第十五章 功

第十五章、功

考点1:功（细分考点14个如下）：

（1）：W ＝FS cos θ= F （S cos θ）=（Fcos θ）S （定义式）（Scos θ

为在力方向上的位移）（Fcos θ为在位移方向上的力）

① ：s 的意义：物体相对于地面的位移（注意例3）

例1：两物体之间的一对静摩擦力，如果其中一个静摩擦力做正功，则另一静摩擦力一定做负功。因

为：两物体的位移相同（相对静止即s 、a 、v 等都相同），而力的方向相反

例2：两物体之间的一对滑动摩擦力，如果其中一个滑动摩擦力做正功，则另一滑动摩擦力不一定做

负功，可能做正功也可能不做功。力虽然大小相等但两物体位移不一定相同，θ

也无法确定

例3：人走路时，地面对人的静摩擦力对人不做功；站在地上的人向上跳起时，地面对人的支持力对

人也不做功，这都是因为受到力的脚都没有位移（即位移为0）

②：θ的意义：θ为力和速度的夹角。（当F 为恒力时，θ

也为力和位移的夹角）

③：F 的意义：作用在物体上的力，用 W ＝FScoc θ求功时，F 必须为恒力（大小和方向都不变） ④：F 和s 之间有因果关系吗？没有（注意：F 和S 必须同时对应于同一物体的同一部分；见上例3） ⑤：正负功的判定方法：当力和速度的夹角为锐角时，该力做正功

当力和速度的夹角为钝角时，该力做负功

当力和速度的夹角始终为900

时，该力不做功，如：洛仑兹力不做功

⑥：热量Q=f 滑s 相对；f 滑的意义：f 滑必须为滑动摩擦力，s 相对的意义：相对于另一物体的路程 ⑦：重力对物体做了-10焦耳的功，也可说成物体克服重力做了10焦耳的功 ⑧：变力做功的计算 {即W=FScos θ只用于计算恒力（F 的大小和方向都不变）的功}

方法一：常用动能定理（+ mgh+ qU(或qEd) + pt/F 牵引力S+ W 变力做的功...=2

21

2

21mv mv t -） 方法二：功能原理（即W=△E ）或用F---S 的图像求解（面积就是功）

如：A:│安培力做的功w │=│电能的变化量△E │

B:│重力做的功w │=│重力势能的变化量△E p │ C:│电场力做的功w │=│电势能的变化量△E p │

D: 除重力和系统内的弹力以外的力做的功等于系统机械能的改变量：

以外的力除重力和系统内的弹力W = 机械能E ?

E: 物体所有力做功之和（即合力做功）等于物体动能的改变量：总W = K E ?

⑨：功数值上等于能量改变量的绝对值。如：│电流做的功│=│电能改变量│等。 （2）：重力做功：W ab ＝±mgh ＝P ?-E （h 意义:重心的竖直位移即竖直高度,P ?-E 为重力势能改变量）

（3）：电场力做功：W ab ＝qU ab ＝±qEd ＝P ?-E ；（P ?-E 为电势能的改变量，d 为两等势面A 、B 之间的距离，即沿电场线方向的投影距

离；q 和U ab 可带符号运算）（百度一下---“白话物理”、“110解题法”有更多资源在等你哟！！）

（4）:W ＝UIt （普适式即应用于任何条件下，W 为总电功/电能）

（5）：W ＝pt （可应用于任何条件下：P 为总功率时，W 为总功；P 为热功率时，W 为热功；p 为机车的输出功率时，w 就为牵引力做的功） （6）：W 安培力=±F 安S=±EIt （F

