杆件轴线的轴力为变量 FN (x) 时
V
l
FN2 (x) 2 EA( x)
V
V
v
dV
l
A
1 2G
FbSISzz*图122.d6 A
dx
(d)
γdx
dx
(c) 图12.6
FS( x)
梁的应变能
V
V v dV
{
l
A
[
M 2(x)y
2EI
2 z
2
FS
2
(
x)
S
*2 z
2GI z2b 2
]dA}dx
令
k
A
I
2 z
A

材料力学第26讲 Chapter3-1第三章能量法(应变能余能)

利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形及内力等的方法，统称为能量方法。
能量方法是用有限元法解固体力学问题的重要基础。
4
能量方法用途很广：
不仅适用于线弹性问题；也可用于非线性弹性问题；曲杆问题；
5
本章要介绍的几种能量方法：
应变能原理－卡氏第一定理余能原理－卡氏第二定理虚位移原理及单位力法
6
§3–2 应变能余能
应变能的计算：
I. 应变能
外力缓慢做功W ，无损失地转化为应变能（不
转化成动能、热能），贮存于弹性体内部。
V W
7
一、线弹性问题
1. 轴向拉压杆件应变能的计算
W 1 Fl
2
l Fl
W F 2l 2EA
F
EA
W＝V 功能原理
V
EAl2
2l
F 2l V 2 EA
5P1P2l3 48EI
23
进一步分析
21
P1
P2
12
l
l
2
2
21P16(E 2l)Il2(3l2l)458P1E l3I
l
l
2
2
12P26(E 2l)Il2(3l2l)4 58 P2 E lI3
P112 P221 ====== 功的互等定理 ======
第一组力在第二组力作用所产生位移上做的功等于第二组力在第一组力作用所产生位移上做的功。
17
4.3 弯曲杆件应变能的计算
V
V vdV
V
1 2
dV
V
1 2E
2dV
l
A21E(M Izy)2dAdl l
A21E(M Iz )2y2dAdl
d l dx M 2 l 2EIz

第十三章能量法(二)

Page12
第十三章
能量法（能量法（二）
冲击过程演示
冲击变形最大位置回弹静平衡位置
冲击末－冲击末－变形最大位置
静平衡位置
被冲击物内点的位移-时间曲线被冲击物内点的位移时间曲线
Page13
第十三章
能量法（能量法（二）
冲击应力分析的工程方法
工程简化假设冲击物为刚体冲击物与被冲击物接触冲击物与被冲击物接触后，始终保持接触被冲击物的质量忽略不计冲击过程中的能量损失忽略不计工程简化模型的推论冲击变形最大时，冲击变形最大时，冲击物的速度为零
缓冲措施－如何减少冲击载荷、冲击应力？缓冲措施－如何减少冲击载荷、冲击应力？
依据：依据： d = Kdst
P = Kd P σd,max = Kdσst,max d
途径：途径：k ，st ，Kd ，σd,max 结论：降低冲击载荷（应力）结论：降低冲击载荷（应力）的主要途径：主要途径：减小被冲击构件或系统的刚度措施：配置缓冲弹簧或弹性垫片，措施：配置缓冲弹簧或弹性垫片，增大构件的柔度等应用：车辆减振系统；应用：车辆减振系统；脚后跟部带有气垫的运动鞋等
能量法（能量法（二）
P
EI0
l x
H
2H P = P (1+ 1+ ' ) st
' d '
l
240P ) = P (1+ 1+ ' P
'
又 P' = P , d d
'
P = 20P d
10 P ∴ P = 7 重物重量可增加
'
240P 故 P (1+ 1+ ) = 20P ' P

材料力学能量法

能量法一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的能量“”。

弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量1、性变形能具有可逆性。

2、塑性变形能不具有可逆性。

二、变形能的计算：利用能量守恒原理能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的能量，在数值上等于外力所作的外力功。

三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。

常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、卡氏定理等。

在卡氏第二定理中应该注意的问题①、Vε——整体结构在外载作用下的线弹性变形能。

②、F i视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为F i的函数②、Δi为F i作用点的、沿F i方向的变形③、Δi处要有相应的荷载，当无与Δi对应的F i时，可采用附加力法进行计算。

