[整理]东南大学高等数学期中期末试卷.

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东南大学高等数学期中期末试卷15页

第 1 页东南大学考试卷（ A 卷）课程名称高等数学（非电）考试学期 04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点是第类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f . 3.()()=-+⎰--x x x x xd e e1112005.4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,()x f 取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是[ ] (A)()()x x βα2 (B)()()xx x 1sin22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln(D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x的渐近线共有[ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条第 2 页3. 下列级数中收敛的级数是[ ] (A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n (C) ()nn nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111(D)∑⎰∞=+1104d 1n n x xx4. 下列结论正确的是[ ](A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln limx t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设b a <<0,求证()ba ab a b +->2ln. xln第 3 页六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111<=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn n n n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分2 3. 原式=()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x第 4 页4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x xx=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x x π5. 对应的齐次方程的通解为分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x xy -=,原方程的通解为x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e ),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e =ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f第 5 页()1,0112≥≥-=''t tt t f ,且等号当且仅当1=t 时成立分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证. 分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时, ())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xtt f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f第 6 页东南大学考试卷（A 卷）课程名称工科数学分析考试学期 04－05－2（期末）得分适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度 150分钟第 7 页4.下列结论正确的是 [ ]一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝。

资料：08-09-2A、B期中

模板资料资源共享东南大学考试卷课程名称高等数学A 、B （期中）考试学期 08-09-2得分适用专业工科类考试形式闭卷考试时间长度 120分钟题号一二三四五六七得分一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．2lim ln 121x xx x →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭；2．当0x →时，1cos(1cos )x --与kx α是等价无穷小，则k = ，α= ；3．设sin x y x =，则2d x yπ==______________；4．设()y y x =是由方程e tan()xyxy y +=所确定的隐函数，则(0)y '= ；5．()ln f x x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为_____ ______；6．已知曲线2y x ax b =--和242y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = .二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．设()()()()()f x x a x b x c x d =----,其中常数a 、b 、c 、d 互不相等,且()()()()f k k a k b k c '=---, 则k 的值等于 [ ](A ) a (B ) b (C ) c (D ) d 8．若极限0lim ()x x f x →存在，则下列极限一定存在的是 [ ](A ) ()0lim ()x x f x α→（α为实常数） (B )0lim ()x x f x →(C) 0lim ln ()x x f x → (D ) 0lim arcsin ()x x f x →9．已知()f a '存在,则220(2)()limh f a h f a h h→+--= [ ] 学号姓名模板资料资源共享(A )()2()f a ' (B ) 2()()f a f a ' (C ) 6()()f a f a ' (D ) 3()()f a f a ' 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分） 21sin e xx x x →+- 11. （6分） 2ln sin limln cos x x xx x→+∞++12．（7分）设123arctan e 6x t t y t tπ+⎧⎪=++⎨⎪=+⎩，求212d d t y x =.13. （7分）设()2sin ()y f x =，其中函数f 具有二阶连续导数，求22d d yx.四(14).（7分）已知函数2e cos,0()sin(),0xa x xf x bxx xx⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩可导，试求常数a和b的值.五(15).（7分）试求函数3e()lime sintxtxtx xf xx→+∞-=-的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.模板资料资源共享模板资料资源共享六(16). (9分)设1,0,1()ln 1,1x x x L x x x -⎧>≠⎪=⎨⎪=⎩1()(0)2x x L x x +≤≤>.七(17)．(6分) 设函数f 在区间[,]a b 上二阶可导，且()()f a f b =，证明：对于任意的0α>，都存在(,)a b ξ∈，使得 ()()f f b αξξξ'''=-.。

高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（）（A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆；（C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。

2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ）一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。

3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ）不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。

二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。

东南大学高等数学B期中考试试卷

1 / 407-08-3高数B 期中试卷参考答案08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)l n nn ∞=⎛⎫-+ ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关 2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)1x ⎰(B) 21x ⎰ (C )321d l n (1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(c o s s i n )2n nn a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()c o s d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰， 11()s i n d (1,2,)n b f x n x x nπ-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为；6. 曲线22234x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在y O z 面上的投影曲线方程是； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 .2 / 4三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.3 / 413. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。

东南大学高数试卷及答案-09-10-2高数期末(有答)-1

共 4 页第 1 页09-10-2高数试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．函数1()[]f x x x =-的定义域是 \R Z ，值域是 ()1,+∞ 。