安

和S 必须在同一直线上，E 为感应电动势，为有效值）

（7）:W=±FS F 和S 必须在同一直线上，且F 的大小和方向都不变。 考点2：机械功率（细分考点7个如下）:功率是表示物体做功快慢的物理量。 （1）：P 平均＝t W (定义式，在中学阶段，该公式只用于求平均功率) （2）：P=

t

?E （?E 为能量的改变量）

（3）：P ＝FVcos β（β为F 和V 的夹角）

（4）：P=FV ①：其中F 、V 必须在同一直线上（即F 和V 平行），当F 和V 不平行时，把F 或V 正交分解为

同一直线上；

②：当V 为平均速度时，P 为平均功率； ③：当V 为瞬时速度时，P 为瞬时功率；

④：当P 为机车输出功率时，F 为机车牵引力，V 为机车速度（被牵引物体的速度）

（5）：总电功率：P 安培力＝EI ＝t

W

(适用于任何电路)；热功率

P ＝I 2

R (适用于任何电路)

请注意：①：汽车以恒定功率启动、以恒定加速度启动、汽车最大行驶速度都是v max ＝

f P 额

（此公式只应用于在水平面

上运动的汽车，f 为阻力）（记住下列公式，注意各物理量是如何变化的，何时达到极值，用好极值点方程）

（解题时，抓住那些神奇的点（即：“110”点），利用下列2个110点，这种计算题就算搞定了）

②：汽车启动过程中，汽车功率P 、牵引力F 、加速度a 等发生变化时，解题时应抓住临界值状态如

F 合=0，P=P 额，a=0（此时速度最大）联合动能定理即可解题（记住下图中的公式。用好极值点方程）

（解题时，抓住那些神奇的点（即：“110”点），利用下列3个110点，力学计算题就没问题了）

@~@：当汽车以恒定功率启动时，牵引力做的功W=Pt ；不能用W=FS 计算，因为牵引力为变力。

（动能定理：+mgh+qU (或qEd)+FScoc θ±Pt/F 牵引力S+W 变力的功...=2021

221mv mv t -；a=m

F 合；a ＝t v ? 匀变速直线运动：as v v t 22

02=-；2aT s =?；2

2

1022

at t V S V V t t V V ±===

+；；V t ＝V 0 ±at 考点3：焦耳定律：Q ＝I 2

Rt （I 为有效值,适用于任何电路）；（摩擦生热Q=f 滑动摩擦力?s 相对路程）

考点4：①：纯电阻电路中：R

P

UI W U P

R U I ====t

；t

Q R U t W UI R I P =====2

2；W=Q （电能全部转化为热能的电路为纯电

阻电路）(当电动机被卡住即不转动时，电动机也是纯电阻电路)

②：非纯电阻电路：只有一部分电能转化为热能。电热Q ＝I 2Rt ；W>Q ；P 总>P 热即UI > I 2

R

考点5：重要的功能关系（细分考点6个如下）：

Ⅰ:ΣW=W 总=ΔE K 动能定理即：

+ mgh + qU(或qEd) + FScoc θ±Pt/F 牵引力S+W...=2

2

12

21mv mv t -（W 为变力做的功；P 为恒定功率）

Ⅱ:W= -ΔE P （ΔE P 为重力势能、弹性势能、电势能或分子势能的改变量；W 为对应力做的功） Ⅲ:除重力和系统内的弹力以外的力做的功等于系统机械能的改变量：

以外的力除重力和系统内的弹力W = 机械能E ?

例：当一个物体（m=1kg ）以1m/s 2

的加速度竖直加速下落时，每下落1m 时,外力对物体做功为 ，物体动能增加为 ，物体机械能将 （填：守恒、增加多少、减少多少） 解：外力做功即合力做功：F 合=ma=1N ，F 合=G-F,F=9N ；W 总＝F 合Scoc θ=1焦耳

