2020高考数学专题复习《平面向量基本概念》练习题

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平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

(完整版)平面向量基本概念练习题

第二章平面向量 §.1平面向量的实际背景及基本概念班级__ 一、选择题 1 .下列物理量中， A .质量 2. 设0是正方形 A .平行向量姓名学号得分不能称为向量的是 B .速度 UUTUUUUC UU 位移ABCD 的中心，向量 A00B 、C00D 是 B .有相同终点的向量 D •力 C . 3. 下列命题中，正确的是A . |a| = |b| a = bB . |a|> |b| a > b 4. 在下列说法中，正确的是A .两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B .模为0的向量与任一非零向量平行；C .向量就是有向线段； 5. 下列各说法中，其中错误的个数U 为 (D .模相等的向量 ( a = b a 与 b 共线 D . |a| = 0 ( 相等向量若 |a|=|b|,则 a=b _ — ) (1)向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；(2)两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；(3)两个有公共终点的向量一定是共线向量；(4)共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；(5)平行向量就是向量所在直线平行 A . 2个 B . 3个 C . 4个*6.^ ABC 中，D 、E 、F 分别为 BC 、CA 、AB 的中点，在以有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有 A . 2个B . 3个C . 6个二、填空题在⑴平行向量一定相等； ⑵不相等的向量一定不平行； ⑶共线向量一定相等；向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是______________________________ . 如图，0是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， uur 与AO 相等的向量有_________ 与AO 共线的向量有 _________ 与AO 模相等的向量有 _______ 向量AO 与CO 是否相等？答： A 、 D . 5个 B 、C 、D 、E 、F 为端点的 () (1) (2) (3) (4) 一 LLLT UUU UUT 0是正六边形 ABCDEF 的中心，且 AO a , OB b , AB 0为端点的向量中： (1)与a 相等的向量有2) 与b 相等的向量有 3) 与c 相等的向量有 10 .下列说法中正确是_若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；若AB 与CD 共线, 四边形ABCD 为平行四边形，则若 a = b , b = c ,贝U a = c ； , LUU UUT 四边形 ABCD 中，AB DC 且 a 与b 方向相同且|a| = |b|与 a = b 是 9. (写序号) (4)相等 c . 在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 、 (1) (2)(3) (4) (5) (6) A 、B 、 C 、D 共线; luu uuu AB = CD ; UUU LUIT |AB | | AD |，则四边形致的； ABCD 为正方形;三、解答题 11 .如图，以1 >3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中, 的模？有多少种不同的方向？有多少种大小不同13.某人从A 点出发向西走了 200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北60°走了 450m 到达C 点，最后又改变方向向U 东走了u 200m 到达D 点(1 )作出向量 AB 、BC 、CD (1cm 表示 200m );亠uuu ”丄卄(2 )求DA 的模. 14.如图，中国象棋的半个棋盘上有一只马”，开始下棋时它位于 A 点，这只马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从 A 点走到与它相邻的 B 点处？12.在如图所示的向量 a 、b 、c 、d 、e 中(小正方形边长为量？模相等的向量？若存在，请一一举出. 1)是否存在共线向量？相等向A B。

2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1）设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】－23【解析】点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二平面向量在几何中的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1，即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（考虑特值法）当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>，于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-，由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三考虑向量的数量积的运算解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为．【答案】 (3,3)【解析】方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为．【答案】 3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ，则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →，则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．【答案】2133【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．【答案】102【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

高中数学平面向量基本概念练习题

平面向量概念练习题1.给出下列命题：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上．其中正确的序号是__________.2.给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；②若向量a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b ；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中错误的序号是____________.3. 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →长度相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．4.如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？5.如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CNMA ． 6.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a ＝0；②若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a|＝|b|；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.下列说法正确的是( )A ．若|a|>|b|，则a>bB ．若|a|＝|b|，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量8.若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式：①|a|>|b|；②a ∥b ；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a |a|＝b.其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤9．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( ) A ．OC → B ．OD → C ．OB → D ．CO →10.在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题25 平面向量基本定理及坐标表示(解析版)

考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________．【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ，据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ，，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ，（1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ；（2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2）【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=．（1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ；（2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。

高考数学平面向量专题复习(含答案)(2020年九月整理).doc

22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，
（1）求证：且；
（2）设向量，，且，求实数t的值．
23、已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积.
24、已知为圆 : 上一动点，圆心关于轴的对称点为 ,点分别是线段 , 上的点，且 , 。
4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）
A． B． C． D．
5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）
A. B. C. D.
6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D.
7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则 ( )
A. B.1 C. D. 3
(2) 若x， y在[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为．
画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
故满足的概率为．
22、（1）证明：，所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
由（1）得：
所以，解得．
23、解析：（1）
...........4分
三、简答题
19、已知平面直角坐标系中，向量，，且 .
（1）求的值；（2）设，求的值．
20、已知向量＝(sin ，cos ﹣2sin )，＝(1，2)．
（1）若 ∥ ，求的值；
（2）若，0＜＜，求的值．
21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率.
15、

高考数学平面向量专题复习含答案

高考数学平面向量专题复习含答案The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202020年高考数学平面向量专题练习一、选择题1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）A. B. C. D.2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或13、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．44、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A．B． C．D．5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）A. B. C. D.6、已知向量，且，则（）A. B. C. D.7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )A. C. D. 38、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为A． B． C．5 D．109、下列命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A．0 B．1 C．2 D．310、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________．17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。

