贵州省贵阳市第一中学2015届高考适应性月考卷(四)数学(理)试题扫描版含答案

贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{|12,}{|13}A x x x x x =-<∈=-<<R ，{0,1,2}A B =，故选B . 2．(2i)(1i)13i z =++=+∵，∴复数z 所对应的点是(1,3)，即是第一象限的点，故选D ． 3．sin 46cos30sin16sin(30+16)cos30sin16=cos16cos16︒-︒︒︒︒-︒︒︒︒sin 30cos16+cos30sin16cos30sin16sin 30cos161=sin 30cos16cos162︒︒︒︒-︒︒︒︒==︒=︒︒，故选C ． 4．由221(2),()(2),x x f x x mx x ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩≥知[(0)]=(2)24f f f m =+，[(0)]6,246,1f f m m m m =+==∵∴，221111d d ln 2x x mx x ==⎰⎰∴，故选B ． 5．由l α⊂且l β⊥可得αβ⊥，而由l α⊂且αβ⊥不能得到l β⊥，可见“l β⊥”是“αβ⊥”的充分非必要条件，故选C ．6．设二项式522x⎛+ ⎝展开式中不含x 的项为5102552155C (2)2C rr r r r r r T x x x ---+= ⎪⎝⎭=．令51002r =-，得4r =，522x ⎛+ ⎝∴的展开式中不含x 的项为4552C 10T ==，故选C ． 7．由1(2)4P ξ<-=，知1(2)4P ξ>=，于是111(02)12244P ξ⎛⎫<<== ⎪⎝⎭-，故选D ． 8．∵定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=-，∴函数()f x 是奇函数． 由(2)(2)f x f x -=+得(+4)=(+2+2)=(22)=()f x f x f x f x +-，()f x ∴的周期是4．而(1,0)x ∈-时，()3x f x =，则3333901010(log 90)log 814log log 8199f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭399=log =1010f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ． 9．由题意知6730,30,146,b b a a b b ->->⎧⎧⇒⎨⎨<-<⎩⎩ 解得23b <<，故选A ． 10．由于点(,)N x y 所满足的线性约束条件0,0,+20,+40x y mx y x y ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≥≥≥ 围成的区域面积为7，知1m =-，且直线20mx y -+=与直线40x y -+=的交点为(1,3)A -．若2u OM ON x y ==-取得最小值，则目标函数2u x y =-过(1,3)A -，min 7u =-∴，故选C ．11．由220,10,y m x y ++=+=⎪⎩得224100x m ++-=． 设1122(,),(,)M x y N x y，则12121,2x x y y m +=+=-．于是121211=(,)=,1)22OM ON x x y y m m ⎛⎫+++-=- ⎪ ⎪⎝⎭与1)共线，故选A ． 12．取()lg f x x =，对于函数的定义域(0,)+∞上的任意1x ，只需011x x =，则101010()()lg lg lg 0222f x f x x x x x ++===，可见①是(0,)+∞上的均值函数； 取3()f x x =，对于函数的定义域(,)-∞+∞上的任意1x ，只需01x x =-，则33331011()022x x x x ++-==．可见③是(,)-∞+∞上的均值函数，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．2,1a b ==，22222(2)4412a b a b a a b b +=+=++=，223a b +=∴．14．由1πsin 23ABC S ab ===△，得8ab =．根据余弦定理知22π162cos 3a b ab =+- 2()3a b ab =+-，所以a b +=．15．如果执行如题图所示的程序框图，则输出T 的值为21(13)*22(15)n n n T n n =∈N -且≤．可见，21max 672T T T ===，所以当输出T 的值最大时，n 的最小值等于6．16．若121212ππ,,0cos 42PF PF F F P F F P =∠<<∠则≤．即0e <． 若112=2PF F F c =，则21ππ42F PF∠<≤，2PF≤． 由椭圆的定义知：12+=2PF PF a，22(1ac ∴≤11e -<≤．1e ≤． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由3n n S a n =-，得112a =， ……………………………………（1分） 当2n ≥时，1113(31)331n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--．11313,1(1)222n n n n a a a a --=++=+∴， …………………………………………（4分） 于是132n n b b -=，13=2b ， ∴数列{}n b 是以32为首项，32为公比的等比数列，32n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知32n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 33223log log 2222n n n n n nb nc ⎛⎫ ⎪⎝⎭===∴， 23123++++2222n n n T =∵…，① …………………………………………………（8分） 23411123++++22222n n n T +=∴…，② ①−②得21111111+++=12222222n n n n n n n T ++=---…，11=222n n n n T -∴--． ……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）教工甲抽奖一次，基本事件的总数为310C 120=,奖金ξ的所有可能值为0，300，600，1200， ………………………………………………………………………（1分）一等奖的情况只有一种，得奖金1200元的概率为1(1200)120P ξ==， …………………………………………………………………………………（2分） 三球连号的情况有1，2，3；2，3，4；… 8，9，10共8种情况，得奖金600元的概率 为81(600)12015P ξ===， ………………………………………………………（3分） 仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种，对应2，3；3，4；…8，9各有6种， 得奖金300元的概率为72677(300)12015P ξ⨯+⨯===， 得奖金0元的概率为1311(0)12424P ξ==-=， …………………………………（4分） 优秀教工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列如下：……………………………………………………………………………（6分） 11711()03006001200190241515120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………………（8分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知数学组获得抽奖机会的教师1人中奖的概率为1324P =， 而4人抽奖是彼此相互独立的，所以数学组中奖人数134,24B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………………………（10分）故1311143()42424144D η=⨯⨯=． ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =． …………………………………………………（2分）从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥．………………………………………（3分） PD ABCD ⊥∵平面，BD ABCD ⊂平面，PD BD ⊥∴， …………………………（4分）又AD PD D =，所以BD PAD ⊥平面， ……………………………………（5分） 故PA BD ⊥． ………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：方法一：PD ABCD ⊥∵平面，AD ABCD ⊂平面，PD AD ⊥∴，由（Ⅰ）知BD AD ⊥，又,BD PD D =∵AD PBD ∴⊥平面，如图1，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连接ED ，则DE PB ⊥，DEA ∠∴是二面角A PB D --的平面角，………………………………………（9分）在Rt △AED中，2,AD DE AE ==cos DEA ∠=∴ 即二面角A PB D --． ………………………………………（12分） 方法二：如图2，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A，(0,0)B ，(0,0,2)P ．(2,0)AB =-，(0,2)PB =-，(2,0,0)BC =-， ………………（8分） 设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m AB m PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0,x z ⎧-+=⎪-=因此可取(3,1,m =．平面PBD 的法向量为(2,0,0)n DA ==，…………………………………………（10分） 则21cos ,m n 〈〉= 故二面角A −PB −D ………………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线C 是以1(0)F ，20)F 为焦点的双曲线的左支，且c =1a=，从而1b =，图2图1∴曲线C 的方程为221(0)x y x -=<，…………………………………………（2分）由221,1,y kx x y =-⎧⎨-=⎩得22(1)220k x kx -+-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则12122222,11k x x x x k k --+==--， ∵直线与双曲线的左支交于不同两点A 、B ，22212212210,(2)8(1)0,20,120,1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪-⎨+=<-⎪⎪-⎪=>-⎩∴ ……………………………………………………（4分）解得：1k <<-． …………………………………………………………（5分）（Ⅱ）212()AB x x x =-=+∵221kk -⎛⎫= ⎪-⎝⎭=，=∴， 4261130k k -+=∴，213k =∴或232k =， 又1k <<-∵，k =∴ ∴直线AB 220y ++=， …………………………………………（7分） 设(,)Q Q Q x y ，由已知OA OB OQ λ+=得1122(,)(,)(,)Q Q x y x yx y λλ+=，1212(,),(0)Q Q x x y y x y λλλ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∴． 又12221k x x k +==--，212122222()22411k y y k x x k k +=+-=-==--， ∴点4Q λ⎫⎪⎪⎭．……………………………………………………………（9分）将点Q 的坐标代入曲线C 的方程得2224161λλ-=，得λ=±，但当λ=-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，λ=∴．∴Q 点坐标为(， ……………………………………………………（10分）Q 到AB ，ABQ ∴△的面积112S =⨯=-． ………………………………（12分）21.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，……………………………………（1分）()f x ∵在区间(2,)+∞上单调递增，3分） 4分）6分）（Ⅱ）证明：函数()F x 的定义域为(0,)+∞， …………………………………（7分） 222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++8分）10分）显然()Q x 在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，则min ()(1)1Q x Q ==，………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图3，∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，DF BC ∴∥，,AB CF BD CF ∵∥∥，∴四边形BDFC 是平行四边形， ……………………（2分）CF BD =∴． ,AD BD CF AD ==∵∴．CF AD ∵∥，∴四边形ADCF 是平行四边形，AF CD =∴， 又BC AF =∵，,BC AF CD BC ==∴∴．∴△DBC 是等腰三角形，CDB DBC ∠=∠∴． …………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知,BC AF BF AC ==∴，BGD DBC ∠=∠．………………………………………………………………（7分） GF BC ∵∥，BDG ADF DBC BDC ∠=∠=∠=∠∴．BCD GBD ∴△∽△． ………………………………………………………（9分）2,BD CD BD GD CD GD BD==∴． …………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）把直线l 的参数方程12,22,x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的普通方程：图322(2)1y x --=，化简得24100t t --=． ………………………………………（2分）设12,PA t PB t ==，则124t t +=，1210t t =-．…………………………………（3分）12||||AB t t =-===∴． ……………………（5分）（Ⅱ）设PM t =，则121()22t t t =+=，则1223,2222M M x y =--⨯=-=+=+(3,2M -+∴． ……………………………………………………………（7分）由点Q 的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得(2,2)Q -． ………………………………（9分）||2QM ==∴． ………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()f x =+3==， ……………………………（3分） 当且仅当5x =时等号成立.故函数()f x 的最大值3M =． ……………………………………………………（5分） （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得21(2)(1)3x x x x ++-+--=≥．………………………………………………………………………………（7分） 所以不等式213x x ++-≤的解x 就是方程213x x ++-=的解．…………………………………………………………………………………（8分） 由绝对值的几何意义得，当且仅当21x -≤≤时，213x x ++-=． 所以不等式213x x ++-≤的解集为{|21}x x -≤≤． ………………………（10分）。