动能增加量=W 总=1焦耳

机械能的改变量=FScoc θ=-9·1=-9焦耳，因为拉力做负功，所以机械能将减小。

Ⅳ:一对滑动摩擦力做功：f 滑1·s 1·coc θ1+ f 滑2·s 2·coc θ2=ΔE 损=Q （f

滑

为滑动摩擦力的大小，ΔE 损为系统损失的

机械能，Q 为系统增加的内能）如：Δ

E 损=机械能末初始机械能E E -

Ⅴ:│安培力做的功w │=│电能的变化量△E │

Ⅵ:一对静摩擦力做功之和一定为零（因为位移相同，而两力的方向相反，由W=FS 可得此结论）

考点6：动能定理： ①：+ mgh + qU/qEd +F 1Scos θ1+F 2Scos θ2±Pt/F 牵引力S+W...=2

02

1221mv mv t - ②：F 合Scos θ=ΔE K 即：F 合Scos θ=2

021221mv mv t - ③：ΣW=W 总=ΔE K 即：W 总=2

2

12

21mv mv t -（注意每个字母的物理意义）

（1）：外力对物体做功，是物体动能改变的原因 （2）：v t 和v 0是物体相对于地面的瞬时速度

（3）：F 合、F 1和F 2都必须是恒力（即力的大小和方向都不变） （4）：W 为变力做的功

（5）：P 为恒定功率（当汽车以恒定功率启动时，牵引力做的功W=Pt ；不能用W=FS 计算，因为牵引力为变力） （6）：θ1和θ2为物体受到的力和物体速度的夹角 （7）：变力问题用动能定理就可解决

考点7：功与势能的变化关系（判断势能大小的方法）（细分考点4个如下）：

（1）：重力对物体做正功，物体的重力势能减小；//重力对物体做负功，物体的重力势能增加 （2）：弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减小；//弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加 （3）：分子力做正功，分子势能减小； //分子力做负功，分子势能增加

（4）：电场力对物体做正功，物体的电势能减小；//电场力对物体做负功，物体的电势能增加 考点8：重力势能：E P =mgh (h 为重心离零势面的高度；-5J 的重力势能小于-2J 的重力势能，因为负号表示大小，不表示方向)

考点9：弹性势能：物体因发生弹性形变而具有弹性势能。弹性形变越大，弹性势能就越大。（了解：22

1kx E P =，

k 弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量）

考点10：动能：E k =22

1mv (v 为相对于地面的速度；m 的单位为：千克，速度的单位为：米每秒) 考点11：机械能：机械能 = 重力势能 + 动能 + 弹性势能（细分考点5个如下） （1）：一个物体的机械能守恒：

判断方法一：物体（和地球构成的系统）和外界没有能量交换（即只有重力势能 、动能、弹性势能之间相互转化） 判断方法二：除重力外，其它力不做功或其它力做功之和为零( 以下h 为初末位置重心的高度差)

表达式：mgh 1+2121mv =mgh 2+2221mv 或减少E =E 增加 如：±mgh = 2221mv -2

12

1mv （2）：多个物体（系统）的机械能守恒：

判断方法一：多个物体（和地球构成的系统）和外界没有能量交换（即只有系统内的物体重力势能 、动能和弹性势能之间

相互转化）

判断方法二：除重力和系统内的弹力（支持力、压力等）外，其它力不做功或其它力做功之和为0

表达式：（m 1gh 1 +2

1121v m ）+ E P1 +(m 2gh 2 +22221v m )=(m 1gH 1 +21121'v m )+( m 2gH 2 + 2

2221

'v m )+ E P2

或减少E = E 增加

如系统的势能都减小时：-m 1gh 1-m 2gh 2-P ?E =（2

1

121'v m -2

1121v m ） + （22221

'v m -2

2221v m ） (h 1、h 2为初末位置重心的高度差；E P1、E P2为初末位置的弹性势能；

P ?E 为弹性势能的改变量)