若(λ，µ∈R)，则λ＋µ的值为。

2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）若OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →同向的单位向量坐标是( )A. (−1213,−513)B. (1213,513)C. (−1213,513)D. (1213,−513)2.（5分）在四边形ABCD 中，若AB →+CD →=0→，AC →⋅BD →=0，则四边形为 ( )A. 平行四边形B. 矩形C. 等腰梯形D. 菱形3.（5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A. AB →与AC →共线 B. DE →与CB →共线 C. CD →与AE →相等D. AD →与BD →相等4.（5分）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D 的坐标为( )A. (−7,6)B. (7,6)C. (6,7)D. (7,−6)5.（5分）已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)，若a →//(a →−2b →)，则实数m 的值为()A. 37B. −37C. 34D. −346.（5分）已知向量a →，b →不共线，c →=ka →+b →，(k ∈R)，d →=a →−b →如果c →//d →那么( )A. k =−1且c →与d →反向 B. k =1且c →与d →反向 C. k =−1且c →与d →同向D. k =1且c →与d →同向7.（5分）设向量|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，则|a →−b →|=( )A. √2B. 2√3C. 2D. √68.（5分）下列命题中，正确的个数是\((\quad)\) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}{b}|\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overset{\rightarrow}{b}\)同向，则\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}{b}\)；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若\(\overrightarrow{a}/\!/\overset{\rightarrow}{b}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}/\!/\overrightarrow{c}\)，则\(\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{c}.\)A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.（5分）已知单位向量a →,b →的夹角为60°，若向量c →满足|a →−2b →+3c →|⩽3，则|c →|的最大值为( )A. 1+√33B. √33C. 1+√3D. √310.（5分）已知a →=(4,2)，则与a →方向相反的单位向量的坐标为( )A. (2,1)B. (−2,−1)C. (2√55,√55) D. (−2√55,−√55) 11.（5分）平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|,CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，则点O 是ΔABC 的()A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心12.（5分）已知向量|a →|=1，|b →|=√3，a →+b →=(−1,1)，则|2a →+b →|=()A. 3B. √3C. 11D. √11二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A cos C +c sin A cos A =13c ，D 是AC 的中点，且cos B =2√55，BD =√26，则ΔABC 的最短边的边长为________.14.（5分）已知单位向量a →、b →满足a →.(a →+b →)=1，则|a →+b →|=______.15.（5分）已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为四边形ABCD 外一点，设|OB →|=5，|OD →|=3，则((OA →+OC →).(OB →−OD →))=________．16.（5分）已知|a →|=2，|b →|=4，a →−b →=(−4,3)，记a →与b →夹角为θ，则cosθ的值为________.17.（5分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，b →=(1,√3)，若|a →−b →|=2√3，则a →与b →的夹角的余弦值为________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60°，DB →=2AD →，CE →=2EB →.(1)设AB →在AC →上的投影向量为λAC →，求λ的值； (2)用向量AB →，AC →表示向量DE →，并求|DE →|.19.（12分）判断下列结论是否正确，并说明理由. （1）向量a →,b →相等的充要条件是|a →−b →|=0 （2）平行的单位向量一定相等.20.（12分）已知a →与b →共线，且|a →|=1，|b →|=2，求a →⋅b →.21.（12分）已知a →，b →，c →是共面的三个向量，其中a →=(1,2)，|b →|=√3，|c →|=2√5且c →与a →反向．(1)求|c →−a →|；(2)若a →+2b →与2a →−3b →垂直，求a →⋅(b →+c →)的值．22.（12分）如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD:DB =BE:EC =2:1，AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →=λAE →，PD →=μCD →，AB →=a →，BC →=b →.(1)求λ及μ的值； (2)用a →，b →表示BP →；(3)求△PAC 的面积．23.（12分）在四边形ABCD 中，已知AB →=DC →，求证：四边形ABCD 为平行四边形. 四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）对于任意两个向量a →，b →，下列命题中正确的是()A. |a →+b →|⩽|a →|+|b →| B. |a →−b →|⩽|a →|−|b →| C. 若|a →|>|b →|，则a →>b →D. |a →·b →|⩽|a →|·|b →|25.（5分）下列命题中正确的是( )A. a →//b →⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b →=λa →； B. e →为单位向量，且a →//e →，则a →=±|a →|e →； C. a →·a →=|a →|2；D. 若a →·b →=b →·c →且b →≠0→,则a →=c →26.（5分）对于任意向量a →，b →，c →，下列命题正确的是()A. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →B. 若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →C. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D. 若|a →−b →|=|a →+b →|，则a →⋅b →=027.（5分）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A. 四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→| B. AD 1→与A 1B →的夹角为60∘ C. (AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→D. A 1C →·(A 1B 1→−A 1D 1)→=0 28.（5分）下列说法中正确的是()A. 若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形 B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 互为相反向量的两个向量模相等D. NQ →+QP →+MN →−MP →=0→答案和解析1.【答案】B;【解析】解：OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →=(12,5). |AB →|=√122+52=13.向量AB →同向的单位向量坐标是：113(12,5)=(1213,513). 故选：B.求出向量AB →，然后求出模，即可推出单位向量．此题主要考查向量的运算法则，坐标运算，单位向量的求法，考查计算能力．2.【答案】D; 【解析】此题主要考查了向量在几何中的应用，以及数量积为0与两向量垂直的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．解：∵→ AC .→ BD =0,∴AC ⊥BD , 又AB →+CD →=0，所以AB//CD 且AB =CD , 所以四边形为菱形，故选D.3.【答案】B;【解析】解：因为AB 与AC 不平行，所以AB →与AC →不共线，A 错，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则DE 与BC 平行，故DE →与CB →共线，B 正确，因为CD 与AE 不平行，所以CD →与AE →不相等，C 错，因为AD →=DB →=−BD →，则D 错．故选：B.利用平面向量共线定理判断ABC ，利用平面向量的相等判断D. 此题主要考查了平面向量共线定理，平面向量的相等，属于基础题．4.【答案】D;【解析】此题主要考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题. 设D(x,y)，由AD →=BC →，可得(x −5,y +1)=(2,−5)，可得结果.解：设D(x,y)，由AD →=BC →，得(x −5,y +1)=(2,−5)，∴x =7，y =−6，∴D(7,−6). 故选D.5.【答案】C;【解析】解：已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)，所以：a →−2b →=(−11,m +2)，由于a →//(a →−2b →)，所以m =34；故选：C.直接利用向量的线性运算，向量的坐标运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】A;【解析】解：∵c →//d →，∴c →=λd →，即ka →+b →=λ(a →−b →)，得{k =λ1=−λ，解得k =λ=−1，∴c →=−a →+b →=−(a →−b →)=−d →，故选A ．根据条件和向量共线的等价条件得，c →=λd →，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k 和λ的值即可．该题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．7.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.关键是利用|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →求值．解：因为|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，∴|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →=20−16=4， ∴|a →−b →|=2，故选C.8.【答案】A; 【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →//b →，b →//c →，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0. 故选A.9.【答案】A;【解析】解：由题意，设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)=(12,√32)，且c →=(x,y)；则a →−2b →+3c →=(3x ,3y −√3)，由|a →−2b →+3c →|⩽3， ∴√(3x )2+(3y −√3)2⩽3，化简得x 2+(y −√33)2⩽1，它表示圆心为C(0,√33)，半径为1的圆，如图所示；由图形知，|c →|的最大值为1+√33．故选：A ．由题意设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)，c →=(x,y)；由|a →−2b →+3c →|⩽3求出x 、y 的关系式，利用数形结合求出|c →|的最大值．该题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题．10.【答案】D; 【解析】该题考查相反向量的概念，向量坐标的数乘运算，以及单位向量的概念，可求出−a →的坐标，并求出|a →|=2√5，这样根据单位向量的概念及向量坐标的数乘运算即可得出正确选项．解：−a →=(−4,−2)，且|a →|=2√5； ∴−a →|a →|=(−2√55,−√55)．故选D ．11.【答案】C;【解析】解：平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|，可得AO →⋅(AB →|AB →|−AC →|AC →|)=0，所以O 在∠CAB 的平分线上，CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，可得：CO →⋅(CA →|CA →|−CB →|CB →|)=0，所以O 在∠ACB 的平分线上，则点O 是ΔABC 的内心．故选：C ．利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．该题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解答该题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】B;【解析】解：∵a →+b →=(−1,1)， ∴|a →+b →|=√2，∴(a →+b →)2=|a →+b →|2=2，即|a →|2+2a →⋅b →+|b →|2=2， ∴1+2a →⋅b →+3=2， ∴a →⋅b →=−1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4|a →|2+4a →·b →+|b →|2=√4×1+4×(−1)+3=√3. 