2．设ln ,0,1(), 1, 11xx x f x a x a x ⎧>≠⎪==-⎩-⎨⎪=当时，()1f x x =在连续。

3．曲线22(1)x y x =+的斜渐近线的方程是 1122y x =- 。

4．(211d x x -=⎰2 ；5．函数22(1)x t y t e dt =-⎰的极大值点是 0 x =；6．a rcs n(21i )C x C +=-⎰或；7．设21()0x yt y y x x e dt +-=-=⎰是由所确定的函数，则1 x e dy dx=-=；8．曲线族1212(,)x xxy C e C e C C -=+是常数所确定的微分方程是 20xy y xy '''+-= ；9．11lim sin 2n n k k n n ππ→∞==∑。

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分） 10．2ln sin sin xdx x ⎰ cot lnsin cot x x x x C =---+11.23π+∞=⎰12．20cossin cos lim(1cos )x x x x x →-- 13=共 4 页第 2 页13．2cos 2dxx π+⎰=14。

设2()arcsin(1),(0)0f x x f '=-=，计算1()f x dx ⎰142π=- 三（15）．（本题满分8分）求微分方程22xy y x e '''-=+满足初始条件01x y ==，54x y ='=的特解. 2221222211()421111()2242x xx xy C C e x x xe y e x x xe =+-++=+-++特解四（16）．（本题满分7分）设函数()y f x =在区间[0,1]上可导，在(0,1)内恒取正值，且满足2()()3xf x f x x '=+，又由曲线()y f x =与直线1,0x y ==所围图形S 的面积为2，求()f x 的表达式，并计算图形S 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。

07-08-3高等数学B期中试卷东南大学高等数学试卷

e n1 x dx 的敛散性.
n
n1
六（16）.（本题满分 10 分）将函数 f (x) 2x (0 x ) 展开成正弦级数，并求级 4
数 (1)n1 的和.
n1 2n 1
止于至善
线方程.
12．将函数 f (x) ln 2x2 x 3 展开为 x 3 的幂级数，并求收敛域.
13. 求幂级数 (1)n1nx2n 的和函数，并指明收敛域 n1
四（14）．（本题满分
9
分）求母线平行于向量
j
k
，准线为
4
x
2
y2
1 的柱面方程.
z 1
五（15）。（本题满分 9 分）判断级数
1
) ，则 S 3
(A) 1 2
(B) 1
(C) 0
二．填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分)
[]
(D) 2
5. 若 2a 3b 垂直于 a b ，且 a 2 b ，则 a 与 b 的夹角为
；
6.
曲线
2
x
2
3y2
4绕
y 轴旋转一周所成的曲面方程是
z 0
7.
曲线
2x2 3
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
止于至善
07-08-3 高数 B 期中试卷
一.单项选择题(本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分)
1.
级数
(1)n
ln
1
a
（常数 a 0 ）
n1
n3
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 2. 下列反常积分发散的是

东南大学高等数学(A,B)(上册)期中试卷及答案(2003_～2009)

03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。

六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。

七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。

八、（8分）所求点为(, )22P a 。

2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D2三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求）四.(8分) 用函数的单调性来证明。

高数电(期中)考试试题

1 / 4东南大学考试卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（A ）考试学期 05-06-3得分适用专业选学高数（A ）的各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y xy x y +≤+=⎰⎰ ；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。

二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y t π=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ]2 / 4(A)π (B)π- (C)0 (D)π2 （第2页） 9．设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续；（B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在；（D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。

06-07-3高等数学B期中试卷及答案东南大学高等数学试卷

12．解
d dx
f1
f2
(g1 2xg2 ) （3
分）
d2 dx2
f11 2 f12 (g1 2xg2 )
f22 (g1 2xg2 )2
f2 (g11 4xg12
4x2g22
2g2 )（5 分）
13.解 f (x) 1 2
1
2
（3 分） (1)n 2 (x 1)n （4 分）
n1 n(2n 1)
n1
x2
n1
2 1 x2
,
x (1,1) ,（2 分）S(0) S(0) 0 ，S(x) 2arctan x ，S(x) 2x arctan x ln 1 x2
（3
分）
n1
(1)n1 n(2n 1)
1
n
3
S
1 3
3
）. （本题满分 8 分）
.
二．单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
6． [ C ] 7． [ B ] 8． [ C ] 9. [ C ]
止于至善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10．解 L 的方向向量 a 2,5, 6 ，（2 分）的法向量 n 7,8,9，所求直线的方向向
1 收敛. （4 分）收敛域为 (, 1) (1, ) （1 分）
n1 1 x2n
1
止于至善
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四（15）．（本题满分 8 分）
解首先对 f (x) 在 x 0 上作奇延拓,再以 2 为周期作周期延拓,得
n1