（3）：判断机械能守恒的简单方法：

A ：对于一个物体，当物体不受滑动摩擦力和介质阻力时(只有重力做功时)物体的机械能守恒

B ：对于多个物体（系统）而言，当系统不受滑动摩擦力时，没有滑动摩擦力时（除重力、系统内的静摩擦力和系

统内的弹力外，其它力不做功或其它力做功之和为0时）系统的机械能守恒

（4）：能量守恒：对于一个孤立系统，能量总是守恒的：减少E =E 增加

（5）：解题时，如果有多个物体同时出现或有变力时，首先考虑应用能量守恒定律或动能定理解题 考点12：动能定理和机械能关系推理：（自己动手，丰衣足食 \(^o^)/~ ）

W 重力+W 系统内弹力 +W 除重力和系统内弹力以外的力=2

21

2

21mv mv t - ? W 重力+W 系统内弹力 +W 除重力和系统内弹力以外的力=ΔE K ? -ΔE P 重力 -ΔE P 系统内弹力+W 除重力和系统内弹力以外的力=ΔE K ?W 除重力和系统内弹力以外的力=ΔE K +ΔE P 重力 +ΔE P 系统内弹力? W 除重力和系统内弹力以外的力=机械能E ? (即除重力和系统内弹力以外的力对系统做的功等于系统机械能的改变量)

考点13:动能定理和牛顿定律关系推理：（自己动手，扶摇直上九万里 ( ^_^ )不错嘛 ）

??=-??→?=-=

s v v as v v m F t a t m

F 合合

2

22

02202s F mv mv

t 合=-2021

221（唾手可得！！！） 考点14：其它要点（细分考点7个如下）：

①：功率大小表示做功快慢,做功多少表示能量转化的多少；功率大小也表示能量转化的快慢

②：重力做功和电场力做功均与路径无关（只和初末位置有关）

③：机械能守恒成立条件：除重力（弹力）外其它力不做功或其它力做功之和为零，只是动能和重力势

能、弹性势能之间的转化

④： 能的其它单位换算:一千瓦时：1kWh(度)＝1000瓦?3600秒 =3.6?106 焦耳

一电子伏特：1eV ＝1.6?10-19

库仑?1伏 = 1.6?10-19

焦耳

⑤：弹簧弹性势能(2

2

1kx E P =)与劲度系数和形变量有关。如：弹簧的原长为10cm,k=100N/m,当弹簧的形变量由3cm 减为1cm 时，其弹性势能的改变量△E P ＝221

22101

.010003.0100??-?? ⑥：同一物体某时刻的动能和动量大小的关系：k

m

p k mE E 2p 22==

，即 ⑦：物体碰撞时，碰后两物体的速度相等时（碰后没分开），损失的机械能最大（得到的热能也最大）

考点15：物理和数学：

例1：一质量为m 的质点，系于长为R 的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O 点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O 点的正上方离O 点的距离为R 98

的O 1点以水平的速度gR V 4

30=

抛出，如图1，试求；

（1）：轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？

（2）：当质点到达O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

解：第一过程：质点做平抛运动（4个点，如右图）。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图2，则θ

s in 0R t V =（此时A 点为平抛运动的终点，也是圆周运动的起点---------一位两点现象）

θcos 9822

1

R R gt -=，其中gR V 4

30= V 0

O

1 R

O

θ

图1

联立解得g

R t 342

),(=

=

即绳子处于水平位置πθ

第二过程：绳绷直过程。绳绷直时，绳刚好水平，如图3：由于绳不可伸长，故绳绷直时，V 0损失（在拉力的作用下，V 0瞬间减小到0），质点仅有速度V 2，且gR gt V 3

42==（注意：此时的A 点为圆周运动的起点，注意“一位两点”现象） （速度的分解要以经过圆心和垂直于圆心方向为坐标轴；题型归纳见视频部分）

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O 点正下方时，速度为V ′，根据机械能守恒守律有：

R mg mV

mV ?+=2

2212

/2

1 设此时绳对质点的拉力为T ，则R

V m mg T 2

/

=-，联立解得：mg T 9

43=

例2：铁环M 1=6kg ，铁块M 2=12kg ，铁环被套在竖直杆上，它们用一足够长的细线相连后，如图1，静止释放后，M 2在空中运动，M 1在杆上上下运动，轻质定滑轮到直杆的距离L=10m ，不计一切阻力，开始运动时，线和水平线成370，g=10m/s 2，求：