故选：B.易知|a →+b →|=√2，两边平方后，可求得a →⋅b →=−1，再由|2a →+b →|=√(2a →+b →)2，展开运算，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，模长的求法，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】2√2;【解析】解：在ΔABC 中，a sin A cos C +c sin A cos A =13c ，由正弦定理可得：sin A sin A cos C +sin C sin A cos A =13sin C ，即为sin A(sin A cos C +cos A sin C) =sin A sin (A +C)=sin A sin B =√1−45sin A =√55sin A =13sin C ，由正弦定理可得a =√53c ， D 是AC 的中点，且cos B =2√55，可得BD →=12(BA →+BC →)，即有BD 2→=14(BA 2→+BC 2→+2øverrightarrowBA ⋅BC →)即为26=14(c 2+59c 2+2c ⋅√53c ⋅2√55)，解得c =6，a =2√5，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accos B =20+36−24√5×2√55=8，解得b =2√2，ΔABC 的最短边的边长为2√2. 故答案为：2√2.运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，可得a =√53c ，再由向量中点形式，以及向量的平方即为模的平方，计算可得a ，c ，再由余弦定理计算可得b ，进而得到所求最小值．此题主要考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】√2;【解析】解：a →.(a →+b →)=a →²+a →.b →=1+a →.b →=1，所以a →.b →=0，则|a →+b →|=√|a →|2+2øverrightarrow a.b →+|b →|2=√1+0+1=√2，故答案为：√2.根据条件可求得a →.b →=0，进而利用向量模的定义即可求得答案．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量模的求法，属于中档题．15.【答案】16; 【解析】此题主要考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．根据条件，AC 垂直平分线段BD ，从而得出EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→，而OA →=OB →+BE →+EA →，OC →=OD →+DE →+EC →，且OB →−OD →=DB →，代入(OA →+OC →).(OB →−OD →)进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．解：∵AC 是BD 的垂直平分线； ∴EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→； ∴(OA →+OC →).(OB →−OD →)=(OB →+BE →+EA →+OD →+DE →+EC →).DB →=(OB →+OD →).(OB →−OD →)+(EA →+EC →).DB →=OB 2→−OD 2→=25−9 =16．故答案为16．16.【答案】−516 ; 【解析】此题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角与数量积，属于基础题.由题意，先计算 |a →−b →|=5，再由|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2计算可得.解：因为a →−b →=(−4,3)，所以|a →−b →|=5，因为|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2，又|a →|=2，|b →|=4，所以25=4+16−16cos θ，所以cos θ=−516.故答案为−516 .17.【答案】−12;【解析】此题主要考查向量的夹角、向量的模、数量积的求法，难度不大.先求出向量b →的模，再将式子|a →−b →|=2√3左右两边平方，从而得到a →.b →，再利用a →与b→的夹角的余弦值公式a →.b →|a →||b →|便可求得最后结果.解：∵b →=(1,√3)，∴|b →|=2.若|a →−b →|=2√3，则|a →−b →|2=|a →|2+|b →|2−2øverrightarrow a.b →=4+4−2øverrightarrow a.b →=12∴a →.b →=−2，则a →与b →的夹角的余弦值为a →.b →|a →||b →|=−22×2=−12. 故答案为−12.18.【答案】解：（1）AB →在AC →上的投影向量为AC →|AC →|·|AB →|cos ∠BAC =2×12·13AC →=13AC →，∴λ=13．（2）DE →=DB →+BE →=23AB →+13BC →=23AB →+13(AC →−AB →)=13AB →+13AC →， |DE →|2=DE →2=19(AB →+AC →)2=19(4+2AB →⋅AC →+9)=19(13+2×2×3×12)=199，∴|DE →|=√193．; 【解析】(1)根据投影向量的计算公式求解；(2)先结合平面向量的线性运算法则用AB →,AC →表示出DE →，然后平方后求模即可．此题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）正确，|a →−b →|=0的充要条件是a →−b →=0→，从而a →=b →（2）错误，平行单位向量方向可能相反.;【解析】略20.【答案】解：若a →与b →同向共线，则a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos0°=1×2×1=2；若a →与b →反向共线，则a →⋅b →=|a →|·|b →|·cos180°=1×2×(−1)=−2.故a →⋅b →为2或−2.;【解析】此题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据平面向量数量积的定义，分清楚两个向量共线分为“同向共线”和“反向共线”两种情形，即可得解．21.【答案】解：∵a →=(1,2)，|c →|=2√5且c →与a →反向，∴c →=λa →，λ<0，∴|c →|=|λa →|，∴2√5=|√5λ|，解得λ=−2，∴c →=−2(1,2)=(−2,−4)，∴c →−a →=(−3,−6)，∴|c →−a →|=√(−3)2+(−6)2=3√5．(2)∵a →+2b →与2a →−3b →垂直，∴(a →+2b →)⋅(2a →−3b →)=2a 2→−6b 2→+a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=6×3−2×5=8， ∴a →⋅(b →+c →)=a →⋅b →+a →⋅c →=8+(1,2)×(−2,−4)=−2．;【解析】该题考查了向量的模、向量的数量积和向量的坐标运算，属于中档题．(1)先求出向量c →的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，(2)根据向量的垂直求出a →⋅b →=8，再根据向量的数量积即可求出．22.【答案】解：(1)∵AB →=a →，BC →=b →，则AE →=a →+23b →，DC →=13a →+b →，AP →=λAE →=λ(a →+23b →)，DP →=μDC →=μ(13a →+b →)，AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，即23a →+μ(13a →+b →)=λ(a →+23b →)，∴{λ=23+13μμ=23λ，解得λ=67，μ=47. (2)BP →=BA →+AP →=−a →+67(a →+23b →)=−17a →+47b →. (3)设△ABC 底边AB 上的高为ℎAB ，△PAB 底边AB 上的高为ℎ1，∴ℎ1ℎAB =|PD →|:|CD →|=μ=47，S △PAB =47S △ABC =8，设△ABC 和△PBC 底边BC 上的高分别为ℎBC ,ℎ2， ℎ2ℎBC =|PE →|:|AE →|=1−λ=17，S △PBC =17S △ABC =2， ∴S △PAC =4.;【解析】本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比.(1)根据AP →=λAE →，用基底a →，b →表示出AP →，再根据AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，用基底a →，b →表示出AP →，这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ；(2)把BP →用BA →+AP →来表示，把(1)中的结果代入可得；(3)根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB 和△PBC 的面积，用△ABC 的面积减去△PAB 和△PBC 的面积即得△PAC 的面积.23.【答案】证明：如图所示，在四边形ABCD 中，∵AB →=DC →，∴AB//DC 且|AB|=|DC|∴四边形ABCD 为平行四边形．;【解析】此题主要考查向量的数量积以及四边形的判断，属于基础题．利用已知条件判断四边形的形状即可．24.【答案】AD;【解析】考查平面向量有关概念等知识.解：A 选项，①当向量a →与b →不共线时，在平面内任取一点A ，作AB →=a →，BC →=b →，则AC →=a →+b →，如图所示，根据三角形两边之和大于第三边可得|a →+b →|<|a →|+|b →|，②当向量a →与b →方向相同时，|a →+b →|=|a →|+|b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →+b →|=||a →|−|b →||<|a →|+|b →|，综上可知|a →+b →|⩽|a →|+|b →|，故A 选项正确；B 选项，①若|a →|<|b →|，则|a →|−|b →|<0，又|a →−b →|>0，所以|a →|−|b →|<|a →−b →|， ②若|a →|>|b →|，当向量a →与b →不共线时，根据三角形两边之差小于第三边可得|a →|−|b →|<|a →−b →|，当向量a →与b →方向相同时，|a →|−|b →|=|a →−b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →|−|b →|<|a →|+|b →|=|a →−b →|，综上可知|a →|−|b →|⩽|a →−b →|，故B 选项错误．C 选项，向量不能比较大小，故C 选项错误；D 选项，|a →·b →|=|a →||b →||cos <a →,b →>|⩽|a →||b →|，故D 选项正确；25.【答案】BC;【解析】【分析】本题主要考查平面向量的概念和性质，属于基础题.根据平面向量的共线定理，平行向量与单位向量，平面向量的数量积，相等向量的概念分别判断即可.【解答】解：A 中，当a →为零向量时结论不成立，所以A 错；当a →为零向量时结论成立，当a →不为零向量时，a →|a →|表示与向量a →同向的单位向量，结论也成立，所以B 正确；a →·a →=|a →|×|a →|×cos0∘=|a →|2，所以C 正确; 当a →⊥b →，b →⊥c →且a →，b →，c →都不为零向量时，a →·b →=b →·c →=0，但a →与c →不一定相等，所以D 错.故选BC.26.【答案】CD;【解析】解：若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，如果b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以A 不正确；若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →，显然不正确，反例：b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以B 不正确．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →，显然正确，C 正确；若|a →−b →|=|a →+b →|，如果a →，b →都是非零向量，说明以a →、b →为邻边的平行四边形是矩形，则a →⋅b →=0，如果用零向量，也满足a →⋅b →=0，所以D 正确；故选：CD.利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，结合反例，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的共线以及向量的数量积的应用，是基本知识的考查．27.【答案】ACD;【解析】此题主要考查空间向量数量积与垂直关系，考查线面垂直的性质，考查向量夹角，是中档题对于A ，∵AB =//C 1D 1，四边形ABC 1D 1是平行四边形，又AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确;对于B ，易知△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C =60∘，∴<AD 1→，D 1C →>=120∘，又A 1B →//D 1C →，∴<AD 1→，A 1B →>=120∘，故B 错误;对于C ，∵AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AC 1→，AC 1→2=3A 1B 1→2，∴(AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→2，故C 正确;对于D ，A 1B 1→−A 1D 1→=D 1B 1→，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→=0，故D 正确.选ACD.28.【答案】CD;【解析】【分析】本题考查向量的基本概念及向量的加减运算，属于基础题．由向量相等，可判断A ；由零向量与任何向量共线，可判断B ；由相反向量的定义可判断C ；由向量的加减运算可判断D.【解答】解：若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形或共线，故A 错误；若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，或a →，c →不共线，比如b →=0→，故B 错误；由相反向量的定义可得C 正确；NQ →+QP →+MN →−MP →=NP →+PN →=0→，故D 正确.故选CD.。