既先加一沿Δi方向的F i（在所求位移处沿所求位移的方向加上相对应的附加力），求偏导后，在令其为零，结果即为实际荷载作用的位移⑤、结果为正时，说明Δi与F i的方向相同；结果为负时，说明Δi与的F i方向相反。

单位力载荷法注意问题1、此种方法存在两个力系：一个为实际的力系；另一个为单位力系。

2、单位力必须与所求位移相对应：若求线位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力；若求角位移——则单位力必须作用在所求点沿所求位移方向加单位的集中力偶。

2、内力的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。

莫尔积分必须遍及整个结构。

4、结果为“+”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相同；“-”只说明所加的单位力的方向与实际的位移方向相反。

材料力学(能量法)

弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做功，使其产生压缩变形和位移。外力做功的大小与外力的大小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部会产生应力和应变，从而消耗能量。内力耗能的大小与材料的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料的弹性变形，会储存一定的弹性势能。弹性势能的大小与材料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变化，判断结构的稳定性。若失稳后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪结构的平衡路径，观察结构从稳定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵，求解特征值和特征向量，分析结构的振动特性和稳定性。

材料力学2--能量法

因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量, 而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d i ，仅Fi 作了外力功，外力功的变化为：
d W Fi di
注意到上式与下式在数值上相等
V d V d i i
从而有：
V Fi i
（卡氏第一定理）22l l 2 l l 2 FN EA
F F F Fl FN 2 sin 2 tan 2 l 2
F 代入前一式得： l EA
3
F F= ( /l )3 EA
或： F EA
l
3
（几何非线性弹性问题）
O
其F-间的非线性关系曲线为：应变能为：
所以有
V vV v Al
应变能的特征：
（1）应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关；（2）由能量守恒原理可以证明：应变能仅与荷载的最终值有关，而与加载的顺序无关；（3）在线弹性范围之内，应变能为内力（或位移）的二次函数，因此力的叠加原理不再适用；
例1：弯曲刚度为 EI 的简支梁受均布荷载 q 作用，如图所示。试求梁内的应变能。
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
V c 解得： i Fi
（称为“余能定理”）
特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能 V 在数值上等于余能V c ，此时上式变为：
V i Fi
（称为“卡氏第二定理”）
式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。
应用卡氏第一定理得
V EA 4 2 2 ( 1 2) 0 1 2l 2 2 V EA 2 ( 1 2) F 2 2l 2

电源与负载的判别方法

电源与负载的判别方法摘要：一、电源与负载的定义与关系二、电源与负载的判别方法1.电压法2.电流法3.功率法4.能量法三、实际应用与注意事项四、总结正文：在电路系统中，电源和负载是两个至关重要的概念。

电源是提供电能的装置，而负载则是消耗电能的设备。

正确判断电源与负载的关系，对于电路的合理设计、安全运行以及节能降耗具有重要意义。

本文将介绍电源与负载的判别方法，以帮助读者更好地理解和应用电路知识。

一、电源与负载的定义与关系1.电源：电源是能够将其他形式的能量转化为电能的装置，如化学能、热能、光能等。

常见的电源有电池、发电机、变压器等。

2.负载：负载是指在电路中消耗电能的设备，如灯泡、电动机、电阻等。

负载的性质和大小会影响电路的性能和稳定性。

3.关系：电源与负载之间通过导线连接，形成电路。

在电路中，电源提供电能，负载消耗电能，电流在两者之间流动。

二、电源与负载的判别方法1.电压法：通过测量电路中的电压，判断是否存在电源。

若电路两端存在电压，则说明有电源存在。

此方法适用于直流电路和交流电路。

2.电流法：通过测量电路中的电流，判断是否存在负载。

若电路中有电流流动，则说明有负载存在。

此方法适用于判断直流电路和交流电路中的负载。

3.功率法：通过测量电路中的功率，判断电源与负载的关系。

电源的功率等于负载的功率，可根据功率大小判断两者关系。

此方法适用于直流电路和交流电路。

4.能量法：通过测量电路中的能量转换，判断电源与负载的关系。

若电路中存在能量转换，则说明有电源和负载。

此方法适用于判断各类电源和负载的关系。

三、实际应用与注意事项1.在实际应用中，电源和负载的判别方法往往需要结合使用，综合分析。

2.判断电源时，要注意区分直流电源和交流电源，选用合适的判别方法。

3.判断负载时，要考虑负载的性质和大小，以及电路的稳定性。

4.在判断电源与负载时，要注意安全措施，避免触电、短路等事故。

四、总结电源与负载的判别方法是电路分析和设计的基础知识。

《材料力学》11-1能量法

F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n

材料力学第十三章能量法

1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （）
例题图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠度和转角.