（1）：释放的瞬间，铁环M 1加速度大小？

（2）：铁环M 1第一次到达细线和水平线成300时，铁块M 1速度大小？ （3）：铁环M 1到达水平线上的A 点时，铁块M 2速度大小？ 解：（1）：如图2：T sin370—M 1g=M 1 a 1

M 2g —T =M 2 a 1 a 1 sin37=a 2 解得：a 1 ≈1.2m/s 2

（2）：如图3：V 1 sin300 = V 2

以铁环和铁块为系统，系统的机械能守恒：

M 1gh+21M 1 V 12

+

2

1

M 2 V 22 = M 2gH

注意：细线总长不变。

（3）：铁环M 1到达水平线上A 点时，它在水平方向（细线方向）的分速度为0，所以M 2的速度也为0

例3：如图1：ABC 为四分之一光滑圆柱体（主视图），其半径为6米，质点m 以g m/s 的初速度沿圆柱体表面的A 点开始运动，求：质点离开圆柱体时离地面的高度为多少？ 解：如图2：mg cos θ-N=R

mv 2

)cos (2

02122

1θR R

mg mv

mv -=- 当质点离开圆柱体时：N=0，得mg cos θ=R

mv 2

2

0130cos 37cos 0030sin

30

tan 37

tan 0

V V H L L h L L =-=

-=

解得：cosθ=

3

2，h=R cosθ=4米

我来说：（1）：轻绳类（杆）的加速度和速度分解：应把加速度和速度分解到沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向，沿绳（杆）方向的加速度和速度相等；而力的分解应选取直线运动的速度方向或圆周运动过圆心方向为x坐标轴，垂直于该方向为y坐标轴。而曲线运动的加速度、力的分解应按运动的效果选取坐标轴（2）：细线（杆）总长不变；充分用好几何关系等等

考点16：本章的解题注意事项：

有多个物体同时出现时，先对各个物体进行单独的分析，按110标准找到各个110点和几何点，分别

对各个点列好各物体力的方程（

y

y

ma

F=

合

或

R

m v

x

X

ma

F2

=

=

合

）；再列点和点间的动能定律，单个物体的方

程列完了，再列系统的能量守恒方程和两物体的速度、加速度、位移、角速度等的关系方程，如a1=a2、S1-S2=L、V1=V2、ω1=ω2等方程即可解题

好的归纳，看一遍，就相当于复习教材三遍，而且能提前把握好高考的综合考点（等到考试时才把学过的知识点综合起来，就太迟了），本书能让你站得更高，学得更快，考得更好！！！

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第十六章、能量问题

考点1：高中阶段常见的能量（细分考点3个如下）（百度一下---“白话物理”、“110解题法”有更多资源在等你哟！！！）： （1）：机械能（包括重力势能、动能、弹性势能）、电势能、内能（即热能包括分子势能、分子动能）、电能、化学能等 （2）：审题时：一定要分析物体具有哪些能量，各能量是如何变化的？

（3）：如果碰到变力或有多个物体同时出现时，一般选择能量守恒定律或动能定理解题。 A ：如果碰到有多个物体同时出现时，同时要注意各物体的V 、a 、S 、t 、弹性势能等的关系 B ：如果碰到变力时，同时要注意临界点，如：F 合=0，a=0等等 考点2：重力势能：E P =mgh (h 为重心离零势面的高度；-5J 的重力势能小于-2J 的重力势能)

考点3：动能：2

21mv E K = （v 为相对于地面的速度，单位为：m/s 2。质量m 的单位为：kg ）

考点4：弹性势能2

21kx E P =，k 弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量(此公式不要求记，必须用标准单位) 考点5：电势能 E pA ＝q A ?（q 、A ?可带符号运算；E A