2020年高考数平面向量单元测试卷精品

高考数学复习平面向量单元测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2008·海南)平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0 答案：D解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nmb ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0.故选D. 2．(2020·北京市海淀区)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135° 答案：D解析：依题意得b ＝(a ＋b )－a ＝(1，－3)，设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝1－65×10＝－22，又0°≤θ≤180°，因此θ＝135°，选D.3．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 答案：C解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0，即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1， |b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)．故选C.4．如右图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1答案：C解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →] ＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1.故选C.5．在△ABC 中，A ＝105°，C ＝45°，AB ＝2，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2 答案：A解析：由题意可知B ＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴2sin45°＝AC sin30°，解得AC ＝1.故选A. 6．(2020·北京市东城区)若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则下列不等关系一定成立的是( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b | 答案：C解析：∵|a +b |=|b |，∴以a 、b 及a +b 为三边所作的三角形是等腰三角形；显然，以a +2b 、2b 、a 为边的三角形是一个直角三角形，且a 、a +2b 分别是直角三角形的两直角边，即|2b |>|a +2b |，故选C.7．(2020·北京市海淀区)函数y ＝log 2x 的图象按向量a 平移后可以得到函数y ＝log 2(x －2)＋3的图象，则( )A ．a ＝(2,3)B ．a ＝(－2,3)C ．a ＝(2，－3)D ．a ＝(－2，－3) 答案：A解析：依题意a ＝(2,3)故选A.8．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (m )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (p )＝(12，x ，y )，则1x ＋4y的最小值是( )A ．18B ．16C ．9D ．8 答案：A解析：由AB →·AC →＝23，得|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin30°＝1，x ＋y ＝12，∴1x ＋4y＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2(5＋y x ＋4xy )≥18(y ＝2x 时取“＝”)．9．(2020·宜昌市调研)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 答案：B解析：依题意得(2a ＋b )2＝4,4a 2＋b 2＋4a ·b ＝4,4＋4＋4a ·b ＝4，a ·b ＝－1，向量b 在向量a 方向上的投影等于a ·b|a |＝－1，选B.10．(2020·四川绵阳市诊测)△ABC 中，角A 满足sin 4A －cos 4A ≤cos A －sin A ，则( )A ．0<A ≤π6B ．0<A ≤π4C.π4≤A ≤3π4D.π4≤A <π3 答案：B解析：∵sin 4A －cos 4A ＝(sin 2A ＋cos 2A )(sin 2A －cos 2A )＝sin 2A －cos 2A ＝(sin A －cos A )(sin A ＋cos A )，∴原不等式等价于(sin A －cos A )(1＋sin A ＋cos A )≤0，在三角形中有1＋sin A ＋cos A >0，所以sin A ≤cos A ，故选B.11．(2020·西安地区八校联考)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.58B.85C.53D.35 答案：D解析：依题意得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即72＝52＋AC 2－2×5·AC cos120°，AC 2＋5AC －24＝0，由此解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．在△ABC 中，由正弦定理得sin B sin C ＝ACAB＝35，选D 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 答案：B解析：|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |·cos120° 代入数据即可解得|b |＝4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋bc ＋a＝________.答案：1解析：∵C ＝60°，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－ab .∴a b ＋c ＋bc ＋a ＝a (a ＋c )＋b (b ＋c )(a ＋c )(b ＋c ) ＝a 2＋b 2＋c (a ＋b )ab ＋c (a ＋b )＋c 2＝1. 14．(2008·常州模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C 且sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则∠A ＝________.答案：π2解析：∵sin A a ＝cos B b ，sin A a ＝sin Bb，∴cos B ＝sin B ，∴tan B ＝sin Bcos B＝1，∴B ＝π4.同理C ＝π4，∴A ＝π－π4－π4＝π2.15．(2020·北京市西城区)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2)，将OA →绕着点O 按逆时针方向旋转90°得到向量OB →，则2OA →＋OB →的坐标为________．答案：(0,5)解析：设点B (m ，n )(其中m <0，n >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝12＋22n m ·21＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝5m ＋2n ＝0，且m <0，n >0，由此解得m ＝－2，n ＝1,2OA →＋OB →＝2(1,2)＋(－2,1)＝(0,5)．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是__________．答案：π3解析：本题考查正余弦定理∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8 a sin A ＝b sin B ＝csin C∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8 设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(5k )2＋(8k )2－(7k )22×5k ×8k＝25k 2＋64k 2－49k 22×40k 2＝12在△ABC 中，∴∠B ＝π3三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)， (1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值． (2)求c 在a 在方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b(1)证明：∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)解：cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858，∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)解：∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37.18．(本小题满分12分)(2008·合肥模拟)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，|b |＝1，且a 与b 满足|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)试用k 表示a ·b ，并求a ·b 的最小值；(2)若0≤x ≤π，b ＝(12，32)，求a ·b 的最大值及相应的x 值．解：(1)∵|a |＝1，|b |＝1，由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，整理得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12，当且仅当k ＝1时，a ·b 取最小值12.(2)由a ·b ＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当x ＝π3时，a ·b 取最大值为1.19．(本小题满分12分)如右图所示，已知AD 为△ABC 的内角A 的平分线，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°.(1)试用正弦定理证明AB AC ＝BDDC；(2)求AD 的长．(1)证明：设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ADB ＝β，则∠ADC ＝π－β.在△ABD 中，根据正弦定理AB sin β＝BDsin α①在△ACD 中，根据正弦定理AC sin(π－β)＝CDsin α，即AC sin β＝CD sin α①÷②得：AB AC ＝BDDC.(2)解：在△ABC 中，由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝32＋52－2×3×5cos120°＝49， ∴BC ＝7.设BD ＝x ，则DC ＝7－x .由内角平分线性质AB AC ＝x7－x，即35＝x 7－x ，解得x ＝218，在△ABD 中，设AD ＝y .由余弦定理：BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，则(218)2＝9＋y 2－3y ，整理得(y －158)(y －98)＝0，∴y ＝158(y ＝98舍去)，∴AD ＝158.20．(本小题满分12分)(2020·北京市西城区)如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈(π2，3π4)．(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解：(1)由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ，由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ，即222＝|OA |sin(3π4－θ).所以|OA |＝22sin(3π4－θ)．(注：若用直线AB 方程求得|OA |＝2(sin θ＋cos θ)也得分)．(2)由(1)得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin(3π4－θ)cos θ.因为tan θ＝－43，θ∈(π2，3π4)．所以sin θ＝45，cos θ＝－35，又sin(3π4－θ)＝sin 3π4·cos θ－cos 3π4·sin θ＝22·(－35)－(－22)·45＝210. 所以OA →·OB →＝42·210·(－35)＝－1225.21．(本小题满分12分)(2020·湖北五市联考)已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，若函数f (x )＝m ·n ，且f (x )的对称中心到f (x )对称轴的最近距离不小于π4.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，当ω取最大值时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)． ∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意知T 4≥π4，即1ω≥1，又ω>0，∴0<ω≤1.故ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}．(2)由(1)知ω的最大值1，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6<2A ＋π6<136π，∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理可知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝1，又b ＋c ＝2，∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34.22．(本小题满分12分)(2020·成都外国语学校)如右图，凸四边形ABCD 内接于半径R ＝3的圆，∠ABC ＝120°，AB ＝3.(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD的周长、面积的最大值．解：(1)连接AC，在△ABC中，由正弦定理得：ACsin∠ABC=2R，∴ACsin120°=6，AC=3 3.(2)连接BD，在△ABC中，∵AB=3，又由(1)易得：∠ACB=∠BAC=30°，AB=BC=3. 在△ABD、△BCD中，利用正弦定理得：。