06东南大学高等数学试卷期中试卷

x2 y2
六（17）. （本题满分 6 分）设函数 z f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 fy 0 ，证明：对任意常数 C , f (x, y) C 为一直线的充分必要条件是 ( f y )2 f xx 2 f x f y f xy f yy ( f x )2 0
止于至善
三.计算下列各题(本题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分)
10．设
f
(x, y), g(x, y) 有连续的二阶偏导数，令(x)
f
(x, g(x, x2 )) ，求
d 2 dx2
.
11. 求函数 u z2
x2
2y2
在点
M
0
1,
1 2
,1
处沿曲面
x2 4
y2
z2 2
1 在该点的外法线
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06高A期中试卷
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．曲线
xyz x
y
1
2
在点
(1,1,1)
处的切线方程为
；
2．方程 xyz x2 y 2 z 2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1,0,1) 处的全微分
（A） 4 2 dx
0
0
dy
f (x, y, z)dz （B） 2 2 dx
dy
f (x, y, z)dz
3x2 y2
0
14 x2
3x2 y2
1
14 x2
1 x2
C）
2 1
dx
dy
14 x2

东南大学《高等数学》2008-2009学年期中试卷A卷

东南大学考试卷课程名称高等数学（A）期中考试学期 08 - 09 - 3 得分适用专业选学高数（A）的各专业考试形式闭卷考试时间长度120 分钟54200 y 2 4 4 y1．交换积分次序- 2 dyf(x, y)dxdyf(x, y)dx ；2设e z 1 i 0 ，则Re z Im z ；3设z z ( x , y ) 是由方程y z xf ( y2 z2 ) 所确定的隐函数，其中f可微，则全微分dz ；4设C为由x y与x轴, y轴围成的三角形的边界, e x y d s；C5设f ( x , y ) 连续，D ( x , y ) 0 x 1, 0 y x2 ，且f(x ,y ) y f(y, d y d 则Df(x,y)dxdy 。

