2017考研数学理工类精选试题及解析：线性代数 精品
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第一章 行列式
一. 填空题
1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.
解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44.
2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.
解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312)
23145()15423()
1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .
解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数
x
x x x
x
x f 2
1
1
12)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察23422
2x x x
x x x
+-=--. 所以x 3前的系数为2.
5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 01
0100=---a
b
b a
.
解. 0)(1
1
010022=+-=--=---b a a
b b
a a
b
b a
. 所以a = b = 0.
6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.
解.
nn n n a a a a a a a a 221121
222111
0=
7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式
=-1
21
332A A A A ______.
解.
=-1
21
332A A A A 6||3323
3
21
1
213=-=-=-A A A A A A A A .
二．计算证明题
1. 设4
32
2
321143113151||-=
A
计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.
解. A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1
11
1
321143113151-=
2
10
320
2
06)1(0
00
1
21013201206114--=-=
+ =62
10
320
20
61=-- 2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.
解. 1
1
1
1111100
21201110||--------=
n n n n n A 每行减前一行
由最后一行起，
)1(2)1(1
201
201
121--=--------n n n n n n n
列每列加第 3. 计算n 阶行列式n
x x x n
x x x n
x x x D n n n n +++++++++=
212121
222111(n ≥ 2).
解. 当2>n
n x x x n x x x n
x x x D n n n n ++++++=
222222111
+n x x n
x x n
x x n n ++++++ 21
2121
2211
=
n x x x x n x x x x n
x x x x n n n
n
++++++ 33322221111+
n x x x n
x x x n x x x n n n ++++++ 323232
222
111
+
n x x x n x x x n
x x x n n n ++++++
313131222
111
+n x x n
x x n
x x n n ++++++ 32132132
12211
=－
n x x x n
x x x n x x x n n n ++++++ 313131222
111
=－
n
x x x n x x x n
x x x n n n
+++ 111222111－
n
x x n
x x n x x n n
+++ 31313122
11
= 0
当2=n
2122112
12
1x x x x x x -=++++
4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
证明: ||||)1(||||||,A A A A A A A n
T
T
-=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.
5. 试证: 如果n 次多项式n
n x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)
证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组
00010=++n
n x C x C C 01110=++n n x C x C C …………
010=++n n n n x C x C C