2020高考数学专题复习《平面向量》(讲义和练习)

一、知识纲要1、向量的相关概念：《必修 4》第二章平面向量（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，记为 AB 或a 。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：| AB |或｜ a ｜。

向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。

①｜ a ｜＝0； ② 0 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。

（4）单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。

2、向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意：方向是“起点指向终点”。

→（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a 的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。

此时｜ a ｜。

若已知 A ( x 1 , y 1 )和B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB = ( x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ，即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

注意注意注意注意a 3、向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作a ∥ b 。

2020届高考数学复习平面向量习题精编精解100题

2020届高考数学复习平面向量习题精编精解100题一、选择题1.如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC =4，AE =1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．12.设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，OA OB ⊥，则()()OC OA OC OB -⋅-的最大值是（）A ．1B ．1C 1D ．13.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．35.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66.在△ABC 中，060=∠BAC ，AB =5，AC =6，D 是AB 上一点，且5-=⋅，则||等于（）A. 1 B . 2 C. 3 D.4 7.平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，2AB =，3AD =，13BE BC =，则AE BD ⋅=（） A ．3 B ．－3C ．2D ．－28.如图，在圆O 中，若3AB =，4AC =，则AO BC ⋅的值等于A ．－8B ．72- C ．72D ．89.已知向量)7,1(),1,2(=-=b a，则下列结论正确的是 A.b a ⊥ B.a ∥b C. )(b a a -⊥ D. )(b a a +⊥10.已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）A ．2B ．1211.已知向量AB 与AC 的夹角为3π，),(,3||,2||R ∈+===μλμλ，且AM ⊥，则=μλ（） A ．61B ．6C ．41D ．412.已知点D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足4AD DB =-，若(,)CD xCA yCB x y R =+∈，则x y -=（）A. 43-B.1C. 53-D. 5313.向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=-，1()()2m p n p m p n p -⋅-=-⋅-，则p 最大值为（）A ．2BC ．1D ．4 14.已知△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，G 是EF 的中点，则FE AG ⋅=A. －1B. 12-C.12D. 115.在△ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，AN nAC =(m ＞0，n ＞0)，则m +2n 的最小值为（） A ．3 B ．4C ．83D ．10316.下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2﹣x ＞0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2﹣x ＜0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f （x ）＝xα的图象经过点（2，2），则f （4）的值等于12； ④已知向量a ＝（3,4），b ＝（2,1），则向量a 在向量b 方向上的投影是25．说法正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3D ．417.如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（）A ．1122a b +B ．1124a b +C ．1142a b +D ．1144a b + 18.已知|a |=|b |=1，且a ⊥b ，则2a +b 在a +b 方向上的投影为 A.223 B. 22C.233 D. 2319.已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，向量122e e +与122e e λ+的夹角为23π，则λ=（）A ．23- B ．－3C ．－3或23-D ．－1或－320.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+的值 A.有最大值8 B.是定值6 C.有最小值2D.与P 点的位置有关21.已知点O 为坐标原点，点1,2n A n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()*n N ∈，向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得312123cos cos cos cos ...sin sin sin sin n nt θθθθθθθθ++++<恒成立的实数t 的最小值为( ) A.34B.32C.2D.322.已知平面直角坐标系内的两个向量()3,2a m =-，()1,2b m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c a b λμ=+(λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞,2)B.6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)D.66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23.在2=33ABC AB AC BAC π∆=∠=中，，，，BD =若23BC ，则AD BD ⋅= A ．229B ．229-C ．169D ．89-24.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，62AB =, 6AC =, 12AE ED =,则AE EB ⋅等于A. －14B. －9C. 9D.14 25.若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（） A.3π B.6π C.23π D.56π 26.已知平面向量(1,3),(2,0)=-=-a b ，则|2|+=a bA. B. 3 C. D. 527.已知1A ，2A ，3A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足11213()AM A A A A λ=+（λ是实数），且123MA MA MA ++是单位向量，则这样的点M 有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 28.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（） A.－2 B. －1 C.1 D.2 29.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(e 是自然对数的底,i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位当θπ=时,就有10i e π+=.根据上述背景知识试判断20183i e π-表示的复数在复平面对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限30.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，且()//a b b +，则m =（）A ．23- B ． 23 C ．－8 D ．831.在△ABC 中，若点D 满足3BD DC =，点E 为AC 的中点，则ED = A ．5163AC AB + B ．1144AB AC + C ．3144AC AB - D ．5163AC AB - 32.设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ，则与+a b 垂直的向量的坐标可以是（） A ．(3,2) B ．(3,－2) C ．(4,6) D ．(4,－6)33.如图所示，已知点．．．．．．．．G ．是．△．ABC ．．．的重心，．．．．过点．．G ．作直线与．．．．AB ．．，．AC ．．两边分别交于．．．．．．M ．，．N ．两点，且．．．．,AM xAB AN yAC ==，则．．xy x y+的值为．．．(． )． A ．．．3 B.．．．1．3． C ．．．2 D.．．．1．2．34.已知1a =，(0,2)b =，且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为A.6π B.4π C.3π D.2π 35.如图所示，已知点．．．．．．．．G ．是．△．ABC ．．．的重心，过点．．．．．．G ．作直线与．．．．AB ．．，．AC ．．两边分别交于．．．．．．M ．，．N ．两点，且．．．．,AM x AB AN y AC ==，．则．xy x y+的值为．．．(． )．A ．．．3 B.．．．13 C ．．．2 D. ．．．1236.已知△ABC 中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅的最小值为（） A. －4 B. －2 C. －1 D. 0 37.在四边形ABCD 中，2=AC ，1=BD ，则=+⋅+)()(（） A ．5 B ．－5 C ．－3 D ．3 38.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（） A ．(－3,0) B ．(1,0) C ．(0,－3) D ．(0,1)39.设单位向量1e ,2e 对任意实数λ都有|1e +22e |≤|1e +λ2e |，则向量1e ,2e 的夹角为( ) A.3π B. 23π C. 6π D. 56π 40.已知0a 1,b 2,,60a b ===，则a b +在a 上的投影是（）A. 1 B . 7 C. 2 D .441.已知平面向量a 与b 的夹角为32π，若(3,1)a =-， 2213a b -=，则b =（）A. 3B. 4C. 3D. 2二、填空题42.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,90BAD ∠=,45ADC ∠=21AD BC ==，,P 是腰CD 上的动点，则3+PA BP 的最小值为____________. 43.设向量，满足2||=，1||=，且)(+⊥，则向量在向量方向上的投影为 . 44.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.45.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 46.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________. 47.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 48.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.49.已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，.若012λμ≤≤≤≤时，()0 0x yz m n m n=+>>，的最大值为2，则m n +的最小值为 50.