能量法公式

能量法公式能量法公式在物理学中可是个相当重要的家伙！它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多看似复杂的物理问题的大门。

我记得有一次给学生们上课，讲到能量法公式的时候，一个平时特别调皮的小男生瞪大了眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这能量法公式到底有啥用啊？”我笑了笑，决定先不直接回答他，而是给他讲了一个小例子。

我说：“想象一下，你在操场上扔一个球。

球飞出去的过程中，它的速度在不断变化，位置也在改变。

那我们怎么知道这个球到底具有多少能量呢？这时候能量法公式就派上用场啦！”咱们先来说说能量法公式到底是啥。

简单来讲，能量法公式包括动能定理、势能定理等等。

动能定理说的是合外力对物体做功等于物体动能的变化量。

比如说，一个物体受到一个力的作用，在力的方向上移动了一段距离，这个力做的功就会导致物体的动能发生改变。

势能定理呢，常见的有重力势能定理和弹性势能定理。

重力势能跟物体的高度和质量有关。

就像一个苹果从树上掉下来，它的重力势能会不断转化为动能。

在实际问题中，能量法公式可是大显身手。

比如说，一辆汽车在爬坡，我们可以用能量法公式来计算它需要多大的功率才能顺利爬上去。

再比如，一个秋千上的小朋友，从最高点荡到最低点，我们能通过能量法公式算出他在最低点的速度。

我还曾经带着学生们做过一个小实验，来更直观地感受能量法公式的魅力。

我们用一个小斜坡，让一个小球从上面滚下来，测量小球在不同位置的速度和高度，然后用能量法公式去验证我们的测量结果。

那个时候，学生们可兴奋啦，一个个争着去测量、记录数据。

回到学习能量法公式的过程中，很多同学一开始会觉得头疼，觉得这些公式又多又复杂。

但其实啊，只要多做几道题，多联系实际生活中的例子，就会发现它并没有那么可怕。

就像前面提到的那个调皮小男生，经过一段时间的学习和练习，他终于不再迷茫，还能在课堂上主动给其他同学讲解能量法公式的应用呢！总之，能量法公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去学，去感受它在生活中的应用，就一定能掌握它，让它成为我们解决物理问题的得力助手！。

浅谈偏微分方程中的基本方法——能量法

浅谈偏微分方程中的基本方法——能量法
能量法是偏微分方程研究中常用的基本方法。

该方法是通过研究能量函数在某一满足有限
条件（有限时间）内如何变化并且求得最优解来解决偏微分方程问题。

能量法的基本思想
是将偏微分方程的求解转化为寻找一个能量最小的状态。

解决偏微分方程的能量法可以分为两个步骤：第一步是建立能量函数，其通常有两部分函
数组成，即势能函数和动能函数；第二步是使用最优控制来求得满足特定有限时间、特定
步长等条件下的最优状态。

在这种情况下，在指定的时间区间内，满足最小的能量函数的
值即为最优状态。

能量法的优点是能够计算出一个渐进最优的结果。

这个结果通常比迭代法的结果更准确。

而且，能量法的计算速度也快于其他方法，它可以在较短的时间内得到准确的最优解。

但当偏微分方程存在多个复杂的有限条件时，能量法很难获得满足所有有限条件的最优解，而且计算成本也会增加。

因此，在使用能量法时，需要慎重考虑条件的选择，以及确定能
量函数等问题。

总之，能量法是偏微分方程研究中常用的一种重要方法，它可以有效的解决实际问题，取
得准确的结果。

但是在使用这种方法时，需要综合考虑多种因素，使用时应慎重，以获得
最优的结果。