为电荷q 在电场中A 点的电势）

考点6：内能（即热能）（细分考点2个如下）：

（1）：电流通过导体时产生的热量Q ＝I 2

Rt （适用条件：适用于任何电路；I 为有效值） （2）：滑动摩擦力做功时产生的热量Q ＝f 滑动摩擦力·s 相对路程（静摩擦力不产生热）

考点7：机械能=重力势能+动能+弹性势能（系统中只有重力势能、动能、弹性势能相互转化时，则系统的机械能守恒） 考点8：功能原理（细分考点18个如下）： （1）：│安培力做的功w │=│电能的变化量△E │

安培力W = 机械能末初始机械能电能E E -=?E （适用于只有机械能转化为电能）

安培力W = 电能?E =EIt=UIt （适用于没有电池的闭合线圈）

安培力W =Rt I Q 2=热能总（适用于没有电池的闭合线圈且为纯电阻电路）

当安培力为变力时，可用它们来求安培力做的功

P 安培力功率=P 机械功率（适用于只有机械能转化为电能） F 安培力V '

=F 除安培力以外的力V （F 、V 必须在同一直线） F 安培力V= EI （F 、V 必须在同一直线，E 为感应电动势）

（2）：│重力做的功w │=│重力势能的变化量△E p │:W 重力＝P ?-E

（3）：│电场力做的功w │=│电势能的变化量△E p │：W ab ＝qU ab ＝±qEd ＝P ?-E （d 为两等势面A 、B 之间的距离，即

沿电场线方向的投影距离；W AB ＝qU AB 该公式可以带符号运算）

（4）：│弹簧弹力做的功w │=│弹性势能的变化量△E p │

（5）：│分子力做的功w │=│分子势能的变化量△E p │

（6）：除重力和系统内的弹力以外的力做的功等于系统机械能的改变量：

以外的力

除重力和系统内的弹力W = 机械能E ? (对于一个物体：除重力以外的力做的功等于系统机械能的改变量）

（7）：物体的所有力做功之和（即合力做功）等于物体动能的改变量： K E ?=总W 即动能定理

+ mgh + qU(或qEd) + FScoc θ±Pt/F 牵引力S+W...=2

21

2

21

mv mv t -（W 为变力做的功；P 为恒定功率）

（8）：电热Q=I

2有效值

Rt （适用于任何电路，I 为有效值）；摩擦生热Q=f 滑动摩擦力S 相对路程：

（9）：│电能的变化量△E │=│电流做的功w │

│电能的变化量△E │=│安培力做的功w │

EIt UIt ==?E 电能

)(2电能全转化为热能只用于纯电阻电路即：电能Rt I =?E

考点9：能量转化例子（细分考点7个如下）：

（1）:电动机的总功率：P 总＝UI （U 为电动机电压，I 为通过它电流，注意：平均功率只能用有效值计算）

电动机输出功率：P 出=UI-I 2

R （U 为电动机电压，I 为通过它电流，R 为电动机电阻）

P 出＝FV （F 为电动机的牵引力，V 为物体速度,F 和V 在同一直线上）

（2）：电源的总功率P 总＝E I （E 为电源电动势，I 为总电流，注意：平均功率只能用有效值计算）

电源输出功率：P 出=EI-I 2

r （I 为总电流，r 为电源的内阻）

P 出＝U 外I ，（U

外

为电源两端的电压（即外电路的总电压），I 为总电流）

电源效率η＝

EI

I

U 外×100%=

E

U 外×100%(适用于任何电路)=r

R R

+×100%(适用于纯电阻电路)(U

外

为电源两端的电压

（即外电路的总电压），I 为总电流，R 为外电路总电阻，r 为电源内阻)

考点10：能量守恒定律的表达式（细分考点如下）：（1）：减少E =E 增加 （2）：E 初状态=E 末状态