在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB ，AD 的边长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD=⋅的取值范围是．51.已知平面向量b a ,满足32|2|,1||,2||=+==b a b a，则b a 与的夹角为___________．52.设,,a b c 为三个非零向量，且0,2,2a b c a b c ++==-=，则b c +的最大值是 ▲ ． 53.在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影为______． 54.设向量a =(3，－1)，b =(1，m )，且(a +2b )^a ，则|b |=_______. 55.已知(2,0)a =，(1,2)b =，实数λ满足5a b λ-=，则λ= ． 56.在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．57.在△ABC 中，AB =5， AC =7，BC =3，P 为△ABC 内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 58.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= ．59.已知向量34（-，）a =，b (2,1)=-，若-a b 与2λa +b 的夹角为90°，则=λ_______. 60.已知向量()()6,2,3,a b m =-=，且//a b ，则a b -=__________． 61.已知向量,a b 满足||||2==a b ,且2⋅=a b ,则向量a 与b 的夹角为 . 62.已知平面向量()1,2m =，()1,0n =，则m n +在n 上的投影为________. 63.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP · (AB ＋AC )＝_________． 64.若平面内不共线的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，则|a +b +c |＝． 65.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小是____. 66.若向量(1,)a x =、(1,2)b =--不共线，且()()a b a b +⊥-，则a b ⋅=_______； 67.若非零向量 a b ，满足()2a a b ⊥+，则a b b+= .68.已知向量a ,b 满足|a |=2, a ·(b －a )=－3，则b 在a 方向上的投影为 . 69.设向量12,e e 不共线，向量122e e λ+与124e e +平行，则实数λ= ． 70.正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，(0,0)A ，(2,0)B ，则向量AE 在AC 方向上的投影为． 71.如图,在直角梯形ABCD 中,,.若M ,N 分别是边AD 、BC 上的动点,满足，，其中,若,则的值为 .72.已知A ，B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上两点，且满足4AF FB =，则弦AB 中点到准线距离为 .73.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为． 74.设非零向量a ，b 满足()a ab ⊥+，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为．75.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2,3)a b a b ==-=, ,则||a b += .76.已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则(4)()PA PB PC PM ⋅+⋅的最小值是 ________.77.在△ABC 中，226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅= .78.设向量、a )2,1(=)3,2(=b ，若向量λ+与向量=(－3,－3)共线，则λ= ． 79.已知向量(1,0)a =，(,2)b λ=，2a b a b +=-，则λ= ． 80.已知单位向量,a b 的夹角为120°，则()a b a +⋅= ． 81.在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC =+λμ，则λμ+= . 82.如图，已知直角△ABC 的斜边AB 长为4，设P 是以C 为圆心的单位圆的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围为．83.在平行四边形ABCD 中，AB AD AB AD +=-，2DE EC =，CF FB =，且7AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积的最大值为．84.如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，E 、F 是AB 上的两个三等分点，G 、H 是AC 上的两个三等分点，910)()(-=-⋅+CF BH CE BG ，则C b cos 的最小值为 .85.已知向量, a b r r 满足(2)()6a b a b -⋅+=r r r r ，且||2,||1a b ==r r ，则a r 与b r的夹角为 .86.平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为． 87.已知向量a ＝(2，m )，b ＝(－1，2)，若a ⊥b ，则b 在向量=-c a b 上的投影为________．88.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=2，a ,b 的夹角为3π，2240c a c b c -⋅-⋅+=，则(a +c )·b 的最大值为 .89.向量a ，b 满足：｜a ｜＝2，｜a +b ｜＝1，则a b 的最大值为＿＿ 90.已知向量,夹角为60°，且1||=，10|2|=-，则=|| . 91.已知向量a ,b 的夹角为45°，且|a |=1，|b ，则|a －b |=____________．三、解答题92.已知x x x x x x f 2sin cos sin 3)6sin(cos 2)(-⋅++⋅=π，（Ⅰ）求函数)(x f y = （π<<x 0）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 满足2)(=A f ，而3=⋅AC AB ，求BC 边上的高AD 长的最大值．* 93.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a ·b 的值；（2）若a ∥b ，求锐角α的大小. 94.已知抛物线x 2＝2py ，准线方程为y ＋2＝0，直线l 过定点T (0，t )(t >0)，且与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求抛物线方程；(2)OA ·OB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当t ＝1时，设AT ＝λTB ，记|AB |＝f (λ)，求f (λ)的最小值及取最小值时对应的λ．95.已知向量a 11(,)sin sin x x =-，b (2,cos 2)x =. （Ⅰ）若π(0,]2x ∈，试判断a 与b 能否平行；（Ⅱ）若π(0,]3x ∈，求函数()f x =a⋅b 的最小值.96.△ABC的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量m =（a ）与n =（cos A ，sin B ）平行．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ，b =2，求△ABC 的面积． 97.已知向量)sin 2,3(),1,cos (x x =-= （1）当⊥时，求xxx 2cos 1sin cos 3+的值；（2）已知钝角△ABC 中，角B 为钝角，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且)sin(2B A b c +=，若函数224)(x f -=，求)(B f 的值．98.已知向量a )1,cos 2(θ=，)sin 2,1(θ=b 且),0(πθ∈ （1）若b a //，求θ的值；（2）若52=⋅b a ，求||b a +的值. 99.已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =．（1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？ 100.已知(3sin ,cos )m x x ωω=，(cos ,cos )n x x ωω=- (0,x R >∈ω)，1()2f x m n =⋅-且()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π. （Ⅰ）求函数f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =()0f B =，sin 3sin A C =，求a ，c 的值及AC 边上的中线.答案解析1. D2. A以OA,OB 所在直线分别为轴，轴，则,设，且，所以，由于，所以，当时，有最大值，选A.3. C 【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C. 4. C∵(1,3)BC AC AB t =-=-，∴2||11BC ==，解得3t =，(1,0)BC =， ∴2AB BC ⋅=. 5. B设a 与b 的夹角为θ，∵()a b b -⊥∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-=0 ∴1cos =2θ ∴=3πθ.6. C 在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．7.B平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，2AB =，3AD =，∴12332AB AD ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∵13BE BC =，∴1133AE AB BC AB AD =+=+，BD AD AB =-，则()13AE BD AB AD AD AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭-221233AD AD AB AB =+⋅-()233433=+⨯--=-，故选B ．8.C9.D10.B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.11.B由题设有，故，整理得：即，，选B.12.C13.D因为，，所以的夹角为120°，因为，所以的夹角为60°；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图214.A15.A三点共线，则当且仅当即时等号成立.故选A.16.A①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝ .其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A ． 17. B∵在中，是边上的中线∴ ∵是边的中点∴ ∴ ∵ ∴ 故选B. 18. A ∵ ∴ ∴在方向上的投影为故选A 19.B 20.B如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B.21.A 22.D 23.C 24.C 25.B 26.A由题意知，2(3,3)+=--a b ，所以|2|+=a b 故选A. 27.C试题分析：由题意得，11213()MA A A A A λ=-+，2112MA MA A A =+，3113MA MA A A =+，∴1231213(13)()MA MA MA A A A A λ++=-+，如下图所示，设D 为23A A 的中点，∴1213(13)()A A A A λ-+与1A D 为共起点且共线的一个向量，显然直线1A D 与以1A 为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点λ有两个，即符合题意的点M 有两个，故选C.28.D 29.C 30.C解：由题意得圆心为(),0a 。

高中数学《平面向量的概念》知识点及练习题(含答案)

高中数学《平面向量的概念》一、知识点1．向量的定义把既有大小又有方向的量叫做向量，如力、位移等。

只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、温度、面积等。

2．向量的表示（1）有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB 。

（2）向量的表示：向量可以用有向线段表示，以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ，向量也可用字母⋅⋅⋅c b a ，，表示。