．D4416xy6函数f ( x , y ) x2 y2 , ( x , y ) ( 0 , 0 )在点( 0 , 0 ) 处0 , ( x , y ) ( 0 , 0 )(A)连续且偏导数存在(B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D) 不连续且偏导数不存在7设D ( x , y ) x2 y2 1 , D1为D在第一象限部分,则下列各式中不成立的是（A） d x d y 4 d x d yD D1 （B）xy d x d y 4 xy d x d yD D1（C）( x x3 y2 ) d x d y 0 D （D）x2 y3 d x d y x3 y2 d x d yD D8设f ( t ) C [ 0 , ) , I ( R ) f ( x2 y2 z2 ) d v,则当R 0 时, I ( R )2 2 2 2x y z R（A）是R的一阶无穷小（C）是R的三阶无穷小（B）是R的二阶无穷小（D）至少是R的三阶无穷小9．设f ( x , y ) 在原点的某邻域内连续，且lim a 0 ，则x 0 x 1 x s in y c o s yy0（A）f ( x , y ) 在原点处取得极大值（B）f ( x , y ) 在原点处取得极小值（C）不能断定f ( x , y ) 在原点处是否取得极值（D）原点一定不是f ( x , y ) 的极值点(5840)10计算二重积分 d ，其中D ( x , y ) x 2 y2 1 , x y 1 .x yD11计算曲面积分( z y ) d A，其中是由z 0 , z 1 与z2 1 x2 y2 所围成的立体的表面.12求，其中为圆柱体y2 z2 R2 ，x R ( R 0 ) 的表面，x y z取外侧.13求由曲面x2 z 1 , y2 z 1 和z 0 所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标.14已知解析函数f ( z ) 的实部u ( x , y ) 2 xy ,求f ( z ) 的表达式（用变量z 表示）和f ( i ) ．158求函数u x2 2 y2 3 z2 在球面x2 y2 z2 1 和平面x y 0 的交线上的最大值与最小值.x y 2 0168试求过直线x 5 y z 3 0面方程.，且与曲面z x2 y2 相切的平2 2178设ab 0 , f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，且a2 b2 0 ,x y2f ( ax , bx ) ax，f x( ax , bx) bx，求fxx ( ax , bx) ，fxy( ax , bx ) ，f yy( ax , bx ) .08-09-3A54202 4 xe( 2 ) 2C5、44 166 、 C7 、 B8 、 D9 、 B .( 5 840 )DdD11 、1 x2 y 22 D : 0z 1( z y ) d A z d A z d A z d A z d A 2 2 ( x2y 2) 1d x d yD53312 、 y 2 z2R21 :x Ry 2z 2R 2取后侧， 2 : 取前侧，x Ry 2 z 2R2x R取外侧， D zx( z , x )z R , x R ，1R y z 2R y z3x R2 2R21 x13 、由对称性知x y 0 ，质量m 8d x 0(1 x 2) d y 2 ，对xO y 平面的静力矩M xy 81 d x 0xd y01 x2z d z ， z21 、 0 dx x 2f (x , y )dy 2 、R e z ln 2 ，Im z32 k , k 0 , 1, 2 ,d 02dco 1ss in( c o s s in ) d 5f 2 xyf 1d z d x d y1 2 xzf 1 2 xzff ( x , y ) d x d yD x 2 y 22 2 : z 1 x 2y 211 :z 0x 2 y 2 1 z 2 3 : 2 2 23 、 4、 22 1 d0 2 Dzx2 21x d y d z y d z d xe x yd s ，，， 10 、x y zz 0 3 :222231R z2 2d z d x x R2 2x y 0 ，用切片法 M xyz 2 d z1 1 214 、v u y x2 y2 y22y2 2( x ) ，v 2 xy( x ) u 2 x 2 xy ，( x ) x2C ，x x2y 2 y x 2 y 2f ( z ) i z2C ， f ( i ) 3因为解析，所以 f ( z ) u x iu y ( 2 y) i ( 2 x )从而 f ( z )i 2 zf ( z ) iz2C8 首先根据条件得u x22 y23 z23 y22 x23 3 x23 ，且在点( 0 , 0 , 1) 处，u m a x3 ，继续由条件得u 3 x 2 z 221 z2 3，且在点 2 2 2,, 0 处， u m i n8 x y 2 0设过直线的平面方程为(1)x (1 5 ) y z 2 3 0 ，x 5 y z 3 0(1 ) x 0(1 5 ) y 0z 0 2 3 0 (1)设切点为( x 0 , y 0 , z 0 ) ，则 2 x 02 y 0 1( 2 )1 1 52 2z 0x 0y 0 ( 3 )2 21 1 5 (1 ) (1 5 )2 2 4代入（1）得7 28 1 0 ，解得11,2，从而两切平面方程分别为2 x 4 y z 5 0 和8 x 2 y z 1 7 0 。

东南大学历年高数期中考试汇编

历年高数期中试卷汇总02-03非电下期中试卷一、单项选择题（2143'=⨯'）在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是：（A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。

1．∑∞=-2ln )1(n n nn（）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n nu （）； 3．3sin313π∑∞=n n n n（）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p xdx（）。

二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设平面01472 =-++z y x ：π及直线32 ,1 ,31-=+==t z t y t x L ：， 332111 2--=+=--z y x L ：，则（）（A ）π∥1L ；（B ）1L ⊥π；（C ）π∥2L ；（D ）2L ⊥π。

2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕x 轴旋转而成的曲面方程为（）（A ）122222=++b z y a x ；（B ）122222=++b y a z x ；（C ）2222b y a x z +=；（D ）12222-+=by a x z 。

3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（）（A ）b a ⊥；（B ）c b ⊥；（C ）a c ⊥；（D ）共面 , ,c b a。

4．两非零向量a 及b 的方向角分别为 , ,γβα及γβα''' , ,，则=) ,cos(b a（）（A）γβαγβα'''+cos cos cos cos cos cos ；（B ）γγββαα'+'+'cos cos cos cos cos cos ；（C）)cos()cos()cos(γγββαα'++'++'+；（D ）)cos()cos()cos(γγββαα'-+'-+'-。