（3）向量的模：向量AB 的大小称为向量AB 的长度（或称模）AB 。

（4）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为，其方向是任意的。

（5）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

注意：①向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段。

②向量不能比较大小，向量的模可以比较大小。

3．相等向量与共线向量（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．规定零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（3）平行向量也叫做共线向量。

注意：①向量不具有平行的传递性，因为零向量与任意向量平行。

②向量平行与直线平行是有区别的，平行向量可以共线，但平行直线不可以共线。

0 a a //0二、单项选择题1．下列说法正确的个数为（）①零向量没有方向 ②向量就是有向线段，有向线段就是向量③若c b b a ////，，则c a // ④若b a //，则b a ，的方向相同或相反A ．0B ．1C ．2D ．32．下列关于向量的结论，正确的是（）A ．若b a =，则b a =或b a -=B ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同C ．零向量与任意向量平行D ．向量可以比较大小，向量的模也可以比较大小3．下列说法正确的是（）A ．若b a >，则b a >B ．若b a =，则b a =C ．若b a =，则b a //D ．若b a ≠，则a 与b 不是共线向量 4．下列不能使b a //成立的是（）A ．b a =B ．b a =C ．a 与b 方向相反D ．0=a 或0=b5．在四边形ABCD 中，BD AC =且CD BA =，则四边形ABCD 的形状为（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形6．在四边形ABCD 中，已知DC AB =，BC AB =，则四边形ABCD 一定是（）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．下列各命题中假命题的个数为（） ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等．②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量． ⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点D C B A 、、、必在同一条直线上．A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案1、A，2、C，3、C，4、B5、B6、C，7、D②④⑤。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

高考数学专题《平面向量的概念及其运算》习题含答案解析

专题6.1 平面向量的概念及其运算练基础1．（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中（文））若四边形ABCD是矩形，下列说法中不正确的是（）A．AB与CD共线B．AC与BD相等C．AD与CB是相反向量D．AB与CD模相等【答案】B【解析】根据四边形ABCD是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．【详解】解：四边形ABCD是矩形//=，故A，D答案正确；∴且AB CDAB CDAC BD=但,AC BD的方向不同，故B答案错误；AD CBAD CB且,=且//AD CB的方向相反，故C答案正确；故选：B．2．（2020·全国高一课时练习）已知正六边形ABCDEF，则BA CD FE++=（）A．H B．BE C．AD D．CF【答案】B【解析】由AF CD=，结合向量的加法运算得出答案.【详解】如图所示，AF CD=BA CD FE BA AF FE BE ++=++=故选：B3．（2020·全国高三其他模拟（文））已知两非零向量a ，b ，满足()a b a ⊥-，且1b =，则2a b -=（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】利用向量的垂直关系，可得2a b a ⋅=，结合向量的模的运算法则化简求解即可.【详解】两非零向量a ，b ，满足()a b a ⊥-，且1b =，可得2a b a ⋅=， 22222|2|44441a b a a b b a a b -=-⋅+=-+=.故选：A .4．（2020·全国高二课时练习）已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（） A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D【解析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误.故选：D. 5．（2020·全国高二课时练习）若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项．【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0，所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-．所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件，故选：A ．6．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【答案】C【解析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出a b =，即该选项错误；选项B ，长度相等,向量可能不平行，∴该选项错误；选项C ，,a b b c ==显然可得出a c =，∴该选项正确；选项D ，//,//a b b c 得不出//a c ，比如,a c 不共线，且0b =，∴该选项错误.故选：C .7．（2020·江苏高三专题练习）设a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线性质判断即可.【详解】因为a ，b 为非零向量，所以a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反，因此“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的必要而不充分条件．故选：B ．8．（2020·天津市军粮城中学高一月考）下列说法正确的是（）A ．//a b ，//b c 则//a cB ．起点相同的两个非零向量不平行C ．若||||a b a b +=+，则a 与b 必共线D ．若//a b 则a 与b 的方向相同或相反【答案】C 【解析】对于A ：当0b =时， //a c 不一定成立；对于B ：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）；对于C ：若||||a b a b +=+，则a 与b 同向；对于D ：当a ，b 为零向量时，命题不正确.【详解】对于A ：当0b =时，//a b ，//b c ，但//a c 不一定成立，故A 不正确；对于B ：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行），故B 不正确；对于C ：若||||a b a b +=+，则a 与b 同向，即a 与b 必共线，故C 正确；对于D ：当a ，b 为零向量时，命题不正确，故D 不正确，故选：C.9．（2020·广东高三专题练习）在ABC 中，已知点E 是边AB 上靠近点A 的一个三等分点，则CE =（）A ．2133CB CA + B ．2133CB CA -C ．1233CB CA -D ．1233CB CA + 【答案】D 【解析】直接利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由题可得1112()3333CE CA AE CA AB CA CB CA CB CA =+=+=+-=+，故选：D ．10．（2020·海南鑫源高级中学高一期末）已知5a =，4b =，a 与b 的夹角2π3θ=，则a b ⋅=（） A ．10B ．10- C ．D ．-【答案】B【解析】由平面向量数量积的定义可求解结果．【详解】由平面向量数量积的定义可得：154cos12054102a b ⎛⎫⋅=⨯⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：B1．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则AP AB ⋅的值为（）练提升A ．2B ．4-C ．4D ．【答案】C【解析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果.【详解】由条件可知()2111222AP AB AB AC AB AB AB AC ⋅=+⋅=+⋅ 211cos 4522AB AB AC =⨯+⨯⨯12242=+⨯⨯=. 故选：C2．（2020·江苏镇江市·高一月考）若向量,a b 满足：8,4a b ==，且a 与b 的夹角为23π，则b 在a 上的投影向量为（） A ．14a - B ．14a C ．2a D ．2a -【答案】A【解析】先计算出b 在a 上的投影，然后对比a 即可得到对应的投影向量.【详解】因为b 在a 上的投影为2cos ,4cos 23b a b π<>==-，又因为8a =，所以b 在a 上的投影向量为14a -，故选：A. 3．（2020·晋中市·山西寿阳县一中高一月考）已知向量||3,||6ab ==，若,a b 间的夹角为34π，则2a b -=（）AB C D 【答案】A【解析】由22(2)a b a b -=-，展开利用数量积公式求解即可.【详解】因为36a b ==，，a b ，间的夹角为34π，所以2222(2)=44a b a b a a b b -=--⋅+，又3cos 34a b a b π⋅==-，所以222=44=1212a b a a b b --⋅++故选：A4．（2020·河北高三其他模拟（文））已知正三角形ABC 的边长为2，点M 满足1332CM CA CB =+，则MA MB ⋅的值为（）A ．53B ．169C ．229D ．113【答案】C【解析】找到两个基底CA ，CB ，然后用两个基底向量表示MA ，MB ，再通过向量的运算即可得出结果.【详解】∵13233232MA CA CM CA CA CB CA CB ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭， 13113232MB CB CM CB CA CB CA CB ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴23113232MA MB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22213+964CA CB CA CB =-+⋅ 211342249624=-⨯+⨯⨯⨯+⨯ 229=. 故选：C .5．（2020·青海西宁市·湟川中学高一期末）已知||6OA =，||23OB =，30AOB ∠=︒，若t R ∈，则||OA t AB +的最小值为（）A ．6B ．C ．3D ．6-【答案】C 【解析】由()1OA t AB t OA tOB +=-+，再平方转化为关于t 的关系，即可根据二次函数性质求出.【详解】 ()221OA t AB t OA tOB +=-+ ()()2222121t OA t t OA OB t OB =-+-⋅+()()22361216122t t t t =-+-⨯⨯+ 231292t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当32t =时，||OA t AB +取得最小值为3. 故选：C.6．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知O 是ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足,(0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】A【解析】 n n 表示的是n 方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点P 在BAC ∠的角平分线上，故动点P 必过三角形的内心. 【详解】如图，设AB AF AB =，AC AE AC =，已知,AF AE 均为单位向量，故四边形AEDF 为菱形，所以AD 平分BAC ∠，由,(0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭得AP AD λ=，又AP 与AD 有公共点A ，故,,A D P 三点共线，所以点P 在BAC ∠的角平分线上，故动点P 的轨迹经过ABC 的内心.故选：A.7．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()0a c b c -⋅-=，则下列结论中正确的有（）A ．1a b +=B ．1a b -=C ．a b +与c 不可能垂直D ．3c < 【答案】BCD【解析】因为,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，所以设,AB a AC b ==，建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算数形结合逐项分析即可.【详解】因为,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，所以设,AB a AC b ==，建立如图所示直角坐标系：,,AP c a c PB b c PC =-=-=，由()()0a c b c -⋅-=，即0PB PC ⋅=，所以点P 在以BC 为直径的圆上，所以3a b +=，故A 错误； 1a b BC -==，故B 正确；由图可知，a b +与c 的夹角为锐角，所以a b +与c 不可能垂直，故C 正确；AP的最大值为：12<，故D 正确，故选：BCD8．（2020·全国高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解. 【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅= 解得：21a b ⋅=-所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=9．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））向量a ，b 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为120°，则2-=a b ___________.【答案】【解析】由于2222(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+224cos120a a b b =-︒+，然后代值求解即可【详解】解：因为向量a ，b 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为120°，所以2222(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+ 224cos120a a b b =-︒+===故答案为：10．（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量,a b 满足4,2a b ==，,a b 的夹角为θ，（1）若23πθ=，求()a ab ⋅+的值；（2）若1cos 4θ=，求()a xb x R +∈的最小值．【答案】（1）12；（2【解析】（1）根据数量积的定义展开计算即可求得结果；（2）采用先平方再开根号的方法先表示出a xb +，然后根据二次函数的性质求解出a xb +的最小值.【详解】（1）()22221cos 4421232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪⎝⎭；（2）因为22222==2cos 4a xb a xb a x a b x b x θ+++⋅+=+，所以2=2a xb x ++=当12x =-时，a xb +取最小值，且最小值为=1．（2020·海南高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C2.（2021·浙江高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，推不出a b =；若a b =，则a c b c ⋅=⋅必成立，故“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的必要不充分条件故选：B. 练真题3．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D. 4．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 5．（2021·全国高考真题）已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92- 【解析】由已知可得()20a b c++=，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-. 故答案为：92-. 6．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.故答案为：2．。

6.1 《平面向量的概念》高考真题练习含答案解析

6.1 平面向量的概念（精讲）考法一向量与数量的区别【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（）A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（）A．力B．速度C．质量D．加速度【答案】C【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D3．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.考法二向量的几何表示【例2】（2020·全国高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量AB，BC，CD；（2）求AD的模．AD=【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）作出向量AB，BC，CD；如图所示：（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，AD=.所以AD＝米)，所以|5【跟踪训练】1.（2021·江苏高一）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的AC=，画出所有的向量AC.顶点，且5【答案】见解析AC=，∴C点落在以A C为小正方形的顶点，【解析】∵||5根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量AC，如图所示：2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：OA=,点A在点O正南方向；（1）||4OB=点B在点O北偏西45︒方向；（2）||22OC=,点C在点O南偏西30︒方向.（3）||2【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】如图.3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方.（1）作出向量AB ，BC ，CD （图中1个单位长度表示100m ）；（2）求向量DA 的模.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】（1）如图，,,AB BC CD 即为所求.（2）如图，作向量DA ，由题意可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴||DA BC ==.考法三相等向量与共线向量【例3】（2020·全国）如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.（1）图中与AB共线的向量有________；（2）图中与AB相等的向量有________；（3）图中与AB模相等的向量有_________________；（4）图中EC与BD是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）AB与BA相等吗？【答案】（1）BE，CD，AE（2）BE（3）BC，CD，DA，BE（4）相等（5）不相等【解析】根据题意得，（1）图中与AB共线的向量为BE、DC、AE；（2）与AB相等的向量有BE；（3）图中与AB模相等的向量有BC，CD，DA，BE；（4）相等；（5）AB与BA不相等；故答案为：（1）BE，CD，AE（2）BE（3）BC，CD，DA，BE（4）相等（5）不相等【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）如图，ABC ∆和A B C ∆''是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设ABC ∆的边长为a ，图中列出了长度均为3a 的若干个向量，则（1）与向量GH 相等的向量有______；（2）与向量GH 共线，且模相等的向量有______；（3）与向量EA 共线，且模相等的向量有________.【答案】,LB HC ' ,,,,EC LE LB GB HC '' ,,,,EF FB HA HK KB ''【解析】（1）与向量GH 相等的向量有,LB HC '；（2）与向量GH 共线，且模相等的向量有,,,,EC LE LB GB HC ''；（3）与向量EA 共线，且模相等的向量有,,,,EF FB HA HK KB ''.故答案为：,LB HC '；,,,,EC LE LB GB HC ''；,,,,EF FB HA HK KB ''2．（2020·全国高一）在如图所示的向量,,,,a b c d e 中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】a和d，e和b a和d，b和e,,a c d【解析】（1）a d∥，故a和d，e和b是共线向量.∥，e b（2）a和d，b和e是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有,,a c d.故答案为：（1）a和d，e和b；（2）a和d，b和e；（3）,,a c d.3．（2020·全国高一专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c.相等的向量．【答案】（1）OD，BC，AO，FE .（2）EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.（3）与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.考法四平面向量概念的区分【例4】（2020·天津静海区·高一学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >.其中正确的序号为（）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3）【答案】D【解析】零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；当向量a 为零向量时，其方向是任意的，不能说a 与b 的方向相同或相反，故（2）错误；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.故选：D.【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a →∥,b b →→∥c →，则b →∥c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A ．2．（2020·安徽六安市·六安一中高一期末）下列说法不正确的是（）A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量 D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A 正确；两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B 正确； a a 的模长为1，10a >，则a a是一个与a 同向的单位向量，C 正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D 错误；故选：D2．（2021·甘肃兰州市）下列命题中正确的个数为（） ①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB 与CD 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；③若非零向量a 与b 共线，则a b =； ④四边形ABCD 是平行四边形，则必有AB CD =； ⑤//a b ，则a 、b 方向相同或相反.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，∴命题①是假命题；②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量AB 与CD 共线且直线AB 与CD 平行时，A 、B 、C 、D 四点不共线，∴命题②是假命题；③若非零向量a 与b 共线，则存在非零实数λ，使得b a λ=，∴命题③是假命题；④四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =，由相等向量的定义可知AB DC =，∴命题④是真命题；⑤若a为非零向量，0b =，则a、b方向无法确定，∴命题⑤是假命题. 故选：B.11。

新高考数学平面向量多选题专项练习及答案

新高考数学平面向量多选题专项练习及答案
一、平面向量多选题
1．已知向量，则（）
A． B．
C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是
【答案】ABD
【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证:
对于A:利用向量垂直的条件判断；
对于B:利用模的计算公式；
对于C:利用投影的计算公式；
对于D:直接求单位向量即可．
所以在方向上的投影为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
4．设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）
A．
B．与不垂直
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
【详解】
对于A: ，故A正确；
对于B: ，故B正确；
对于C:向量在向量上的投影是，故C错误；
对于D:向量的单位向量是，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
2．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的为（）
【详解】
解：因为，，，则，解得，故选项A正确；
因为，，，则，即，解得，故选项B错误；
因为，，，则，解得，故选项C错误；
因为，，，则，，，所以，故选项D正确.