05东南大学高等数学试卷期中试卷

14. 计算 x2 d s ，其中 L 是曲面 x2 y2 z2 9 与平面 z 5 的交线。
L
四（15）.（本题满分 7 分）求由曲面 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成的立体的表
面积。
五（16）.（本题满分 9 分）在曲面 x2 y2 z2 1 (x 0, y 0, z 0) 上求一点 P ，
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05高A期中试卷
一. 填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1. 设 z z(x, y) 由方程 x cos y y cos z z cos x 2 所确定，则 dz
。
2. 设 z i1i ，则 Im z
6. 设 I1
1
dx
1
1 x2 0
xy 2
f
x2 y2 dy ，I2
2 d
0
1 f ( 2 ) d ，其中 f (t) 是连
0
续函数，则有
[]
(A) I1 I2
(B) I1 I2
(C) I1 2I2
(D) I1 I2
7.
曲线
x
2
y2
z2
6 在点 (1, 2,1) 处的切线必定平行于平面
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止于至善
三. 计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）
10.
设z
f
x
sin
y,
x y
,
其中
f
具有二阶连续偏导数，求 2 z xy

东南大学高等数学期末考试试卷(含答案)

东南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
2．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
3．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．函数的单调减少区间是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
9．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
11．曲线在点处切线的方程为（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
12．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
13．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
14．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。

东南大学大一公共课高等数学期末考试卷4套

线
姓名
课程名称适用专业
东南大学考试卷
高等数学 A（期中）考试学期 0 9 - 1 0 - 3 得分选学高数 A 的各专业考试形式闭卷考试时间长度 120 分钟
题号
一
二
三
四
五
六
得分
一．填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
1．由方程 xyz + sin(π z) = 0 确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 (1, 0,1) 处的全微分 dz = ；
共4页
第2页
∫∫∫ 13．求极限 lim 1
sin(x2 + y2 &# →0+
5 x2 + y2 +z2 ≤t2
∫∫ 14．计算 xdy ∧ dz + z2dx ∧ dy ，其中 S 为 z = x2 + y2 与 z = 1所围成的立体的表面， S
取外侧.
四（15）（本题满分 8 分）求密度为1，半径为 R 的上半球面对球心处单位质量质点的
(1, 1, 1)
¨
4. I =
|y − x2| max{x, y}dxdy.
0≤x≤1 0≤y≤1
‹
5.
(x2 + y)dS,
S
x2 + y2 ≤ z ≤ 1
S
.
4
3
8
f (z) = u+iv
f (0) = −3i , f (z) . (
z)
,
u(x, y) = x2−y2+4x,
8
z = 2(x2 + y2) z = 3 − x2 − y2
z0
;
fx, fy, z = f (x, y)

东南大学高等数学10-11-3(期中)试题和答案

y
O
x
= 2(2−√2).
cos22θ
ρ
2
+
ρ
′2
=
ρ
2
+
sin22θ ρ2
=
ρ 4 + sin22θ ρ2
=
1 ρ2
高等数学
10-11-3(期中)试题
四(15). (8’) 已知解析函数 f(z) = u + iv 的实部
u = −2xy − 2y, 求f(z)的表达式(用z表示) 及 f ′(i).
∂z ∂x
+
∂z ∂y
=−
Fx Fz
−
Fy Fz
= 1.
高等数学
10-11-3(期中)试题
2.
交换二次积分的顺序
∫ −26dx∫
2−x
1 4
x2−1
f(x,
y)dy
=
__.
解: D = {(x, y) | −6 ≤ x ≤ 2, −14x2−1 ≤ y ≤ 2−x}
= D1 ∪ D2,
y 8
D1:
−2√y+1 ≤ x ≤ 2√y+1 −1 ≤ y ≤ 0
u取到最小值.
272365083@
3
请双面打印/复印(节约纸张)
高等数学
10-11-3(期中)试题
六(17). (8’) 曲面 z = 13 − x2 − y2 将球面
x2 + y2 + z2 = 25 分成三部分, 求这三个
部分的面积之比.
z
解: 两曲面交于两个圆
13
C1:
x2 + y2 = 9 z= 4
二阶连续偏导数和导数,

东南大学《高等数学》2011-2012学年第二学期期中试卷

东南大学2011-2012学年第二学期《高等数学（上）》期中考试试卷课程名称髙■歎爭AB （上）期中考试学期_11炬_ 得分请用专业_用学而-AB够亳*坐考试形式闭慝考试时间长度120分钟一、填空題（本題共8小题，每小裁4分，共32分）1.设当了t 0时，sin（2z） - 2ainf与i"是同阶无穷小，则n *■\2,函数f（x） = Jim （n € N+）的冋断点的坐标地y = ―_,是第__类间断点tX < 0mum疝。

'若血在顷姓可导m数z常数石5函旳满足寸⑴表则《）= —5.曲线” = ln（l+产*工）在工*=；处的切鏡方程为________6,设/（Z）= HE礼则=.. -一；7,设卩工/（血时/・\（了 A。

）,其中/可徹.则徹分勤=8,极限lini（l - 5 Lai?工）；血=.二' 计算下列各融（本題共S小題，毎小題H分，满分40分）1.求极限lim y/n(^n—1).Z82.求极限io 1 — cosx + sin x3.求函数y =】n(e，+ /TE)的导数敦ax4.设v = |/(x)是由方程冊-cscy + g3 = 0所确定的隐函数’求票.(1 +色，求祟及典|匕y = arctan t ctr dx三、（本题满分7分）证明多项式f（x） = / - 3工+ Q在区间［0,1］上不可能有两个零点，为使/（》）在区间［0,1］ ±存在零点，a应当满足怎样的条件？四' （本题满分7分）设u = |,环*］ = £羿,（n = l,2,…），利用单调有界收敛准则证明数列｛%｝收敛，并求lim %.五、（本題满分7分）试证：当於0时，W +脂六、（本虢满分7分）设函数/在［a,51±存在三阶导数，且满足/（«） = f（b） = r（a） = r（b） = r（a） = r（b） = O ,证明存在ee（a,6）,使得/何）=r（o .10-11-2高等数学（A, B ）期中试卷参考答案一.填空a （毎小睽4分，本理満分32分）1. 3 :2. 1,1}3. 1,1（或跳跃）：4. ~2 :5. 7. f '伽+ /(Inx)/Xx) k'⑴虫；8. e^. V x *,— , J二.计耳我（每小題8分.本题満分40分）Jl + e"&咯喜=沽时3分噜滞,"乱， IT?三(7分).解/,(x)»3(x J -l)<0, x€(0,l), /(x)在(0,1)±严格単减.所以/(x)在［0,1］上不可能有两个零点（4分）./（0） = a . /（I ） = a-2,故必须满足a （a-2）M0,SP0SoS2 （3分）（注：若缺了等号，扣1分）1 1 +必四.（7分）解己知X, =-＜!»设払＜1，则》2=—7丄＜1，由归纳法知与＜质=1,2,…，且显见x fl ＞0,于是捋冷二乂“, {x“}单增且有上界,故低｝收敛，(5分)令lim%=/,得/ =半，解得7 = 1，即limx B =l (2分)^ = ln2--| x- 21ten 1.解】im Jn(y/n -1) = lim 、们 e ” 1 = lim l n n—=0 (2*3*3 分) —Vnln(l + x) + ln(J-x) = Hm 2.解 lim --------------- 7-j ------- — --------------- . 2 1 — cos x + sm x 1 -cosx + sm x lim -------------- -------- - *■*« 1 -cosx sin x 3x 2x 1 （3分）（2分）（3分〉4.解 2’In2+ ycotNC$cy+ 3_y'y = 0 ・ y 12'ln2 方2(8分) cot*cscy+3>，五(7 分)证设/(x) = >^+71n(l+x)-x,x>0 (1 分)尸(工)=二=fln(l + x) + —-2岳員(2 分) 设此=瓦(心+着-2后，加=十訐-<0, x>0,故应单2V1+X减，而g(0) = 0,故当x>0时，g(x)<0 (2分)，即/'(x)<0,从而/'(x)单减，故X当x20时，/(x)</(0) = 0,即ln(l + x)<-7=,x^0 (2分) Vl + x六(7 分)证设g(x) = e-x(/(x)+/(x) + f r(x)), (4 分)g(x)在［a,如上连续且可导，g(a) = g0) = O,由Rolle定理知存在^e(a,b),使得g'(f) = 0,即次(尸©)-/(为)=0,而『JO,所以广© = f© <3分)。